0 - В начало

08-02-02. Параллельный перенос вдоль оси ординат
1. На клетчатой бумаге наряду с параллельными переносами отрезков вдоль горизонтальных прямых легко представить параллельные переносы отрезков вдоль вертикальных прямых.
Для выполнения параллельного переноса отрезка AB , изображенного на рисунке 1,
построим вспомогательный прямоугольный треугольник MNK , как на рисунке ?. Если
считать, что треугольник MNK изображает чертежный треугольник, а прямая NK –
кромку линейки, то можно переместить треугольник MNK вдоль прямой NK так, как это
сделано на рисунке 2. При этом точка A перейдет в точку A1 , а точка B — в точку B1 .
Проведя отрезок A1 B1 , мы выполним параллельный перенос отрезка AB вдоль вертикальной прямой.
Введение на клетчатой бумаге прямоугольной системы координат позволяет заметить правила, по которым изменяются координаты точек при параллельном переносе
вдоль вертикальных линий сетки. Например, введем систему координат так, как показано
на рисунке 4. Тогда A(4 2) , B (2 5) , A1 (44) , B1 (21) .
Сравнивая координаты (a0  b0 ) точки A и координаты (a1 b1 ) точки A1 , получаем
a1  a0  b1  b0  6  b0  (6)
Сравнивая координаты (c0  d0 ) точки B и координаты (c1  d1 ) точки B1 , получаем
c1  c0  d1  d0  6  d0  (6)
Следовательно, можно предположить, что при рассматриваемом параллельном переносе каждая точка M ( x0  y0 ) переходит в точку M1 ( x0  y0  (6)) .
2. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy .
Рассмотрим некоторую фигуру  и число b .
Каждой точке A фигуры  с координатами ( x0  y0 ) сопоставим точку A1 с координатами ( x0  y0  b) . Фигура 1 образованная всеми такими точками, получается из фигуры
 параллельным переносом вдоль оси Oy , соответствующим числу b .
Иногда вместо слов параллельный перенос вдоль оси Oy , соответствующий числу b
говорят параллельный перенос вдоль оси Oy на b , или короче сдвиг на b вдоль оси Oy .
Если в качестве  взять всю плоскость, то при параллельном переносе вдоль оси
Oy на b каждая точка M ( x0  y0 ) перемещается в точку M1 ( x1 y1 ) координаты которой
вычисляются по формулам:
x1 
x0
(1)
y1  y0  b
Говорят, что формулы (1) задают преобразование координат точек плоскости при
параллельном переносе на b вдоль оси абсцисс.
Знак числа b определяет направление параллельного переноса вдоль оси Oy :
при b  0 параллельный перенос происходит вдоль оси Oy в ее положительном
направлении;
при b  0 параллельный перенос происходит вдоль оси Oy в ее отрицательном
направлении.
3. Покажем, что при параллельном переносе на b вдоль оси Oy прямая l с уравне-
нием y  kx  m переходит в параллельную ей прямую l1 с уравнением
y  b  kx  m
Пусть точка A( p q ) принадлежит прямой l , то есть выполняется равенство
q  kp  m . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 ( z t ) такую,
что
z  p t  q  b
Из этих равенств следует, что
p  z q  t  b
Подставляя в равенство q  kp  m вместо p и q их выражения через z и t , приходим к соотношению
t  b  kz  m
Переходя к привычным обозначениям координат ( x вместо z и y вместо t ), получаем, что при данном параллельном переносе каждая точка прямой l переходит в точку,
координаты ( x y ) которой удовлетворяют уравнению
y  b  kx  m
Пример 1. При параллельном переносе вдоль оси Oy на 1,5 прямая с уравнением
2 y  3x  1 переходит в прямую с уравнением 2( y  1 5)  3 x  1 .
4. Параллельный перенос вдоль оси Oy обладает свойствами, аналогичными свойствам параллельного переноса вдоль оси Ox .
При параллельном переносе вдоль оси Oy :
— каждый отрезок переходит в равный ему отрезок;
— если точка A переходит в точку A1 , а точка B переходит в точку B1 , то середины
отрезков AB1 и A1B совпадают;
— если точка A переходит в точку A1 , точка B переходит в точку B1 и все эти точки не лежат на одной прямой, то фигура AA1 B1B — параллелограмм.
Учитывая последнее свойство, иногда говорят, что параллельный перенос вдоль оси
Oy действует по правилу параллелограмма: если параллельный перенос точку A переводит в точку A1 , то любую точку B , не лежащую на прямой AA1 , он переводит в такую
точку B1 , что четырехугольник AA1 B1B — параллелограмм (рисунок 6).
5. Рассмотрим на координатной плоскости окружность S с уравнением
( x  a)2  ( y  b)2  r 2 
При параллельном переносе на m вдоль оси Oy каждая точка M ( x y ) окружности
S переходит в точку M1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам
x1  y y1  y  m
Отсюда получаем
x  x1 y  y1  m
Подставляя в уравнение окружности S вместо x и y их выражение через переменные x1 и y1 , приходим к уравнению
( x1  a ) 2  ( y1  (m  b) 2 )  r 2 
Это уравнение является уравнением окружности S1 , в которую при данном параллельном переносе переходит окружность S .
При параллельном переносе вдоль оси Oy на (-2) окружность S с уравнением
2
x  ( y  2)2  1 переходит в окружность S1 с уравнением x 2  ( y  2  2)2  1 или
x 2  y 2  1 (рисунок 8).
6. На предыдущем уроке мы доказали, что последовательное выполнение двух параллельных переносов вдоль оси Ox также является параллельным переносом вдоль оси
Ox . Аналогичное правило выполняется и для параллельных переносов вдоль оси Oy .
Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль оси Oy сначала на b1 ,
а затем на b2 является сдвигом вдоль оси Oy на b1  b2 .
Контрольные вопросы
1. Известно, что точка A(0 0) при параллельном переносе переходит в точку
A1 (0 a) . На какое расстояние и вдоль какой оси произведен этот перенос ?
2. Дайте определение параллельного переноса фигуры  на a вдоль оси ординат.
3. В каком случае параллельный перенос фигуры  на a вдоль оси Oy происходит
в положительном направлении, а в каком случае в отрицательном направлении?
4. В какую фигуру переходит прямая, параллельная оси Ox , при параллельном переносе на a вдоль оси Oy ?
5. В какую фигуру переходит прямая, параллельная оси Oy , при параллельном переносе на a вдоль оси Oy ?
6. Что можно сказать о длине и положении отрезка A1 B1 , если известно, что он получен из отрезка AB параллельным переносом на a вдоль оси Oy ?
7. В какую фигуру переходит прямая при параллельном переносе на a вдоль оси
Oy ?
8. Вспомните свойство параллельного переноса вдоль оси Ox . Сформулируйте аналогичные свойства параллельного переноса вдоль оси Oy ?
9. Какой параллельный перенос будет получен в результате последовательного выполнения сдвигов вдоль оси Oy вначале на a1 , а затем на a2 ?
10*. Чем отличается параллельный перенос вдоль оси Oy от параллельного переноса
вдоль оси Ox ?
Задачи и упражнения
1. В какую окружность переходит окружность радиуса 2 с центром в начале координат, при параллельном переносе вдоль оси Oy :
а) на 1; б) на -2; в) на 3?
Укажите центр окружности и ее радиус.
2. В какую окружность переходит окружность радиуса 3 с центром в точке (1;1) при
параллельном переносе:
а) на 3 вдоль оси Oy ;
б) на -2 вдоль оси Oy ;
в) на 1 вдоль оси Ox ;
г) на -3 вдоль оси Ox ?
Укажите центр окружности и ее радиус.
3. При каком параллельном переносе точка A перейдет в точку (0;0), если координаты точки A :
а) (1;0), б) (0;1), в) (3;0),
г) (0;3), д) (- 1;0), е) (0;-1),
ж) (- 2;0), з) (0;-2)?
Ответы и указания
Задача 1. Указания. См. указания к задаче 4 первого урока. Ответ: а) x 2  ( y  1)2  4 ;
б) x 2  ( y  2)2  4 ; в) x 2  ( y  3)2  4 .
Задача 2. Указания. См. указания к задаче 5 первого урока.
Задача 3. Указания. При параллельном переносе плоскости вдоль оси Ox на число
a начало координат O(0 0) переходит в точку (a 0) . При параллельном переносе плоскости вдоль оси Oy на число b начало координат переходит в точку (0 b) .