Исследование взаимных индуктивностей круглых и

Лабораторная работа № 57
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ КРУГЛЫХ
И ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КАТУШЕК
1. Краткое содержание работы
В работе исследуется зависимость взаимной индуктивности М круглых
и прямоугольных катушек от расстояния x между ними, а также строится
на основе опытных данных картина магнитного поля круглой катушки.
Предлагается экспериментально определить взаимную индуктивность
для двух одинаковых круглых, двух одинаковых прямоугольных и
смешанной пары катушек, построить линии индукции магнитного поля
круглой катушки. Произвести сравнение с теоретически рассчитанными
значениями.
2. Описание установки
Исследуемые круглые и прямоугольные катушки закреплены на
основании, выполненном из неферромагнитного материала (рис. 1).
Измерительные
Исследуемые катушки
катушки
неподвижная
подвижная
Переключатель
К
x
Рис. 1
Катушки располагаются в параллельных плоскостях, причем одна из
них может перемещаться вдоль продольной оси системы так, что при
изменении расстояния x между катушками они остаются параллельными
друг другу.
56
В одной из неподвижных стоек основания расположены пять
измерительных катушек (датчиков), используемых для построения линий
магнитной индукции. Датчики имеют общий центр, лежащий на
продольной оси системы. Исследуемые и измерительные катушки
подключаются к измерительной схеме с помощью переключателя К,
укрепленного на том же основании. Круглые и прямоугольные катушки
имеют соответственно 1000 и 500 витков, а их геометрические параметры
приведены на рис. 2.
R2
R1

a
l
l
R1 = 32 мм; R2 = 38 мм; l = 30 мм;
b
a = 130 мм; b = 70 мм;  = 10 мм;
l = 25 мм;
Рис. 2
Измерительные катушки имеют по 100 витков весьма тонкого провода,
так что их можно считать эквивалентными круговым контурам с
радиусами: r1 = 10 мм; r2 = 20 мм; r3 = 30 мм; r4 = 45мм; r5 = 60 мм.
3. Теоретическая справка
3.1. Расчет взаимной индуктивности катушек
Взаимная индуктивность M  21 i1 , где21 – потокосцепление
второй катушки, обусловленное магнитным полем первой катушки; задача
сводится к расчету потокосцепления 21 при заданном токе i1.
Круглые катушки
Смоделируем каждую из катушек витком радиуса R0 (рис. 3). При этом
взаимная индуктивность определяется приведенным в [2] выражением:
M   0 w1 w2  R0  f (k ),
2
2

f (k )    k   K   E ,
k
k

(1)
где K,E – полные эллиптические интегралы первого и второго рода,
являющиеся функциями модуля k.
57
4 R02
k  2
.
x  4 R02
2
i1w1
w2
R0
R0
x
Рис. 3
Кривые зависимости величины f(x) от k приведены на рис. 2
лабораторной работы № 56.
При использовании расчетной модели «виток-виток» достоверные
результаты согласно (2) следует ожидать для катушек, линейные размеры
сечений которых малы по сравнению с расстоянием между катушками. В
ситуации, когда это условие не соблюдается, можно предложить алгоритм
приближенного расчета, основанный на представлении каждой из катушек
совокупностью n витков, образующих каждый однослойную катушку, как
это показано, например, на рис. 4 при n=3. При таком подходе взаимная
индуктивность М может быть определена соотношением
1 n n
M  2   M kp ,
n k 1 p 1
(2)
где Mkp – взаимные индуктивности соответствующих пар витков,
определенные из модели «виток-виток». Для представленного на рис. 4
разбиения катушек величины Mkp составляют таблицу, элементы которой
1
2
1
3

x31
x
Рис. 4
58
2
3
определяются из соотношения (2), причем справедливы равенства
M11 = M22 = M33 ; M12 = M23 ; M21 = M32 (табл. 1).
Таблица 1
M11
M21
M31
M12
M22
M32
M13
M23
M33
Достоинство этого алгоритма в том, что реальные геометрические
размеры катушек учитываются на основе расчета упрощенной модели
«виток-виток». Увеличение числа разбиений n повышает точность
расчета зависимости M(x), но
требует численного интегрирования
базового решения (2) и выполняется на компьютере.
Прямоугольные катушки
Расчет осуществляется по формуле [1]
 0 w2 S 2
M 

,
2 x 3
где S = a0bo; a0, b0 – размеры средней линии катушки (см. рис. 5).
(3)
При замене каждой из катушек прямоугольными витками со сторонами
a0 и b0 расчет взаимной индуктивности такой системы проведем
приближенно, на основе метода участков [1,2]:
4
4
M  w1 w2   M kp ,
(4)
k 1 p 1
где Mкр – взаимная индуктивность между k-м отрезком первого витка и p-м
отрезком второго витка (рис. 5). Величины Mkp для всех взаимно
перпендикулярных отрезков
равны нулю (например, M12 = 0). Для
параллельных отрезков Mkp определяется соотношением
M kp
 0 l   l  l 2  D 2

ln
2  
D
2
2


  l  D  D ,

l


(5)
где l – длина отрезков, D – расстояние между ними:
a
l 0
b0
и
x

 2
2
D   x  a0 .
 x2  b2
0

Знак коэффициента Mkp определяется по положительным направлениям
обхода каждого прямоугольника. При совпадении направления обхода в k
и p отрезках в соотношении (5) берется знак «+», в противном случае «–»
(для упрощения расчета здесь не учитывается винтовой характер намотки).
59
b0
2
2
3
3
1
1
a0
4
4
x
Рис. 5
Учет реальных размеров катушек при необходимости можно провести
так же, как это было сделано для круглых катушек (см. рис. 4).
Смешанная пара катушек
Пусть по круглой катушке проходит ток i1. Определим магнитный
поток Ф21, проходящий через прямоугольный контур, по известному
выражениею [1,2]
 21   A d l .
l
Согласно [1], модуль векторного потенциала тока i1w1, проходящего по
круговому витку радиуса R0, в любой точке пространства на расстоянии R
от оси витка равен A2 
 0 i1 w1
2
x
R0
 f (k ) и, находясь в плоскости,
R
w2
b0
R0
A2
a0

R
i1w1
A2
а)

б)
Рис. 6
60
параллельной плоскости кругового витка, направлен перпендикулярно
радиусу R . В последнем выражении f(k) – используемая ранее функция
(1), определяемая значением эллиптических интегралов первого и второго
рода модуля k
k2 
4 R0 R
.
x 2  ( R0  R) 2
(6)
Рассчитаем магнитный поток Ф21, проведя численное интегрирование
по периметру прямоугольного контура. Приближенно заменим интеграл
суммой четырех одинаковых, с учетом симметрии задачи, пар слагаемых.
Для каждой пары отрезков длиной b0/2 и a0/2 определим в их средних
'
"
точках (рис. 6,б) векторные потенциалы A 2 и A 2 . Спроектировав
найденные векторы на соответствующие стороны контура, получим
b
a 

 21  4   A2'  cos α 0  A2''  cos β 0  .
2
2

Тогда взаимная индуктивность M=w2Ф21/i1 круглой и прямоугольной
катушек, находящихся на расстоянии x друг от друга,
 0 w1 w2 S Ro  f (k ' ) f (k '' ) 

,
M

2
 R' 32 R' 32 


(7)
где S = a0b0 – площадь прямоугольного контура, а модули k/ и k//
определены по формуле (6) для значений R/ и R// соответственно.
3.2. Расчет координат точек, принадлежащих линиям магнитной
индукции круглой катушки
Заменим катушку витком радиуса R0 с током iw (рис. 7). Определим
поток Ф, проходящий сквозь сечение магнитной трубки радиуса r,
находящейся на расстоянии x от витка с током. Согласно [1] имеем
(8)
   0iw  R0 R  f (k ) ,
где f(k) – функция (2) модуля, определяемого соотношением (6).
Выражение (8) позволяет рассчитать координаты точек силовых
линий магнитного поля, которым при проведении эксперимента
соответствовали показания вольтметра U1=U, U2=2U,… Un=nU. Для
этого зададимся значением напряжения U1, пропорционального потоку Ф1,
проходящему сквозь сечение первой трубки магнитного потока радиуса r1.
Учитывая равенство 1  U1 (  wД ) , где wД – число витков
измерительной катушки (датчика), определим по (7) значение f(k):
f (k1 ) 
1
.
m0 iw  R0 r
61
Фn
Ф
iw
R0
Ф1
R
x
Рис. 7
Затем с помощью зависимости f(k), приведенной на рис. 2
лабораторной работы № 56, по найденному f(k) получим значение
аргумента k1, что по (6) позволяет рассчитать координату x1 точки,
принадлежащей силовой линии 1 магнитного поля.
Аналогично определим координаты x2, x3, … точек, отстоящих от
продольной оси катушки на расстояния r2, r3,… и принадлежащих той же
силовой линии магнитного поля. Повторяя эту процедуру для значений Ф 2,
Ф3, … Фn, получаем значения координат силовых линий.
Если при расчете по (6) значение xj при некотором rj получится
мнимым, то данная силовая линия не пересекает линию rj = const.
4. Задание на подготовку к работе
1. Построить зависимости взаимной индуктивности от расстояния для:
а) пары круглых катушек,
б) пары прямоугольных катушек, используя модели «виток-виток» и
разбиение на несколько (3–5) однослойных катушек;
в) смешанной пары катушек, для модели «виток-виток».
Параметры катушек взять из описания установки, диапазон расстояний
40…120 мм. На графики будут наноситься экспериментальные точки,
поэтому их рекомендуется строить на миллиметровке.
5. Рабочее задание
1. Собрать схему рис. 8. Используя в качестве источника генератор
синусоидальных сигналов, необходимо по одной из катушек пропустить
переменный ток заданной частоты   2f и измерить возникающее на
второй катушке напряжение (переключатель К в положении 6). При этом
взаимная индуктивность М определяется соотношением
62
Исследуемые
катушки
Генератор
синусоидального
напряжения
К
V
6
1..5
измерительная
катушка
А
Рис. 8
M  U  I ,
(9)
где U, I – показания используемых в схеме вольтметра и амперметра.
В эксперименте установить напряжение генератора порядка 10 В, а
частоту f =100+100n Гц, где n – номер бригады.
Для катушек различной формы нужно снять показания вольтметра
U(x), варьируя расстояние x от минимального до максимально возможного.
Эти данные позволяют определить, согласно (9), зависимость М(х) для
пары круглых и пары прямоугольных катушек. Кроме того, следует
рассмотреть сочетание круглой и прямоугольной катушек, используя в
качестве источника магнитного поля поочередно каждую из них. Две
последние зависимости должны совпадать вследствие принципа
взаимности (М12 = М21).
Полученные зависимости следует нанести на подготовленные
теоретические графики и сравнить их между собой.
2. Подключить к источнику подвижную круглую катушку. С
помощью переключателя К (рис. 8) к датчику 5, имеющему максимальный
диаметр, подсоединить вольтметр и его показания U5 зафиксировать при
максимальном сближении датчика и исследуемой катушки (рис. 9,а).
Задавшись числом линий магнитной индукции n, которое требуется
определить экспериментально (n=5…10), рассчитать величину U= U5/n,
пропорциональную магнитному потоку Ф. Ток в катушке подобрать
таким, чтобы величина U составляла не менее 3…5 мВ.
При определении положения первой линии магнитной индукции,
которой соответствуют показания вольтметра U, подключить к нему
датчик 1. Перемещая катушку с током относительно датчика, определить
такое расстояние x1 между ними, при котором вольтметр покажет
напряжение U. Затем соединить с вольтметром датчик 2 и зафиксировать
координату x2, в которой показания вольтметра также составят U.
Проделав такие же измерения поочередно с датчиками 3,4 и 5, получим
еще три принадлежащих данной силовой линии точки (x3,x4,x5). Изобразить
на бумаге продольное сечение круглой катушки и, нанеся на рисунок
найденные пять точек (рис. 9,б), соединить их плавной линией, которая
соответствует магнитной трубке с потоком Ф.
63

_
B

x3 x2
x1
Датчик
а)
б)
Рис. 9
Аналогично определяются координаты точек, принадлежащих
остальным n–1 линиям магнитной индукции, поскольку каждой из них
соответствуют определенные показания вольтметра (2U, 3U и т.д.).
Для обработки результатов эксперимента необходимо зафиксировать
значения тока в катушке i, круговой частоты сигнала  и напряжения U5.
В заключение заметим, что экспериментальная картина магнитного
поля круглой катушки может быть получена в ограниченной части
пространства, определяемой размерами используемых в данной установке
датчиков.
3. На основании опытных данных, рассчитать (по п. 3.2 Теоретической
справки) линии магнитной индукции круглой катушки и нанести их на
график с экспериментальными результатами.
6. Вопросы для самопроверки
1. Сравните предложенные выше расчетные модели, перечислите их достоинства и
недостатки.
2. Объясните причины возможного несовпадения экспериментальных и расчетных
магнитных силовых линий.
3. Как по имеющейся картине магнитных силовых линий построить
приближенную зависимость взаимной индуктивности двух круглых катушек от
расстояния x?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2.
Л.: Энергоиздат, 1981. § 9–15, 10–2, 10–4, 10–5.
2. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Л.: Энергоатомиздат,
1986. § 5–8, 5–11, 7–12.
3.
Нейман Л.Р., Демирчян К.С., Юринов В.М. Руководство к лаборатории
электромагнитного поля. М.: Высш. шк., 1966.
64