1. Случайные события. Вероятность

1. Случайные события. Вероятность
1.0. Введение
В настоящей главе содержится учебный материал по теме «Вероятность
случайного события». Рассмотрены все основные понятия и результаты,
относящиеся к этой теме:
- пространство элементарных исходов;
- случайные события, их свойства и действия над ними;
- определения и свойства вероятности: классическая и геометрическая
схемы, аксиоматический подход;
- схема Бернулли повторных испытаний;
- условные вероятности, независимость событий;
- формулы полной вероятности и Байеса;
- подсчёт вероятностей сложных событий.
Основное внимание уделено простоте и доступности изложения материала,
возможности его изучения в режиме самостоятельной работы. С этой целью
разобрано большое количество примеров, наглядно иллюстрирующих
рассматриваемые понятия и результаты. Часть примеров посвящены наиболее
распространённым ошибкам, которые встречаются при решении задач по теме.
Изложение сопровождается упражнениями, которые предлагается выполнить
самостоятельно. Весь теоретический материал (доказательство теорем и других
утверждений, вывод основных формул) распределён по примерам и
упражнениям. Упражнения снабжены ответами и, в случае необходимости,
указаниями. Кроме того, дополнительно указаны задачи, которые рекомендуется
решить для закрепления знаний и навыков, а также источники, содержащие
теоретический материал по данному разделу темы. Каждый раздел
заканчивается контрольными вопросами, относящимися ко всем новыми
понятиям и результатам, рассмотренным в нём.
В конце главы предложены контрольная работа (6 вариантов) и два
заключительных теста по 10 задач по темам этой главы. Приведены решения
задач одного из вариантов контрольной работы.
Опишем порядок работы с методическим материалом данной главы.
1. Внимательно ознакомиться с определениями новых понятий и связанными
с ними результатами. Запомнить их.
2. Разобрать приведённые примеры и убедиться в правильности всех
выкладок.
3. Выполнить упражнения и сравнить полученные результаты с ответами.
4. Решить задачи, рекомендованные для самостоятельного решения.
5. Ознакомиться с рекомендованным теоретическим материалом.
6. Ответить письменно на контрольные вопросы к изучаемому разделу и
проверить правильность ответов, вернувшись к соответствующему материалу
этого раздела. Если ответы на часть вопросов оказались ошибочными, повторить
ответы на них через некоторое время.
По окончании изучения материала данной главы необходимо проверить
качество собственных знаний и навыков следующим образом.
1. Попытаться решить задачи контрольной работы (вариант 1). На решение
отвести 80 минут.
2. По окончании контрольной работы сравнить собственные решения задач с
правильными решениями, приведёнными в конце главы. В случае совпадения не
только полученного ответа с правильным ответом, но и решения задачи с
правильным решением считать данную задачу решённой. Если эти условия не
выполнены, то решение задачи не засчитывается.
3. По результатам п.2 определить оценку за контрольную работу следующим
образом:
Число решённых задач
Оценка
6
5
отлично
4
3
хорошо
удовл.
2
1
0
неуд.
4. Для окончательной оценки результатов изучения темы необходимо
выполнить тестовые работы (2 теста по 10 заданий). Время решения задач
каждого теста - 1,5 часа. Правильность решения задач и ответов на вопросы
контролируется по ответам. Критерий оценки выполнения тестовой работы:
Число выполненных заданий
9-10
7-8
5-6
<6
Оценка
отлично
хорошо
удовл.
неуд.
Переход к изучению материала следующей главы возможен только при
достижении положительных оценок по контрольной работе и тестовому
заданию.
Желаем успеха!
1.1. Пространство элементарных исходов
Теория вероятностей изучает случайные явления не непосредственно, а с
помощью идеализированных математических моделей случайных опытов.
Всякий
случайный
опыт
(испытание,
эксперимент)
состоит
в
осуществлении некоторого комплекса условий и наблюдении результата. Любой
наблюдаемый
результат
опыта
интерпретируется
как
случайный
исход
(случайное событие). Случайное событие в результате опыта может произойти, а
может и не произойти.
Каждому опыту ставится в соответствие пространство элементарных
исходов  . Это множество простейших (т.е. неразложимых в рамках данного
опыта на более простые) взаимоисключающих исходов , таких, что
результатом эксперимента всегда является один и только один исход  .
Пример 1.1.1.
Опыт состоит в бросании одной правильной шестигранной игральной кости
и наблюдении числа выпавших очков.
Элементарные исходы: i  {выпало i очков}, i  1, 2, ... , 6 .
Неэлементарные исходы (события):
A ={выпало чётное число очков},
B ={выпало число очков, большее, чем 2} и т.п. Исход
A
не является
элементарным, т.к. он разлагается на более простые исходы 2 , 4 , 6 .
Пространство элементарных исходов данного случайного опыта   k 6k 1
состоит из шести элементов.
Пример 1.1.2.
Опыт состоит в бросании двух монет и наблюдении выпавших сторон
(«герб», «решка») этих монет.
В зависимости от условияй опыта возможны варианты:
а) монеты неразличимы;
б) монеты различимы, например пронумерованы.
Элементарные исходы:
а) 1  {выпали два герба}, 2  {выпали: один герб и одна решка},
3  {выпали две решки};
б) 1  {гг} (выпали два герба), 2  {гр} (на первой монете – герб, на второй
– решка), 3  {рг} (на первой монете – решка, на второй – герб), 4  {рр}(
выпали две решки).
Неэлементарный исход: A  {выпал хотя бы один герб},
Пространство элементарных исходов: в случае а) состоит из трёх
элементов, в случае б) – из четырёх элементов.
Пример 1.1.3.
Опыт состоит в регистрации числа элементарных часиц, появившихся в
процессе радиактивного распада на определённом промежутке времени.
i .
Элементарные исходы – целые неотрицательные числа: i  
Неэлементарный исход: A  {появилось более 100 частиц}.
Пространство элементарных исходов:   0, 1, 2, ... - счётное множество
всех целых неотрицательных чисел.
Пример 1.1.4.
Опыт состоит в том, что производится один выстрел по плоской мишени и
наблюдаеся точка попадания пули. Размером пули можно пренебречь.
Элементарные исходы – точки мишени. Если ввести декартову систему
координат, то в качестве элементарных исходов можно рассматривать пары
чисел x, y  - координаты этих точек. Естественна идеализация: считаем мишень
бесконечной. Тогда x, y   R 2 .
Неэлементарный исход: A  {расстояние от точки попадания до центра
мишени не превосходит 10 см}.
Пространство элементарных исходов:
  R 2   x, y     x  ,    y  .
Упражнения
Для следующих случайных опытов:
а) указать элементарные исходы;
б) привести пример случайного события, не являющегося элементарным
исходом;
в) описать пространство элементарных исходов  и в случае, если оно
конечно, указать число его элементов N   .
1.1.1. Подбрасывают две игральные кости и фиксируют выпавшие очки.
По условиям опыта кости неразличимы.
1.1.2. То же, что и в 1.2.1, но кости различимы.
1.1.3. Четыре разные буквы написаны на четырёх карточках. Случайным
образом последовательно выбирают 3 карточки и наблюдают выложенное из
них «слово».
1.1.4. На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи – белую
и чёрную и наблюдают полученную расстановку этих фигур.
1.1.5. То же, что и в 1.1.4., но обе ладьи белые и по условиям опыта нет
возможности их различить.
1.1.6. Три студента случайным образом становятся в очередь за
учебниками.
Ответы к упражнениям
1.1.1. а) A  {сумма очков больше 3}; в) N    21 .
1.1.2. в) N    36 .
1.1.3. в) N    24 .
1.1.4. в) N    64  63  4032 .
1.1.5. в) N    64  63 : 2  2016 .
1.1.6. в) N    6 .
1.2. Случайные события, действия над ними
Любое подмножество пространства элементарных исходов

будем
называть случайным событием. Заметим, что при математически строгом
подходе это определение должно быть уточнено, если  не является конечным
или счётным множеством. Однако такое уточнение необходимо лишь для
построения теории вероятностей как раздела современной математики,
оперирующей
логически
безупречными,
но
зачастую
сложными
для
неподготовленного читателя понятиями. К тому же подмножества пространства
 , не являющиеся, строго говоря, событиями, представляют собой чистую
математическую абстракцию и не встречаются в практических задачах. Поэтому
в дальнейшем любое подмножество из  мы будем рассматривать как случайное
событие или просто событие.
Считается, что событие A произошло (наступило, реализовалось), если
результатом случайного опыта явился какой-либо из элементарных исходов,
входящих в подмножество A   .
Пример 1.2.1.
В примере 1.2.1 показано, что при бросании одной игральной кости
  k 6k 1 . Рассмотрим события: A  {выпало 3 очка}, B  {число очков кратно
трём}, C  {число очков нечётно}, D  {число очков не меньше двух}.
◄Очевидно, A  3 , B  3 , 6 , C  1 , 3 , 5  ,
D  2 , 3 , 4 , 5 , 6 .►
Пример 1.2.2.
В примере 1.1.4 рассмотрен опыт, связанный со стрельбой по бесконечной
плоской
мишени.
В этом случае пространство элементарных исходов
  R 2   x, y     x  ,    y  . Введём декартову прямоугольную систему
координат с началом в центре мишени и единицей масштаба по осям 1 см. Тогда
событие A  {расстояние от точки попадания до центра мишени не превосходит


10 см} представляет собой подмножество A  x, y  x 2  y 2  100 пространства  .
Задание для самостоятельной работы
1. Решите задачи: [1], №№ 18.1 – 18.8.
Опишем основные понятия, связанные со случайными событиями.
Для
иллюстрации
этих
понятий
будем
использовать
события,
соответствующие случайному опыту из примера 1.2.1 (бросание одной
правильной шестигранной игральной кости). В этом случае элементарными
являются исходы i  {выпало i очков}, i  1, 2, ... , 6 .
1.
Событие
A,
состоящее
из
всех
элементарных
соответствующих данному случайному опыту, называется
исходов,
достоверным
событием. Таким образом, достоверное событие  обязательно происходит в
данном опыте.
  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
2. Событие
A   , не содержащее ни одного элементарного исхода,
называется невозможным событием. Очевидно, невозможное событие 
никогда не происходит в данном опыте.
A  {выпало 10 очков}= 
– невозможное событие, т.к. не существует
элементарных исходов данного опыта, приводящих к появлению события А.
3. Событие A влечёт за собой событие B (обозначение: A  B ), если любой
элементарный исход, входящий в A , принадлежит и событию B . Таким образом,
если A  B , то при каждом появлении события A происходит и событие B .
Если A  B и B  A , то A и B называют эквивалентными событиями и
пишут A  B .
A  3 , B  {выпало нечётное число очков}= 1 , 3 , 5   A  B .
4. Суммой событий A и B называется событие A  B , состоящее из тех
элементарных исходов, которые входят хотя бы в одно из подмножеств A или
B . Итак, событие A  B происходит тогда и только тогда, когда появляется хотя
бы одно из событий A или В.
A  2 , 3 , 4 , B  3 , 4 , 5   A  B  2 , 3 , 4 , 5 .
5. Произведением событий A и B называется событие AB , состоящее из тех
и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и подмножеству A , и
подмножеству B , т.е. событие AB происходит тогда и только тогда, когда
события A и B появляются вместе.
A  2 , 3 , 4 , B  3 , 4 , 5   AB  3 , 4 .
6. Разностью событий A и B называется событие A  B , состоящее из тех
элементарных исходов, которые входят в подмножество A , но не принадлежат
подмножеству B . Таким образом, событие A  B происходит тогда и только
тогда, когда происходит событие A , но не происходит событие B .
A  2 , 3 , 4 , B  3 , 4 , 5   A  B  2 .
7. События A и B называются несовместными событиями, если не
существует элементарных исходов, принадлежащих подмножествам A и B
одновременно. Другими словами, события A и B несовместны, если их
одновременное появление невозможно, т.е. AB   . В противном случае события
A и B называют совместными.
A  3 , 4 , B  1 , 5 , 6   A и B несовместны, AB   .
8. Событие A , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в
подмножество A , называют противоположным к событию A . Таким образом,
A есть событие, состоящее в том, что событие A не произошло.
A  3 , 4  A  1, 2 , 5 , 6 .
Для наглядного представления множеств и событий используют диаграммы
Венна. На них пространство  изображается в виде прямоугольника, в котором
каждая точка соответствует элементарному исходу. События (подмножества)
изображаются в виде областей этого прямоугольника.
Таблица 1.2.1
Наименова
Для множеств
ние операции
Диаграмма
Для событий
Венна
АВ отношение
следования
Множество А есть
подмножество
множества В
Событие А влечет за
собой событие В:
если произошло А, то
появляется и В
А+В - сумма
АВ–объединение
множеств А и В
Сумма событий произошло хотя бы одно
из событий А или В
АВ –
произведение
A B пересечение
множеств А и В
Произведение событий события А и В произошли
вместе
А-В разность
A \ B - разность
множеств А и В
Разность cобытий произошло событие А, но
не произошло В
A отрицание
 \ A дополнение
множества А до
пространства 
Предположим,
что
опыт

B
А
Противоположное
событие - событие А не
произошло
состоит
в
случайном
выборе
точки
в
прямоугольнике. Тогда, если выбранная точка попадает в изображённую на
диаграмме область, то происходит соответствующее событие. Соответствие
некоторых операций над событиями и множествами показано в табл. 1.2.1.
Рассмотрим свойства операций над событиями.
1. Коммутативность сложения и умножения:
A  B  B  A;
AB  BA .
2. Ассоциативность сложения и умножения:
A  B  C    A  B   C ; ABC    AB C .
3. Дистрибутивность:
а) умножения относительно сложения
 A  B C  AC  BC ;
(1.2.1)
б) сложения относительно умножения
AB  C   A  C B  C  .
(1.2.2)
Свойство (1.2.1) позволяет «раскрывать скобки», как в обычной алгебре
действительных чисел, а из (1.2.2) следует, что свойства операций сложения и
умножения для чисел и событий различаются.
Пример 1.2.3.
Докажем соотношение (1.2.1).
◄Пусть элементарный исход    A  B C . Это означает, что   C и 
принадлежит хотя бы одному из событий A или B . Поэтому  принадлежит
хотя бы одному из событий AC или BC , т.е.   AC  BC . В силу произвольности
   A  B C это означает, что
 A  B C  AC  BC .
(1.2.3)
Предположим теперь, что   AC  BC . Тогда   C и, кроме того, 
принадлежит хотя бы одному из событий A или B , т.е. принадлежит сумме
A  B . Это значит, что    A  B C и, в силу произвольности исхода   AC  BC ,
получаем:
AC  BC   A  B C .
Из соотношений (1.2.3) и (1.2.4) следует (1.2.1).►
Упражнения
1.2.1. Убедитесь с помощью определений, что:
а) A  B  AB ;
б) A  A   ;
в) A  A .
1.2.2. Докажите простейшие законы поглощения:
(1.2.4)
A  A  A ; AA  A ; A  =  ; A   = A ; A  A ; A     .
1.2.3. Пусть A  B   . Означает ли это, что B  A ? Ответ обосновать.
1.2.4. Верны ли соотношения:
а) A  B  A  B ;
б) AB  A B ? Ответ обоснуйте.
1.2.5. Докажите правила де Моргана:
а) A  B  A  B (отрицание суммы есть произведение отрицаний);
б) AB  A  B (отрицание произведения есть сумма отрицаний).
1.2.6. Используя результат упражнения 1.2.5, докажите правила де Моргана
для трёх событий:
а) A  B  C  A  B  C ;
б) ABC  A  B  C .
Замечание. Методом математической индукции можно доказать правила де
Моргана для любого конечного числа событий:
A1  A2  ...  An  A1 A2 ...An
(1.2.5)
A1 A2 ...An  A1  A2  ...  An
1.2.7. Проиллюстрируйте диаграммами Венна:
а) свойства дистрибутивности (1.2.1) и (1.2.2);
б) правила де Моргена для двух событий.
Пример 1.2.4.
Докажем дистрибутивность сложения относительно умножения (1.2.2).
◄Преобразуем левую часть соотношения (1.2.2) используя (1.2.1):
 A  C B  C   AB  AC  BC 
 AB  C  AB  C , что и
CC
A

B

  AB  
C 
 C  C

требовалось доказать.►
Пример 1.2.5.
Докажем, что  A  B   B  A  B , т.е. вычитание событий не является
ассоциативной операцией.
◄Преобразуем левую часть этого соотношения с учётом (1.2.2):
A  B  B 
AB  B   A  B B  B    A  B   A  B .►
Пример 1.2.6.
Пусть A  B . Покажем, что тогда  A  B   B  B .
◄Из условия A  B следует, что  A  B    (убедитесь!). Поэтому
A  B  B  
 B  B .►
Пример 1.2.7.
Покажем, что если A  B , то AB  A .
◄Пусть элементарный исход   AB . Тогда по определению произведения
событий   A , поэтому AB  A .
Далее, если   A , то при условии A  B имеем:   B , т.е.   AB , откуда
следует, что A  AB .
Итак, AB  A и A  AB , значит AB  A .►
Упражнения
1.2.8. Покажите, что если AB  A , то A  B .
1.2.9. Доказать: если A  B , то A  B  B .
1.2.10. Доказать, что если если A  B  A , то A  B .
Замечание: из примера 1.2.6 и упражнений 1.2.7 – 1.2.9 получаем важный
результат:
A  B  AB  A ;
A B  A B  B
1.2.11. Доказать: если A  B , то B  A  B  A .
1.2.12. Доказать, что B  B  A  AB .
Ответы к упражнениям
1.2.3. Нет.
1.2.4. Нет.
Контрольные вопросы
1. Что называют пространством элементарных исходов?
2. Что называется случайным событием?
3. Какие события называются достоверным событием и невозможным
событием?
4. В каких случаях говорят, что событие A влечёт за собой событие B и что
события A и B эквивалентны?
5. Перечислите известные Вам алгебраические операции над случайными
событиями и сформулируйте определения этих операций.
6. Какие два события называют несовместными?
7. Какие события называются противоположными?
8. Перечислите известные Вам свойства операций над событиями.
9. Обладает ли вычитание событий свойствами коммутативности и
ассоциативности?
1.3. Классическое определение вероятности
Вероятность P  A случайного события A – это мера возможности его
появления в данном опыте. Если принять P   0 и P    1 , то получим:
0  P  A  1 , хотя возможен и другой масштаб измерения вероятности.
В современной математике вероятность вводится аксиоматически. Но
прежде, чем перейти к аксиоматическому определению, рассмотрим другие
определения, которые возникли раньше.
Предположим, что пространство элементарных исходов  состоит из
конечного числа исходов и все они равновозможны.
События в случайном опыте называют равновозможными, если по условиям
этого опыта ни одно из них не является объективно более возможным, чем
другие. Например, равновозможными являются элементарные исходы опытов,
связанных с подбрасыванием монеты, игральной кости, с извлечением одной
карты из колоды карт и т.д.
Опыт, удовлетворяющий условиям: а) пространство его элементарных
исходов конечно; б) элементарные исходы равновозможны, называют
классической схемой.
Пусть N   - общее число элементарных исходов в пространстве  , а N  A число элементарных исходов, образующих событие A . Ещё N  A называют
числом исходов, благоприятствующих событию A . Тогда вероятностью
события A . называют отношение числа исходов, благоприятствующих этому
событию, к общему числу исходов:
P  A 
N  A
.
N  
(1.3.1)
Это определение принято называть классическим определением вероятности.
Пример 1.3.1.
Из 30 вопросов зачёта студент изучил 25. С какой вероятностью при
случайном выборе вопроса этот студент получит «хороший» вопрос?
◄В данном случае N    30 , N  A  25 , поэтому P A 
25 5
 .►
30 6
Из определения легко выводятся свойства классической вероятности:
1. P  A  0 для любого события A .
2. P    1 .
3. P A  B   P A  PB  для любых несовместных событий ( AB   ).
Оказывается,
что
эти свойства
классической
вероятности являются
основными, из них следуют другие важные свойства, например,
PA   1  P A ,
P    0 ,
P  A  P B  , при A  B
и другие.
При использовании формулы (1.3.1) для подсчёта вероятностей важно
следить за тем, чтобы все элементарные исходы опыта были равновозможными,
иначе возможны ошибки.
Пример 1.3.2.
Каждая из цифр 1, 2, 3 и 4 записана на отдельной карточке. Опыт состоит в
случайном последовательном выборе двух из этих карточек и фиксации
написанных на них цифр. При этом карточка, извлечённая из стопки первой,
возвращается в стопку перед извлечением второй карточки. По условиям опыта:
а) порядок, в котором были извлечены карточки, фиксируется, т.е.
случайными результатами опыта являются упорядоченные пары цифр k, l  ,
k , l  1, 2, 3, 4 ;
б) Порядок извлечения карточек не фиксируется, так что результатами опыта
являются неупорядоченные пары цифр k l  , k , l  1, 2, 3, 4 .
Рассмотрим пространства элементарных исходов  этого опыта.
◄а)   {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4),
(4,1),
(4,2),
(4,3),
(4,4)},
N    16 .
Элементарные
исходы
являются
равновозможными.
б)   {(1 1), (1 2), (1 3), (1 4), (2 2), (2 3), (2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, N    10 . В
данном случае элементарные исходы не равновозможны. Например, исход (2 1)
более вероятен, чем (1 1). Это можно объяснить тем, что первый из этих исходов
может появиться двумя способами: (1,2) или (2,1), а второй - только одним
способом.►
Пример 1.3.3.
В опыт, описанном в примере 1.3.2, внесено изменение: карточка,
извлечённая первой, не возвращается в стопку перед вторым извлечением.
Рассмотрим пространства  , соответствующие этому опыту.
◄а) (порядок цифр учитывается).   {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}, N    12 . Перечисленные элементарные
исходы являются равновозможными.
б) (порядок цифр не учитывается).   {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)},
N    6 . Эти элементарные исходы также являются равновозможными.►
Замечание.
В примере 1.3.2 рассмотрен частный случай опытов, состоящих в
последовательном случайном выборе элементов из заданного множества (в
данном случае – цифр) с возвращением. В таких опытах элементарные исходы
оказываются равновозможными только тогда, когда учитывается порядок
выбора элементов (случай а) из примера 1.3.2). Поэтому применять формулу
классической вероятности (1.3.1) в таких случаях (выбор с возвращением) можно
только при учёте порядка, в котором выбираются элементы, иначе мы получим
неверный результат.
Пример 1.3.4.
Найти вероятность события A  {сумма цифр на выбранных карточках не
меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.2.
◄Формула классической вероятности применима только при учёте порядка
цифр в паре (случай а)). Тогда N    16 , A  {(2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)},
т.е. N  A  6 , поэтому по формуле (2.1.1) находим: P A 
6 3
 .
16 8
Если не учитывать порядок цифр (случай б) примера 2.1.2), то получим
ошибочный результат: N    10 , A  {(2 4), (3 3), (3 4), (4 4)}, N  A  4 ,
P A 
4 2
 ►.
10 5
Замечание.
В своей книжке «Об открытиях, совершённых при игре в кости» Галлилей
описал следующий парадокс. При бросании двух правильных игральных костей
сумму очков, равную как 9, так и 10, можно получить двумя способами:
9=3+6=4+5; 10=4+6=5+5. Почему же тогда сумма 9 получается чаще, чем 10?
Объяснение парадокса состоит в том, что необходимо учитывать порядок
выпадения очков на костях. Тогда 9=3+6=6+3=4+5=5+4; 10=4+6=6+4=5+5, т.е.
сумму 9 можно получить четырьмя, а сумму 10 – только тремя способами,
поэтому шансы у суммы 9 предпочтительнее.
Следует отметить, что при рассмотрении подобных вопросов ошибались
даже такие великие математики, как Лейбниц и Даламбер. Так, однажды у
Даламбера спросили, с какой вероятностью монета, брошенная дважды, хотя бы
один раз выпадет гербом. Ответ учёного был 2 3 , т.к. он считал, что есть 3
возможных исхода (герб-герб, герб-решка, решка-решка) и среди них 2
благоприятствующих. Даламбер пренебрегал тем, что эти три возможных исхода
не равновозможны. Правильным ответом является
3
, поскольку из четырёх
4
равновозможных исходов (герб-герб, герб-решка, решка-герб, решка-решка) три
благоприятствуют указанному событию. Точка зрения Даламбера была даже
опубликована во Французской энциклопедии в 1754 г. в статье «Герб и решётка»
(“Croix on pile”).
Пример 1.3.5.
Найти вероятность события A  {сумма цифр на выбранных карточках не
меньше 6} в опыте, описанном в примере 1.3.3 (выбор без возвращения).
◄Поскольку обоим вариантам опыта (с учётом и без учёта порядка)
соответствуют пространства равновозможных элементарных исходов (см.
пример 1.3.3), то можно ожидать, что применение формулы (1.3.1) в случаях а) и
б) даст одинаковый результат.
а) N    12 ; A  {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т.е. N  A  4 и P A 
б) N    6 ; A  {(2 4), (3 4)}; N  A  2 ; P A   .
2
6
1
3
4 1
 .
12 3
Таким образом, как и ожидалось, вероятность P  A оказалась одной и той же
как при учёте порядка элементов (цифр), так и без его учёта.►
Замечание.
Итак, в опыте, описанном в примере 1.3.2 (выбор с возвращением),
элементарные исходы получаются равновозможными только если учитывается
порядок элементов, а в опыте из примера 1.3.3 (выбор без возвращения)
элементарные исходы равновозможны независимо от того, учитывается ли
порядок элементов.
Этот вывод сохраняет силу и в большинстве других подобных ситуаций,
возникающих при использовании классического подхода к вероятности. А
именно: в опытах по случайному выбору с возвращением определённого числа
элементов из заданного конечного множества следует учитывать порядок
элементов. Если же случайный выбор производится без возвращения, то порядок
элементов можно учитывать или не учитывать. Обычно в таких случаях
порядок не учитывают. Однако если описание случайного события включает в
себя учёт порядка элементов, то этот порядок следует учитывать.
Пример 1.3.6.
Найти вероятность события B  {число, составленное из цифр, записанных
на выбранных карточках в порядке их извлечения, превосходит 40} в опыте,
описанном в примере 1.3.3.
◄Опыт из примера 1.3.3 состоит в выборе двух цифр из четырёх без
возвращения. Поэтому, как представляется с первого взгляда, порядок
выбранных цифр можно не учитывать. Однако в данном случае событие B
таково, что его появление зависит, вообще говоря, от того, в каком порядке
выбраны одни и те же цифры. Например, если   (4,1), то B происходит, а если
  (1,4), то нет. Поэтому необходимо учитывать порядок (случай а) примера
1.3.3). Тогда N    12 ; B  {(4,1), (4,2), (4,3)}, N B   3 ; PB  
3 1
 ►.
12 4
Замечание
Предположим, что при определении общего числа равновозможных исходов
N   по той или иной причине порядок элементов учитывается. Тогда, очевидно,
при подсчёте числа благоприятствующих исходов N  A порядок также следует
учитывать. И наоборот, если порядок не учитывается, то это должно
соблюдаться при нахождении и N   , и N  A . При решении задач по
классической схеме часто допускают ошибку, состоящую в том, что при
подсчёте чисел N   и N  A используются разные подходы.
Пример 1.3.7.
Для опыта, описанного в примере 1.3.3 (выбор двух цифр из четырёх без
возвращения) найти вероятность событий A  {сумма цифр не меньше 6} и
B  {число, составленное из цифр в порядке их выбора, превосходит 40}.
◄Предположим, что мы решили сначала найти P B  . Тогда по
соображениям, изложенным в решении примера 1.3.6, порядок цифр следует
учитывать, поэтому N    12 , N B   3 , PB  
1
(см. пример 1.3.6).
4
Далее, находя P  A , мы можем ошибочно рассуждать так. Поскольку событие
A связано с тем же опытом, общее число элементарных исходов остаётся
неизменным: N    12 . А при нахождении N  A будем считать, что порядок
цифр не важен, т.к. опыт состоит в выборе цифр без возвращения и появление
события A не зависит от порядка цифр. Тогда A  {(2 4), (3 4)}, N  A  2 ,
P A 
2 1
 .
12 6
Правильное решение: при нахождении общего числа исходов N    12 мы
учитывали порядок цифр (не важно, по какой причине). Поэтому порядок цифр
необходимо учитывать и при подсчёте числа благоприятствующих исходов:
A  {(2,4), (3,4), (4,2), (4,3)}, т.е. N  A  4 . Окончательно, P A 
4 1
 , см также
12 3
пример 1.3.5.►
Упражнения
1.3.1. Из урны, в которой лежат K белых и L чёрных шаров, наудачу
выбирают один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.
1.3.2. Из урны, в которой лежат K белых и L чёрных шаров, наудачу
выбирают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. Затем
из урны выбирают второй шар. Найти вероятность того, что и этот шар - белый.
1.3.3. Из урны, в которой лежат K белых и L чёрных шаров, наудачу
выбирают один шар и, не глядя, откладывают его в сторону. Затем из урны
выбирают второй шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что и
первый шар, извлечённый из урны, - белый.
1.3.4. Из урны, в которой лежат K белых и L чёрных шаров, наудачу
выбирают без возвращения один за другим все шары, кроме одного. Найти
вероятность того, что этот, оставшийся в урне шар, - белый.
1.3.5. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятности
следующих событий: A  {появление чётного числа очков}, B  {появление
числа очков, большего 5}, C  {появление не более 5 очков}.
1.3.6. Игральную кость подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что
оба раза выпадет одно и то же число очков.
1.3.7. Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероятности
следующих событий: A  {сумма выпавших очков равна 8}, B  {произведение
выпавших очков равно 8}, C  {сумма выпавших очков больше, чем их
произведение}.
1.3.8. Бросают две монеты. Сравнить вероятности событий A  {монеты
легли одинаковыми сторонами} и B  {монеты легли разными сторонами}.
Ответы к упражнениям
1.3.1.
K
.
KL
1.3.2.
K 1
.
K  L 1
1.3.3.
K 1
K  L 1
1.3.4.
K
KL
1.3.5. P A  ; PB   ; PC   .
1
3
1
2
1.3.6.
5
6
1
.
6
1.3.7. P A 
5
1
11
, PB   , PC   .
36
18
36
1.3.8. P A  PB   .
1
2
При подсчёте количеств элементарных исходов
используют
следующее
утверждение
(его
легко
N  
и
N  A
доказать
часто
методом
математической индукции).
Пусть даны m групп элементов, причём i -я группа содержит N i элементов.
Опыт состоит в выборе m элементов – по одному элементу из каждой группы.
Тогда общее число N возможных способов выбора определяется основной
формулой комбинаторики
N  N 1 N 2 ... N m .
(1.3.2)
Пример 1.3.8.
Сколько трёхзначных чисел делятся без остатка на 5?
◄Запись трёхзначного числа состоит из трёх цифр. Первая (слева) цифра
может быть любой, кроме 0, т.к. иначе число не будет трёхзначным, т.е.
возможны N1  9 вариантов первой цифры. Вторая цифра может быть любой, т.е.
имеем N 2  10 вариантов второй цифры. Третья цифра числа, кратного 5, может
быть выбрана из N 3  2 вариантов (0 или 5). Таким образом, существует
N  N 1 N 2 N 3  9  10  2  180 чисел, указанных в условии.►
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.72 - 18.77.
При вычислении вероятностей, связанных с классической схемой, часто
используют формулы комбинаторики. Рассмотрим опыт с выбором m элементов
из множества, содержащего n элементов. Результат такого опыта называют
выборкой из n элементов по m или просто из n по m . Возможны следующие
варианты.
а) Каждый выбранный элемент после выбора не участвует в дальнейшем
выборе. Тогда говорят о выборке без повторений, т.к. в такой выборке все
элементы различны (не повторяются).
б) Выбранный элемент фиксируется и возвращается в группу из n
элементов, т.е. участвует в дальнейшем выборе. Таким образом, один и тот же
элемент может попасть в выборку и более одного раза. В этом случае получается
выборка с повторениями.
Далее, порядок выбора элементов можно не учитывать (тогда выборка
называется сочетанием) или учитывать (тогда получаем размещение).
Таким образом, получаются четыре основные разновидности выборки:
1. Сочетание из n по m без повторений или просто сочетание из n по m .
2. Размещение из n по m без повторений или просто размещение из n по m .
3. Сочетание из n по m с повторениями.
4. Размещение из n по m с повторениями.
Часто рассматривают частный случай размещения из
n
по m
без
повторений, когда m  n . Такая выборка называется перестановкой из n
элементов.
Опыт с выбором m элементов из множества, состоящего из n элементов
легко представить себе следующим образом. Пусть в урне лежат n различимых
(например, пронумерованных) шаров. Извлекая из урны m шаров, мы получаем
выборку из n по m .
При этом если извлекаемые шары в урну не возвращаются, а откладываются
в сторону без учёта прядка их поступления, то получается сочетание (без
повторений). Если же извлекаемые шары выкладывают в ряд в порядке
извлечения, то образуется размещение (без повторений). Далее, после каждого
извлечения можно записывать, какой шар был извлечён (шары различимы!) и
возвращать извлечённый шар в урну. Тогда сформируется либо сочетание с
повторениями (если в записях не фиксируется порядок поступления шаров из
урны), либо размещение с повторениями (если записи содержат информацию не
только о том, какие шары выбраны, но и в каком порядке).
Различные перестановки из n элементов отличаются друг от друга тем, что
одни и те же n элементов располагаются в выборках в разном порядке.
Приведём основные формулы комбинаторики.
1. Число сочетаний из n по m
Cnm 
n!
.
m! n  m !
(1.3.3)
2. Число размещений из n по m
Anm 
n!
 m!C nm .
n  m !
(1.3.4)
При m  n получаем число перестановок из n
Pn  Ann  n! .
3. Число сочетаний из n по m с повторениями
(1.3.5)
Cmn   Cnmm 1 
n  m  1! .
m! n  1!
(1.3.6)
4. Число размещений из n по m с повторениями
Amn   n m .
(1.3.7)
Перечислим основные правила использования этих формул с учётом
выводов, сделанных ранее (см. примеры 1.3.2 – 1.3.7 и замечания к ним).
1. При выборе нужной формулы для нахождения общего числа исходов N  
и числа благоприятствующих исходов N  A в большинстве случаев достаточно
ответить на два вопроса по поводу условий опыта. Первый из них: выбор
элементов проводится с возвращением или без него (т.е. получается выборка с
повторениями или нет), а второй – учитывается порядок элементов в выборке
или нет (выборка является размещением или сочетанием).
2. Если выбор проводится с возвращением, то при отсутствии указаний на
особые условия проведения опыта порядок элементов в выборке следует
учитывать, иначе элементарные исходы не будут равновозможными. Если же
выбор производится без возвращения, то порядок элементов можно учитывать
или не учитывать. Обычно он учитывается только в случаях, когда появление
рассматриваемого события зависит от порядка элементов.
3. Если при подсчёте общего числа исходов N   порядок элементов
учитывается (не учитывается), то его следует учитывать (не учитывать) и при
подсчёте числа благоприятствующих событию A исходов N  A .
Пример 1.3.9.
Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20
студентов) с помощью жеребьёвки выбираются три человека. С какой
вероятностью в представительство попадут только студенты из первой
половины списка группы (событие A )?
◄В данном случае происходит выбор из 20 по 3 без возвращения, т.е.
получаем выборку без повторений. Поэтому порядок можно не учитывать. Тогда
3
выборкой будет сочетание и N   C20
.
Число благоприятствующих исходов находим таким же образом, но
учитываем, что этим исходам соответствуют выборки из 10 (первая половина
3
списка) по 3: N  A  C10
.
Окончательно, P A 
3
C10
10!3!17! 10!17!
10  9  8
8
2
.





3
3!7!20!
7!20! 20  19  18 2 19  2 19
C20
3
3
Если бы мы учитывали порядок и считали N   A20
и N  A  A10
, то
получили бы: P A 
3
3
3
A10
C10
 3! C10
2
, т.е. тот же ответ.►



3
3
3
A20 C20  3! C20 19
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.78 - 18.80, 18.84.
Пример 1.3.10.
Для представительства в студенческом органе самоуправления от группы (20
студентов) с помощью жеребьёвки выбирают трёх человек: руководителя, его
заместителя и секретаря представительства.
С какой вероятностью в председателем будет студент из первой половины
списка, а остальные представители – из второй половины списка (событие A )?
◄В этом случае, как и в примере 1.3.9, происходит выбор из 20 по 3 без
возвращения, т.е. получаем выборку без повторений. Однако теперь порядок
необходимо учитывать, т.к. событие A зависит от порядка элементов. Например,
можно считать, что первый элемент выборки - председатель, второй заместитель и третий - секретарь. Поэтому выборкой в данном случае будет
3
размещение и N   A20
.
Найдём число благоприятствующих исходов N  A . Для этих исходов
председатель выбирается из десяти студентов (первая половина списка), т.е.
существует n1  10 вариантов выбора председателя. Остальные представители (2
человека в определённом порядке) выбираются также из десяти (вторая
половина
списка),
число
вариантов
этого
выбора
2
.
n2  A10
Поэтому
2
.
N  A  n1n2  10 A10
Окончательно, P A 
2
10 A10
10 10!17! 10  10  9
10
5
.►




3
8!20!
20  19  18 2  19  2 38
A20
Пример 1.3.11.
Студенты из группы (20 человек) сдают экзамен в случайной очерёдности. С
какой вероятностью первый по списку группы студент будет сдавать экзамен
первым, а двадцатый по списку студент – последним (событие A )?
◄Элементарные исходы – это перестановки из 20 элементов, их число
N    P20  20! .
Благоприятствующие событию A исходы – это выборки из тех же 20
элементов, различающиеся их порядком и содержащие два определённых
элемента (первый и последний по списку студенты) на первом и последнем
местах соответственно. Поэтому число благоприятствующих исходов равно
числу перестановок из 18 остальных элементов (студентов занимающих в
очереди места со 2-го по 19-е): N  A  18! .
Окончательно, P A 
18!
1
1


 0,00263 .
20! 20 19 380
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.87 - 18.93, 18.96, 18.97.
Пример 1.3.12.
В магазине работают 5 отделов, каждый отдел торгует товарами
определённого назначения. Десять покупателей вошли в магазин, каждый
обратился в нужный ему отдел. Считая любое распределение общего числа
покупателей по отделам равновероятным с остальными распределениями, найти
вероятности событий: A  {все покупатели обратились в один и тот же отдел}
B  {в каждый отдел обратилось по 2 покупателя}.
◄В данном случае опыт состоит в десятикратном случайном выборе с
возвращением из 5 элементов. Можно рассмотреть такой эквивалентный опыт.
Пусть в урне лежат 5 шаров с номерами отделов магазина, и покупатели
последовательно наудачу достают по одному шару для определения отделов, в
которые они обратятся. Поскольку несколько покупателей могут обратиться в
один и тот же отдел, шар после каждого извлечения возвращается в урну.
Как уже отмечалось, если нет указаний на особые обстоятельства опыта, при
выборе с возвращением необходимо учитывать порядок элементов. Поэтому на
первый взгляд кажется, что в данном случае N   A510 .
Однако в условии сказано, что равновозможными являются распределения
по отделам не покупателей, а их количеств. Поэтому равновозможными
являются выборки с повторениями, в которых порядок элементов не
учитывается. Другими словами, важно не то, в каких по счёту извлечениях
появился шар с определённым номером, а то, сколько раз он появился. Таким
образом,
правильный
результат
5
N   C510  C14

14! 14  13  12  11  10


5!9!
5 4  3 2
 14  13  11  2002 .
Далее N  A  5 , т.к. число вариантов для обращения всех покупателей в один
отдел совпадает с числом отделов, откуда P A 
5
 0,0025 а N B   1 , поэтому
2002
P  A  0,0005 .►
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.98, 18.99.
Пример 1.3.13.
Найти вероятность того, что случайно выбранный четырёхзначный номер
автомобиля не содержит цифр, отличных от «3» и «7».
◄Опыт можно представить, как случайный выбор четырёх элементов (цифр)
из 10. Цифры в номере могут повторяться, значит это выбор с возвращением.
Результат опыта (случайный номер) - это выборка с повторениями, порядок
элементов учитывается. Поэтому N   A410  10 4 .
Благоприятствующие
исходы
получаются
в
результате
выбора
с
возвращением четырёх элементов из двух (цифры «3» и «7»), значит
N  A  A42  2 4  16 .
Окончательно, P  A  0,0016 .►
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.100 - 18.105.
Пример 1.3.14.
Случайный опыт состоит в разбиении множества из G из n элементов на k
занумерованных подмножеств gi , i  1, 2, ... , k , содержащих по ni элементов
n1  n2  ...  nk  n  . Найдём число элементарных исходов этого опыта.
◄Представим опыт как последовательное формирование подмножеств gi ,
i  1, 2, ... , k .
Подмножество
g1
можно
образовать
N 1  C nn1
способами,
подмножество g 2 можно сформировать из оставшихся n  n1 элементов N 2  C nn2 n1
способами, подмножество g 3 можно создать N 3  C nn3 n1 n2 способами и т.д.
Поэтому, согласно (1.3.2) имеем:
N    N1N 2 N 3 ... N k  Cnn1 Cnn2 n Cnn3 n n ...Cnnk n n
1
1
2
1
2 ...nk 1
.
Используя формулу (1.3.3), отсюда получаем:
N  
n!
n1! n2 !...nk !
(1.3.8)
(убедитесь в этом!).►
Пример 1.3.15.
Карты из колоды в 36 карт раздают четырём игрокам, по 9 карт каждому. С
какой вероятностью каждому из них достанутся карты одинаковой масти?
◄По формуле (1.3.8) находим: N  
36!
.
9!9!9!9!
Число благоприятствующих исходов равно числу способов распределить 4
масти по 4 игрокам, т.е. равно числу перестановок из 4: N  A  P4  4! .
Окончательно, P A 
4!9!4
 1,12 10 18 .►
36!
Задание для самостоятельной работы
Решите задачи: [1], №№ 18.108, 18.110, 18.112 - 18.115.
Контрольные вопросы
1. Приведите классическое определение вероятности.
2. Перечислите основные свойства классической вероятности.
3. Напишите основную формулу комбинаторики.
4. Что называют выбором без возвращения? с возвращением?
5. Что называют сочетанием? размещением? Перестановкой?
6. Приведите формулы для числа сочетаний и размещений из n по m без
повторений и с повторениями, а также для числа перестановок из n .
7. Как найти число способов разбить множество из n элементов на k
занумерованных подмножеств gi , i  1, 2, ... , k , содержащих по ni элементов?
8. Если не оговариваются особые условия опыта, нужно ли учитывать
порядок элементов в выборке при выборе:
а) с возвращением;
б) без возвращения?
Задание для самостоятельной работы
1. Решите задачи: [ ], №№ 18.121 – 18.126.
1.4. Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай
бесконечного множества элементарных исходов  . Пусть  представляет
собой множество в пространстве R (числовая прямая), R 2 (плоскость), R n
( n  мерное евклидово пространство).
В пространстве R в качестве множеств будем рассматривать только
промежутки и их объединения, т.е. множества, имеющие длину; в пространстве
R 2 - те множества, которые имеют площадь; в R 3 - множества, имеющие объём;
в R n , n  3 , - множества, имеющие обобщённый ( n  мерный) объём. Такие
множества будем называть измеримыми.
Под мерой mes  A множества A  R n будем понимать длину, площадь, объём
или обобщённый объём в зависимости от n .
Будем считать, что пространство элементарных исходов случайного опыта
  R n имеет конечную меру и точки    (элементарные исходы) в этом опыте
выбираются так, что вероятность попадания  в любое измеримое множество
g   пропорциональна mes g  и не зависит от формы g и расположения g в
пространстве

(последнее
условие
аналогично
требованию
о
равновозможности элементарных исходов в классической схеме). Такой опыт
называют геометрической схемой.
Итак, пусть случайный опыт представляет собой геометрическую схему и
событие
A
есть измеримое подмножество пространства
.
Тогда
вероятностью события A называют число
P  A 
mes  A
.
mes  
(1.4.1)
Это определение называют геометрическим определением вероятности, а
вероятность (1.4.1) – геометрической вероятностью.
Легко убедиться в том, что геометрическая вероятность обладает теми же
основными свойствами, что и классическая вероятность:
1. P  A  0 для любого события A .
2. P    1 .
3. P A  B   P A  PB  для любых несовместных событий ( AB   ).
Пример 1.4.1.
Точное значение физической величины округляют до ближайшего целого
числа. Найти вероятность того, что абсолютная величина ошибки округления не
превысит 0,1 (событие A ).
◄При округлении точного значения до ближайшего целого возникает
случайная ошибка x , величина которой лежит в диапазоне от –0,5 до +0,5.
Таким образом, опыт состоит в случайном выборе числа x из этого диапазона,
соответствующий
элементарный
исход
 x .
Поэтому
пространство
элементарных исходов   -0,5; 0,5  R .
Событие A , согласно условию задачи, это множество A  x x  0,1  0,1; 0,1.
Ω
 0,5
A
 0,1 0 0,1
0,5
x
Рис. 1.4.1. К примеру 1.4.1.
Пространство  и множество A показаны на рис. 1.4.1. В данном случае
мерой множества является его длина, поэтому P  A 
mes  A 0,2

 0,2 .►
mes  
1
Пример 1.4.2.
К причалу для высадки пассажиров в течение ближайшего часа в случайные
моменты времени должны подойти два катера. Одновременное причаливание
обоих катеров невозможно. Время высадки пассажиров с первого катера
составляет 10 мин, а со второго катера – 20 мин.
Найти вероятность того, что одному из катеров придётся ожидать
освобождения причала (событие A ).
◄Обозначим время прихода первого катера через x , а второго – через y .
Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел
x, y  , т.е. элементарными исходами
   x, y  являются точки пространства
R 2 (плоскости). Если выбрать в качестве единицы измерения времени 1 мин, то
пространством

элементарных

исходов
будет
множество
   x, y   R 2 0  x  60, 0  y  60  R 2 . Очевидно, это квадрат со стороной 60 (рис.
1.4.2).
y
60

A
10
0
20
60
x
Рис. 1.4.2. К примеру 1.4.2
Событие A произойдёт в любом из следующих случаев:
а) первый катер прибудет не позднее второго ( x  y ) и при этом к моменту
прихода второго катера высадка с первого катера ещё не закончится ( y  x  10 ),
т.е. если 0  y  x  10 ;
б) второй катер придёт раньше, т.е. y  x и к прибытию первого катера
высадка пассажиров на втором ещё не закончится:
x  y  20 , т.е. если
0  x  y  20 .
Таким образом, условие появления события A описывается соотношениями
 0  y  x  10   y  x  10 , поэтому A  x, y     y  x  10  . Область A на рис

 x  y  20 
 x  y  20
 0  x  y  20




1.4.2 заштрихована.
В данном случае мера множества – это площадь. Площадь области A на рис.
1.4.2 равна площади квадрата без двух угловых треугольников поэтому


mes  A  60 2  0,5 50 2  40 2  1550 , mes   60 2  3600 и P  A 
mes  A
 0,43 .►
mes  
Пример 1.4.3.
По дороге в институт студент едет последовательно на трёх автобусах
разных маршрутов. Интервалы движения автобусов на этих маршрутах
совпадают и равны  мин.
С какой вероятностью общее время, израсходованное студентом на
ожидание автобусов, не превзойдёт  мин (событие A )?
◄Обозначим x время ожидания первого автобуса, y - время ожидания
второго автобуса и z - время ожидания третьего автобуса.
z


A

y

x
Рис. 1.4.3. К примеру 1.4.3
Опыт состоит в случайном выборе чисел x , y и z , т.е. упорядоченной
тройки чисел x, y , z  . Таким образом, элементарными исходами   x, y , z 
данного опыта являются точки пространства R 3 .
По условию задачи пространство элементарных исходов определяется так:


   x, y , z   R 3 0  x  , 0  y  , 0  z   . Это куб с ребром  , см. рис. 1.4.3.
Событие A происходит, если x  y  z   . Поэтому A  x, y, z   x  y  z  .
Точки, принадлежащие множеству A , лежат по ту же сторону от плоскости
x yz  ,
что и начало координат (часть этой плоскости, расположенная
внутри куба  , заштрихована на рис. 1.4.3). Кроме того, точки множества A
расположены в кубе  . Поэтому A - это четырёхгранная пирамида, три грани
которой лежат в координатных плоскостях, а четвёртая - в плоскости x  y  z   ,
см. рис. 1.4.3.
Меры
множеств
1  2
mes  A  
3 2

и
A
-
это их
объёмы,
поэтому
mes    3 ,
3

    . Окончательно, P  A  mes  A  1 .►

mes   6
6

Замечание
В примерах 1.4.1 – 1.4.3 рассмотрены случайные опыты, сводящиеся к
геометрической схеме в пространствах R n , n  1, 2, 3 . Из решений этих примеров
видно, что при использовании геометрического подхода вероятность события
находится в результате выполнения следующих действий.
1. Определение размерности n пространства R n данной геометрической
схемы.
2. Аналитическое описание пространства элементарных исходов  и
подмножества A (с помощью неравенств, включений множеств и т.п.).
3. Геометрическое описание  и A (изображение областей  и A ). Если
n  3,
геометрическое описание невозможно. При n  1 часто обходятся без
геометрической иллюстрации в силу простоты задачи.
4. Вычисление mes   , mes  A и нахождение вероятности P  A по формуле
(1.4.1). При n  3 обобщённый ( n -мерный) объём области g  R n находят с
помощью n -кратного интегрирования: mes g         dx1dx2    dxn .
g
Впервые геометрический подход к вычислению вероятности применил
известный учёный Жорж Бюффон. В работе, написанной в 1733 году он
рассмотрел следующую задачу.
Пример 1.4.4. Задача Бюффона.
На плоскость, разграниченную параллельными прямыми, отстоящими друг
от друга на расстояние 2a , наудачу бросается игла диной 2l ( l  a ). Найти
вероятность события A  игла пересечет какую-либо из прямых .
◄Будем описывать положение иглы двумя координатами: углом  между
иглой и прямыми и расстоянием y от центра иглы до ближайшей прямой, см
рис. 1.4.4.
l
y l sin 

Рис. 1.4.4. К примеру 1.4.4
Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары
чисел , y  , т.е. элементарными исходами   , y  являются точки пространства
R2 .
Пространство
элементарных
(прямоугольник),
событие
исходов

  , y   R 2 0    , 0  y  a
A  , y  0    , 0  y  l sin 

(криволинейная
трапеция), см рис. 1.4.5.
y
a

y  l sin 
A
0


Рис. 1.4.5. К примеру 1.4.4

l sin 
0
0
Очевидно, mes    a , mes ( A)   d
2l
 dy  2l , поэтому P A  a .►
Контрольные вопросы
1. Какой случайный опыт называют геометрической схемой?
2. Какое условие геометрической схемы аналогично требованию
равновозможности элементарных исходов в классической схеме?
3. Приведите определение геометрической вероятности.
4. Какими основными свойствами обладает геометрическая вероятность?
5. Перечислите основные шаги нахождения вероятности в геометрической
схеме.
Задание для самостоятельной работы
1. Решите задачи: [1], №№ 18.142 - 18.145, 18.150, 18.151, 18.154 – 18.156.
1.5. Аксиоматическое определение вероятности
Напомним, что классическое определение вероятности
относится
к
пространствам элементарных исходов  , состоящим из конечного числа
равновозможных элементов. Геометрическое определение – к пространствам
  R n , представляющим собой области, имеющие в зависимости от n длину,
площадь, объём или обобщённый объём, т.е. являющиеся измеримыми. В
качестве событий в геометрической схеме рассматриваются также измеримые
подмножества из  .
Аксиоматическое определение, сохраняя основные свойства вероятности,
подмеченные в рамках классической и геометрической схем, позволяет ввести
это понятие для пространств элементарных исходов произвольной природы.
Предположим,
что
вероятности
событий,
соответствующих
данному
случайному опыту определены. Это означает, что каждому случайному событию
A поставлено в соответствие число P  A - его вероятность, т.е. на множестве F
событий, соответствующих данному опыту, задана функция P  A . Для того,
чтобы наряду с событиями A, B  F вероятность была определена и для событий
A  B , AB , A  B , A , B , а также для событий  и  , все эти события должны
принадлежать множеству F , т.е. множество F должно быть алгеброй событий.
Если пространство элементарных исходов – конечно, то алгеброй событий
будет множество всех его подмножеств, включая пустое множество.
Пример 1.5.1.
На четырёх карточках написано по одному из чисел 1, 2, 3 и 4. Опыт состоит
в случайном выборе одной из этих карточек и наблюдении написанного на ней
числа.
Пространство элементарных исходов в этом опыте   1 , 2 , 3 , 4 , где
i  {на выбранной карточке написано число i }, i  1, 2, 3, 4 .
Алгебра событий состоит из всех подмножеств пространства  :
,
1,  2 , 3  ,  4 ,
1,2 , 1 , 3 , 1 , 4 , 2 , 3  , 2 , 4 , 3 , 4  ,
1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 4 , 1 , 3 , 4 , 2 , 3 , 4  ,
  1, 2 , 3 , 4 .
Итак, пусть
F
- алгебра событий, образованная на пространстве
элементарных исходов  . Предположим, что каждому элементу (событию)
A F поставлено в соответствие число P  A , т.е. на F определена числовая
функция P . Эту функцию называют вероятностью, если она удовлетворяет
следующим аксиомам:
1. P  A  0 (аксиома неотрицательности);
2. P    1 (аксиома нормированности);
3. P A  B   P A  PB  для любых несовместных событий A и B (аксиома
сложения).
Тройка , F , P  , т.е. пространство элементарных событий  с образованной на
нём алгеброй событий F
и введённой на F вероятностью P , называется
вероятностным пространством.
Замечания
1. Аксиомы 1 – 3 постулируют основные свойства классической и
геометрической вероятности, определяющие и все другие её свойства. Поэтому
можно говорить об общих свойствах вероятности, независимо от того, как она
определена.
2. Для дальнейшего развития теории вероятностей аксиому 3 формулируют в
обобщённом виде:
P  A1  A2  ...  An ...  P  A1   P  A2   ...  P  An   ...
для
любых
попарно
несовместных событий A1, A2 , ... , An ... (расширенная аксиома сложения).
Кроме того, обобщается и понятие алгебры событий, но на этом мы не
останавливаемся.
3. Если пространство элементарных исходов  конечно или счётно, то
вероятность
можно
ввести
следующим
образом.
Припишем
элементарному исходу i   вероятность P i   pi  0 так, чтобы
каждому
 pi  1 . Тогда
i
для любого события A   в силу расширенной аксиомы сложения вероятность
будет равна P A 
 pi .
i: iA
Заметим, что вероятности элементарных исходов
произвольно, лишь бы выполнялись условия
pi  0
можно задавать
pi
и
 pi  1 .
Поэтому
i
вероятность P  A вводится неоднозначно, т.е. аксиомы вероятности определяют
P  A
не единственным образом. Это позволяет рассматривать различные
варианты случайных опытов с совпадающими пространствами элементарных
исходов.
Пример 1.5.2.
Введём вероятность для двух вариантов опыта со случайным выбором
одного из чисел: 1, 2, 3 и 4, см. пример 1.5.1.
а) Опыт проводится в точности, как описано в примере 1.5.1.
б) Вместо четырёх, используются 6 карточек. На двух из них написано число
1, ещё на двух – число 3, а числа 2 и 4 записаны на одной карточке каждое.
◄Пространство элементарных исходов опыта в обоих его вариантах одно и
то же:   1 , 2 , 3 , 4 , i  {выбрано число i }, i  1, 2, 3, 4 . Все события,
соответствующие этому пространству  (множество всех подмножеств  ,
алгебра событий F ) перечислены в примере 1.5.1. Определим их вероятности
для вариантов а) и б) случайного опыта.
1
4
а) В этом случае элементарные исходы  i равновозможны: pi  , i  1, 2, 3, 4 ,
поэтому вероятность вводится следующим образом:
P    0 ,
P1  
P1 , 2  
1
1
1
1
, P2   , P3   , P4   ,
4
4
4
4
1
1
1
1
1
, P1 , 3   , P1 , 4   , P2 , 3   , P2 , 4   ,
2
2
2
2
2
P3 , 4  
P1 , 2 , 3  
1
,
2
3
3
3
3
, P1 , 2 , 4   , P1 , 3 , 4   , P2 , 3 , 4   ,
4
4
4
4
P    P 1 , 2 , 3 , 4   1 .
1
3
1
6
б) В данном случае вероятности элементарных исходов равны: p1  , p2  ,
p3 
1
1
, p4  , поэтому
3
6
P    0 ,
P1  
P1 , 2  
1
1
1
1
, P2   , P3   , P4   ,
3
6
3
6
1
1
1
1
2
, P1 , 3   , P1 , 4   , P2 , 3   , P2 , 4   ,
2
2
2
3
3
P3 , 4  
P1 , 2 , 3  
1
,
2
5
2
5
2
, P1 , 2 , 4   , P1 , 3 , 4   , P2 , 3 , 4   ,
6
3
6
3
P    P 1 , 2 , 3 , 4   1 .►
Из трёх главных свойств вероятности (аксиомы 1 – 3) вытекают другие
важные свойства:
1. Вероятность противоположного события
PA   1  P A
(1.5.1)
2. Вероятность невозможного события
P    0
(1.5.2)
P  A  P B 
(1.5.3)
3. Если A  B , то
4. Вероятность заключена между 0 и 1:
0  P  A  1
(1.5.4)
5. Вероятность суммы событий:
P  A  B   P  A  P B   P  AB 
(1.5.5)
Пример 1.5.3.
Докажем свойство (2.3.3).
◄Пусть A  B . Тогда (см. упражнение 1.2.11) B  A  B  A . Поскольку
события
A
B  A
и
P B   P  A  P B  A .
несовместны,
Поскольку
из
аксиомы
(согласно
сложения
аксиоме
получаем:
неотрицательности)
P B  A  0 , выполняется неравенство (1.5.3).►
Пример 2.3.4.
Докажем формулу (1.5.5).
◄Справедливы
соотношения:
A  B  A  ( B  A) (см.
пример
1.2.4)
и
B  B  A  AB (упражнение 1.2.12). Слагаемые в правой части каждого из них -
несовместные
события.
P  A  B   P  A  P( B  A) ,
Поэтому
из
P B   P B  A  P  AB  .
аксиомы
сложения
получаем:
Подставив в первое из этих
равенств вероятность PB  A , выраженную из второго равенства, получим
(1.5.5).►
Упражнения
1.5.1. Два набора карточек, использовавшиеся в опытах по случайному
выбору числа (пример 2.3.2, варианты опыта а) и б) соответственно) объединили
в один набор (10 карточек) для проведения аналогичного опыта.
Введите вероятность для данного варианта случайного опыта.
1.5.2. Докажите равенство (1.5.1).
1.5.3. Докажите равенство (1.5.2)
1.5.4. Обоснуйте неравенства (1.5.4).
1.5.5. Обобщите формулу (1.5.5) на случай трёх событий.
Ответы к упражнениям
1.5.1. p1  0,3 , p 2  0,2 , p3  0,3 , p 4  0,2 ; P    0 , P 1   0,3 , P 2   0,2 ,
P 3   0,3 , P 4   0,2 ; P 1 , 2   0,5 , P 1 , 3   0,6 , P 1 , 4   0,5 ,
P 2 , 3   0,5 , P 2 , 4   0,4 , P 3 , 4   0,5 ; P 1 , 2 , 3   0,8 ,
P 1 , 2 , 4   0,7 , P 1 , 3 , 4   0,8 , P 2 , 3 , 4   0,7 ; P    P 1 , 2 , 3 , 4   1 .
1.5.5. P  A  B  C   P A  PB   PC   P  AB   P  AC   P BC   P ABC  .
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте аксиомы вероятности.
2. Как можно ввести вероятность в случае конечного или счётного
пространства элементарных исходов?
3. Перечислите свойства вероятности, вытекающие из аксиом вероятности.
Задание для самостоятельной работы
1. Решите задачи: [ ], №№ 18.57 - 18.59, 18.61, 18.62.
2. Ознакомьтесь с теоретическим материалом: [2], с. 5 – 14/