Исследование параметров индуктивно

4.6. Технологическая карта – инструкция по выполнению лабораторной работы
Исследование параметров индуктивно-связанных катушек
Цель работы: изучить явление взаимной индуктивности связанных катушек.
Научиться измерять взаимоиндуктивность двумя способами.
Индуктивно-связанные катушки
Основные положения и соотношения:
3.1. Явление взаимной индукции
Рис. 3.1. Индуктивно связанные элементы
Пусть имеются две катушки, намотанные в виде тонких колец. Их
активные сопротивления равны нулю, числа витков
и
. Катушки
находятся достаточно близко друг от друга, так что магнитное поле
каждой из них какой-то своей частью охватывает соседнюю.
Схематическая картина магнитных потоков, создаваемых токами и ,
показана на рис. 3.1. Каждый поток изображен в виде одной силовой
линии, обозначенной буквой
с двумя индексами. Первый – указывает
номер катушки, током которой он создается (происхождение магнитного
потока), второй – номер катушки, охватываемой этим потоком (объект
его воздействия). Рассмотрим магнитные потоки первой катушки. Ток
создает поток
, называемый потоком самоиндукции. Его часть
охватывает только первую катушку, а
сумме они равны
потоком
захватывает и витки второй. В
. Кроме того, витки первой катушки охватываются
, называемым потоком взаимной индукции и составляющим
часть потока
, создаваемого током второй катушки
магнитный поток
. Суммарный
, пронизывающий первую катушку, складывается из
потоков самоиндукции
и взаимной индукции
. Сумма берется
алгебраическая
, так как эти потоки могут быть
направлены одинаково, либо противоположно друг другу. Изображение
на рис. 3.1 соответствует второму случаю.
При принятой форме катушки можно считать, что все ее витки
охватываются одним и тем же магнитным потоком. Умножив последний
на число витков
, получим полное потокосцепление первой катушки
,
где
– собственное потокосцепление первой катушки
(потокосцепление самоиндукции);
взаимной индукции.
– потокосцепление
Каждое из этих потокосцеплений пропорционально создающему его
току:
и
. Поэтому
. При изменении
магнитного потока в катушке индуцируется эдс электромагнитной
индукции, и на ее зажимах появляется напряжение
или в символической форме
.
Аналогичное уравнение можно записать и для второй катушки.
Первое слагаемое в правой части последнего уравнения
представляет собой напряжение, обусловленное током самой катушки
(напряжение самоиндукции), а второе
– напряжение, наведенное на
зажимах первой катушки изменяющимся магнитным полем второй
катушки (напряжение взаимной ииндукции). Эти напряжения имеют
одинаковые знаки при согласном направлении магнитных потоков и
разные – при встречном.
Для решения задачи о характере включения катушек и о направлении
их магнитных потоков вводят понятие одноименных зажимов, отмечая их
на схеме одинаковыми значками. Разметку делают руководствуясь
следующим определением.
Одноименными зажимами двух катушек называются такие зажимы,
когда при одинаковых направлениях токов относительно этих
зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в
каждой катушке складываются.
Другими словами, если мы имеем две катушки, у которых отмечены
начала и концы намотки, и если токи в них протекают одинаково,
например от начала к концу в обеих катушках, то оба магнитные потока в
каждой из них будут направлены согласно.
Наличие магнитной связи между катушками обозначается на схемах
двухсторонней дугообразной стрелой, рядом с которой ставится буква
.
Пример 3.1. Записать выражения, определяющие напряжения на
зажимах каждого из элементов, изображенных на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Индуктивно связанные элементы
Р е ш е н и е. Схема а. Включение катушек согласное, так как токи в
них направлены одинаково – от звездочки в катушку. Поэтому
и
.
Знак перед напряжением самоиндукции (перед первым слагаемым)
определяется взаимными направлениями этого напряжения и тока. В
первой катушке напряжение
направлено по току, поэтому
пишется с плюсом. При определении напряжения
от
к
мы идем
против тока, поэтому перед
ставим минус. Так как включение
катушек согласное, оба слагаемые в каждом уравнении имеют
одинаковые знаки.
В схеме б катушки включены встречно – в первой ток направлен от
точки в катушку, во второй – из катушки к точке. Напряжения
самоиндукции и взаимной индукции имеют противоположные знаки:
и
.
Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуют
коэффициентом магнитной связи , определяемым как среднее
геометрическое отношений потока взаимной индукции к потоку
самоиндукции каждой катушки:
или после умножения числителя и знаменателя на
:
,
где
– сопротивление взаимной индукции.
Так как
является частью
,а
– частью
, то коэффициент
магнитной связи всегда меньше единицы. Он равен единице в том
идеальном случае, когда поток, создаваемый током одной катушки,
полностью сцепляется с витками другой катушки. А это возможно лишь
при пространственном совмещении катушек.
3.2. Последовательное соединение индуктивно связанных
элементов
Пусть две катушки, обладающие сопротивлениями
индуктивностями
и
и взаимной индуктивностью
последовательно (рис. 3.3).
и
,
, соединены
Рис. 3.3. Последовательное соединение индуктивно связанных
элементов
Возможны два вида их соединения – согласное и встречное. Если
считать, что звездочками отмечены начала обмоток, то при согласном
включении начало второй подключается к концу первой (рис. 3.3, а). Токи
в обеих катушках направлены одинаково относительно одноименных
зажимов: от начала к концу. При встречном включении катушек конец
второй присоединяется к концу первой (рис. 3.3, б).
Напряжение на каждой из катушек содержит три составляющих:
падение напряжения на активном сопротивлении, напряжение
самоиндукции и напряжение взаимной индукции:
(3.1)
Последние имеют одинаковые знаки при согласном включении и
разные при встречном. Напряжение на входе цепи равно сумме этих
двух напряжений
.
(3.2)
Входное комплексное сопротивление цепи получим из совместного
рассмотрения трех последних уравнений
,
где
и
– комплексные сопротивления катушек, а
комплексное сопротивление взаимной индукции:
,
(3.3)
–
,
.
Из (3.3) вытекают формулы, определяющие общую индуктивность
цепи и суммарное индуктивное сопротивление:
,
причем
т.е.
,
,
,
.
Можно определить результирующее индуктивное сопротивление
каждой катушки. У первой оно равно
. И здесь при согласном
включении оно больше чем при встречном. Физически это объясняется
тем, что в первом случае магнитный поток, охватывающий каждую
катушку, больше чем во втором; например, для первой катушки
,а
. Вследствие этого ЭДС
электромагнитной индукции, оказывающая току индуктивное
сопротивление, при согласном включении больше, чем при встречном.
На рис. 3.4 изображены векторные диаграммы, построенные по
уравнениям (3.1) и (3.2).
Рис. 3.4. Векторные диаграммы последовательной
цепи при согласном (а) и встречном (б) включениях
При встречном включении возможен так называемый "емкостный"
эффект, когда у одной из катушек напряжение на зажимах отстает по
фазе от тока (напряжение
на рис. 3.4, б). Это имеет место, когда
индуктивность катушки меньше величины взаимной индуктивности. В
этом случае результирующая индуктивность рассматриваемой катушки
(с учетом взаимной индукции) отрицательна:
. Для всей
цепи такой эффект невозможен. Ее индуктивность всегда положительна,
и цепь носит активно-индуктивный характер.
3.4. Разметка зажимов индуктивно связанных катушек
Если разметка осуществляется в процессе изготовления катушек, то
одноименные зажимы можно указать, проследив направления намотки.
Для двух катушек это сделать очень легко (рис. 3.7, а).
а)
б)
Рис. 3.7. Определение одноименных зажимов по характеру намотки
катушек
Поступаем следующим образом. Отмечаем один из зажимов первой
катушки каким-либо значком, например, звездочкой. Предположим, что
это – начало обмотки. Направим ток в ней от начала к концу и, пользуясь
правилом правой руки, определяем направление магнитного потока:
правой рукой охватываем катушку так, чтобы четыре пальца
показали направление тока в ее витках, тогда отогнутый большой
палец покажет направление магнитного потока. Во второй катушке ток
направляем так, чтобы его магнитный поток имел то же самое
направление. Зажим, от которого ток уходит в катушку, также является
началом. Его тоже отмечаем звездочкой.
Более сложный случай показан на рис. 3.7, б. Оказывается, здесь
невозможно указать одноименные зажимы сразу для всех трех катушек.
Приходится рассматривать их попарно и действовать так, как только что
описано. При этом, рассматривая отдельно какую-то пару катушек, на
стержень магнитопровода с третьей катушкой не обращаем внимания.
Рекомендуем самостоятельно проверить правильность разметки
зажимов, выполненной на рис. 3.7, б.
В том случае, когда направление намотки катушек неизвестно и
установить его без разрушения катушки невозможно, прибегают к
помощи электроизмерительных приборов.
Один из возможных способов заключается в следующем. Обе катушки
поочередно собирают в схемы, показанные на рис. 3.8, и подключают к
источнику синусоидального напряжения одной и той же величины.
а)
б)
Рис. 3.8. Разметка зажимов с источником синусоидального напряжения
Очевидно, что в одном случае получается согласное соединение, в
другом – встречное. Вид соединения определяем по показаниям
амперметра. Вспомним, что при согласном соединении катушек их
полное сопротивление больше, а, следовательно, при одной и той же
величине входного напряжения ток меньше, чем при встречном. А
определив вид соединения, легко делаем разметку: при согласном
последовательном соединении катушки подключаются друг к другу
разноименными зажимами (начало второй к концу первой). Если на рис.
3.8 при одинаковых показаниях вольтметров амперметр показывает 1,5
А в левой схеме и 1,1 А – в правой, то слева имеем встречное
соединение, справа согласное, и поэтому одноименными зажимами
являются первый и четвертый, а также второй и третий.
Покажем еще один способ разметки. Первую катушку присоединяем
через ключ к источнику постоянного напряжения, например, к
аккумуляторной батарее; к зажимам второй катушки подключаем
гальванометр (или вольтметр) магнитоэлектрической системы (рис. 3.9,
а).
б)
а)
Рис. 3.9. Разметка зажимов с помощью источника постоянного
напряжения
Зажим первой катушки, подключаемый к положительному полюсу
источника, помечаем каким-нибудь способом, например, прикрепляем к
нему бирку. Затем замыкаем ключ. Если стрелка прибора при этом
отбрасывается на шкалу, вешаем такую же бирку на тот зажим второй
катушки, который присоединен к положительной клемме прибора (зажим
3). Если стрелка отклоняется влево, за пределы шкалы, то одноименным
с зажимом 1 является зажим 4.
С целью теоретического обоснования метода проведем этот опыт с
катушками, направления намотки и одноименные зажимы которых
известны (рис. 3.9, б).
При замыкании ключа в первой катушке возникает возрастающий по
величине ток , который создает магнитный поток
, также
возрастающий по величине. Последний индуцирует во второй катушке
ЭДС электромагнитной индукции. Создаваемый ею ток
магнитный поток
возбуждает
, направление которого противоположно
направлению
, так как п о п р и н ц и п у Л е н ц а он должен
противодействовать его возрастанию. А магнитный поток такого
направления создается током, направление которого показано на схеме.
Напоминаем, что направления тока в катушке и создаваемого им
магнитного потока связаны правилом правой руки. Ток
в
рассматриваемой схеме протекает через гальванометр от его плюсовой
клеммы к минусовой. При таком направлении тока через прибор его
стрелка отбрасывается на шкалу.
Результатом проведенных рассуждений является следующее
практическое правило: если в процессе эксперимента при замыкании
ключа стрелка прибора магнитоэлектрической системы отклоняется
в сторону шкалы, то одноименными являются зажимы,
присоединенные к плюсу батареи и плюсу прибора.
Магнитный поток обусловлен током
WI
Ф = -----Rмаг
На рис. 7.1. показаны магнитные потоки индуктивно-связанных катушек:
Ф21 и Ф12 – потоки взаимной индукции;
Фд - поток рассеяния.
Полный магнитный поток, создаваемый током каждой катушки, состоит из потока
рассеяния и потока взаимной индукции и называется потоком самоиндукции:
Ф11 = ФS1 + Ф21 - для первой катушки,
Ф22 = ФS2 + Ф12 - для второй катушки.
Эти потоки определяют величины собственных индуктивностей L1 , и L2 катушек.
Ф21
Ф 11
Ф12
Ф 22
ФS2
Ф S1
i1
a
W1
i2
b
c
W2
d
Рис. 7.1.
Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи током
другой характеризуется взаимной индуктивностью М. Если потокосцепление 12 первой
катушки обусловлено током i2 второй катушки, то взаимная индуктивность равна:
12
W1Ф12
М12 = ------- = ---------i2
i2
(1)
Аналогично для второй катушки:
21
W2Ф21
М21 = ------- = ---------i1
i1
(2)
Для линейных электрических цепей взаимная индуктивность
М12 = М21 = М и зависит от геометрических размеров, числа витков и взаимного
расположения катушек. Э.д.с. взаимной индуктивности:
d21
di1
e2M = ------- = - M ------dt
dt
d12
di2
e1M = ------- = - M ------dt
dt
При синусоидальном изменении токов действующие значения э.д.с. взаимной
индукции:
.
.
.
E2M = -jMI1 = -j xM I1
.
.
.
(3)
E1M = -jMI2 = -j xM I2
Полное потокосцепление каждого элемента:
1 = 11 + 12 = W1 Ф1 + W1 Ф12 = L1 i1 + M i2
2 = 22 + 21 = W2 Ф2 + W2 Ф21 = L2 i2 + M i1
(4)
Степень индуктивной связи двух элементов характеризуется коэффициентом связи:
K
Ф21  Ф12

Ф1  Ф2
М
L1 L2
(5)
Если протекающий по катушкам ток изменяется во времени, то напряжения на
катушках:
d1
u1 = r1i + ------dt
d1
u1 = r1i + ------dt
(6)
M
M
i
U
i
r 1L1
U1
r 2 L2
U2
U
а) - согласное включение
r 1L1
U1
r 2 L2
U2
б) - встречное включение
Рис. 7.2.
При синусоидально изменяющемся токе уравнения (6) можно записать так:
.
.
.
.
U1 = r1I + j(L1 M)I = (r1 j x1Э)I
.
.
.
.
U2 = r2I + j(L2 M)I = (r2 j x2Э)I
(7)
.
.
.
.
.
.
.
U = U1 + U2 = ( r1 + r2)I + j(L1 + L2+2M)I = (rЭ+ j xЭ)I = ZЭI
Где - rЭ = r1 + r2 ; x1Э = (L1  M); x2Э = (L2  M); xЭ = (L1 + L2  2M)
Входное комплексное сопротивление цепи:
U
Z Э   rЭ  jxЭ  Z 1  Z 2  2Z M
I
где - Z 1  r1  jL1  r1  jx1
Z 2  r2  jL2  r2  jx2
Z M  jM  jxM
При согласном включении параллельно соединенных индуктивно-связанных
катушек (рис. 7.3) уравнения состояния цепи имеют вид:
.
.
.
.
U1 = r1I1 + jL1 I1 + jMI2 = Z 1 I1  Z M I2
.
.
.
.
U2 = r2I2 + jL2 I2 + jMI1 = Z 2 I 2  Z M I1
. .
.
I = I1 + I2
Z1Z 2  Z M
Z 1  Z 2  2Z M
2
Z Эвх 
(9)
M
i
r L
1
r L
1
U
i
2
i
1
2
2
Рис. 7.3.
Комплексные значения полных мощностей в катушках при согласном включении:
S 1  r1 I1  P1M  j (L1 I1  Q1M )  P1  jQ1
2
2
S 2  r2 I 2  P2 M  j (L2 I 2  Q2 M )  P2  jQ1
2
2
где - P1M = MI1I2 sin(1 - 2);
P2M = -MI1I2 sin(1 - 2);
Q1M = Q2M = MI1I2 cos(1 - 2);
(10)
(11)
При согласном соединении (М > 0) и при (1 - 2)   из уравнения (11) получаем
P1M > 0, P2M < 0, т.е. в первую катушку поступает мощность
P1  r1 I 21  P1M ,
которая больше мощности, расходуемой в первой катушке на тепловые потери на
величину мощности P1M , передаваемой из первой катушки во вторую. Во вторую катушку
сеть поставляет мощность на величину P2M меньшую, чем мощность тепловых потерь во
второй катушке
P2  r2 I 2 2  P2 M
При встречном соединении (М < 0) и 1 - 2  /2
P1M < 0, а P2M > 0 - мощность передается из второй катушки в первую.
Экспериментальное определение взаимной индуктивности М можно произвести
двумя способами:
 по величине э.д.с. взаимоиндукции (рис. 7.4):
E1M
E2M
М = ------ или М = ------.
I2
I1
 по величине реактивного сопротивления цепи при последовательном
соединении катушек в случае встречного и согласного включения:
x Э.согл   ( L1  L2  2M )
xЭ.встр.   ( L1  L2  2M )
xЭ. cогл. - xЭ. встр.
тогда xM = M = --------------------4
xЭ. cогл. - xЭ. встр.
M = ---------------------4
Вольтметр должен иметь большое входное сопротивление.
ЭДС самоиндукции
Индуктивность соленоида.
и
индуктивность.
Энергия
магнитного
поля.
Индукцией называется явление возникновения электрического тока в замкнутом
контуре при изменении магнитного потока, пронизывающий этот контур (закон Фарадея).
ЭДС индукции в замкнутом контуре пропорционален скорости изменения
магнитного потока:

Ei  
…………………………………………………………………………. (3.7)
t
Знак минус следует из правила Ленца, которое утверждает, что индукционный ток
имеет такое направление, при котором создаваемое им магнитное поле, противодействует
изменению магнитного потока, вызывающего этот ток.
Если магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, меняется в
связи с изменением тока, протекающего по контуру, то в контуре возникает ЭДС
самоиндукции:

………………………………………………………………………………
Esi  
t
(3.8)
Отношение магнитного потока через контур, созданного магнитным полем тока в
контуре, к силе этого тока называют индуктивностью контура. Обозначается
индуктивность L, в системе СИ измеряется генри (Гн). Отсюда ЭДС самоиндукции
находится как

I
…………………………………………………………………………. (3.9)
Esi  
 L
t
t
При произвольном изменении силы ток в контуре ЭДС самоиндукции определяется
как
dI
E si   L ……………………………………………………………………………..
dt
(3.10)
Индуктивность бесконечно длинного соленоида может быть вычислена по
формуле:
N2
L  0 n 2V (3.11) или
L  0 
S
l
………………………………………………….(3.12)
N
где n  ; N – число витков соленоида, на единице длины l; V – объем соленоида.
l
Энергия магнитного поля выражается следующей формулой
LI 2
(3.13)
Wм агн 
2
Взаимная индукция и взаимная индуктивность.
Взаимная индуктивность является параметром магнитосвязанных проводников.
Обозначается взаимная индуктивность М, измеряется в генри (Гн).
Взаимная индуктивность двух магнитосвязанных катушек зависит от числа витков
этих катушек, габаритов и материала магнитопровода, на котором располагаются
катушки. Математическая запись этой зависимости имеет следующий вид:
WW
M  0  r 1 2 S
………………………………………………………. (3.14)
l
При отсутствии рассеяния величина взаимной индукции также определяется по
формуле:
M  L1L2 …………………………………………………………………….. (3.15)
При наличии рассеяния в формулу вводится коэффициент связи, и формула
приобретает следующий вид:
M   L1L2 ……………………………………………………………………. (3.16)
Явление наведения ЭДС взаимоиндукции в одной из магнитосвязанных катушек,
вызванное изменением тока в другой катушке, называется явлением взаимоидукции. ЭДС
взаимноиндукции определяется по формуле:
di
……………………………………………………………..(3.17)
и
EM 2   M 1
dt
di
E M 1   M 2 …………………………………………………………………………….(3.18)
dt
Знак «-» отражает правило Ленца.
Приборы и оборудование:
1. Лабораторный трансформатор ЛАТР.
2. Универсальный трансформатор.
3. Амперметр Э59 2,5 – 5 А.
4. Вольтметр Э59 75 – 150 – 300 – 600 В.
5. Вольтметр Э59 7,5 – 15 – 30 – 60 В.
6. Ваттметр Д539 1 А, 150 В.
7. Соединительные провода.
Схема опыта: Рис.1.
Порядок работы.
1. Ознакомиться с приборами и оборудованием.
2. Собрать схему (Рис. 1) для согласного включения катушек и предъявить ее
на проверку.
3. Показания приборов записать в таблицу 1.
Таблица 1. Результаты измерений и вычислений
Измерено
Характер
I
U
соединения А
В
Согласное
Встречное
P
Вт
Z
Ом
Вычислено
X
R
Ом
Ом
M
Гн
4. По данным замеров вычислить активное, полное и индуктивное
сопротивление для согласного соединения катушек.
Активное сопротивление Rс =
Полное сопротивление Zc =
Pс
, Ом ;
I с2
U
, Ом;
Ic
Индуктивное сопротивление Xc = Z c2  R с 2 , Ом.
5. Собрать схему для встречного включения катушек Рис. 2 и предъявить
ее на проверку.
Схема опыта: Рис.2.
6. Снять показания приборов и записать данные измерений в таблицу 1.
7. По данным замеров вычислить активное, полное и индуктивное
сопротивления катушек для встречного включения:
Rв =
Pв
;
I в2
Zв =
U
;
Iв
Xв = Z в2  R с 2 .
8. Определить взаимную индуктивность катушек:
М=
Хс  Хв
; ω = 2πf; f = 50 Гц.
4
9. Собрать схему для определения взаимной индуктивности другим
способом Рис. 3 и предъявить ее на проверку.
Схема опыта: Рис.3.
Снять показания приборов и записать в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты измерений и вычислений
Измерено
U2
В
I1
А
Вычислено
M
Гн
10.Взаимную индуктивность катушек определить по формуле:
М=
U2
, Гн, т.к. при разомкнутой вторичной цепи ЭДС взаимной
  I1
индукции равна по величине напряжению, которое показывает
вольтметр V2. Результаты расчетов записать в таблицу 2.
11.Сделать выводы по работе и составить отчет.
12.Ответить на контрольные вопросы.
 Какие две катушки называются индуктивно связанными?
 Какое включение катушек называется согласным и встречным?
 Что такое воздушный трансформатор?

На цилиндрическом сердечнике находятся рядом две катушки: указать
одноименные зажимы катушек, если их намотка выполнена в одном
направлении и в разных направлениях.