Решения заданий Олимпиады по математике в 2011 году

Решения заданий Олимпиады учителей математики
образовательных учреждений Калининградской области
в 2011 году
Задание 1.
Вычислите с точностью до 0,001
3
3
1 − 2 (20,11)3
20,11 ∗ (2 − (20,11)3 )
(
)
+
(
) + (20,11)3
1 + (20,11)3
1 + (20,11)3
Решение
Обозначим (20,11)3 = 𝑎, тогда выражение примет вид:
1 − 2 𝑎 3 𝑎 ∗ (2 − 𝑎)3
(
) +
+𝑎
(1 + 𝑎)3
1+𝑎
Приведём к общему знаменателю:
(1 − 2𝑎)3 + 𝑎(2 − 𝑎)3 + 𝑎(1 + 𝑎)3
(1 + 𝑎)3
Раскрыв скобки и приводя подобные получим
𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 1 (𝑎 + 1)3
=
=1
(1 + 𝑎)3
(1 + 𝑎)3
Задание 2.
Найти все значения параметра 𝑎, при которых уравнение 𝑥 3 + 𝑥 2 = 𝑎 имеет три
корня, образующие арифметическую прогрессию
Решение
Пусть 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 - корни данного уравнения. Тогда
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑎
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 𝑥 :
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −1
(Это теорема Виета). Так как корни образуют арифметическую прогрессию, то
𝑥1 = 𝑥2 − 𝑑
𝑥3 = 𝑥2 + 𝑑
где 𝑑 - разность арифметической прогрессии. Тогда
𝑥2 − 𝑑 + 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑑 = −1
3𝑥2 = −1
𝑥2 = − 1⁄3
Подставляя x= − 1⁄3 в исходное уравнение находим 𝑎 = 2⁄27 - единственное
значение, удовлетворяющее условию.
Задание 3.
Найдите все значения параметра 𝑎, при которых система
𝑥 2 + (4𝑎 − 3)𝑥 + 3𝑎2 − 3𝑎 < 0
{
𝑥 2 + 𝑎2 = 9
имеет решения
Решение
Домножим первое уравнение на 4 и выделим полный квадрат:
(2𝑥 + (4𝑎 − 3))2 − (4𝑎 − 3)2 + 12𝑎2 − 12𝑎 < 0
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
(2𝑥 + 4𝑎 − 3)2 − (2𝑎 − 3)2 < 0
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(2𝑥 + 4𝑎 − 3 − 2𝑎 + 3)(2𝑥 + 4𝑎 − 3 + 2𝑎 − 3) < 0
(2𝑥 − 2𝑎)(2𝑥 + 6𝑎 − 6) < 0
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 3𝑎 − 3) < 0
Следовательно,
𝑥+𝑎 >0
{
𝑥 + 3𝑎 − 3 < 0
или
𝑥+𝑎 <0
{
𝑥 + 3𝑎 − 3 > 0
Изобразим в системе x0a геометрическое место точек, соответствующее этим
системам и второму уравнению исходной системы:
Решением ей будут являть фрагменты окружности, заключённые внутри острых углов.
Находя эти точки пересечения, получим: 𝑎 = ± 3√2⁄2 и 𝑎 = 0 или 𝑎 = 9⁄5
Итого ответ: 𝑎 ∈ (− 3√2⁄2 ; 0) ∪ (1.8; 3√2⁄2)
Задание 4 (теория графов).
На плоскости даны 6 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Докажите, что
среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими
треугольника будут окрашены в один цвет.
Решение
Рассмотрим произвольную точку из 6-ти данных точек. По крайней мере 3
отрезка, выходящие из этой точки окрашены в один цвет. Можно считать эти
отрезки синими. Если два из их концов соединены отрезком синего цвета, то
нужный треугольник найден. Если это не так, то концы отрезков образуют
треугольник красного цвета.
Задание 5.
В прямоугольнике 20 х 25 лежат 120 единичных квадратов. Докажите, что внутрь
1
прямоугольника можно поместить круг с радиусом 2 , не пересекающийся ни с одним
из квадратов.
Решение
Для решения этой задачи нужно применять обобщение принципа Дирихле,
формулируемое следующим образом: если сумма n чисел равна S, то одно из этих
𝑠
𝑠
чисел не меньше, чем
(или, аналогично, одно из чисел не больше, чем
). Сам
𝑛
𝑛
факт достаточно очевиден и следует из принципа сложения неравенств.
Рассмотрим теперь для каждого единичного квадрата фигуру, содержащую этот
1
квадрат и кайму шириной
вокруг него – рис.1
2
рис.1
рис.2
𝜋
Площадь этой фигуры равна 2 + 4 . Рассмотрим также внутреннюю кайму той же
ширины вдоль границы прямоугольника – см. рис.2. Её площадь – 44.
𝜋
Так как 20х25=500, что больше, чем 120∙ (2 + 4 ) + 44, то из принципа Дирихле (или,
что то же самое, из правила сложения неравенств) следует, что все эти фигуры вместе
с каймой не покрывают всего прямоугольника и, стало быть, найдется точка О, не
принадлежащая ни одной из 120 фигур, не граничной кайме. Теперь ясно, что круг с
1
радиусом 2 и центром в точке О, во – первых, целиком лежит внутри прямоугольника,
а во – вторых, не пересекается ни с одним из 120 квадратиков.
Задание 6.
Докажите неравенство:
1
1
1
1
+ 2 + ⋯ + 2 < 1 − (𝑛 ≥ 2)
2
2
3
𝑛
𝑛
Решение
1
1
Пусть a(n) = 1 − ,
n
1
1
1
1. 𝑎(2) = 1 − 2 = 2,
1
1
b(n)=22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 .
1
Ясно, что 𝑏(2) < 𝑎(2).
𝑏(2) = 22 = 4
2.Вычислим 𝑎(𝑘 + 1) − 𝑎(𝑘):
(1 −
1
1
1
1
1
) − (1 − ) = −
=
𝑘+1
𝑘
𝑘 𝑘 + 1 𝑘(𝑘 + 1).
Вычислим 𝑏(𝑘 + 1) − 𝑏(𝑘):
1
1
1
1
1
1
1
1
( 2 + 2 + ⋯+ 2 +
) − ( 2 + 2 + ⋯ + 2) =
.
2
2
3
𝑘
(𝑘 + 1)
2
3
𝑘
(𝑘 + 1)2
1
1
Ясно, что (𝑘+1)2 < 𝑘(𝑘+1). Неравенство доказано.
1
1
(Мы начали с верного неравенства 4 < 2 , а затем к левой части на каждом шаге
прибавляем меньшее число, чем к правой).