Принцип Дирихле

2. Принцип Дирихле.
Задачи на принцип Дирихле устанавливают соответствие межу
элементами множеств. В них главное  доказать существование некоторого
объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения.
Формулировки принципа Дирихле:[19], [28], [34].
“Если в 4 клетки посадить 5 зайцев, то, по крайней мере, в одной будут сидеть
не менее двух зайцев”.
Другое, более обобщенное.
“Если n  1 предмет поместить в n мест, то обязательно, хотя бы в одном
месте, окажутся хотя бы два предмета”.
В терминах множеств:
“Если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей,
попарно не имеющих общих элементов , N > n ,то, по крайней мере, в одной
части будет более одного элемента”.
Доказательство этого принципа, методологию и другие теоретические сведения см.
[10,с.39]..
Задачи [4,с.16], [26], [10], [17,с.25,28], [19],[7,c.13].
Литература
Задача 1. В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а
остальные  меньше. Докажите, что, по крайней мере, 3 ученика
сделали ошибок поровну (может быть, не сделали ошибок).
Доказательство. Здесь “зайцы”  ученики, “клетки”  число сделанных
ошибок. В клетку 0 “посадили” всех, кто не сделал ни одной ошибки; в клетку 1
 тех, у кого одна ошибка; в клетку 2  две ошибки; и так далее до клетки 13,
куда попал один Саша Иванов.
Докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три
ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, те есть в каждую из клеток
0,1,2,3,…,12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два
человека или меньше, а всего в этих 13-ти клетках не более 2 13  26 человек.
Добавив Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие.
Следовательно, утверждение задачи верно,  по крайней мере, трое учеников
сделали поровну ошибок.
Задача 2. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в
каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли
найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
Решение. Для решения применим следующую обобщенную формулировку
принципа Дирихле: Если n(k  1)  1 “кролик” поместиться в n
“клетках”, то хотя бы в одной “клетке” окажется, по крайней мере, k
кроликов.
Сортов имеется 3, а ящиков 25. Число клеток n  3 , кроликов
25  3(k  1)  1 , отсюда k  9 . И, следовательно, по крайней мере, 9 ящиков
одного сорта.
Задача 3. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что
среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники
решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три
задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.
Решение
Задача 4. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое
наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так,
чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Решение
Задача 5. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более
600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым
числом иголок.
Решение
Задача 6. Даны n >5 точек, никакие из не лежат на одной прямой. Каждые 2
точки соединены отрезком, проведенным красным или синим
карандашом. Доказать, что существует хотя бы один одноцветный
треугольник (его стороны имеют один цвет).
Решение
Задача 7. Два человека знакомы, если каждый из них знает другого; в
противном случае они не знакомы. Доказать, что среди любых шести
человек найдутся трое попарно знакомых или трое попарно не
знакомых.
Задача 8. В розыгрыше по футболу (в один круг) участвует 30 команд.
Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие
одинаковое число игр.
Указание. “Кролики”команды, “клетки”  количество проведенных игр,
которое может принимать значения от 0 до 29. Следует учесть, что если есть
команда не сыгравшие ни одного матча, то нет команды, сыгравшей все матчи и
наоборот.
Решение
Задача 9. В квадрат со стороной 1м бросили произвольным способом 51 точку.
Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со
стороной 0,2м.
Решение. Разобьём квадрат на 25 равных квадратиков со стороной 0,2м.
Докажем, что в каком-то из них находится по крайней мере 3 из данных точек.
Применим принцип Дирихле: если бы в каждом квадратике (внутри или на
сторонах) было бы не больше 2-х точек, то всего было бы не больше 50
(2·25=50).
Задача 10. В квадрат со стороной 1м. бросили 51 точку. Докажите, что какие-то
3 из них можно накрыть кругом радиуса 1/ 7 м.
Решение
Задача11. В прямоугольнике 6х7 закрашено 25 клеток. а) Доказать, что
найдется квадратик 2х2, в котором закрашено не менее трех клеток.
б) Верно ли, что найдется два таких квадратика (может быть
налегающих друг на друга)?
Решение
Содержание