440305_mii_5kurs_variacionnoe_ischislenie_ofo_kuznecovx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«10» ноября 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Вариационное исчисление
Направление подготовки
44.03.05 «Педагогическое образование»
Профиль подготовки
«Математика и информатика»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Балашов
2014
СОДЕ РЖ АН И Е
С О Д Е Р Ж А Н И Е ............................................................................................... 2
1. Цели освоения дисциплины ............................................................................... 3
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата ........................................ 3
3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины.............................................................................................................. 3
Планируемые результаты обучения по дисциплине ........................................ 3
4. Содержание и структура дисциплины .............................................................. 4
4.1. Объем дисциплины ....................................................................................... 4
4.2. Содержание дисциплины ............................................................................. 4
4.3. Структура дисциплины ................................................................................ 4
5. Образовательные технологии, применяемые при освоении дисциплины .... 5
Информационные технологии, используемые при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине ...................................................... 5
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ....................................................... 5
Самостоятельная работа студентов по дисциплине ......................................... 5
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации по дисциплине ...................................................... 7
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС ........................................ 8
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .......... 9
Литература по курсу ............................................................................................ 9
Основная литература: .......................................................................................... 9
Дополнительная литература: .............................................................................. 9
Интернет-ресурсы ................................................................................................ 9
Программное обеспечение .................................................................................. 9
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ..................................... 9
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Вариационное исчисление» являются:
формирование у студента прочных знаний по основам вариационного исчисления,
численным методам оптимизации; выработка у студента навыков, связанных с
практическим применением методов оптимизации при решении прикладных задач;
воспитание у студента культуры мышления, связанной с рациональным выбором решений
в различных областях человеческой деятельности.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина относится к дисциплинам по выбору профессионального цикла
(Б3.ДВ11).
Для освоения указанной дисциплины обучающиеся должны обладать знаниями,
умениями и готовностями, полученными из курсов «Математический анализ», «Алгебра и
теория чисел», «Дифференциальные уравнения»
3.Компетенции обучающегося,
освоения дисциплины
формируемые
в
результате
Процесс изучения дисциплины «Вариационное исчисление» направлен на
формирование следующих компетенций:
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями
(ОК):
готовностью использовать основные методы, способы и средства получения,
хранения, переработки информации, готовностью работать с компьютером как средством
управления информацией (ОК-8).
Выпускник должен обладать следующими специальными компетенциями (СК):
в области математики и информатики:
способностью ориентироваться в основных фактах, идеях и методах математики и
информатики, использовать научный язык, методологию программирования, современные
компьютерные технологии, применять знания при решении практических задач (СК-1).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
 основные понятия теорий выпуклого анализа, математического программирования,
вариационного исчисления, минимизации функций;
 постановки задач выпуклого, линейного и нелинейного программирования,
вариационного исчисления;
 методы решения типовых задач указанных областей;
 разнообразные постановки конкретных оптимизационных задач
•Уметь:
 решать стандартные задачи математического программирования и вариационного
исчисления;
 применять методы условной и безусловной минимизации функций
•Владеть:
стандартными программными средствами решения типовых оптимизационных
задач;
4. Содержание и структура дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единицы, 180 часов.
– по очной форме обучения: 50 часов аудиторной работы (20 часа лекций, 20 часа
практических занятий и 10 часа лабораторных работ), 108 часов самостоятельной работы.
Дисциплина изучается в 10 семестре, ее освоение заканчивается экзаменом (27 часов).
4.2. Содержание дисциплины
Тема 1. Основы оптимизации
Понятие о задачах
оптимизации. Постановка задачи
нелинейного
программирования (НЛП). Общая схема решения задач НЛП. Классификация методов
решения задач НЛП. Выпуклые оболочки, выпуклые множества, выпуклые функции.
Задачи НЛП с ограничениями типа равенств. Правило множителей Лагранжа.
Условия экстремума. Существование, единственность, устойчивость точки
минимума. Понятие о безусловной минимизации функций многих переменных.
Градиентный метод. Формулировка теорем о сходимости. Метод скорейшего спуска.
Метод градиента. Метод Ньютона.
Минимизация функций на выпуклых множествах. Условия минимума выпуклой
функции на выпуклом множестве, формулируемом с помощью проекции.
Метод условного градиента. Метод проекции градиента. Условный метод Ньютона.
Тема 2. Основы вариационного исчисления
Задача о Брахистохроне. Постановка простейшей задачи вариационного
исчисления. Типы экстремумов в вариационных задачах. Понятия дифференцируемости
по Гато и Фреше. Вариации интегральных функционалов. Необходимое условие слабого
локального минимума. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение ЭйлераЛагранжа. Вторая вариация интегрального функционала. Функция Вейерштрасса. Условие
Лежандра. Условие Якоби. Достаточное условие минимума. Задача со свободными
концами. Условия трансверсальности.
4.3. Структура дисциплины
№
п
/
п
1
2
3
Раздел дисциплины
Основы оптимизации
Основы
вариационного
исчисления
Сем
ест
р
10
10
Нед
еля
сем
ест
ра
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
Л
10
10
ПЗ
10
10
ЛР
4
6
СРС
51
52
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
КР
Отчёт по пр
№2, №3
Отчёт по
№1, №2, №3
Отчёт по пр
№5, №6
Отчёт по
№1,
лаб.
№4,
лаб.
Итого
20
20
10
103
№4, №5, №6
Экзамен
(27
часов)
5. Образовательные технологии, применяемые при
освоении дисциплины
В ходе изучения дисциплины предусмотрено использование следующих
образовательных технологий: лекции, практические занятия, проблемное обучение,
модульная технология, проблемная лекция, подготовка письменных аналитических работ,
самостоятельная работа студентов.
В учебном процессе предусмотрено использование активных и интерактивных форм
занятий и методов обучения (деловых и ролевых игр, проектных методик, мозгового
штурма, разбора конкретных ситуаций, практико-ориентированных задач, иных форм) в
сочетании с внеаудиторной работой. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных
формах, должен составлять не менее 30 % аудиторных занятий.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационнотелекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в п. 8 настоящей
программы).
 Решение матричных игр средствами MathCad.
 Создание электронных документов (компьютерных презентаций, видеофайлов,
плейкастов и т. п.) по изучаемым темам и электронных коллекций.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными
возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых
потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт, произведена замена текста
аудиозаписью, использованы звуковые средства воспроизведения информации.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
К самостоятельной работе студентов относится: детальная проработка лекций, учебной
литературы, самостоятельное доказательство указанных преподавателем теорем,
составление отдельных алгоритмов и программ, выполнение домашних и индивидуальных
расчетных заданий, подготовка к лабораторным работам, оформление отчетов по
лабораторным работам, выполнение контрольных работ.
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при ежегодном
обновлении банка средств. Количество вариантов заданий зависит от числа обучающихся.
Самостоятельная работа студентов организуется по лекционным материалам и
рекомендованной литературе.
Для промежуточной аттестации используются результаты решения контрольной
работы.
Варианты контрольной работы:
Вариант №1
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
f
3
x
2
x
extr
, x1 x2 4, xi  0 .
1
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи






2 2
2


I
(
y
)

y

y
cos
x

sin
x
dx
,y
(
0
)

0
,
y

1
.



4


0
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить, является
найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x


x

1
2
x
(
0
)

0
,t

[
0
,
4
],
0

u

,

i

x

Cos
(
u
)
2

4

F

x
(
4
)

2
x
(
4
)

min
1
2
Вариант №2
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
f x
extr
, 2x1 3x2 7.
1x
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи

3
4




3
 

2
2
2

I
(
y
)

y

4
y

2
xy

x
dx
,y


y
,
y

y
.



1
2

8
4






8
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить, является
найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x

x

1
2


0
)

0
,t

[
0
,
2
],
0

u
,

1x
i(

4
x

Cos
(
u
)

2

2

F

x
(
2
)

x
(
2
)

min
1
2
Вариант №3
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
x
3
x
x
4
f x2

extr
, x
.
1
2
1
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи



 
8

 

2 2
2

I
(
y
)

y

9
y

4
y
sin
3
x

5
x
dx
,y


y
,
y

y
.




1
2

9
9




8


9
9
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить, является
найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x
u

1
,x
0
)
1
, t
[
0
,2
],

1

u

1
,

i(

x
x
2
1

12 2
F
 u
dt

min
20
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
КОНРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1. Постановка задачи оптимизации. Задача безусловной оптимизации. Постановка
задачи оптимизации в общем виде. Понятия минимума. Существование решения
задачи оптимизации. Постановка задачи безусловной оптимизации. Градиент и
Гессиан. Необходимые и достаточные условия в безусловной задаче. Пример.
2. Задача
условной
оптимизации.
Классическая
задача
на
условный
экстремум.Постановка задачи безусловной оптимизации. Линии уровня.
Геометрическая интерпретация условных задач. Классическая условная задача.
Функция Лагранжа. Правило множителей Лагранжа. Достаточное условие
оптимальности в условной задаче
3. Задача о брахистохроне. Значение и постановка. Решение задачи.
4. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Типы экстремумов в
вариационных задачах Постановка ПЗВИ. Множество допустимых функций.
Пространства непрерывных и непрерывно-дифференцируемых функций и их
нормы. Слабый и сильный локальные минимумы.
5. Понятия
дифференцируемости.
Вариации
интегральных
функционалов.
Дифференцируемость по Фреше и Гато. Определение первой и второй вариации
интегрального функционала. Вычисление первой вариации.
6. Необходимое условие слабого локального минимума. Основная лемма.
Необходимое условие с использованием первой вариации. Основная лемма
вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Реймона.
7. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа. Определение
экстремалей. Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа в зависимости от вида
подынтегральной функции.
8. Вторая вариация интегрального функционала. Необходимое условие. Вычисление
второй вариации интегрального функционала. Формулировка положительной и
неотрицательной определенности функционала. Необходимое условие с
использованием второй вариации.
9. Функция Вейерштрасса. Условие Лежандра. Определение функции Вейерштрасса.
Необходимое условие Вейерштрасса. Условие Лежандра.
10. Уравнение Якоби. Сопряженные точки. Вывод уравнения Якоби. Понятие
присоединенного уравнения. Понятие сопряженной точки и способ ее поиска.
11. Условие Якоби. Достаточные условия локального минимума. Понятие сопряженной
точки. Необходимое условие Якоби. Усиленное условие Якоби. Достаточные
условия слабого и сильного локальных минимумов.
12. Задача вариационного исчисления со свободными концами. Формулировка задачи
со свободными концами. Необходимые условия локального минимума.
Естественные условия на концах.
13. Условия трансверсальности в вариационной задаче. Задачи вариационного
исчисления с подвижным концом. Необходимые условия локального минимума.
Условия трансверсальности.
14. Постановка задачи и основные понятия оптимального управления. Задача о мягкой
посадке на Луну. Понятие фазовых координат, фазового пространства, управления и
допустимого управления. Уравнение динамической системы. Критерии качества.
Классификации задач.
15. Задача без ограничений на управление со свободным правым концом. Постановка
задачи без ограничений на управление со свободным правым концом. Определение
функции Гамильтона. Необходимое условие оптимальности.
16. Задача без ограничений на управление с подвижным правым концом. Постановка
задачи без ограничений на управление с подвижным правым концом. Определение
функции Гамильтона. Необходимое условие оптимальности.
17. Функция Беллмана. Достаточные условия оптимальности. Постановка задачи с
ограничением на управление. Определение функции Беллмана. Достаточные
условия оптимальности.
18. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи с ограничением на
управление. Принцип максимума Понтрягина. Связь теории оптимального
управления и вариационного исчисления
7. Данные для учета успеваемости студентов в БАРС
Таблица 1. Примерная таблица максимальных баллов по видам учебной деятельности.
1
2
3
4
5
6
7
Автоматизиро Другие виды Промежуто
Лабораторн Практическ Самостоятел
Лекции
ванное
учебной
чная
ые занятия ие занятия ьная работа
тестирование деятельности аттестация
10
10
13
37
0
0
30
8
Итого
100
Примерная программа оценивания учебной деятельности студента
Лекции
Посещаемость, опрос, активность и др.за один семестр –от 0 до 10 баллов.
Лабораторные занятия
Контроль выполнения лабораторных работ в течение одного семестра - от 0 до 10
баллов
Практические занятия
Контроль выполнения практических работ в течение одного семестра - от 0 до 13
баллов.
Самостоятельная работа
Отчет по заданиям к практическим работам для самостоятельного выполнения – от
0 до 37 баллов
Автоматизированное тестирование
Не предусмотрено.
Дополнительно
Не предусмотрено.
Промежуточная аттестация
При определении разброса баллов при аттестации преподаватель может воспользоваться
следующим примером ранжирования:
21-30 баллов – ответ на «отлично»
11-20 баллов – ответ на «хорошо»
6-10 баллов – ответ на «удовлетворительно»
0-5 баллов – неудовлетворительный ответ.
Таким образом, максимально возможная сумма баллов за все виды учебной
деятельности студента за один семестр по дисциплине «Вариационное исчисление»
составляет 100 баллов.
Таблица 2. Пример пересчета полученной студентом суммы баллов по дисциплине
«Вариационное исчисление» в оценку (экзамен):
86-100
«отлично»
70-85
«хорошо»
55-69
«удовлетворительно»
0-54
«не удовлетворительно»
50 баллов и более
«зачтено» (при недифференцированной оценке)
меньше 50 баллов
«не зачтено»
8. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература:
1. Гюнтер, Николай Максимович.
Курс вариационного исчисления [Электронный
ресурс] : учеб. / Н. М. Гюнтер. - Москва : Лань, 2009. - 308 с.
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=119
Дополнительная литература:
1. Корнеенко, В. П. Методы оптимизации : учебник [Текст] / В. П. Корнеенко. - М.:
Высш. шк., 2007. -664 с.
2. Зеликин, М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2-е,
испр. [Текст] / М.И. Зеликин. - М.: Едиториал УРСС, 2004. – 160 с.
3. Алексеев, В.М. Оптимальное управление [Электронный ресурс] / Алексеев В.М.,
Тихомиров В.М., Фомин С.В. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 408 с. Режим доступа:
ЭБС «IBOOKS.
Интернет-ресурсы
19. http://csi.ucoz.ru/index/0-8 Ссылки по исследованию операций Центра системных
исследований КАН
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MSOffice или ОреnOffice, TurboPascal;
2. Пакет MathCad.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1. Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения
интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска, компьютер, обычная доска,
пластиковая доска;
2. Компьютерные классы (аудитории №№ 24, 25);
Рабочая программа дисциплины «Вариационное исчисление» составлена в соответствии с
требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 44.03.05 "Педагогическое
образование", профиль "Математика и информатика" (квалификация (степень) «бакалавр»)
и требованиями приказа Министерства образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о
порядке организации и осуществления образовательной деятельности по образовательным
программам высшего образования – программам бакалавриата, программам специалитета,
программам магистратуры.
Программа разработана в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры физики и
информационных технологий, протокол № 2 от «16» октября 2014 года).
Автор:
канд. физ.-мат. наук, доцент
Кузнецов О.А.
Зав. кафедрой физики и
информационных технологий
канд. пед. наук, доцент
Сухорукова Е.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики
канд. пед. наук, доцент
Кертанова В.В.