Магнитное поле кругового витка с током

Лабораторная
работа
№ 55
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КРУГОВОГО ВИТКА С ТОКОМ
1. Краткое содержание работы
Проводится
исследование
магнитного
поля,
создаваемого
цилиндрической катушкой при протекании по ней переменного тока.
Определяются составляющие вектора индукции в различных точках, на
расстояниях существенно превышающих размеры поперечного сечения
обмотки катушки. Определяется собственная индуктивность катушки и
взаимная индуктивность двух катушек. Вычисления проводятся с
использованием векторного потенциала магнитного поля.
2. Описание установки
Установка состоит из двух одинаковых цилиндрических соосных катушек
L1 и L2, образующих кольца Гельмгольца (рис. 1). Катушки содержат по 200
витков медного провода диаметром 0,59 мм, расстояние между центрами z0 =
100 мм, внутренний диаметр катушек di=190 мм, наружный de=197,5 мм,
ширина намотки h = 10 мм. Каждая из катушек может служить либо
источником магнитного поля, либо измерительным контуром. Имеется блок
питания
(U~20 В, f =50 Гц, P=80 Вт). Ток измеряется по напряжению на
измерительном сопротивлении Rи=1 Ом, расположенном на блоке питания.
Измерительная часть установки содержит электронный вольтметр V и
измерительную катушку Wи. Катушка Wи может быть установлена так, что
позволяет измерять либо осевую, либо радиальную составляющие вектора
индукции внешнего магнитного поля. Эта катушка может перемещаться вдоль
радиуса на расстояние от 0 до 70 мм от оси катушек Гельмгольца и на
расстояние от 0 до 50 мм от плоскости одной из катушек. Увеличить диапазон
перемещения измерительной катушки относительно источника поля возможно,
если подключить источник питания, например, к катушке L1 и перемещать
измерительную катушку вдоль оси
z, удаляясь от катушки L1, затем
подключить источник питания к катушке L2 и перемещать измерительную
катушку в противоположном направлении. В силу идентичности катушек L1 и
L2 и их расположения этот прием позволяет исследовать поле при изменении
координаты z в диапазоне 0…100 мм.
41
Рис. 1
Индукция магнитного поля в Тл определяется по напряжению на обмотке
измерительной катушки по выражению В=nU, где U – действующее значение
напряжения на обмотке в [B], n [Тл/B] – калибровочный коэффициент.
Перед началом работы нужно выполнить калибровку измерительной
системы: а) подключить катушку к источнику питания и определить ток в ее
обмотке; б) расположить измерительную катушку на расстоянии 2…4 см от
плоскости катушки, совместив ее ось с осью катушек, и измерить напряжение
U0 на этой катушке; в) по выражению (5) теоретической справки вычислить
индукцию В0 в точке, где находится измерительная катушка; г) определить
калибровочный коэффициент n=B0 /U0.
3. Теоретическая справка
В настоящей работе магнитное поле создается катушкой, поперечные
размеры обмотки которой много меньше радиуса обмотки. В этом случае поле
катушки можно рассматривать как поле кругового витка с током I=iw, где w–
число витков катушки, i – ток обмотки. Радиус витка а равен среднему радиусу
витков катушки a = (de + di )/2.
Для определения собственной и взаимной индуктивностей катушек
проанализируем магнитное поле в установке. Выберем цилиндрическую
системе координат, начало которой поместим в центр витка и ось z направим
перпендикулярно плоскости витка (рис. 2). В произвольной точке М ,
координаты которой (r, z, ) элемент витка с током длиной dl создает
составляющую векторного потенциала
42
dA 
μ0 I d l
,
4πR
где R– расстояние от элемента dl до точки М.
Рис. 2
От всех элементов длины витка A 
μ0 I d l
 , причем d l  a cos αdα .
4π l R
Очевидно, что вектор A имеет только -компоненту
 0 I a cosα
dα ,

4
R
2 2 2
A  e  A  e 
где
R  a  r  z 2ar cos α .
2
Обозначим k 
4ra

.
,


2
2
2
(r  a)  z
(1)
Выражение (1) при этом преобразуется в
 I a
A  0  
k  r 
0, 5
1  0,5k K  E  ,
2
(2)
где К и Е – полные эллиптические интегралы первого и второго рода –
табулированные функции
π/ 2
K 
0
dβ
(1  k 2 sin  2 β) 0,5
,
π/ 2
E   (1  k 2 sin  2 β) 0,5 dβ .
0
Размерность магнитного векторного потенциала Вc м.
Графики зависимости К(k) и Е(k) приведены на рис. 2 лабораторной
работы № 56. Для вычисления значений этих функций можно воспользо-
43
ваться степенными рядами
9 4 50 6 1225 8
k  3k 
k  ....)
64
8
4  84
3
10
175 8
Е  π/ 2(1  k 2 / 4  k 4  3 k 6 
k  ....) .
64
8
4  84
K  π/ 2(1  k 2 / 4 
Для значений k, соответствующих различным координатам точек М,
величины Е и К приведены в таблице 1.
Некоторые значения полных эллиптических интегралов.
k 0,6
0,7
0,7
0,8
1
3
3
1,4
1,3
1,3
1,2
1
5
3
3
1,7
1,8
1,8
2,0
6
5
8
5
2
E
K
0,87
1,21
2,15
Таблица 1.
0,8
0,9
0,9
0,9
0,9
0,99
9
4
6
7
8
8
1,1
1,1
1,0
1,0
1,0
1,03
8
2
9
7
5
2,2
2,5
2,6
2,7
2,9
4
0
5
7
7
3,25
Из соотношения B=rotA компоненты вектора магнитной индукции
A
 0 Iz
Br    
2
z
2r a  r   z 2

Bz 

0,5
0 I
1 
rA  
r r
2 ( a  r ) 2  z 2


a2  r 2  z2 
E ,
 K 
2
2
(
a

r
)

z




a r z
K

E

.
2
2
(
a

r
)

z


2

0,5
2
2
(3)
Для точек на оси витка, r= 0, k =0 и Е (0)=К(0)=/2, при этом
Вr=0;
a2
B z  0,5I 0 2
.
(a  z 2 ) 3 / 2
(4)
Векторный магнитный потенциал удобно применять для определения
магнитного потока через некоторую поверхность S. На основании теоремы
Стокса для этой цели достаточно определить циркуляцию вектора А по
замкнутому контуру l, на который опирается поверхность S
44
Ф  BdS   Adl.
S
l
Это соотношение используем для вычисления собственной индуктивности катушки, создающей поле, и взаимной индукции двух катушек.
Определим собственную индуктивность катушки. Поскольку поперечные
размеры обмотки много меньше диаметра катушки, будем считать, что
магнитный поток обмотки равен потоку, пронизывающему круговой контур,
диаметр которого равен внутреннему диаметру катушки di=2(a–m), где
m  (d e  d i ) 4 – толщина намотки. При этом не учитывается небольшая часть
магнитного потока, распределенного в толщине обмотки. Поток через
указанный контур Ф=А2(а–m). Вычисление векторного потенциала А можно
выполнить по выражению (2), полагая z=0. При k1 приближенные значения
эллиптических интегралов К  ln 8a/m, Е1.
Индуктивность контура есть отношение его потокосцепления   Ф w к
току i, т.е. L  A2(a  m) w i .
При определении взаимной индуктивности катушек векторный потенциал
А следует определять в точках, лежащих на контуре, имеющем диаметр а и
отстоящем от плоскости витка, создающего поле, на расстоянии z=a, при этом
k=0,89; K=2,24; E=1,18. Тогда M 12  A2aw i .
4. Задание на подготовку к работе
1. Полагая проводимость меди равной =5,8107 См/м, определить
сопротивление обмоток катушек на постоянном токе Rобм.
2. Используя выражение (5) Методических указаний, рассчитать и
построить зависимость от координаты Z индукции на оси катушки при
Z=0
… 2a, при токе катушки i=1 А (J=iw=200 А).
3. Используя выражения (3) и (4), вычислить составляющие индукции в
точке М с заданными координатами (см. таблицу 2), если поле создано током I1
в катушке. L1. При расчете принять ток J1=iw=200 A.
Таблица 2
№
r, см
z, см
1
2
0
2
4
2
3
6
4
4
7
6
5
2
8
6
4
10
7
6
0
8
7
2
9
2
4
10
4
6
11
6
8
12
7
4
4. Вычислить составляющие вектора магнитной индукции в точке М, если
поле создается одновременно катушками L1и L2 при их а) согласном, б)
встречном включении. Ток в обмотках катушек принять равным 1 А.
45
5. Вычислить значение собственной индуктивности катушки L1.
6. Вычислить значение взаимной индуктивности катушек М12.
5. Рабочее задание
1. Подключить одну катушку L1 к источнику питания через
измерительный резистор Rи= 1 Ом, измерить ток катушки и напряжение на
каждой из катушек L1 и L2. Вычислить индуктивность катушки L1 и взаимную
индуктивность М12. Полученные данные сравнить с результатами пп. 5 и 6
Подготовки к работе.
Примечание.
Активное сопротивление обмотки соизмеримо с ее индуктивным
сопротивлением на частоте 50 Гц, поэтому
2
.
L  (U / I ) 2  Rобм
2. Провести калибровку измерительной системы (см. Описание
установки).
3. Снять и построить зависимости B(z) на оси катушек (при r = 0) и
сравнить эту зависимость с полученной в п. 2 Подготовки.
Примечание: Для уменьшения помех необходимо следить, чтобы провода,
соединяющие измерительную катушку с вольтметром, были плотно свиты между собой.
4. Измерить индукцию магнитного поля в заданной точке М. Сравнить с
расчетной величиной (п. 3 Подготовки).
5. Подключить одновременно к источнику питания катушки L1 и L2 :
а) согласно, б) встречно. Измерить составляющие индукции магнитного поля в
точке М. Сравнить их значения с найденными в п. 4 Подготовки.
6. Вопросы для самопроверки
1. Как определяется взаимная индуктивность катушек:
а) экспериментально, б) теоретически.
2. Как зависит взаимная индуктивность: а) от геометрических параметров системы,
б) от частоты питающего напряжения.
3. Что такое векторный магнитный потенциал?
4. Как определяется магнитный поток, пронизывающий контур:
а) через магнитную индукцию,
б) через векторный магнитный потенциал.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т.2. Л.:
Энергоиздат, 1981. С. 303–305 и 311–319.
46