Элементы теории множества

Элементы теории множеств
Понятие множества является фундаментальным первичным понятием.
Это понятие не определяется, а лишь поясняется и иллюстрируется
примерами. Под множеством будем понимать совокупность элементов
(объектов), характерных некоторым общим признаком. Множество считается
заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит
он этому множеству или нет.
Примеры: множество студентов в группе, множество букв в алфавите,
N, R, и т. д.
Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами
A,B,X,Y, а их элементы – строчными буквами. Запись А= {a,b,c,..x,y,..}
означает, что множество А состоит из элементов a,b,c,..x,y,.. а ∈А – элемент а
принадлежит множеству А.
Множество, не содержащее ни оного элемента, называют пустым
множеством (Ø). Пример: множество действительных
корней уравнения
х2+1=0.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех
же элементов. То есть равенство А=B означает, что если х ∈ А=>х ∈ В и если
у ∈ В=>у ∈ А.
Если элементы конечного множества как-либо перенумерованы, то
будем считать, что это множество упорядочено (по росту, весу, алфавиту).
Множество, количество элементов которого выражается некоторым
числом, называется конечным. Конечное множество можно задать списком
его элементов.
N, Z… - бесконечные множества.
Подмножество
Множество А называется подмножеством множества В, если любой
элемент множества А принадлежит множеству В. Этот факт записывается в
виде А ⊂ В или В ⊃ А (множество А содержится в множестве В).
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R т. к. Всякое натуральное является целым, всякое целое
рациональным.
Пример. А={1,2}, B={1,2,3} A ⊂ B ∀ множества Х Ø ⊂ Х
Очевидно, что А ⊂ А.
Если А ⊂ В и В ⊂ А, то А=В
Перечислим все подмножества двух элементного множества Х={a,b}.
Это: Ø, {a}, {b}, X – 4 подмножества.
Операции над множествами. Пересечение
Множество,
состоящее
из
всех
элементов,
принадлежащих
и
множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В и
обозначается А ∩ В. А ∩ В={x|x ∈ A и x ∈ B}.
А ∩ В есть общая часть А и В.
{1,3,5,7} ∩ {1,4,7,9}={1,7}.
Если схематически изобразить множества кругами, то операция
пересечения выглядит так:
А
В
А∩В
Если множества А и В не имеют общих элементов, то А ∩ В= Ø;
А ∩ Ø= Ø. Если А ⊂ В, то очевидно А ∩ В=А. Аналогично, для трех множеств
А, В, С определяется понятие пересечения, то есть это множество, состоящее
из элементов, принадлежащих и А и В, и С.
Объединение
Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или
множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и В и
обозначается А ∪ В.
А ∪ В={x|x ∈ A или x ∈ B}
{1,3,5,7} ∩ {1,4,7,9}={1,3,4,5,7,9}
А
В
А∪ В
Если А ⊂ В, то А ∪ В=В.
Разность
Разностью множества А и В называется множество, обозначаемое А\В,
состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежит
множеству В.
А\В={x|x ∈ A, x ∉ B}
А={0,1,3,5}; B={1,2,3,4}
A\B={0,5}
B
A
B
A
A\B
B\A
Часто ограничиваются рассмотрением всевозможных подмножеств
одного и того же множества, которое в этом случае называется
универсальным. Обозначим его буковой Е.
Дополнением множества А ⊂ Е называется множество Ā, состоящее из
всех элементов х ∈ Е, не принадлежащих А, то есть Ā=Е\А. То есть все те
элементы, которые не принадлежат множеству А, образуют его дополнение
Ā. Следовательно, А ∩ Ā= Ø.
Е
Ā
А
А ∪ Ā=Е, Ø=Е
Свойства: объединение и пересечение обладают многими свойствам,
аналогичными свойствам суммы и произведения чисел
Ā=А
А ∩ (В ∩ С)=(А ∩ В) ∩ С
А ∪ (В ∪ С)=(А ∪ В) ∪ С
А ∪ (В ∩ С)=(А ∪ В) ∩ (А ∪ С)
А ∩ (В ∪ С)=(А ∩ В) ∪ (А ∩ С)
А∩ В = А∪ В
А∪ В = А∩ В
А∩ В
(
)
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∪ B ⇔ x ∈ A, x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B
Элементы комбинаторики
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются
вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным
условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному
множеству. Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию
вероятностей, поскольку методы комбинаторики помогают в теории
вероятностей осуществить подсчет числа возможных исходов и числа
благоприятных исходов в разных конкретных случаях.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим 2
действия. Первое действие можно выполнить m разными способами, после
чего второе действие можно выполнить n разными способами. Тогда оба
действия вместе можно выполнить mn различными способами.
Пример. В группе из 20 человек должен быть выбран староста и его
заместитель. Сколькими способами это можно сделать, если каждый студент
может быть избран на одну из этих должностей.
Решение: 20 способов выбора старосты; 19 – зама. 20*19=380 способов.
Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из
цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры могут повторяться.
А1А2А3
4*5*3=60
Для любого натурального числа n, произведение, 1*2…n обозначается
n! 1!=1; 2!=1*2…
Задача о числе размещений
Сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным
местам m из n разных предметов? Количество всех таких способов принято
обозначать Аnm .
Пусть имеется множество Х содержащее n элементов. Упорядоченное
подмножество множества Х, содержащее m элементов (m<=n) называется
размещением из n элементов по m.
Размещения из n элементов по m элементов – это все m-элементные
подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их
следования.
Теорема. Аnm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1), m>0, то есть число размещений из
n элементов по m элементов равно произведению m последовательных
натуральных чисел от n до n-m+1 включительно.
Доказательство вытекает из правила умножения:
Аnm =
n!
n(n − 1)...(n − m + 1)(n − m)...1
=
= n(n − 1)...(n − m + 1).
(n − m)!
(n − m)(n − m − 1)...1
Пример. В 7-м классе изучается 14 предметов. Сколькими спопосбами
можно составить расписание на субботу, если в этот день недели должно
быть 5 уроков.
5
=14*13*12*11*10=240240
А14
Задача о числе перестановок
Сколькими способами можно переставить n разных предметов,
расположенных на n разных местах (Рn).
Перестановки из трех элементов авс асв вас вса сав сва 6 штук.
Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов
по n элементов.
Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то
различные перестановки отличаются друг от друга только порядком
элементов: Р3=6
Теорема Рn=n!
Доказательство: Pn= Аnn =n!
Пример. Сколькими способами можно установить очередь из четырех
человек:
Р4=4!=1*2*3*4=24
Задача о числе сочетаний
Сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?
Количество этих способов – Cnm.
Сочетанием из n элементов по m элементов называется m-элементное
подмножество n-элементного множества.
Различными подмножествами считаются только те, которые имеют
неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от
друга только порядком следования элементов, не считаются различными.
Теорема.
Сnm
Anm n(n − 1)(n − m + 1)
n!
=
=
=
m!
m!
m!(n − m)!
Доказательство. Anm = Pm C nm . Действительно, пусть есть сочетание из n
по
m.
Это
m-элементное
подмножество
n-элементного
множества.
Рассмотрим все возможные перестановки этого подмножества. Их будет m!
Значит,
Аnm
в m! Раз больше чем
С nm ,
то
есть Сnm
Anm
=
.
m!
Пример. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 человек,
можно образовать из 12 преподавателей?
5
С12
=
12! 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
=
= 11 ⋅ 9 ⋅ 8 = 792
5!7!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
Пример. В чемпионате страны по футболу участвуют 16 команд,
причем каждые 2 команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей
играется в течение сезона
2
=
В 1-м круге С16
16! 16 ⋅ 15
=
= 8 ⋅ 15 = 120
2!14!
2
Во втором круге 120. 120+120=240
Теория вероятностей
Теория вероятностей зародилась в XVI веке из попыток дать теорию
распространенных в ту эпоху азартных игр. Торталья, Кардано и другие
производили теоретический подсчет вероятности, с которой может появиться
та или иная комбинация очков при игре в кости. На примерах отдельных
задач, разбиравшихся этими учеными, складывались первые понятия и
простейшие теоремы теории вероятностей.
Если в начале своего существования теория вероятностей состояла из
объяснений различных казусов, к которым приводили игры и лотереи, то с
течением времени области, охватываемые теорией вероятности становились
все шире и серьезнее. Так очень скоро теория вероятностей стала
применяться в страховом деле, а в конце XVIII века Лаплас развил на
основании теории вероятностей теорию ошибок наблюдений, имевшую
важное значение для астрономии. Теория вероятностей используется: в
теории стрельбы, в телефонии, страховом деле, в машиностроении в виде
теории допусков и т. д.
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений.
Основным понятием теории вероятностей является понятие события.
Событием можно считать все то, что может произойти или не произойти при
осуществлении
определенного
комплекса
условий;
каждое
такое
осуществление называется испытанием. Например, событие может состоять в
выпадении герба бри бросании монеты; в этом случае испытанием будет
служить бросание монеты. Событие может состоять в том, что завтра пойдет
дождь, тогда испытание будет состоять просто в наступлении дня.
Характерной чертой случайного события является то, что в результате
испытания оно происходит не обязательно.
Событием называется результат испытания (опыта), произведенного
при определенной совокупности условий.
При бросании монеты возможны 2 события: А – выпадение герба, В –
выпадение решетки.
События можно подразделить на следующие 3 вида: достоверные,
невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при
данном испытании.
Невозможным называют событие, которое заведомом не произойдет в
данном испытании.
Например, если в урне находятся только черные шары, то извлечение
из урны белого шара – невозможное событие.
Случайным называется событие, которое в данном опыте может
произойти, а может и не произойти.
При бросании монеты выпал герб – случайное событие.
Каждое случайное событие, в частности, выпадение «герба», есть
следствие действия очень многих случайных причин (сила с которой
брошена монета, форма монеты и др.). Невозможно учесть влияние на
результат всех этих причин. Поэтому теория вероятностей не ставит перед
собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет.
По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события,
которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же
условий.
Оказывается,
что
достаточно
большое
число
однородных
случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется
вероятностным закономерностям.
Нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но
можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений
герба, если монета будет брошена достаточно большое число раз.
2 события называют несовместными, если они не могут произойти
вместе при одном и том же испытании.
Пример: Испытание – стрельба
А – попадание в цель;
В – непопадание в цель
А и В – несовместны.
2 события называют совместными, если появление одного из них не
исключает появление другого в этом опыте.
Множество событий А1, А2…Аn называют полной группой событий,
если они попарно-несовместны: появление одного и только одного из них
является достоверным событием.
Рассмотрим события, появляющиеся при бросании игральной кости (то
есть кубика, на гранях которого написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 или
изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Если кость упадет, то
верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Пусть ωк – выпало
число K, события ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 образуют полную группу: они
попарно-несовместны; появление одного и только одного из них будет
достоверным событием.
Множество событий Ω является пространством элементарных событий,
если выполняется следующее: в результате проведения эксперимента всегда
происходит только одно событие. Множество Ω может быть конечным или
бесконечным. Пространство элементарных событий считается заданным,
если известны все его элементы.
В самых простых экспериментах мы обычно имеет дело с конечными
пространствами элементарных событий.
Если подбрасывается монета Ω={Г, Р}, кость Ω={{1}, {2}, 3, 4, 5, 6}.
Элементы пространства Ω мы будем обозначать буквой ω и называть их
элементарными событиями (или элементарными исходами).
Само
понятие
пространства
элементарных
событий
является
исходным, определения ему не дается.
Введя понятие пространства элементарных
событий определение
события можно дать так. Событием (случайным) называется любой
подмножество А ⊂ Ω элементов множества Ω (событие А произошло, если
произошло какое-нибудь из элементарных событий ω ∈А).
Пусть событие А состоит в появлении нечетного числа очков на грани.
Этому событию благоприятствуют элементарные события ω1, ω3, ω5, то есть
некоторое подмножество множества всех элементарных исходов ω1, ω2, ω3,
ω4, ω5, ω6.
Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате
данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство
элементарных событий образует полную группу попарно-несовместных
событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть
достоверное событие.
Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из событий А и В и обозначаемое А+В или
А ∪ В (А ∪ В состоит из элементарных событий, которые принадлежат хотя
бы одному из событий А или В).
Произведением
двух событий А и В называется событие,
обозначаемое АВ или А ∩ В (А ∩ В состоит из элементарных событий
одновременно входящих в А и в В).
Пример: событие А – попадание в цель и одного орудия. Событие В –
попадание в цель из второго орудия.
А+В – попадание в цель хотя бы из одного орудия А или В или
попадание в цель из двух орудий.
АВ – попадание в цель из двух орудий.
Разностью событий А и В называется событие, которое обозначается
А\В состоящее в том, что происходит событие А и не происходит событие В
(А\В состоит из элементарных событий, вошедших в А и не вошедших в В).
Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.
А и В – несовместны, если АВ= Ø.
Два события называются противоположными, если появление одного
из них равносильно непоявлению другого. Если одно из протекающих
событий обозначено буквой А, то второе Ā (Ā= Ω\А – дополнительное
событие к событию А).
Классическое определение вероятности.
Для количественной оценки возможности появления случайного
события А вводится понятие вероятности.
Классическое определение вероятности исходит из соображений
равновозможности событий, как объективного свойства, основанного на
симметрии.
Наприме, при бросании монеты события ωР и ωГ – равновозможны, так
как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала,
имеет правильную форму и т. д. При бросании игральной кости события ω1,
ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 также равновозможны, так как предполагается, что кость
имеет правильную форму куба и изготовленаиз однородного материала.
Пусть пространство Ω состоит из конечного числа равносвозможных
элементарных исходов Ω={ ω1, ω2,..ωn }. Элементарные события ω при
которых происходит событие А будем называть благоприятствующими
этому событию. Так, например, в случае с игрой костью, А – выпадение
четного числа очков, тогда события ω2, ω4, ω6 – благоприятствующие
событию А.
Определение. Под вероятностью Р(А) события А понимается
отношение
числа
равновозможных
элементарных
исходов,
благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозмжных и
единственно возможных элементарных исходов данного испытания.
То есть если m – число элементарных исходов, благоприятствующих
событию А, и n – общее число всех элементарных исходов, то Р(А)=
m
.
n
Это определение называется классическим.
Свойства:
1. Р(Ω)=1, так как m=n;
2. Р(Ø)=0, так как m=0;
3. 0<=P(A)<=1, так как 0<=m<=n
Примеры:
1. Найти вероятность того, что при бросании игровой кости выпадет
четное число очков.
Ω={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}; А={ ω2, ω4, ω6}
n=6
P(A)=
m=3
m 3 1
= =
n 6 2
2. В ящике 3 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность
вынуть из ящика черный шар.
n=3+4+5=12; m=4
P(A)=
4 1
=
12 3
Геометрическое определение
Классическое определение вероятности предполагает, что число всех
элементарных исходов конечно и неприменимо к испытаниям с бесконечным
числом исходов.
Введем понятие геометрической вероятности – вероятности попадания
точки в область. Когда говорят «в некоторую область брошена точка» имеют
в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь по
сравнению с размерами данных областей (например поперечным сечением
пули по сравнению с площадью мишени).
Область
–
это
может
быть отрезок,
часть
плоскости,
часть
пространства.
Пусть отрезок [a,b] ⊂ [A,B].
А
a
b
B
На отрезок [A,B] наудачу бросается точка. Предполагается выполнение
следующих условий: брошенная точка может оказаться в ∀ -й точке отрезка
[A,B], вероятность попадания точки на отрезок [a,b] пропорциональна длине
этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка [A,B].
В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок [a,b]
определяется равенством:
Р=
длина[а; b] b − a
=
длина[ A, B ] B − A
Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при
бросании точки на плоскую фигуру G.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G.
G
g
На фигуру G наудачу брошена тока. Выполняются предположения:
брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность
попадания точки на g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит
ни от ее расположения относительно G, ни от формы g.
Тогда Р=
Площадьg
ПлощадьG
Приведенные определения являются частными случаями общего
определения геометрической вероятности.
Если обозначить меру области g (длину, площадь, объем) через mesg, а
меру области G через mesG, то вероятность попадания в область g – часть
области G, точки равна:
Р=
mesg
mesG