Задачи первого тура с решениями

Математический праздник 2016
4. На плоскости отмечены 10 точек так. Что никакие 3 из них не
лежат на одной прямой . Сколько существует четырехугольников
с вершинами в этих точках?
7 класс
1. Доказать, что среди n +1 целого числа можно выбрать два числа
разность которых делится на n.
Решение : при делении на n любое число дает в остатке одно из чисел
0,1,2,3,…,n-1, т.е. существует всего n различных остатков. Поэтому
среди n+1 чисел найдутся два , дающие одинаковые остатки при
делении на n . разность этих чисел делится на n.
Решение. Из десяти точек мы можем выбрать четыре 10*9*8*7=5040
способами. При этом мы не должны учитывать порядок ыбора этих
точек следовательно, каждый четырехугольник подсчитан несколько
раз. Поменять 4 точки местами можно 4*3*2=24 способами.
Поэтому различных четырехугольников 5040:24=210.
2. Найдите все натуральные решения уравнения :
2n 
1
2

3

n5
n
Решение : умножим обе части уравнения на n (из условия n не равно 0 ).
Получим 2n  1  3n  2n , преобразуем 2n  3n  2n  1 . Левая
часть выражения кратна n , следовательно и правая часть должна
делиться на n , отсюда следует n=1.
6
5
4
6
5
4
3. Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что ADB = DBC;
ABD = BDC; BAD = ABC. Найдите площадь поверхности
пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь
треугольника АВС равна 10 см2.
Решение
Используя признаки равенства треугольников,
докажем, что все грани пирамиды – равные
треугольники. 1) ADB = CBD (II признак
равенства треугольников), следовательно, AD = BC
и AB = CD. 2) ADB = ACB (I признак равенства
треугольников). 3) ABС = CDA (III признак равенства треугольников).
Следовательно, все четыре треугольника имеют одинаковые площади.
Ответ: 40 см2.
5. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет
состоять из спортсменов и чиновников. Средний возраст этих
спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а
чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов
делегации окажется равным 41 году. Какова в этой делегации
доля чиновников, выраженная в процентах?
Решение :Пусть делегация состоит из x спортсменов и y чиновников,
тогда суммарный возраст спортсменов равен 22x, а чиновников – 47y.
Делегация насчитывает (x + y) человек, поэтому ее суммарный возраст
равен 41(x + y). Получим уравнение: 22x + 47y = 41(x + y). Упростив его,
получим, что 6y = 19x. Доля чиновников, выраженная в процентах,
равна:
=
Ответ: 76%.
=
=
= 76%.
Математический праздник 2016
6 класс
1. . За два года завод снизил объем выпускаемой продукции на 51%. При
этом
каждый год снижался на одно и то же число процентов. На
сколько ?
Решение. Вначале заметим, что «уменьшить число на 51%» фактически
Означает «умножить на 0,49», аналогично, «уменьшить число на р%»
означает «умножить на некоторое число 1- р/100». Последнее означает,
что при уменьшении на р% мы умножаем на одно и тоже число.
Обозначим его а. запишем теперь решение в виде таблицы:
Период времени
Объем продукции
первоначально
х
Через год
ах
Через два года
а2х=0,49х
2
а х=0,49х, откуда а=0,7. Последнее означает, что ежегодно объем
продукции уменьшался на 30%
2. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников
вчетверо больше , чем одноклассниц, а у Жени одноклассниц на 17
меньше, чем одноклассников. Кто Женя : мальчик или девочка ?
Решение : пусть у Антона – х одноклассниц, тогда мальчиков - 4х.
Пусть Женя – мальчик , тогда у Жени 4х одноклассников и х – одноклассниц,
следовательно 4х – х = 17 --- получаем х – дробная величина , чего быть не
может.
.Решение пусть Т – искомое число. Прибавим к нему 1. Тогда полученное
число будет делиться на 2 , на 3 , на 4 , на 5, на 6 . Это следует из приведенных
ниже равенств (в левом столбике – условия задачи, а в правом – те же
равенства, увеличенные на 1).
Т = 2а +1
Т + 1 = 2(а+1) Наименьшее натуральное число ,
Т = 3в +2
Т + 1 = 3(в+1) делящиеся одновременно на каждое
Т = 4г +3
Т + 1 = 4(г+1) из чисел 2,3,4,5,6, равно
Т = 5д +4
Т + 1 = 5(д+1) НОК(1,2,3,4,5,6)=60, итак
Т = 6е +5
Т + 1 = 6(е+1) Т+1 =60, значит Т = 59.
4. Докажите, что из любых 11 натуральных чисел всегда можно
выбрать два числа, разность которых делится на 10.
Действительно, среди любых 11 чисел всегда по крайней мере два
оканчиваются одной и той же цифрой (это мгновенно следует из того,
что цифр всего 10). Следовательно, разность этих двух чисел
5. Покажите, как разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на восемь
равных частей пятью прямолинейными разрезами.
Ответ: см. рис. 2. Показанный способ разрезания можно придумать, исходя,
например, из следующих соображений. Площадьданной фигуры -36 клеток,
поэтому каждая из частей, полученных по результатам разрезания, должна
иметь площадь 4,5 клетки. Значит, разрезать по границам клеток
Пусть Женя – девочка, тогда одноклассниц – х-1, 4х+1 – одноклассников ,
следовательно (4х+1)-(х-1)=17, отсюда х=5.
Ответ Женя - девочка
3.
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает
остаток 1 , при делении на 3 дает остаток – 2 , на 4 – остаток 3, на 5 –
остаток 4, на 6 – остаток 5.
Рис. 1
Математический праздник 2016
5 класс
1. Автомат умеет от любого картонного прямоугольника отрезать квадрат
со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. Петя разрезал
имевшийся у него прямоугольник на 2 больших квадрата, 3 квадрата
поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 10 см, используя только
этот автомат. Найдите размеры Петиного прямоугольника.
Решая задачу с конца, получим, что номер этажа, на котором находится
квартира
Чебурашки,
есть
натуральное
число,
которое:
а)
больше,
чем
42,
но
меньше,
чем
51;
б)
больше,
чем
45,
но
меньше,
чем
55;
в)
больше,
чем
38,
но
меньше,
чем
49;
г) больше, чем 47, но меньше, чем 50. Итак, получается, что Чебурашка
живет на этаже, больше, чем 47, но меньше, чем 49, то есть на 48 этаже.
3. восстановите пример
Ответ: 370 см 160
см (см. рис. 3). Эту задачу
удобно решать «с конца».
Пять
квадратов
со
стороной 10 см могли быть получены только последовательным разрезанием
прямоугольника 5010 (см). Так как этот прямоугольник, в свою очередь, был
получен последовательным отрезанием трех одинаковых квадратов, то длина
стороны каждого из этих квадратов – 50 см, а отрезались они от
прямоугольника, большая сторона которого равна 10 + 503 = 160 (см). Так как
размеры этого прямоугольника 16050 (см), то используя аналогичные
рассуждения, получим, что длина стороны каждого из двух больших
квадратов равна 160 см, что и составляет длину меньшей стороны исходного
прямоугольника. Большая сторона этого прямоугольника равна 50 + 1602 =
370 (см)
2 Чебурашка живет в высотном здании. На каком этаже находится его
квартира, если:
поднявшись на лифте с этажа, на котором находится его квартира, на 20
этажей, он оказался выше 62, но ниже 71 этажа;
спустившись с этажа, на котором находится его квартира, на 15 этажей, он
оказался
выше
30,
но
ниже
40
этажа;
• поднявшись с этажа, на котором находится его квартира, на 29 этажей, он
оказался
выше
67,
но
ниже
78
этажа;
• Спустившись с этажа, на котором находится его квартира, на 38 этажей,
он оказался выше 9, но ниже 12 этажа?
Решение :
4. Вычислите (1+1)2:4 + (1+2)2: 9 + (1+3)2:16 + …+ (1+99)2:10000.
Прежде всего заметим, что в сумме содержится 99 слагаемых, и каждое из
этих слагаемых =1, поэтому значение выражения = 99.
5. Нарисуйте план посадки четырех деревьев так , чтобы прямолинейные
тропинки от каждого дерева к трем другим не пересекались.
Решение :