А - Fisica

Кинематика поступательного и вращательного движения
Основные понятия и формулы.
Положение материальной точки
в пространстве в данный момент
времени задается с использованием
м.т.
системы координат относительно
r
k
некоторой точки (тела) отсчета,
y
O
Y которая является началом системы
j
i
координат. Направленный отрезок
x
прямой, соединяющий точку отсчета
X
О (рис. 1) и материальную точку (м.т.),

называется радиус-вектором – r t  ;




Рис. 1
r t   x(t )  i  y(t )  j  z(t )  k ,
  
где x(t ), y (t ), z (t ) – координаты точки в пространстве; i , j , k –
единичные векторы направлений (орты соответствующих координатных
осей); t – время. Модуль радиус-вектора определяется выражением:

r t   ( x(t ))2  ( y(t ))2  ( z(t ))2 .
При движении материальной точки её координаты и радиус-вектор

изменяются со временем, а сама материальная точка (конец вектора r )
описывает в пространстве линию, которая называется её траекторией
(рис. 2). Скалярную величину S , равную длине траектории, описанной
точкой за данный промежуток времени, называют отрезком пути
материальной точки (путём). Путь положителен всегда и в процессе
движения может только возрастать.
Z
Пусть за время t
материальная точка переместилась
z
M ( x, y , z )
из точки М в точку M  , пройдя
z
S
r (t ) M ( x , y , z ) вдоль траектории отрезок пути S
r (t )

r (t  t )
(рис. 2). Вектор r , проведенный
y
y
из начальной точки М в конечную
O
x
точку M  , называется вектором
Y
x
перемещения материальной точки
X
за время t:
Рис. 2
r  r (t  t )  r (t ),




или r  xi  yj  zk ,
где x  x  x; y  y  y; z  z   z.
При линейном движении путь S равен модулю вектора

перемещения (перемещению) r :
Z
z

S  r  (x) 2  (y) 2  (z ) 2

при криволинейном движении r  S .
S

где r – вектор средней скорости движения материальной точки

перемещение точки за промежуток времени t; r – радиус-вектор
точки.
Средняя путевая скорость движения
S
  
,
t
где S – путь, пройдённый точкой за промежуток времени t.
Мгновенная скорость




 dr (t )

 xi   y j  z k ,
dt
dx
dy
dz

где  x  ,  y  ,  z 
– проекции вектора скорости  на
dt
dt
dt
соответствующие оси координат.
Модуль вектора полной скорости

    2x  2y  2z .

Кинематическое уравнение равномерного движения (   const ,

a  0 ) точки вдоль оси ОХ
x  x0  t ,
где x0 – начальная координата точки; t – время движения. Знак
«плюс» берется при совпадении направления вектора скорости с
выбранным положительным направлением оси ОХ.
Правило сложения скоростей в классической механике
  
    0, ,

где  – скорость материальной точки относительно неподвижной

системы отсчета;  – скорость материальной точки относительно

подвижной системы отсчета; 0 – скорость подвижной системы отсчета
относительно неподвижной системы отсчёта.
Среднее ускорение материальной точки

 
a 
.
t
Мгновенное ускорение материальной точки




 d(t )
a
 axi  a y j  az k ,
dt
d y d 2 y
d x d 2 x
d z d 2 z

, ay 

, az 

где a x 
– проекции
dt  dt
dt
dt
dt
dt
вектора ускорения a на соответствующие оси координат.
Модуль вектора полного ускорения

a  a  a x2  a 2y  a z2 .
Полное ускорение при криволинейном движении
  
a  a  an ,
d
где a 
– тангенциальная (касательная к траектории)
dt
2
составляющая ускорения; an 
– нормальная (центростремительная)
R
составляющая ускорения, R – радиус кривизны траектории в данной
точке.
Рис. 3.
Модуль вектора полного ускорения при криволинейном движении
a  a2  an2 .
Кинематическое уравнение равнопеременного движения

( a  const ) уравнения движения имеют вид:

at 2
  
r  r0  0t 
,
2

где 0 – вектор начальной скорости.
Кинематические уравнения равнопеременного движения вдоль оси
X иY:
a yt 2
axt 2
x  x0   0 x t 
, y  y0  0 y t 
.
2
2
Скорость точки при равнопеременном движении
 

  0  at ,

где 0 – вектор скорости движения в начальный момент времени
t  0 (начальная скорость).
Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси X и Y
:
x  0 x  axt ,  y  0 y  a y t.
При равноускоренном движении ускорение a берётся со знаком
«плюс», при равнозамедленном – со знаком «минус».
Связь между ускорением и путем при прямолинейном движении
может быть определена выражением
22  12
S 
.
2a
Для тела, брошенного с земли под углом α к горизонту со
скоростью 0 (без учета сопротивления воздуха),
время полета
2 sin 
t 0
;
g
дальность полета
02 sin 2
S 
;
g
максимальная высота
02 sin 2 
hmax 
.
2g
При вращательном движении положение твердого тела
определяется углом поворота (угловым перемещением)


 ( d ) при указанном положении оси вращения.
Угловая скорость тела

 d

.
dt
Модуль угловой скорости равномерного вращательного движения
  2
  

 2 ,
t
T
где  – угол поворота произвольного радиуса от начального
положения;
t – промежуток времени, за который произошел этот поворот; T
N
– период вращения;  
– частота вращения, N – число оборотов за
t
время t .
Угловое ускорение

 d

.
dt

Кинематическое уравнение равномерного вращения (   const ,

  0)
  0  t ,
где 0 – угол поворота в момент времени t  0 (в начальный момент
времени).
Кинематическое уравнение равнопеременного вращательного
движения (   const )
t 2
  0  0t 
.
2
Связь угла поворота с числом оборотов:
  2N .
Угловая скорость тела при равнопеременном вращении
 

  0  t ,
где 0 – угловая скорость в начальный момент времени t  0
(начальная угловая скорость). При равноускоренном вращении тела
угловое ускорение  берется со знаком «плюс», при равнозамедленном –
со знаком «минус».
Величина углового ускорения  связано с углом поворота за
некоторый промежуток времени  соотношением
22  12
 
.
2
Связь между линейными и угловыми величинами при
вращательном движении:
Связь между линейными и угловыми величинами выражается
формулами:
линейный путь, пройденный точкой
dS  Rd ,
где d - угловой путь точки;
R – радиус вращения точки;
линейная скорость точки
  R ,
тангенциальное ускорение точки
a  R ,
нормальное ускорение точки
an   2 R ,
модуль полного ускорения
a  a2  an2   2 R 2   4 R 2  R  2   4 .