Урок 1. Введение.

Урок 1.
Введение.
Элементы теории вероятностей и математической статистики введены
в обязательный курс общеобразовательной школы недавно. Поэтому для
успешного
преподавания
данного
материала
необходимо
наработать
соответствующий практический опыт, который позволит в будущем
выработать некоторые общие методические и педагогические рекомендации.
Трудность изучения теории вероятностей связана со спецификой этой
математической дисциплины. Решение задач по теории вероятностей требует
определенного навыка, так как они формулируются не в математических
терминах, а в бытовых. Таким образом, приходится каждый раз выбирать
соответствующую вероятностную модель, которую следует применить для
решения.
Вероятностное пространство.
Теория
вероятностей
–
раздел
математики,
изучающий
закономерности в случайных явлениях. Её возникновение относится к
середине 17 века. Если случайное явление рассматривать отдельно само по
себе, то предсказать его исход невозможно (потому оно и случайное,
например, количество очков, выпавших при бросании игрального кубика).
Однако, если рассматривать серию однотипных случайных явлений, то
начинают просматриваться определенные закономерности. В то время
уровень развития естествознания и техники не давал возможности наблюдать
такие ситуации. Единственным источником массовых случайных явлений
были только азартные игры. Именно анализ задач, связанных с азартными
играми, привел к формированию понятия вероятности. Так французский
естествоиспытатель 18 века Бюффон бросил монету 4040 раз (при этом герб
выпал 2048) и подсчитал относительную частоту выпадения герба: 2048/4040
= 0,507. Через полтора века английский статистик Пирсон повторил его опыт,
бросив монету сначала 12000 раз, а затем 24000, при этом соответствующие
относительные частоты выпадения герба были равны 0,5016 и 0,5005, т.е. с
увеличением количества бросаний монеты частота выпадения герба
приближалась к 0,5.
Эти опыты наряду с другими привели к выводу, что, если количество
испытаний n достаточно большое, то относительная частота случайного
события А обладает свойством устойчивости: с увеличением числа опытов n
она принимает значения, близкие к некоторому неслучайному числу Р(А).
Устойчивость частот – это объективное свойство массовых случайных
явлений реального мира. Отсутствие устойчивости частот в сериях
испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся
испытания, претерпевают значительные изменения. Теория вероятностей –
это математическая наука, в которой рассматриваются математические
модели случайных явлений. При этом обнаруживаются такие связи между
вероятностями случайных событий, которые дают возможность вычислить
вероятности
более
сложных
событий,
если
известны
вероятности
соответствующих более простых событий.
Наиболее
совершенное
аксиоматическое
построение
теории
вероятностей было сделано лишь в 20 веке в работах выдающегося русского
математика А.Н. Колмогорова. Его модель позволяет описывать не только
случайные явления, но и случайные процессы, происходящие в самых
различных сферах науки и техники. Поэтому именно эта математическая
модель положена в основу настоящего курса.
Пространство элементарных событий
Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.
Возможные исходы ω опыта называются элементарными событиями
(или элементарными исходами), если они являются взаимно исключающими
(два разных элементарных события не могут произойти одновременно), и в
результате опыта одно из них обязательно происходит.
Множество Ω всех элементарных событий ω в опыте называется
пространством элементарных событий.
Например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и
наблюдении числа выпавших очков на верхней грани. Тогда пространство
элементарных событий: Ω = {ω1, ω2, …, ω6}, где элементарные события: ωi =
{количество очков, выпавших на верхней грани равно i} (i=1,2,…,6).
Поле событий
Зададим множество  , элементами которого являются некоторые
подмножества
пространства
элементарных
событий.
Множество

называется полем событий, а его элементы – событиями. Иными словами
событие – это некоторая совокупность элементарных событий, то есть если А
– событие: A   , то A   . При этом элементарные события ωi Ω, входящие
в событие А, называются благоприятными.
Так в предыдущем примере, если событие A состоит в том, что выпало
четное число очков, то благоприятными являются ω2, ω4, ω6.
При построении поля событий  требуется выполнение следующих
условий:
1) само множество Ω является элементом поля событий  и называется
достоверным событием;
2) пустое множество элементарных исходов тоже является элементом
поля событий  , и называется невозможным событием и обозначается  ;
3) если A – событие, то множество всех элементарных событий, не
входящих в A, (то есть Ω\A – дополнение А) тоже событие; его обозначают A
и называют противоположным событию A (рис. 1);
4) если А1, А2, .., Аn, ... – события, то их объединение и пересечение
тоже являются событиями.
При этом объединение событий A и B (обозначается A  B ) – множество
элементарных исходов, входящих хотя бы в одно из двух событий A или B
(рис. 2); пересечение событий A и B (обозначается A  B ) – множество
элементарных исходов, входящих одновременно и в A, и в B (рис. 3);

A

A
B
1) A   \ A

A
A
B
2) A  B
3) A  B

B
4) A  B  
События A и B называются несовместными, если A  B   . (см. рис. 4).
Если множество элементарных исходов Ω конечно или счетно, то есть
его элементы можно занумеровать, то обычно все элементарные исходы
считаются событиями, то есть в качестве поля событий  берутся
всевозможные подмножества Ω, при этом выполняются все перечисленные
выше условия.
Вероятность
На поле событий  зададим числовую функцию P – вероятность, для
которой справедливы следующие так называемые аксиомы вероятности:
1) для любого события A вероятность P ( A)  0 (неотрицательность
Р(А));
2) для достоверного события Ω вероятность P(Ω)=1 (нормированность
Р(А));
3) для любой последовательности попарно несовместных событий А1,
А2, .., Аn,..., (т.е. Ai  A j   ) справедливо равенство
i j
  
P  Ai    P( Ai ).
 i 1  i 1
(счетная аддитивность вероятности Р(А)).
Из аксиом вероятности вытекает ряд свойств вероятности:
1) 0  P( A)  1;
2) P()  0;
3) P( A )  1  P( A);
4) если A  B , то P( A)  P( B) ;
5) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) .
6) P( A1  A2  ...  An )  1  P( A1  A2  ...  An ).
Вероятностное пространство
Пространством вероятностей или вероятностным пространством,
называется
совокупность
трех
объектов:
пространства
элементарных
событий Ω, поля событий  и заданной на поле событий вероятности Р(А),
то есть тройка (Ω,  , P(A)).
Изложенная выше общая математическая модель реализуется поразному в зависимости от класса рассматриваемых задач.
Например, задачи, приводящие к вероятностной модели, в которой
вероятностное пространство Ω конечно, и все элементарные исходы –
равновероятные события, называются задачами на непосредственный
подсчет вероятностей.
В этом случае вероятность события А равна
отношению количества благоприятных элементарных исходов к количеству
всех элементарных исходов:
P( A) 
количество благоприят ных исходов
.
общее количество элементарных исходов
Так в нашем примере при бросании игральной кости вероятность
выпадения четного числа очков Р(А) = 3/6 = 0,5.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется пространством вероятностей?
2. Дайте определение случайного события.
3. Что такое вероятность, и какие значения она может иметь?
4. Какие события называются несовместными?
5. Какая модель пространства вероятностей называется классической?
6. Чему равна вероятность события в классической модели?