Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Теория поля Индивидуальные задания Пособие разработано ассистентом Оглезневой А. Н.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ Пермь 2007 Образец решения варианта. Пример 1: Найти производную скалярного поля U ( x, y, z) ln( 1 x 2 y 2 ) x 2 z 2 в точке M (3; 1; 4) по направлению а. вектора s 2i 3 j 2k б. нормали к поверхности : x 2 6 x 9 y 2 z 2 4 z , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz в. перпендикулярному к поверхности уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M1 (0, 0, 1) . Решение: Производную по направлению ищем по формуле: U U U U ( gradU l 0 ) cos cos cos l x y z U 2x x U 6 3 3 2 2 x 1 x 2 y 2 x M 11 5 55 x z , U 2 U 2y , 2 2 y M 11 y 1 x y U z U z , z x2 z2 M 4 5 а. Найдем вектор l 0 cos i cos j cos k , т.е. l 0 s , |s| 3 2 2 Т.к. | s | 2 2 (3) 2 (2) 2 17 , тогда получаем l 0 , , . 17 17 17 Таким образом U 3 2 2 3 4 2 52 52 17 . l M 55 17 11 935 17 5 17 55 17 б. Найдем вектор l 0 cos i cos j cos k , т.е. l 0 N , где N - вектор нормали |N | к поверхности . F ( x, y, z ) x 2 6 x 9 y 2 z 2 4 z 0 F F F , , Тогда N , x y z F (2 x 6) M 12 x M F y M F z M 18 y M 18 (2 z 4) M 4 9 2 6 , Получаем N 12, 18, 4 , | N | 12 2 18 2 4 2 22 , l 0 , . 11 11 11 Заметим, что cos 0 , то найденный вектор образует острый угол с осью Oz , следовательно, требование задачи выполнено. Таким образом U 3 6 2 9 4 2 16 . l M 55 11 11 11 5 11 605 в. Найдем поверхность уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M1 : U ( x, y, z ) C ln( 1 0 0) 0 1 1 . Получаем поверхность 1 : ln( 1 x 2 y 2 ) x 2 z 2 1 . Аналогично предыдущему пункту находим вектор l 0 N , где N |N| - вектор перпендикулярный поверхности уровня 1 F ( x, y, z) ln( 1 x 2 y 2 ) x 2 z 2 1 0 F 6 3 3 F 2 , , x M 11 5 55 y M 11 2 F 4 z M 5 2 2 2045 2 4 3 2 4 3 N , , , | N | , 55 5 55 11 5 55 11 3 10 44 l 0 , , 2045 2045 2045 Таким образом U 3 2 10 44 2045 3 4 l M 55 2045 11 2045 5 2045 55 2045 2045 . 55 Пример 2: Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) а. U ( x, y, z ) x 2 y 2 y z x б. U ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 . Построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) 0, 1 . Решение а. По определению градиента скалярного поля gradU U U U i j k . x y z Находим частные производные функции U ( x, y, z ) : U U U 2x 1, y 2 y z , x z y Таким образом gradU (2x 1) i (2 y z) j y k . б. Аналогично пункту а), получим: U U U 2x , 2 z 2y , x z y Таким образом gradU 2x i 2 y j 2z k . Построим поверхности уровня: U ( x, y, z ) 0 Тогда x 2 y 2 z 2 0 , x 2 y 2 z 2 - конус с вершиной в начале координат. z y x Если U ( x, y, z ) 1 , то x 2 y 2 z 2 1 : U ( x, y , z ) 1 U ( x, y, z ) 1 x2 y2 z 2 1 x 2 y 2 z 2 1 z z -1 y y x x Однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz Двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz Пример 3: Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : а. a y i x j б. a y i x j z k Решение: а. Согласно определению, векторных линий: dx dy dz , или y x 0 xdx ydy . 0 dy xdz Решая систему, получаем x 2 y 2 C1 , z C2 . Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси. б. Аналогично предыдущему пункту, составляем систему dx dy dz . y x z Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций: dx dy Равенство образует первую интегрируемую y x комбинацию. Получаем x 2 y 2 C1 . Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство a k a k 2 a2 k3 a3 a a пропорции: 1 2 3 1 1 . b1 b2 b3 k1b1 k 2b2 k3b3 d ( x y ) dz Тогда, в нашем случае . Интегрируя данное равенство, получаем x y z x y C2 z . Таким образом, векторные линии задаются системой: x 2 y 2 C 1 x y C 2 z Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических цилиндров x 2 y 2 C1 с плоскостями x y C2 z 0 . Пример 4. Вычислить поток векторного поля a x i z k через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра y R 2 x 2 , ограниченного плоскостями z 0, z h, ( h 0) . Решение: z h n0 -R y R x Вычислим поток векторного поля по формуле: (a n 0 )d , где n 0 - нормальный единичный вектор к поверхности . Найдем n0 . вектор Запишем уравнение поверхности в неявном виде: 2 2 2 F ( x, y, z ) x y R 0 . gradF ( x, y, z ) Тогда n 0 . Т.к. y 0 (по условию задачи), то n 0 образует острый угол с gradF ( x, y, z ) осью Oy : n0 grad ( x 2 y 2 R 2 ) grad ( x y R ) 2 2 2 Следовательно, (a n 0 ) x i y j x2 y2 x i y j R x2 . R Поток векторного поля x2 d . Спроектируем поверхность : y R 2 x 2 на R плоскость получим xOz , x R, x R, z 0, z h . d 1 ( y x ) 2 ( y z ) 2 dx dz = 1 область x2 dx dz R2 x2 D, R R x2 2 ограниченную линиями: dx dz Таким образом, R h R x2 x2 R x 2 dx x 2 dx d dx dz dz h (применяя 2 2 2 2 2 2 R R R x R R x 0 R R x подстановку x R sin t , получаем) = 1 R2 h . 2 Пример 5. Вычислить поток векторного поля x2 y 2 xz (1 y) 1 y 2 a 6 yz i 2 x arctgy j k 2 1 y2 1 y через внешнюю сторону части поверхности плоскостью xOy . Решение: z 1 z 1 x 2 y 2 , расположенной над n0 1 k i 2 j y x Замкнем данную поверхность куском плоскости xOy , который ограничен окружностью x 2 y 2 1, z 0 . Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского. Пусть V - объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , состоящей из части 1 параболоида вращения z 1 x 2 y 2 и части 2 плоскости z 0 . Поток данного векторного поля через поверхность по теореме Гаусса-Остроградского равен: (a , n 0 ) d div (a ) dv V a x a y a z , где a a x i a y j a z k . x y z 2 xy 2x 2 x(1 y ) div (a ) 0. 2 2 1 y 1 y 1 y2 Следовательно, поток (a , n 0 ) d div (a ) dv 0 . div (a ) V В силу аддитивности потока будем иметь (a , n 0 ) d (a , n 0 ) d 0 1 2 Отсюда искомый поток 1 (a , n 0 ) d (a , n 0 ) d 1 2 Найдем 2 (a , n 0 ) d . Так как на плоскости z 0 , имеем 2 x y i 2 x arctgy j k , n 0 k и тогда (a , n 0 ) 1 a 2 1 y Таким образом, поток 2 через круг 2 будет равен площади круга 2 : 2 d . 2 2 1 . Искомый поток Пример 6. Вычислить работу векторного поля F ( x, y, z ) x i y j z k вдоль линии L , являющейся пересечением параболического цилиндра z y 2 с плоскостью z x 1 от точки A(0,1,1) до точки B (1,0,0) . Решение: Зададим линию L параметрически: положив y t , получим z t 2 , а x 1 z 1 t 2 . Тогда dx 2t dt , dy dt , dz 2t dt . Точке A соответствует значение параметра t 1 , а точке B - значение t 0 . Таким образом: 0 0 A Pdx Qdy Rdz (1 t 2 ) ( 2t ) dt t dt t 2 2t dt (2t 2t 3 t 2t 3 ) dt L 1 0 t2 (4t 3 t ) dt t 4 2 1 1 0 1 1 0 1 . 2 2 1 Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля a ( x 2 z ) i ( x 3 y z ) j (5x y) k вдоль периметра треугольника с вершинами A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,1) . Решение: По определению циркуляции С a dr Pdx Qdy Rdz , получаем L L С ( x 2 z )dx ( x 3 y z )dy (5 x y)dz L AB BC . CA На отрезке AB : x y 1, z 0 , следовательно 0 3 . 2 AB 1 На отрезке BC : z y 1, x 0 , следовательно ( x 0)dx ( x 3 3x 0)( dx) 0 0 3 BC 1 0 (0 3 y 1 y)dy (0 y)(dy) 2 . На отрезке CA : x z 1, y 0 , следовательно CA 1 ( x 2 2 x)dx 0 (5 x 0)( dx) 3 . 0 Следовательно, С ABCA AB BC CA 3 3 (3) 3 2 2 x 2 y 2 4, 2 a y i x j z k Пример 8. Найти циркуляцию вектора по контуру : z 3, непосредственно и по формуле Стокса. Решение: z n y x I способ. Контур - окружность радиуса R 2 , лежащая в плоскости z 3 . Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения x 2 cos t , окружности имеют вид так что : y 2 sin t , t 0,2 , z 3, dx 2 sin tdt, dy 2 cos tdt, dz 0. C a dr a x dx a y dy a z dz ydx x 2 dy zdz 4 sin 2 2 t 8 cos 3 t dt 4 0 2 0 2 2 sin t 2 sin t 4 cos 2 t 2 cos t 3 0 dt 0 2 1 cos 2t 2 dt 8 1 sin 2 t cos tdt 2t sin 2t 0 2 0 2 sin 3 t 8 sin t 4 3 0 II способ. Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур . Естественно в качестве взять круг, имеющий z 3, контур своей границей. Уравнение поверхности имеет вид: 2 . Согласно x y 2 4 выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной n k . i j k Далее rota 2 x 1k . x y z y x2 z В силу теоремы Стокса x cos : z 3 d dxdy C rota , n0 d 2 x 1d 2 x 1dxdy y sin D : x2 y2 4 D dxdy dd 2 2 0 0 2 cos 1dd d 2 cos 1d 4 . D Пример 9. Доказать, что векторное поле a y z i x z j x y k является потенциальным. Найти его потенциал. Решение: Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае i j k rota 1 1i 1 1 j 1 1k 0 . x y z yz xz x y Таким образом, поле является потенциальным. Обозначим ux , y , z - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции u ,, должно совпадать с векторным полем a . Поэтому u y z . Отсюда ux, y , z xy xz y , z , где , - некоторая функция аргументов x u y и z . Из условия x x z , можно сделать вывод, что y , z zy z . y y Таким образом, ux, y , z xy xz zy z . Неопределенную функцию найдем из u x y x y z . Решением последнего уравнения является функция z z const . В итоге потенциал имеет вид ux, y , z xy xz zy const . условия Пример 10. Пусть a , b - произвольные векторные поля. Показать, что div a b b , rota a , rotb (символом , обозначено скалярное произведение векторов). Решение: Пусть a a x i a y j a z k и b bx i b y j bz k - произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение a b . i j k a b a x a y a z a y bz a z b y i a z bx a x bz j a x b y a y bx k . bx b y bz a y b a a y bz a z b y a z bx a x bz a x b y a y bx div a b bz a y z by z x y z x x x b y b y a y b a a b a b az bx z a z x bz x a x z b y x a x bx ay x x y y y y z z z z a y b a a b a a a b y x z bz y x a x z y bx z z x y z z y x y i i j k j k b y bx b , a z _ a, b , rota y x y z x y z x a a y a z bx b y bz x b b a y x z x z a, rotb . Вариант 1. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) 4 ln( x 2 y 2 ) 8x y z , : x 2 2 y 2 2z 2 1, M (1; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z ) ln | r | , где r - радиус-вектор точки поля, U 1, U 0 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 4 y i 9x j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 x i ( x y) j z 2 k через а) полную поверхность цилиндра x 2 z 2 4, y 0, y 2 ; б) основание этого цилиндра, лежащее в плоскости y 2 в положительном направлении оси Oy . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Вычислить поток векторного поля a x i y j x 2 y 2 1 k через внешнюю сторону однополостного гиперболоида z x2 y2 1 , ограниченного плоскостями z 0, z 3 . Задание 7. Найти работу силы F x 2 2 y i y 2 2 x j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 4,0 до точки N 0,3 . 1 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a y i 3 x j x k вдоль контура 3 x 2 cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 2 sin t , z 1 2 cos t 2 sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 y i x j k по контуру x 2 y 2 1, : z 1, непосредственно и по формуле Стокса. y x xy Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 2 x i j 2 k . z z z Найти его потенциал. 4 Задание 11. Найти diva c , где a r r , r - радиус-вектор точки поля, c постоянный вектор. Вариант 2. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) x y y z , : 2x 2 y 2 4z 0 , M (0; 2; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 12 z , U ( x, y , z ) U 0, 1, 3 . 2 x y2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 2 y i 3x j . Задание 4. Найти поток векторного поля a z 2 i y 2 j 4 x z k через а) полную поверхность призмы, ограниченной плоскостями x y 3, x 0, y 0, z 0, z 3 ; б) верхнее основание этой призмы в положительном направлении оси Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a y j z k через плоскость P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Вычислить поток векторного поля a 3x i y j z k через внешнюю сторону параболоида x 2 y 2 9 z , расположенного в первом октанте. Задание 7. Найти работу силы F x 2 2 y i y 2 2 x j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 4,0 до точки N 0,2 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 y 3 i 4 j x k вдоль контура x 2 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 4 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y z i 2 x z j x y k по контуру x 2 y 2 z 2 25, : 2 непосредственно и по формуле Стокса. x y 2 9, z 0, y z i x z j x yk Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . 1 x2 y2 z2 Найти его потенциал. Задание 11. Доказать, что векторное поле a f r r , где r - радиус-вектор точки поля, 3 будет соленоидальным, если f r 1 r . Вариант 3. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z ) 2 ln( x 2 5) 4 x y z , : x 2 2 y 2 2z 2 1, M (1; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 9x 2 y 2 1 , U 0, 1, 9 . z2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 2x i 4 y j . U ( x, y , z ) Задание 4. Найти поток векторного поля a ( x y) i ( y z ) j ( x z 2 ) k через а) полную поверхность пирамиды, вершины которой S (0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3) ; б) грань ASC в положительном направлении оси Oy . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i y j z k через плоскость P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i y 2 j через часть поверхности x y 2 z 2 , отсеченной плоскостью x 2 в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 2 y i y 2 2x j , при перемещении 2 x от точки M 4,0 до точки N 0,2 . 8 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x i 2 z 2 j y k вдоль контура x 3 cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 4 sin t , z 6 cos t 4 sin t 1 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y i x j x y k по контуру материальной точки вдоль линии L : y 2 x 2 y 2 z 2 R 2 , непосредственно и по формуле Стокса. x 0, y 0, z 0, : Задание 10. Показать потенциальность z 1 1 y a y 2 i x j 2 k . Найти его потенциал. z x x z векторного поля Задание 11. Доказать, что rot a rota grad a , где - произвольная скалярная функция, a - векторное поле. Вариант 4. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : 1 U ( x, y , z ) x 2 y x 2 5 z 2 , 4 : z 2 x2 4y2 4 , M (2; 0,5; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y , z ) e x2 y2 z2 , U 1, e, 4 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a x i 3y j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 y i 2 x 2 j 4 z ( x 1) k через а) полную поверхность цилиндра x 2 y 2 4, z 0, z 4 ; б) сечение этого цилиндра плоскостью x 0 в положительном направлении оси Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 3 y j 2 z k через плоскость P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a y x i z y j x z k через боковую поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями x y z 1, x y z 1, x 0, z 0 . Задание 7. Найти работу силы F x y i 2 x j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 4, y 0 от точки M 2,0 до точки N 2,0 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 2 z i x j y k вдоль контура x 2 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 1 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a x i y z j x k по контуру 2 2 x y 1, непосредственно и по формуле Стокса. : 2 2 2 x y 4 z , z 0 xi y j z k Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . Найти его x 2 y 2 z 2 3 потенциал. Задание 11. Вычислить div f r r . Доказать, что векторное поле f r r будет 3 соленоидальным только тогда, когда f r c r , где c - произвольный скаляр, r радиус-вектор точки. Вариант 5. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z ) x z 2 x 3 y , : x 2 y 2 3z 12 0 , M (2; 2; 4) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z ) x 2 2 y 2 z 2 , U 0, 1, 4 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a x i 4y j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 3x i 4 y j 7 z 2 k через а) полную поверхность сферы x 2 y 2 z 2 1 ; б) сечение сферы плоскостью z 1/ 2 в положительном направлении оси Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i 3 y j через плоскость P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 2 x i y j z k через замкнутую поверхность : x 2 y 2 z 2 4, 3z x 2 y 2 . Задание 7. Найти работу силы F x 3 i y 3 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 4, x 0 от точки M 2,0 до точки N 0,2 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x i z 2 j y k вдоль контура x cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 2 sin t , z 2 cos t 2 sin t 1 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y z i x z j xy 4 y k по z 2 4 y 2 4, контуру : непосредственно и по формуле Стокса. x 2, x2 i y2 j z2 k Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . Найти x3 y3 z 3 его потенциал. Задание 11. Найти , если a, r r , где a - постоянный вектор, r - радиус-вектор точки поля, , - скалярное произведение векторов. Вариант 6. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z ) x y y z 2 , : x 2 y 2 4z , M (1; 1; 0,5) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x 3y 2 , U 0, 1, 3 . z2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 3x i 6 z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a ( x y) i ( y z ) j ( x z 2 ) k через U ( x, y , z ) а) полную поверхность конуса x 2 y 2 z 2 , 0 z 4 ; б) сечение этого конуса плоскостью y 0 в положительном направлении оси Oy . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость P : x 2 y 2 z 2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i y j y z k через внешнюю сторону боковой поверхности конуса y 2 x 2 z 2 0 y 1 . Задание 7. Найти работу силы F x y i x y j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : y x 2 от точки M 1,1 до точки N 1,1 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 y 3 i 2 j x z k вдоль контура x 2 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 1 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 2 z i 3x z j x 2 z k по контуру y 2 1 x z, непосредственно и по формуле Стокса. : x 0, y 0, z 0, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 1 z 1 x 1 y a 2 i 2 j 2 k . Найти его потенциал. x z y x z y n Задание 11. При каком значении n поле вектора a r r , где r - радиус-вектор точки, будет соленоидальным? Вариант 7. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) 7 ln( x 2 1 / 13) 4 x y z , : 7x 2 4 y 2 4z 2 7 , M (1; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x2 , U 0, 1, 2 . y2 z2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 4z i 9x k . Задание 4. Найти поток векторного поля a y(2 x 1) i 3 y z j 3x k через а) полную поверхность конуса, если конус стоит на плоскости Oxy , высота его совпадает с осью Oz и равна 3, радиус основания равен единице; б) сечение этого конуса плоскостью x 0 в положительном направлении оси Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 2 y j z k через плоскость 1 P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с 2 осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 2 x i 1 2 y j 2 z k через внешнюю сторону параболоида 1 2 y x 2 z 2 , отсеченного плоскостью y 0 y 0 . U ( x, y, z ) Задание 7. Найти работу силы F x 2 y i y j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 1,0 до точки N 0,1 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z i y 2 j x k вдоль контура x 2 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 2 cos t x3 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y z i x z j x y k по 8 x 2 y 4 z 8, контуру : непосредственно и по формуле Стокса. x 0, y 0, z 0, yz 1 1 Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 2 i j k . Найти x x x его потенциал. Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a c sin r , где r - радиус-вектор точки поля, c - постоянный вектор. Вариант 8. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : y U ( x, y, z ) arctg x z , x 2 2 : x y 2 z 10 , M (2; 2; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 2y U 0, , , . , U ( x, y, z ) arcsin 2 2 6 4 2 x z Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 2 z i 3x k . Задание 4. Найти поток вихрей вектора a 7 y i y j 2 y z k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностью z 9 x 2 y 2 и плоскостью z 0 ; б) боковую поверхность этого тела. Задание 5. Найти поток векторного поля a y j 3z k через плоскость P : x 2 y 2 z 2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 4 x i 2 y j z k через боковую поверхность и верхнее основание тела ограниченного плоскостями 3x 2 y 12, 3x y 6, x y z 6, y 0, z 0 . Задание 7. Найти работу F 2 xy y i x 2 x j , силы при перемещении материальной точки вдоль линии L : x y 9, y 0 от точки M 3,0 до точки N 3,0 . 2 2 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 y 3 i j z k вдоль контура x 3 4 cos t , L : y 3 4 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 3 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y z i z j y k по контуру y 9 x2 z 2 , : x 0, y 0, z 0, непосредственно и по формуле Стокса. 2x x 2 Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a 1 i 2 j 6 z 2 k . y y Найти его потенциал. Задание 11. Найти div a r b , где a i j k , b i 2 j 4k , r - радиус-вектор точки. Вариант 9. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) ln( 1 x 2 ) x y z , : 4 x 2 y 2 z 2 16 , M (1; 2; 4) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x2 y2 z2 , U 0, 1, 4, 5 . 4 9 4 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : U ( x, y , z ) a 4 y j 8z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 4 x i 4 y j (3x z 2 ) k через а) полную поверхность полушара x 2 y 2 z 2 1, z 0 ( z 0 ); б) внешнюю поверхность полусферы x 2 y 2 z 2 1, ( z 0 ). Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость 1 1 P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с 2 3 осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 8 x i 2 y j x k через поверхность тела, ограниченного плоскостями x y 1, x 0, y 0 и параболоидом z x 2 y 2 z 0 . Задание 7. Найти работу силы F x y i x y j , при перемещении материальной y2 1, y 0 от точки M 1,0 до точки N 0,3 . 9 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 i y j z k вдоль контура точки вдоль линии L : x 2 x cos t , 2 L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . 2 2 cos t z 2 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 5 y 2 z i 5 z 2 x j 5 x 2 y k по контуру x y 2 4, непосредственно и по формуле Стокса. z 2, x 0, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 2 3 6x 18 x a i e 2 z j 2 2 ye 2 z k . Найти его потенциал. z z 4 Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a r r , где r - радиус-вектор точки. : Вариант 10. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z ) x 2 y 2 z , : x 2 y 2 25 z , M (3; 4; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 1 2z U 1, , 2 . , U ( x, y, z ) 2 2 2 2 x y z Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a y j 3z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 3 y i 2 x z j 5x y k через а) боковую поверхность и верхнее основание параллелепипеда, ограниченного плоскостями x 0, x 2, y 0, z 0, z 4 ; б) сечение параллелепипеда плоскостью y x в направлении нормали, образующей острый угол с осью Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i y j z k через плоскость P : 6 x 3 y 2 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 6 x i 2 y j z k через часть поверхности параболоида z 3 2 x 2 y 2 , вырезанной конусом z x 2 y 2 . Задание 7. Найти работу силы F y i x j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 1, y 0 от точки M 1,0 до точки N 1,0 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 2 y i 3x j x k вдоль контура x 2 cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 2 sin t , z 2 2 cos t 2 sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a x i 4 y 2 y 2 z j 4 z 2 k по контуру z 2 y 2 9, непосредственно и по формуле Стокса. : x 1, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 1 1 a 2 xyz i x 2 z 2 j y x 2 3 k . Найти его потенциал. 2z z Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a 3xz i 2 y j z k sin r , где r радиус-вектор точки. Вариант 11. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) x y ( z y) x , : x2 y2 z2 4, M (1; 1; 2) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U , , 0. U ( x, y, z ) arctg | r | , где r - радиус-вектор точки поля, 4 2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 2 x i 8z k . Задание 4. Найти поток вихрей вектора a x i y 2 j 2 y z k через а) боковую поверхность цилиндра x 2 y 2 4, z 2 , стоящего на плоскости Oxy ; б) сечение этого цилиндра плоскостью y x в направлении нормали, образующей острый угол с осью Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a 3x i 2z k через плоскость 1 1 P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с 2 3 осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 3z 2 x 2 i e x 2 y j 3z xy k через замкнутую поверхность : x 2 y 2 z 2 , z 1, z 4 . F x 2 y 2 i x 2 y 2 j , при перемещении x, 0 x 1 материальной точки вдоль линии L : y от точки M 2,0 до точки N 0,0 . 2 x, 1 x 2 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a y i x j z k вдоль контура Задание 7. Найти работу силы x cos t , L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 3 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 4 x i 2 j xy k z 2 x 2 y 2 1, : по контуру непосредственно и по формуле Стокса. z 7 , Задание10. Показать потенциальность векторного поля 1 z x 1 a 2 i 2 z 2 j 2 y k . Найти его потенциал. x y y x Задание 11. Пусть u, v - произвольные дважды дифференцируемые функции. Доказать, что divu gradv u div( gradv) gradu, gradv . Вариант 12. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z ) x y 4 z 2 , : z x2 y2 , M (2; 1; 3) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) 4 x 2 y 2 z , U 1, 2, 3 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a x i 3z k . Задание 4. Найти поток поля вектора a x i y 2 j 2 y z k через а) полную поверхность тела, ограниченного параболоидом z x 2 y 2 и плоскостью z 9; б) площадь круга z x 2 y 2 , z 9 в отрицательном направлении оси Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i 3 y j z k через плоскость P : 2 x 6 y 3 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Вычислить поток векторного поля a y 2 i x 2 j xy 3z k через боковую поверхность пирамиды, имеющей основание на плоскости xOy и вершины в точках A2,0,0, B0,2,0, O0,0,0, C0,0,1 в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F y i x j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 2, y 0 от точки M 2 ,0 до точки N 2 ,0 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 3 yi 3x j x k вдоль контура x 3 cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 3 sin t , z 3 3 cos t 3 sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 2 y i 3x j z 2 k по контуру x 2 y 2 z, непосредственно и по формуле Стокса. z 1, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 1 4x 2 y a 2 6 z i 3 j 6 x 2 k . Найти его потенциал. z y z y Задание 11. Найти divgrad r , где r - произвольная дважды дифференцируемая функция, r - радиус-вектор точки. : Вариант 13. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz : U ( x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 3 / 2 , : 2x 2 y 2 z 2 7 0 , M (0; 3; 4) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U , , U ( x, y, z ) arcsin | r | , где r - радиус-вектор точки поля, . 4 3 2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 4z j 9 y k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 y 2 i z 2 j 4 x z k через а) полную поверхность призмы, получающейся при пересечении плоскостей x 0, y 0, z 0, z y 3, x 3 ; б) сечение призмы плоскостью y x в направлении нормали, образующей острый угол с осью Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 3 y j z k через плоскость 1 1 P : x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с 3 2 осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a xy i yz j xz k через часть поверхности сферы x 2 y 2 z 2 1 , находящейся в первом октанте, в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F xy i 2 y j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 1, y 0 от точки M 1,0 до точки N 0,1 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 6 z i x j xy k вдоль контура x 3 cos t , L : y 3 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 3 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 2 yz i xz x 2 j xy k по контуру x 2 9 y 2 36, : z 2, непосредственно и по формуле Стокса. Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a yz i x xz j y xy k . z Найти его потенциал. Задание 11. Найти rot c f r , где f r - произвольная дифференцируемая функция, c постоянный вектор, r - радиус-вектор точки. Вариант 14. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) x 2 arctg ( y z) , s 3 j 4 k , M (2; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 4 x 2 ( y 1)1/ 2 , U 0, 1, 4 . z2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : U ( x, y , z ) a 2z j 3y k . Задание 4. Найти поток векторного поля a y z i 2 x 3 j z k через а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндром z 0,5 y 2 и плоскостями x 0, y 0, z 0, x 2 y 4 ; б) сечение этого тела плоскостью x 0 в положительном направлении оси Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i y j 4 z k через плоскость P : 2 x 6 y 3 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 2 x i y j z k через часть поверхности 9 z x 2 y 2 , заключенной между плоскостями z 0, z 5 , в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F y i x j , при перемещении материальной точки 1 1 ,0 до точки N ,0 . вдоль линии L : 2 x 2 y 2 1, y 0 от точки M 2 2 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x i 2 z 2 j y k вдоль контура x cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 3 sin t , z 2 cos t 3 sin t 2 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 2 y i 5 z j 3x k по контуру x 0, y 0, z 0, : непосредственно и по формуле Стокса. x y z 3, 1 1 x y Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a i 2 j 2 k . y z z y Найти его потенциал. Задание 11. Найти diva и rota векторного поля a y i 2 z j 3x k cos r , где r радиус-вектор точки поля. Вариант 15. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 3 / 2 , s i jk , M (1; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x2 z2 U 0, , , . 6 4 y Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 5x i 10 y j . U ( x, y, z ) arctg Задание 4. Найти поток вихрей вектора a 2 x i (3 y z x) j 3x k через а) боковую поверхность цилиндра 4 x 2 y 2 4 , стоящего на плоскости Oxy и сверху ограниченного плоскостью z 2 ; б) верхнее основание этого цилиндра, лежащее в плоскости z 2 в положительном направлении оси Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j 6 z k через плоскость P : 3 x 2 y 6 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a xz i yz j z 2 1 k через часть поверхности z 2 x 2 y 2 , заключенной между плоскостями z 1, z 4 в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 y 2 i 2 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 R 2 , y 0 от точки M R,0 до точки N R,0 . z2 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x i j y k вдоль контура 3 1 x 2 cos t , 1 в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y sin t , 3 1 1 z cos t 3 sin t 4 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a yz 4 z i xz j xy k по контуру 9 z 2 4 x 2 36, непосредственно и по формуле Стокса. y 0 , : Задание 10. Показать потенциальность векторного поля y xy x 1 a z i 2 j x 2 k . Найти его потенциал. z z z y Задание 11. Непосредственным вычислением показать, что поле градиента скалярной функции 6 x 3 y 2 xy4 z 4 x 2 y безвихревое. Вариант 16. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) x ln( y 2 z 2 ) , s 2i j k , M (2; 2; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : z U , . , U ( x, y, z ) arctg 6 4 x2 y2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 4x i 6 y j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 x i (3 y z x) j 3x k через а) полную поверхность конуса x 2 y 2 z 2 , x 4 ; б) боковую поверхность этого конуса. Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i 5 y j 5 z k через плоскость P : 3 x 2 y 6 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i z k через внешнюю сторону части поверхности z 2 1 x y 2 , отсекаемой от нее плоскостями x 0, y 0, z 0 и расположенной в первом октанте. Задание 7. Найти работу силы F x y i j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 4, y 0 от точки M 2,0 до точки N 2,0 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z i x j xz k вдоль контура x 5 cos t , L : y 5 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 4 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 4 z i y j 4 z 2 k по контуру z 2 x 2 9 , : непосредственно и по формуле Стокса. y 1, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 2 xy 2 yz a 2 z i ln x 2 z 2 j 2 x k . Найти его потенциал. 2 2 x z x z Задание 11. Найти rot f r a , где a y i 2 j xz k , r - радиус-вектор точки поля, f - произвольная дифференцируемая функция. Вариант 17. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) x 2 y x y z 2 , M (1; 5; 2) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 2z 1 , U 1, 2, 0 . U ( x, y, z ) 2 x y2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a y j 4z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 x i (3 y z x) j 3x k через s 2 j 2k , а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндром x 2 y 2 9 , плоскостями z x, z 0, ( z 0) ; б) плоскость z x этой поверхности в направлении нормали, образующей тупой угол с осью Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость P : 4 x y 2 z 2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i xzy j y k через часть поверхности 4 z x 2 y 2 , заключенной между плоскостями z 2, z 4 , в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 y i xy 2 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 4, x 0 от точки M 2,0 до точки N 0,2 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x i 3z 2 j y k вдоль контура x cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 4 sin t , z 2 cos t 4 sin t 3 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a xz i j y k по контуру x 2 y 2 z 2 4, непосредственно и по формуле Стокса. : z 1, Задание10. Показать потенциальность векторного поля 2 2 a y 2 e xy 3x i 2 xyexy y j . Найти его потенциал. Задание 11. Вычислить divcos r c , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор. Вариант 18. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) y ln( x 2 1) arctg( z) , s 2i 3 j 2k , M (0; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x U , , 0. , U ( x, y, z ) arctg 2 2 6 4 x y Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a xi y j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2 x i 2 y j z k через а) полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами y x 2 , y 4 x 2 , ( x 0) и плоскостями y 1, z y, z 0 ; б) через часть плоскости y 1 этой поверхности в положительном направлении оси Oy . Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i y j 2 z k через плоскость 1 P : 2 x y z 1 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с 2 осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a y 2 z 2 i y 2 j 2 yz k через боковую поверхность конуса y 2 x 2 z 2 0 y 1 в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу F x2 y2 i y2 x2 j , силы 2 при перемещении 2 x y 1, y 0 от точки M 3,0 до точки N 3,0 . 9 4 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 y 2 i y j x k вдоль контура материальной точки вдоль линии L : x cos 2 t , L : y sin t cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a yz i xz 4 x j xy k по контуру 4 x 2 y 2 4, непосредственно и по формуле Стокса. z 0, Задание 10. Показать потенциальность векторного поля 2 2 2z x 2x 1 x z a i j 2 k . Найти его потенциал. 2 y y z y z Задание 11. Показать, что gradu, r u r r , где r - радиус-вектор точки поля, u произвольная дифференцируемая функция. : Вариант 19. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z ) x ln( y ) arctg( z ) , M (2; 1; 1) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x y U ( x, y, z ) arctg U 0, , , . z 8 4 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 9 y i 4x j . Задание 4. Найти поток векторного поля a ( y z ) i y j x k через s 8i 4 j 8 k , а) полную поверхность тела, ограниченного параболоидом 2 y x 2 z 2 , и плоскостью y 1 ; б) сечение этой поверхности плоскостью z 0 в положительном направлении оси Oz . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j 2 z k через плоскость P : 4 x y 2 z 2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i xy j z k через внешнюю сторону цилиндра x 2 z 2 4 , ограниченной плоскостями y 1, x y 4 . Задание 7. Найти работу силы F y 2 i x 2 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 9, y 0 от точки M 3,0 до точки N 0,3 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 i y 2 x 2 j 3 y 2 x 2 k вдоль x 2 cos t , контура L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z cos t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 3 y 2 i 3x 2 j 3z 2 k по контуру x 2 y 2 z 2 4, : непосредственно и по формуле Стокса. x 0 , y 0 , z 0 , Задание 10. Показать потенциальность векторного поля 2 2 2 y 2x 2x 2y a 2 2 z i 2 3 j 2 x 3 k . Найти его потенциал. y z y z Задание 11. Пусть u ,v - произвольные дифференцируемые функции. Доказать, что grad u v v gradu u gradv . Вариант 20. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению вектора s : U ( x, y, z) ln( 3 x 2 ) x y 2 z , s i 2 j 2 k , M (1; 3; 2) . Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : x , U 1, e . U ( x, y, z ) ln 2 x y2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a 5 y i 7x j . Задание 4. Найти поток векторного поля a 2( x y) i ( x z ) k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями 2 2 2 2 z x 3 y 1, z 0, x y 1 , и плоскостью y 1 ; б) сечение этой поверхности плоскостью x 0 в положительном направлении оси Ox . Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j 12 z k через плоскость P : 4 x y 2 z 2 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 3x y 2 i x 2 j x 2 y 2 2 z k через боковую поверхность конуса 4 z 2 x 2 y 2 0 z H в направлении внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x y 2 i x 2 y 2 j , при материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 1,0 до точки N 0,1 . перемещении Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z i xy j y 2 x 2 k вдоль контура x 2 cos t , L : y 3 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 4 cos 2 t 9 sin 2 t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y i 2 j k по контуру x 2 y 2 z 2 0, : непосредственно и по формуле Стокса. z 1, Задание 10. Показать потенциальность векторного поля y x ln 1 xy a 2 xy i x 2 j k . Найти его потенциал. z2 z 1 xy z 1 xy Задание 11. Показать, что если a и b - постоянные векторы, r - радиус-вектор точки, то rot r , a b a b . Вариант 21. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) : M (1; 2) . U ( x, y, z) ln( x 2 y 2 ) , Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U 0, 1, 4 . U ( x, y, z) x 2 3 y 2 2 z 2 3x 6 y 4 z , Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : 1 1 a i j . x y Задание 4. Найти поток векторного поля a ( x z) i ( z 2 y 2 ) j ( x z) k через а) полную поверхность цилиндра x 2 z 2 4, y 0, y 2 , и плоскостью y 1 ; б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 4 y j 5 z k через плоскость P : 3x 4 y 6 z 12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Вычислить поток векторного поля a x 2 i x j xz k через внешнюю часть параболоида y x 2 z 2 , расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостями y 0, y 1 . Задание 7. Найти работу силы F x 2 y 2 i y 2 2 x 2 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : MN от точки M 1,3 до точки N 2,4 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a xy i z j x 2 y 2 k вдоль контура x 3 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 9 cos 2 t 4 sin 2 t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a x i z j xy k по контуру z x 2 y 2 , : непосредственно и по формуле Стокса. z 2 , x 0 , Задание 10. Показать потенциальность векторного поля 2 2 a 6 xyz 2 y i 3x z 2 x j 3x y k . Найти его потенциал. Задание 11. Доказать, что div c a c , rotb , где a - переменный, c - постоянный векторы, , - скалярное произведение векторов. Вариант 22. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) : x , U ( x, y, z ) arcsin M (1; 2) . x2 y2 Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) x 2 4 x y 4 y 2 , U 0, 1, 9 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : 1 1 1 a 2 i 2 j 2 k . x y z Задание 4. Найти поток векторного поля a x i arcsin( x z ) j z k через а) полную поверхность тела, 2 2 x z 1, y 0, y 2 ; ограниченного поверхностями x2 z 2 4 и б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 3 y j z k через плоскость P : 5 x 3 y 2 z 30 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x i y z j z y k через верхнюю 3 часть сферической поверхности x 2 y 2 z 2 9 , отсеченную плоскостью z , z 0 в 2 сторону внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 i y 3 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 16 от точки M 4,0 до точки N 0,4 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z 4 i x j y 2 x 2 k вдоль контура x 2 cos t , L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . t z sin 2 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 3 yi 2 xj z 2 k z x 2 y 2 , непосредственно и по формуле Стокса. 2 2 x y 4, по контуру : yz i xz j xy k Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . Найти 1 xyz его потенциал. Задание 11. Пусть a - произвольный вектор, r - радиус-вектор точки. Доказать, что diva r r ,rota . Вариант 23. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) : 1 , U ( x, y , z ) M (1; 1; 1) . 3 2 x y2 z2 Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) 9 x 2 24 x y 16 y 2 , U 0, 1, 9 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a xi y j z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 3 y i y j 7 y z k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями z x 2 y 2 32 и z 18 x 2 y 2 ; б) часть поверхности z x 2 y 2 32 , ограничивающую тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость P : 5 x 3 y z 15 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a x z i y j z x k через верхнюю часть сферической поверхности x 2 y 2 z 2 1 , отсеченную конусом z 2 x 2 y 2 , в сторону внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x i y 4 j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : y cos x от точки M 0,1 до точки N ,0 . 2 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 4 y i 3x j x k вдоль контура x 4 cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y 4 sin t , z 4 4 cos t 4 sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 3 x i 5 j xy k по контуру z x 2 y 2 , : 2 непосредственно и по формуле Стокса. z x 2 y 2 , Задание 10. Показать потенциальность x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 a 2 xze i 2 yze j e k . Найти его потенциал. 3 Задание 11. Вычислить rot r r , где r - радиус-вектор точки. векторного поля Вариант 24. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) : x , U ( x, y, z ) arctg M (1; 2; 1) . x2 y2 z2 Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) 3x 2 6 x y 3 y 2 , U 0, 1, 4 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a xi y j z k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 5 y i 5z j z 2 k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями x2 y2 z 2 2 и z 2 x 2 y 2 , ( z 0) ; б) часть сферы x 2 y 2 z 2 2 , ограничивающую тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i 3 y j z k через плоскость P : 4 x 3 y 6 z 12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a y 2 i x 2 j k через часть поверхности параболоида 1 z x 2 y 2 , 0 z 1 в сторону внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 sin y i x j , при перемещении материальной 1 точки вдоль линии L : y arcsin x от точки M 0,0 до точки N , . 2 6 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z i x j y k вдоль контура x 2 cos t , L : y 2 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z 0 Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 2 x i yz j 3x k по контуру x 2 y 2 z 2 6, непосредственно и по формуле Стокса. 2 2 z x y , : zy i zx j xy k Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . Найти 2 xy z2 1 z его потенциал. Задание 11. Пусть - произвольная дифференцируемая функция, r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор. Доказать, что div r c r r ,c , где , - скалярное произведение векторов. Вариант 25. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции U ( x, y, z ) , проходящей через точку M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) : M 0; 0; . 2 Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z ) sin x 2 y 2 z 2 , U ( x, y, z) 5x 2 10 x y 5 y 2 , U 0, 1, 4 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : 1 1 1 a i j k . x y z Задание 4. Найти поток векторного поля a y i x j 0,5 z 2 k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями z x2 y2 и z 2 x2 y2 ; б) часть поверхности z x 2 y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 3 y j 2 z k через плоскость P : 3x 6 y 4 z 12 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a yz i 4 x j 2k через боковую поверхность конуса z 4 x 2 y 2 , 0 z 4 в сторону внешней нормали. 2 Задание 7. Найти работу силы F 3 x 2 y i 2 x 3 y j , при перемещении x2 y2 1 от точки M 2,0 до точки N 0,3 . 4 9 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a 2 y i z j x k вдоль контура x cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y sin t , z 4 cos t sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a xz i j y k по контуру материальной точки вдоль линии L : x 2 y 2 z 2 8 , непосредственно и по формуле Стокса. : z 2 x 2 y 2 , z 0 , xi y j zk Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a . Найти его 23 x2 y2 z2 потенциал. cr Задание 11. Найти rot 2 , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор. r Вариант 26. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой , x x(t ) заданной параметрически : y y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению z z (t ) параметра t t 0 : x 3 cos t 3 t0 . : y 3 sin t , U ( x, y, z) 2 x y z 2 , 2 z 4t Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) ln z ( x 2 y 2 )1/ 2 , U 0, 1 . Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a x z i y z j z2 k . Задание 4. Найти поток векторного поля a 3 y i 3x j z 4 k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями x2 y2 z 2 2 , z x2 y2 ; б) часть поверхности z x 2 y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a 3 x i 3 y j 2 z k через плоскость P : 4 x 5 y 10 z 20 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 4 x i 4 y j 2 z k через часть поверхности z x 2 y 2 2 , отсеченную поверхностью z 4 x 2 y 2 в сторону внешней нормали. 2 Задание 7. Найти работу силы F ln x i xy j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : y tgx от точки M ,1 до точки N , 3 . 3 4 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a y 3 i x 2 y 2 j 3x 2 y 2 k вдоль x 4 cos t , контура L : y 4 sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z cos t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a yz i xx z j xy k по контуру 2 2 2 x y z 5, непосредственно и по формуле Стокса. : 2 2 x y 1, z 0 Задание 10. Показать потенциальность векторного поля a sin 2 xyz yz i xz j xy k . Найти его потенциал. Задание 11. Вычислить div c r r , где r - радиус-вектор, c - постоянный вектор, - произвольная дифференцируемая функция. Вариант 27. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой , x x(t ) заданной параметрически : y y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению z z (t ) параметра t t 0 : x 3 t t0 1 . : y ln t , U ( x, y, z) ln( x 2 y 2 z 2 ) , z t3 Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : 1 z U , 1. , U ( x, y, z ) 2 ln x 2 y 2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : x y a y i x j k . z Задание 4. Найти поток векторного поля a 3 y z i 5x z j 4 x y z k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями z x 2 y 2 , z 2 ; б) боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i y j z k через плоскость P : 3x 2 y 3z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 3 yz i 4 xz j 5 xy k через часть поверхности z 2 x 2 y 2 , отсеченную цилиндром y 1 x 2 1 в сторону внешней нормали. ln y i y j , при перемещении материальной точки Задание 7. Найти работу силы F 1 x2 вдоль линии L : y arctgx от точки M 1, до точки N 3 , . 3 4 Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a xy i x j 3 y 2 x 2 k вдоль 2 x cos t , контура L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z cos t sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a 3xz i 2 j 3 y k по контуру x 2 y 2 z 2 5, непосредственно и по формуле Стокса. x 2 y 2 1, z 0 Задание 10. Показать потенциальность векторного поля z 2 z i x j ln x y k . Найти его потенциал. a 2 xy x y x y r Задание 11. Вычислить div c , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор. r : Вариант 28. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой , x x(t ) заданной параметрически : y y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению z z (t ) параметра t t 0 : x ln t t0 1 . :y t , U ( x, y, z ) x 2 y z 3 , z 1/ t Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : z U ( x, y , z ) , U 1, 2 . arcsin x 2 y 2 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a z2 i z2 jk . x2 y2 Задание 4. Найти поток векторного поля a 3x z i 4 y z j 5x y k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями z x2 y2 , z 2 x 2 y 2 2 ( z [0, 2] ); б) часть поверхности z x 2 y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 2 y j 7 z k через плоскость P : x y z 3 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a 3 y i 3 j 12 x 1 k через часть поверхности z 2 x 2 y 2 , отсеченную плоскостью z 2 x 4 y 1 0 в сторону внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x sin y i x y j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : y x 2 от точки M 1,1 до точки N 2,4 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 i z j x 2 y 2 k вдоль контура x cos t , L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z t sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a y z i y j z k по контуру z 3 , : 2 непосредственно и по формуле Стокса. z x 2 y 2 1, Задание 10. Показать потенциальность векторного поля y cos xy x cos xy sin xy a i j 2 k . Найти его потенциал. z z z Задание 11. Вычислить divr c r , где r - радиус-вектор точки, c - постоянный вектор. Вариант 29. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой , x x(t ) заданной параметрически : y y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению z z (t ) параметра t t 0 : x arcsin t 3 t0 . : y arccos t , U ( x, y, z) x y 2 z 3 x y z , 2 z arctg 2t Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : U ( x, y, z) arctg z ( x 2 y 2 ) , U , . 4 3 Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : x2 x2 a x i j k . y z Задание 4. Найти поток векторного поля a 3 y z i 2 x z j z10 k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями x 2 y 2 4 , z x 2 y 2 , z 0; б) часть поверхности z x 2 y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a 2 x i 3 y j z k через плоскость P : x y 3z 3 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). 1 Задание 6. Найти поток векторного поля a x 3 i x 2 y j y 4 k через часть 2 2 2 2 2 2 поверхности z x y , отсеченную конусом z x y 2 в сторону внешней нормали. Задание 7. Найти работу силы F x 2 arctgy i x y j , при перемещении материальной точки вдоль линии L : y x 3 от точки M 1,1 до точки N 2,8 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a x 2 3 y 2 i xy j z k вдоль x cos t , контура L : y sin t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . z tg sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a yz 4 z i xzj xyk по контуру x 2 y 2 z 2 1, непосредственно и по формуле Стокса. z x, Задание 10. Показать потенциальность 1 a yz i xz j xy k . Найти его потенциал. cos 2 xyz dF gradu . Задание 11. Доказать, что grad F u x , y , z du : векторного поля Вариант 30. Задание 1. Найти производную скалярного поля U ( x, y, z ) по направлению кривой , x x(t ) заданной параметрически : y y (t ) в точке M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , соответствующей значению z z (t ) параметра t t 0 : xt t0 0 . : y sin 2 t , U ( x, y, z) arctg ( x 2 y 2 z 2 ) , z cos 2 t Задание 2. Найти градиент скалярного поля U ( x, y, z ) и построить поверхности уровня для заданных значений U ( x, y, z ) : z , U 1, 2 . U ( x, y , z ) 2 2 1/ 2 arctg x y Задание 3. Найти векторные линии векторного поля a {P, Q, R} : a x2 y z i x y2 z j x y z 2 k . Задание 4. Найти поток векторного поля a x z i y z j z 8 k через а) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями x2 y2 4 , z 2 x2 y2 ; б) часть поверхности z 2 x 2 y 2 , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали. Задание 5. Найти поток векторного поля a x i 2 y j z k через плоскость P : x 3 y 6 z 6 , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz). Задание 6. Найти поток векторного поля a xz i zy j z 2 k через часть поверхности z x 2 y 2 , заключенной между плоскостями z 4, z 9 , в направлении внешней нормали. y Задание 7. Найти работу силы F i x 2 j , при перемещении материальной точки x вдоль линии L : y ln x от точки M 1,0 до точки N e,1 . Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля a z 2 i x 2 y 2 j z k вдоль контура x cos t , в направлении, соответствующем возрастанию параметра t . L : y sin t , z 0,5 4 cos t 2 sin t Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля a yz i xy j y x 4 k по контуру 2 x 3 y z 6, : непосредственно и по формуле Стокса. x 0, y 0, z 0, Задание 10. Показать потенциальность векторного поля 1 z 1 x 1 y a 2 i 2 j 2 k . Найти его потенциал. x z y x z y Задание 11. Найти grad r , a r , где r - радиус-вектор точки, a - вектор, зависящий только от модуля вектора r .