08-02-03. Параллельный перенос на координатной плоскости 1. Возьмем на клетчатой бумаге отрезок AB и последовательно выполним два параллельных переноса: переместим отрезок AB параллельно горизонтальным линиям в отрезок A1 B1 , как на рисунке 1, а затем полученный отрезок A1 B1 переместим параллельно вертикальным линиям в отрезок A2 B2 , как на рисунке 2. В результате мы осуществили параллельный перенос отрезка AB в отрезок A2 B2 (рисунок 3), при котором точка A переходит в точку A2 , а точка B — в точку B2 . Аналогично на клетчатой бумаге каждый отрезок AB можно параллельно перенести так, чтобы, например, точка A перешла в заданную точку P . 2. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy . Рассмотрим некоторую фигуру и два числа a и b . Аналогично предыдущему пункту выполним сначала параллельный перенос фигуры вдоль оси Ox на a в фигуру 1 , а затем параллельный перенос фигуры 1 вдоль оси Oy на b в фигуру 2 . В результате получим параллельный перенос фигуры в фигуру 2 (рисунок 5). Найдем формулы преобразования координат точек при параллельном переносе фигуры в фигуру 2 . Точка A( x y ) фигуры при параллельном переносе вдоль оси Ox переходит в точку A1 ( x1 y1 ) , координаты которой равны: x1 x a y1 y Полученная точка A1 ( x1 y1 ) фигуры 1 при параллельном переносе вдоль оси Oy переходит в точку A2 ( x2 y2 ) , координаты которой равны: x2 x1 x a y2 y1 b y b Таким образом, при параллельном переносе фигуры в фигуру 2 , который получается сначала параллельным переносом вдоль оси Ox на a , а затем параллельным переносом вдоль оси Oy на b , координаты точек преобразуются по формулам: x2 x a y2 y b Это значит, что при данном параллельном переносе точка A( x y ) переходит в точку A2 ( x a y b) . Пример 1. Рассмотрим параллельный перенос центра окружности S с уравнением 2 x y 2 1 сначала вдоль оси Ox на 3, а затем вдоль оси Oy на 1 . Центром окружности S является точка O(0 0) . При первом параллельном переносе точка O переходит в точку O1 (3 0) (рисунок 7). Полученная точка O1 при втором параллельном переносе переходит в точку O2 (31) (рисунок 8). 3. В предыдущем пункте мы получили, что при последовательном выполнении параллельных переносов сначала вдоль оси Ox на a , а затем вдоль оси Oy на b координаты точек преобразуются по формулам x2 x a y2 y b Выполним теперь параллельные переносы вдоль осей системы координат в другом порядке: сначала вдоль оси Oy на b , а затем вдоль оси Ox на a (рисунок 9). Тогда каждая точка M с координатами ( z t ) при первом параллельном переносе переходит в точку M1 ( z1 t1 ) , координаты которой равны: z1 z t1 t b Полученная точка M 1 при втором параллельном переносе переходит в точку M 2 ( z2 t2 ) , координаты которой равны: z2 z1 a z a t2 t1 t b Следовательно, при последовательном выполнении параллельных переносов вдоль осей координат в указанном порядке координаты точек преобразуются по формулам: z2 z a t2 t b (4) Формулы (4) отличаются от формул (3) только обозначением переменных, а это значит, что формулы (4) и формулы (3) задают один и тот же параллельный перенос плоскости. 4. Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей системы координат, которое было рассмотрено на предыдущих уроках, позволяет ввести следующее общее определение. Параллельным переносом фигуры определяемым в данной системе координат упорядоченной парой чисел (a b) , называется преобразование, при котором каждая точка A( x y ) фигуры переходит в точку A1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам: x1 x+ a, y1 = y+ b, Пример 2. Рассмотрим параллельный перенос квадрата с вершинами A(0 0) , B(1 0) , C (11) , D (0 0) , определяемый парой чисел (-2; 4), При данном параллельном переносе вершины квадрата переходят: точка A в точку A1 (0 2 0 4) ; точка B в точку B1 (1 2 0 4) ; точка C в точку C1 (1 21 4) ; точка D в точку D1 (0 21 4) (рисунок 10). Параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) , можно получить последовательным выполнением параллельных переносов вдоль оси Ox на число a и вдоль оси Oy на число b . При этом неважно, в каком порядке выполнять параллельные переносы вдоль осей системы координат. Отметим, что параллельный перенос, определяемый парой чисел (a 0) — это параллельный перенос вдоль оси Ox на число a . Аналогично, параллельный перенос, определяемый парой чисел (0b) – это параллельный перенос вдоль оси Oy на число b . Таким образом, приведенное в данном пункте определение параллельного переноса включает в себя ранее рассмотренные параллельные переносы вдоль координатных осей. 5. Рассмотрим параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) . Покажем, что при этом параллельном переносе прямая l с уравнением с уравнением y kx m переходит в параллельную ей прямую l1 с уравнением y b k ( x a ) . Действительно, пусть точка A( p q ) лежит на прямой l , то есть q kp m . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 ( z t ) такую, что z p a t q b Из этих равенств следует, что p z a q b a Подставляя в равенство q kp m вместо p и q их выражения через z и t , приходим к равенству t b k ( z a ) m Изменяя обозначение переменных z и t соответственно на x и y , получаем уравнение y b k ( x a ) m Пример 3. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (3; 1) , прямая l с уравнением y 12 x 4 переходит в прямую l1 с уравнением y 1 12 ( x 3) 4 . Для того, чтобы пояснить, что при параллельном переносе все точки прямой l переходят во все точки прямой l1 , рассмотрим, например, точку B (5 6) прямой l1 . Тогда точка C ( x0 y0 ) , координаты которой вычисляются из равенств x0 5 3 , y0 6 1 , лежит на прямой l , потому что y0 12 x0 4 , и при данном параллельном переносе переходит в точку B , потому что x0 3 5 , y0 1 6 . 6. Каждый параллельный перенос обладает свойствами, аналогичными свойствам параллельных переносов вдоль осей координат. При параллельном переносе: — каждый отрезок переходит в равный ему отрезок; — если точка A переходит в точку A1 , а точка B переходит в точку B1 , то середины отрезков AB1 и A1B совпадают; если при этом точки A , A1 , B , B1 не лежат на одной прямой, то фигура AA1B1B — параллелограмм. Учитывая последнее свойство, иногда говорят, что параллельный перенос действует по правилу параллелограмма. 7. Перечисленные в пункте 3.6. свойства параллельного переноса доказываются аналогично тому, как это было сделано в пунктах 1.6. и 1.7. для параллельных переносов вдоль оси Ox . Пусть параллельный перенос определяется парой чисел (a b) . Рассмотрим точки A(m1 n1 ) и B(m2 n2 ) . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 (m1 a n1 b) , а точка B переходит в точку B1 (m2 a n2 b) . Проведем теперь три рассуждения. I. A1 B1 2 ((m2 a) (m1 a)) 2 ((n2 a) (n1 a)) 2 (m2 m1 ) 2 (n2 n1 ) 2 AB 2 . Отсюда следует равенство A1B1 AB . II. Середина отрезка AB1 имеет координаты имеет координаты m2 m1 a 2 m1 m2 a 2 n1 n22 b . Середина отрезка A1 B n2 2n1 b . Отсюда следует, что соответственные координаты се- редин отрезков AB1 и A1 B равны, а значит, середины этих отрезков совпадают. III. Пусть точки A , B , A1 , B1 не лежат на одной прямой. Тогда отрезки AB1 и A1B лежат на различных прямых, а значит из предыдущей части следует, что каждый из отрезков AB1 и A1B точкой пересечения делится пополам. По соответствующему признаку получаем, что четырехугольник AA1B1B — параллелограмм. 8. Рассмотрим на координатной плоскости линию , заданную некоторым уравнением с переменными x и y . В качестве примера возьмем линию с уравнением x10 y10 1 , которая изображена на рисунке 11. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (a b) , каждая точка M ( x y ) линии переходит в точку M1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам x1 x a y1 y b Отсюда получаем равенства x x1 a y y1 b Подставляя в уравнение линии вместо x и y их выражения через переменные x1 и y1 , приходим к уравнению ( x1 a)10 ( y1 b)10 1 Этому уравнению удовлетворяют координаты только таких точек M 1 , которые получаются данным параллельным переносом из некоторой точки M линии . Следовательно, уравнение ( x a)10 ( y b)10 1 определяет линию, в которую при данном параллельном переносе переходит линия . 9. Параллельный перенос, который задается парой чисел (a b) , по формулам x1 = x+a y1 y+b определяет преобразование каждой точки плоскости с координатами ( x y ) в точку с координатами ( x1 y1 ) . Тем самым этот параллельный перенос является преобразованием всей плоскости. На предыдущем уроке было сказано, что при параллельном переносе каждый отрезок переводится в равный ему отрезок. Это позволяет доказать, что при параллельном переносе каждый треугольник переходит в равный ему треугольник, угол — в равный ему угол, окружность — в равную ей окружность, и так далее. Следовательно, параллельный перенос один из видов перемещений. 10. Покажем, что последовательное выполнение двух параллельных переносов также является параллельным переносом. Пусть первый параллельный перенос задается парой чисел (a1 b1 ) . Тогда каждая точка A( x y ) при этом параллельном переносе переходит в точку A1 ( x1 y1 ) , координаты которой равны: x1 x a1 y1 y b1 Пусть второй параллельный перенос задается парой чисел (a2 b2 ) . Тогда точка A1 ( x1 y1 ) при этом параллельном переносе переходит в точку A2 ( x2 y2 ) , координаты которой равны: x2 x1 a2 x (a1 a2 ) y2 y1 b2 y (b1 b2 ) В результате последовательное выполнение данных параллельных переносов задает преобразование точек координатной плоскости следующими формулами: x2 x (a1 a2 ) y2 y (b1 b2 ) Полученные формулы соответствуют параллельному переносу, определяемому парой чисел (a1 a2 b1 b2 ) . Этот параллельный перенос можно получить как последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей координат: либо сначала вдоль оси Ox на a1 a2 , а затем вдоль оси Oy на b1 b2 , либо сначала вдоль оси Oy на b1 b2 , а затем вдоль оси Ox на a1 a2 . Пример 4. Рассмотрим окружность S с центром F(1;-1) и радиусом 1 и точку A(0;-1) этой окружности (рисунок 12). При параллельном переносе, заданном парой чисел (- 2; 2), точка F переходит в точку F1 (11) , а точка A переходит в точку A1 (21) . Затем при параллельном переносе, заданном парой чисел (3;1), точка F1 переходит в точку F2 (2 2) , точка A1 переходит в точку A2 (1 2) . 11. Мы определяем параллельные переносы на плоскости с фиксированной системой координат. Параллельные переносы можно рассматривать и независимо от системы координат. Один из подходов основан на следующем определении. Пусть A и A1 две точки плоскости. Параллельным переносом в направлении от A к A1 на расстояние A A1 называется преобразование плоскости, при котором каждая точка М переходит в точку М1 , что середины отрезков A М1 и A1 М совпадают. В случае, когда A1 совпадает с A, направление параллельного переноса не определяют, а соответствующий параллельный перенос является тождественным преобразованием плоскости. Исходя из этого определения удается доказать все свойства параллельных переносов, которые рассматривались в этой теме, выяснить, что в каждой фиксированной системе координат формулы преобразования координат такие же, какие приведены в п. 3.4., правда набор чисел a и b зависят от выбора системы координат и может оказаться разным. К сожалению, проделать все это трудоемко и непросто. Поэтому нами рассмотрены довольно обстоятельно параллельные переносы в фиксированной декартовой системе координат, не затрагивая вопрос о задании одного и того же параллельного переноса в разных системах координат. Контрольные вопросы 1. Пусть точка A1 получена из точки A( x y ) сначала параллельным переносом на a вдоль оси Ox , а затем параллельным переносов на b вдоль оси Oy . Чему равны координаты точки A1 ? 2. Пусть точка A1 получена из точки A( x y ) сначала параллельным переносом на b вдоль оси Oy , а затем на a вдоль оси Ox . Чему равны координаты точки A1 ? 3. Что такое параллельный перенос, определенный парой чисел (a b) ? 4. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль оси Ox ? 5. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль оси Oy ? 6. Во что переходит прямая при параллельном переносе, определяемом парой чисел (a b) ? 7. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Ox . 8. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Oy . 9. Сформулируйте свойства параллельного переноса, определяемого парой (a b) . 10. Объясните, что означает предложение, что параллельный перенос действует по правилу параллелограмма. 11.* Что представляет собой последовательное выполнение двух параллельных переносов, определяемых парой (a1 b1 ) и парой (a2 b2 ) ? 12.* Докажите, что последовательное выполнение параллельных переносов сначала на (a1 b1 ) , а затем на (a2 b2 ) совпадает с последовательным выполнением параллельных переносов сначала на (a2 b2 ) , а затем на (a1 b1 ) . Задачи и упражнения 1. В какую окружность перейдет окружность x 2 y 2 4 при параллельном переносе на (1; 1) ? 2. При каком параллельном переносе центр окружности ( x 1)2 ( y 2)2 9 перейдет в начало системы координат ? 3. Найдите несколько параллельных переносов при которых прямая y 2 x 1 перейдет в прямую, проходящую через начало системы координат. 4. Найдите несколько параллельных переносов, при которых прямая y 3x 1 перейдет в прямую y 3 x 3 . 5. В какую кривую переходит кривая y x3 при параллельном переносе на (2; 3)? 6. В какую кривую переходит кривая y 1x при параллельном переносе на (2; 1)? Ответы и указания Задача 1. Ответ. В окружность ( x 1)2 ( y 1)2 4 . Задача 2. Ответ. При параллельном переносе, задаваемом парой чисел (12) . Задача 3. Указание. Рассмотрим произвольную точку A( x1 y1 ) лежащую на прямой y 2 x 1 . Тогда можно выразить координату y1 через x1 и получить, что A( x1 2 x1 1) . Параллельный перенос, задаваемый парой чисел ( x1(2 x1 1)) переводит точку A( x1 2 x1 1) в точку O(0 0) , поэтому, подставляя вместо числа x1 в запись пары чисел ( x1(2 x1 1)) любое число, получаем искомый параллельный перенос. Например: (01) , (13) , (11) . Задача 4. Указание. Рассмотрим произвольную точку A( x1 y1 ) лежащую на прямой y 3x 1 . Выразим координату y1 через x1 и получим, что A( x1 3x1 1) . Эту точку параллельный перенос, задаваемый парой чисел ( x1 ; (3x1 1)) переводит в начало координат O(0 0) . В свою очередь, если x2 — фиксированное число, то пара чисел ( x2 3x2 3) зада- ет параллельный перенос, который переводит точку O(0 0) в точку ( x2 3x2 3) , удовлетворяющую уравнению y 3 x 3 . Таким образом, последовательное выполнение параллельных переносов, задаваемых соответственно парами чисел ( x1(3x1 1)) и ( x2 3x2 3) , будет искомым параллельным переносом. Он в свою очередь задается парой чисел ( x1 x2 3( x1 x2 ) 2) . Выбирая x1 x2 0 , получаем пару (0 2) . Выбирая x1 0 , x2 1 , получим пару (11) . Заметим, что если положить x3 x1 x2 , то любая пара чисел вида ( x3 3x3 2) является искомой. Задача 5. Указание. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (2 3) , преобразование координат происходит по формулам x1 x 2 y1 y 3 Отсюда получаем равенства x x1 2 , y y1 3 . Подставляя значения x и y в указанном виде в уравнение y x3 , получаем y1 3 ( x1 2)3 . Поэтому уравнение y 3 ( x 2)3 определяет кривую, в которую при параллельном переносе, задаваемом парой (2;3), переходит кривая y x3 . Задача 6. Указание. См. указания к решению предыдущей задачи.