Ð¢ÐµÐ¾Ñ€Ð¸Ñ Ð¿Ð¾Ð»Ñ..

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
Р. Б. Лапшина
Типовая расчетная работа по теме: «Теория поля»
и методические рекомендации к ней
для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ТР
Тема: Теория поля
Теоретические вопросы:
1. Скалярное поле. Производная по направлению.
2. Градиент скалярного поля.
3. Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл.
4. Формула Остроградского.
5. Дивергенция векторного поля.
6. Циркуляция векторного поля.
7. Формула Стокса.
8. Потенциальное поле. Условия потенциальности.
Расчетные задания
Задание 1. дана функция u  M   u  x, y, z  и точки M и M . Вычислить:
1
2
1) производную этой функции в т. M по направлению вектора M M ;
1 2
1
 
2) grad u M .
1
1.1 u  M   x2 y  y 2 z  z 2 x , M 1, 1,2  , M  3,4, 1 .
1
2
1.2 u  M   5xy3z 2 , M  2,1, 1 , M  4, 3,0  .
1
2


1.3 u  M   ln x 2  y 2  z 2 , M  1,2,1 , M  3,1, 1 .
1
2
1.4 u  M   z  e x
2
 y 2  x2
, M1  0,0,0  , M 2  3, 4,2  .
1.5 u  M   ln  xy  yz  xz  , M1  2,3, 1 , M 2  2,1, 3 .
1.6 u  M   1  x 2  y 2  z 2 , M1 1,1,1 , M 2  3,2,1 .
1.7 u  M   x 2 y  xz 2  2 , M1 1,1, 1 , M 2  2, 1,3 .
1.8 u  M   xe y  ye x  z 2 , M1  3,0,2  , M 2  4,1,3 .
1.9 u  M   3xy 2  z 2  xyz , M1 1,1,2  , M 2  3, 1,4  .
1.10 u  M   5 x 2 yz  xy 2 z  yz 2 , M1 1,1,1 , M 2  9, 3,9  .
1.11 u  M  
x
, M1 1,2,2  , M 2  3,2, 1 .
x2  y 2  z 2
1.12 u  M   y 2 z  2 xyz  z 2 , M1  3,1, 1 , M 2  2,1,4  .
1.13 u  M   x 2  y 2  z 2  2 xyz , M1 1, 1,2  , M 2  5, 1,4  .
1.14 u  M   ln 1  x  y 2  z 2  , M1 1,1,1 , M 2  3, 5,1 .
1.15 u  M   x 2  2 y 2  4 z 2  5 , M1 1,2,1 , M 2  3,1,6  .
1.16 u  M   ln  x3  y 3  z  1 , M1 1,3,0  , M 2  4,1,3 .
1.17 u  M   x  2 y  e z , M1  4, 5,0  , M 2  2,3,4  .
1.18 u  M   x y  3xyz , M1  2,2, 4  , M 2 1,0, 3 .
1.19 u  M   3x 2 yz 3 , M1  2, 3,1 , M 2  5, 2,0  .
1.20 u  M   e xy  z , M1  5,0,2  , M 2  2,4, 3 .
3
1.21 u  M   x yz , M1  3,1,4  , M 2 1, 1, 1 .
1.22 u  M    x 2  y 2  z 2  , M1 1,2, 1 , M 2  0, 1,3 .
3
1.23 u  M    x  y  , M1 1,5,0  , M 2  3,7, 2  .
z
1.24 u  M   x 2 y  y 2 z  3z , M1  0, 2, 1 , M 2 12, 5,0  .
1.25 u  M  
10
, M1  1,2, 2  , M 2  2,0,1 .
x  y2  z2  1
2
Задание 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции u  u  x, y, z  в M  x0 , y0 , z0  .
2.1 u  M   xyz,
M  0,1, 2  .
2.2 u  M   x 2 yz ,
M  2,0,2  .
2.3 u  M   xy 2 z ,
M 1, 2,0  .
2.4 u  M   xyz 2 ,
M  3,0,1 .
2.5 u  M   x 2 y 2 z ,
M  1,0,3 .
2.6 u  M   x 2 yz 2 ,
M  2,1, 1 .
2.7 u  M   xy 2 z 2 ,
M  2,1,1 .
2.8 u  M   y 2 z  x 2 ,
M  0,1,1 .
2.9 u  M   x 2 y  y 2 z ,
M  0, 2,1 .
2.10 u  M   xy  xz,
M  0,1,2  .
2.11 u  M   xy  xz,
M  1,2,1 .
2.12 u  M   xy 2 z ,
M 1, 1,1 .
2.13 u  M   xyz,
M  2,1,0  .
2.14 u  M   xyz 2 ,
M  4,0,1 .
2.15 u  M   2 x 2 yz ,
2.16 u  M   x 2 yz ,
M  3,0,2  .
M 1,0,4  .
2.17 u  M    x  y  z 2 ,
M  0, 1,4  .
2.18 u  M    x  z  y 2 ,
M  2,2,2  .
2.19 u  M   x 2  y 2  z  ,
M  4,1, 3 .
2.20 u  M    x 2  z  y 2 ,
M  4,1,0  .
2.21 u  M   x 2  y  z 2  ,
M  3,0,1 .
2.22 u  M    x 2  y  z 2 ,
M 1, 2,1 .
2.23 u  M   x  y 2  z 2  ,
M 1, 2,1 .
2.24 u  M   x 2  3 y 2  z 2 ,
2.25 u  M   x 2 z  y 2 ,
Задание
3.
Даны
M  0,0,1 .
M 1,1, 2  .
векторное
поле
aM 
и
плоскость
Ax  By  Cz  D  0  p  , которая совместно с координатными плоскостями
образует пирамиду V .
Пусть  - основание пирамиды, принадлежащее плоскости p ,  - контур, ограничивающий p , n0 - нормаль к  , направленная вне пирамиды V .
Вычислить:
1)
поток векторного поля a  M  через поверхность  в направлении
нормали n0 ;
2)
поток векторного поля a  M  через полную поверхность пирамиды
V в направлении внешней нормали n0 непосредственно и по фор-
муле Остроградского;
3)
циркуляцию векторного поля a  M  по замкнутому контуру  непосредственно и по формуле Стокса.
3.1 aM   3xi   y  z  j  x  z k ,  p  : x  3 y  z  3 .
3.2 a  M    3x  1 i   y  x  z  j  4 zk ,  p  : 2 x  y  2 z  2 .
3.3 a  M   xi   x  z  j   y  z  k ,  p  : 3x  3 y  z  3 .
3.4 a  M    y  3z  i   x  2 z  j   x  2 y  k ,  p  : 2 x  y  2 z  2 .
3.5 a  M    x  z  i   z  x  j   x  2 y  z  k ,  p  : x  y  z  2 .
3.6 a  M    x  z  i  2 y j   x  y  z  k ,  p  : x  2 y  z  2 .
3.7 a  M    3x  y  i   2 y  z  j   2z  x  k ,  p  : 2 x  3 y  z  6 .
3.8 a  M    2 y  z  i   x  y  j  2zk ,  p  : x  y  z  2 .
3.9 a  M    x  y  i  3 y j   y  z  k ,  p  : 2 x  y  2 z  2 .
3.10 a  M    x  y  z  i  2 y j   x  2 z  k ,  p  : x  2 y  z  2 .
3.11 a  M    y  z  i   2 x  y  j  zk ,  p  : 2 x  y  z  2 .
3.12 a  M   xi   y  2 z  j   2 x  y  2 z  k ,  p  : x  2 y  2 z  2 .
3.13 a  M    x  2 z  i   y  3z  j  zk ,  p  : 3x  2 y  2 z  6 .
3.14 a  M   4 xi   x  y  z  j   3 y  2 z  k ,  p  : 2 x  y  z  4 .
3.15 a  M    2 z  x  i   x  2 y  j  2 zk ,  p  : x  4 y  2 z  8 .
3.16 a  M   4 zi   x  y  z  j   3 y  z  k ,  p  : x  2 y  2 z  2 .
3.17 a  M    x  y  i   y  z  j  2  z  x  k ,  p  : 3x  2 y  2 z  6 .
3.18 a  M    x  y  z  i  2 z j   y  7 z  k ,  p  : 2 x  3 y  z  6 .
3.19 a  M    2 x  z  i   y  x  j   x  2z  k ,  p  : x  y  z  2 .
3.20 a  M    2 y  z  i   x  y  j   3x  z  k ,  p  : x  2 y  2 z  4 .
3.21 a  M    2 z  x  i   x  y  j   3x  z  k ,  p  : x  y  2 z  2 .
3.22 a  M    x  z  i   x  3 y  j  yk ,  p  : x  y  2 z  2 .
3.23 a  M    x  z  i  z j   2 x  y  k ,  p  : 2 x  2 y  z  4 .
3.24 a  M    3x  y  i   x  z  j  yk ,  p  : x  2 y  z  2 .
3.25 a  M    y  z  i   2 x  z  j   y  3z  k ,  p  : 2 x  y  3z  6 .
Методические рекомендации к выполнению ТР
Основные теоретические сведения
1)
Скалярным полем называется скалярная функция точки M вместе с
областью ее определения.
Скалярное поле U  M  характеризуется градиентом
gradU 
U
U
U
i
j
k
x
y
z
и производной по направлению S :
U U
U
U

cos 
cos  
cos  ,
S
x
y
z
где  cos ,cos  ,cos   - координаты единичного вектора направления S .
2)
Векторным полем a  M  называется векторная функция точки M :
a  M   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k .
Векторное поле a  M  характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:
diva  M  
P Q R


x y z
И векторной величиной – ротором:
i

rota  M  
x
P
j

y
Q
k


z
R
 R Q   P R 
 Q P 


i


 j 

 k.

y

z

z

x

x

y


 


Векторное поле a  M  называется соленоидальным, если в каждой точке
этой области diva  M   0 .
Векторное поле a  M    P, Q, R  называется потенциальным в области
V , если в каждой точке этой области rota  M   0 .
Для потенциального векторного поля a  M   Pi  Q j  Rk справедлива
формула для нахождения потенциальной функции
U  x, y , z  

Pdx  Qdy  Rdz  C ,
M 0M
где M 0  x0 , y0 , z0  - фиксированная точка области V , M  x, y, z  - любая точка
области V , C - произвольная постоянная.
3) Циркуляция векторного поля
a  M   P  x, y, z  i  Q  x, y, z  j  R  x, y, z  k
по замкнутой кривой l называется криволинейный интеграл
C
 Pdx  Qdy  Rdz   a  dS ,
l
l
где dS  dxi  dy j  dzk .
4)
Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией вектор-
ного поля a  M  и его ротором:
 Pdx  Qdy  Rdz    rota, n d ,
l
где  - поверхность, ограниченная замкнутым контуром l , n - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с
направлением обхода контура l .
Пример 1. Найти величину и направление наибольшего изменения функции U  M   5 x 2 yz  7 xy 2 z  5 xyz 2 в точке M 0 1,1,1.
Решение. Находим частные производные функции U  M  в любой точке
M  x, y, z  и в точке M 0 :
U  M 0 
U  M 
 10 xyz  7 y 2 z  5 yz 2 ,
 10  7  5  8 ,
x
x
U  M 
 5 x 2 z  14 xyz  5 xz 2 ,
y
U  M 0 
 5  14  5  4 ,
y
U  M 0 
U  M 
 5  7  10  8 .
 5 x 2 z  7 xy 2  10 xyz,
y
z
Тогда в точке M 0 1,1,1 имеем gradU  M 0   8i  4 j  8k . Наибольшая
скорость изменения поля в точке M 0 достигается в направлении gradU  M 0 
gradU  M 0  :
U  M 0 
 gradU
 max
U  M 0 
 gradU  M 0   82  (4)2  82  12 .
S
Пример 2. вычислить работу силы F  yzi  xz j  xyk вдоль отрезка прямой AB , если A 1,1,1 и B  2,3,4 .
Решение. Запишем параметрические уравнения прямой AB :
x 1 y 1 z 1


t;
2 1 3 1 4 1
x  t  1,
y  2t  1,
z  3t  1 , где 0  t  1 .
Тогда работа A силы F на пути AB вычисляется по формуле
A
 F  dS  
LAB
yzdx  xzdy  xydz 
LAB
1
   2t  1   3t  1 dt   t  1   3t  1  2dt   t  1   2t  1  3dt 
0
1
  18t 2  22t  6  dt  23.
0
Пример 3. Вычислить циркуляцию векторного поля
a  M    x  2 z  i   x  3 y  z  j   5x  y  k
по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости
 p  : x  y  z  1 с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора n  1;1;1 этой плоскости двумя
способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы
Стокса.
Z
1 C
B
0
1
Y
A
X
Решение. В результате пересечения плоскости  p  с координатными
плоскостями получим треугольник ABC и укажем на нем положительное
направление обхода контура ABCA .
1. Вычислим циркуляцию C данного поля по формуле:
C

ABCA
На отрезке AB имеем:
a  dS 
 a  dS   a  dS   a  dS .
AB
BC
CA
z  0,
x  y  1,
y 1 x ,
a  xi   x  3 y  j   5x  y  k , dS  dxi  dy j ,
dy  dx .
a  dS  xdx   x  3 y  dy ,
0
 3x 2

3
a

dS

xdx

x

3
y
dy

x

x

3
1

x
dx

3
x

3
dx


3
x













0
0
 2
1 2
AB
AB
1
На отрезке BC : x  0 ,
y  z  1,
a  2 zi   3 y  z  j  yk ,

z 1 y ,
dS  dy j  dzk ,
a  dS 
 y  1
3
y

z
dy

ydz

3
y

1

y

y
dy

y

1
dy










BC
1
0
2 0
2
0
x  z  1,
На отрезке CA : y  0 ,
 a  dS 
dz  dy ,
a  dS   3 y  z  dy  ydz ,
1
BC
CA
1

1
3
2
dz  dx , a  dS   x  2 z  dx  5xdz ,
1
1
0
0
2
  x  2 z  dx  5 xdz    x  2  2 x  5 x dx    2 x  2 dx   x  2 x  0  3
CA
Следовательно, C 
1
3 3
  3  3.
2 2
2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса. Для
этого вычислим:
i
rota  M  

x
x  2z
j
k


 7 j  k .
y
z
x  3 y  z 5x  y
В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды OABC :
S  SOCA  SOAB  SOBC .
По формуле Стокса имеем:
C   rota  n  dS   rota  dS ,
S
где dS  dydzi  dxdz j  dxdyk ,
Следовательно,
S
rota  dS  7dxdz  dxdy.
C   7dxdz  dxdy  7    dxdy  3 .
S
SOAC
SOAB