Parallelnyi_perenos_vdol_osi_absciss_08-02

Тема 2. Параллельный перенос на координатной плоскости
В этой теме вы познакомитесь с преобразованиями точек плоскости, которые называются параллельными переносами. Будут подробно изучены параллельные переносы параллельно осям системы координат и показано, как другие параллельные переносы получать из параллельных переносов вдоль координатных осей. Вы узнаете, как с помощью
параллельного переноса можно строить графики некоторых функций.
08-02-01. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс
1. С помощью линейки и чертежного треугольника легко нарисовать отрезок, равный и параллельный заданному отрезку AB . Для этого гипотенузу чертежного треугольника приложим к отрезку AB , а к катету треугольника приложим линейку. Затем отметим
на чертежном треугольнике положение точек A и B , сдвинем его вдоль линейки так, как
это показано на рисунке 1, и начертим отрезок A1 B1 . Говорят, что отрезок A1 B1 получен из
отрезка AB параллельным переносом вдоль линейки, который точку A переводит в точку
A1 , а точку B – в точку B1 .
2. Рассмотрим теперь клетчатую бумагу с горизонтально и вертикально расположенными линиями и отрезок AB, например такой, как на рисунке 2. Для выполнения параллельного переноса отрезка AB вдоль горизонтальных линий построим вспомогательный
прямоугольный треугольник MNK , как на рисунке 3. Будем считать, что треугольник
MNK изображает чертежный треугольник, а прямая MN — кромку чертежной линейки.
Мысленно переместив треугольник MNK вдоль прямой MN так, чтобы точка M перешла в точку M 1 . Тогда точка N перейдет в точку N1 , точка K — в точку K1 , точка A —
в точку A1 , точка B — в точку B1 , как на рисунке 4.
Таким образом, мы вспомнили параллельный перенос отрезка AB , не используя
чертежного треугольника и линейки.
3. На клетчатой бумаге удобно ввести прямоугольную систему координат, в которой
ось абсцисс является одной из горизонтальных линий, а ось ординат –одной из вертикальных линий сетки (рисунок 5).
Рассмотрим, как в такой системе координат изменяются координаты концов отрезка
при параллельном переносе вдоль горизонтальных линий сетки.
Пример 1. Пусть отрезок A1 B1 получен из отрезка AB параллельным переносом так,
как показано на рисунке 6. Запишем координаты концов этих отрезков:
A(21) B(3 4) A1 (21) B1 (1 4)
Сравним координаты (a0  b0 ) точки A и координаты (a1 b1 ) точки A1 , в которую при
данном параллельном переносе переходит точка A :
b1  1  b0 
a1  2  2  4  a0  4  a0  (4)
Сравним теперь координаты (c0  d0 ) точки B и координаты (c1  d1 ) точки B1 :
d1  4  d0 
c1  1  3  4  c0  4  c0  (4)
При рассмотренном параллельном переносе точка A(a0  b0 ) переходит в точку
A1 (a0  4 b0 ) , а точка B(c0  d0 ) переходит в точку B1 (c0  4 d0 ) . Можно предположить, что
при этом параллельном переносе каждая точка M ( x0  y0 ) отрезка AB переходит в точку
M1 ( x0  (4) y0 ) , ордината которой равна ординате y0 точки M , а абсцисса x0  (4) получается прибавлением к абсциссе точки M числа - 4.
Пример 2. Пусть отрезок A1 B1 получен из отрезка AB параллельным переносом, как
на рисунке 7. Тогда
A(1 51) B(0 4) A1 (21) B1 (3 5 4)
Сравнивая координаты (a0  b0 ) точка A и координаты (a1 b1 ) точки A1 , получаем
b1  b0 , a1  a0  3 5 .
Аналогично, сравнивая координаты (c0  d0 ) точки B и координаты (c1  d1 ) точки B1 ,
получаем d1  d0 , c1  c0  3 5 .
Следовательно, можно предположить, что при рассматриваемом параллельном переносе каждая точка M ( x0  y0 ) переходит в точку M1 ( x0  3 5 y0 ) .
4. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy . Наблюдения
на примерах из предыдущего пункта приводят к общему определению параллельного переноса вдоль оси абсцисс.
Рассмотрим некоторую фигуру  и число a .
Каждой точке A фигуры  с координатами ( x0  y0 ) сопоставим точку A1 с координатами ( x0  a y0 ) . Фигура 1 , образованная всеми такими точками, получается из фигуры  параллельным переносом вдоль оси Ox , соответствующим числу a (рисунок 8).
Иногда вместо слов параллельный перенос вдоль оси Ox , соответствующий числу a
говорят параллельный перенос вдоль оси Ox на a , или короче сдвиг на a вдоль оси Ox .
Если в качестве  взять всю плоскость, то при параллельном переносе на a вдоль
оси Ox каждая точка M ( x0  y0 ) перемещается в точку M1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам:
x1  x0  a
(1)
y1 
y0
Говорят, что формулы (1) задают преобразование координат точек плоскости при
параллельном переносе на a вдоль оси абсцисс.
Знак числа a определяет направление параллельного переноса вдоль оси Ox :
при a  0 параллельный перенос происходит вдоль оси Ox в ее положительном
направлении;
при a  0 параллельный перенос происходит вдоль оси Ox в ее отрицательном
направлении.
5. Покажем, что при параллельном переносе вдоль оси Ox всякая прямая переходит
в параллельную ей прямую. Разберем это сначала на примерах.
Пример 3. Рассмотрим параллельный перенос прямой l с уравнением y  2 x вдоль
оси Ox на 3.
Пусть точка A(a b) принадлежит прямой l , то есть выполняется равенство b  2a
(на рисунке 9 у точки A координаты a  2 и b  4 ). При данном параллельном переносе
точка A переходит в точку A1 ( p q ) такую, что
p  a  3 q  b
(на рисунке 9 у точки A1 координаты p  a  3  5 , q  b  4 ).
Из равенств p  a  3 и q  b следует, что
a  p  3 b  q
Так как по условию b  2a , то подставляя вместо a и b их выражения через p и q ,
приходим к равенству q  2( p  3) . Заменяя в этом равенстве координаты p и q точки A1
соответственно на x и y , получаем, что координаты точки A1 удовлетворяют уравнению
y  2( x  3)
Следовательно, точки прямой l с уравнением y  2 x переходят при параллельном
переносе на 3 вдоль оси Ox в точки прямой l1 с уравнением y  2( x  3) , которая параллельна прямой y  2 x .
Нетрудно показать, то при данном параллельном переносе все точки прямой l переходят во все точки прямой l1 . Например, в точку B1 (22) прямой l1 переходит точка
B(12) прямой l (рисунок 9).
Пример 4. Рассмотрим параллельный перенос прямой m с уравнением y   12 x  3
вдоль оси Ox на -2.
Пусть точка A(a b) принадлежит прямой m , то есть b   12 x  3 (рисунок 10). При
данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 ( p q ) такую, что
p  a  2 q  b
Из этих равенств следует, что
a  p  2 b  q
Подставляя в уравнение b   12 x  3 вместо a и b их выражения через p и q , приходим к равенству
1
q   ( p  2)  3
2
Заменяя в этом равенстве координаты p и q точки A1 соответственно на x и y , получаем, что прямая m с уравнением y   12 x  3 при параллельном переносе вдоль оси
Ox на -2 переходит в прямую m1 с уравнением
1
y   ( x  2)  3
2
или
1
y   ( x  (2))  3
2
Обобщением рассмотренных примеров является следующий результат.
При параллельном переносе на а вдоль оси Ox прямая с уравнением y  kx  m переходит в прямую с уравнением y  k ( x  a )  m .
6. Докажем, что при параллельном переносе на a вдоль оси Ox каждый отрезок переходит в равный ему отрезок.
Пусть концы отрезка AB имеют координаты A(m1 n1 ) , B(m2  n2 ) . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 (m1  a n1 ) , точка B переходит в точку
B1 (m2  a n2 ) . Из формулы расстояния между точками получаем равенства:
 A1B1 2  ((m2  a)  (m1  a)) 2  (n2  n1 ) 2 
 (m2  m1 )2  (n2  n1 ) 2  AB 2 
Следовательно,  A1B2  AB  , а поэтому отрезок A1 B1 равен отрезку AB .
7. Пусть при параллельном переносе вдоль оси Ox на a точка A(m1 n1 ) переходит в
точку A1 (m1  a n1 ) , а точка B(m2  n2 ) переходит в точку B1 (m2  a n2 ) .
Из формул координат середины отрезка получаем, что середина отрезка AB1 имеет
координаты

m2  m2  a
2

 n1 2n2 , а середина отрезка A1B имеет координаты

m1  m2  a
2

 n1 2n2 . Зна-
чит, середины отрезков AB1 и A1B совпадают. Отсюда следует, что если точки A , B , A1 ,
B1 не лежат на одной прямой, то по соответствующему признаку четырехугольник
AA1 B1B является параллелограммом. По этой причине иногда говорят, что параллельный
перенос вдоль оси Ox действует по правилу параллелограмма: если параллельный перенос переводит точку A в точку A1 , то любую точку B , не лежащую на прямой AA1 , он
переводит в такую точку B1 , что четырехугольник AA1 B1B — параллелограмм (рисунок 12).
8. Рассмотрим на координатной плоскости окружность S с уравнением
( x  a)2  ( y  b)2  r 2 
При параллельном переносе вдоль оси Ox на m каждая точка M ( x y ) окружности
S переходит в точку M1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам
x1  x  m y1  y
Отсюда получаем
x  x1  m y  y1
Подставляя в уравнение окружности S вместо x и y их выражения через переменные x1 и y1 , приходим к уравнению
( x1  (m  a )) 2  ( y1  b) 2  r 2 
Это уравнение является уравнением окружности S1 , в которую при данном параллельном переносе переходит окружность S .
9. Рассмотрим на координатной плоскости некоторую фигуру  . Выполним последовательно два параллельных переноса этой фигуры вдоль оси Ox : сначала на a1 , а затем
на a2 .
Каждая точка A( x y ) этой фигуры при первом параллельном переносе перейдет в
точку A1 ( x1  y1 ) , координаты которой равны:
x1  x  a1 y1  y
Полученная точка A1 при втором параллельном переносе перейдет в точку
A2 ( x2  y2 ) , координаты которой равны
x2  x1  a2  y2  y1
В результате последовательного выполнения этих параллельных переносов точка
A( x y ) переходит в точку A2 ( x2  y2 ) , координаты которой вычисляются по формулам:
x2  x  (a1  a2 )
y2  y
Полученные формулы задают параллельный перенос каждой точки A фигуры 
вдоль оси Ox на a1  a2 .
Например, на рисунке 14 при параллельном переносе вдоль оси Ox на -4 точка
A(2 2) переходит в точку A1 (2 2) , а линия l переходит в линию l1 . Затем при параллельном переносе вдоль оси Ox на 1 точка A1 (2 2) переходит в точку A2 (1 2) , а линия
l1 переходит в линию l2 . В результате последовательного выполнения этих параллельных
переносов точка A(2 2 ) переходит в точку A2 (2  3 2) , а линия l переходит в линию l2 ,
которая получается из l параллельным переносом вдоль оси Ox на 4 1  3 .
Таким образом, мы получаем следующее правило.
Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль оси Ox сначала на
a1 , а затем на a2 является параллельным переносом вдоль оси Ox на a1  a2 .
Контрольные вопросы
1. Что означает, что отрезок с вершинами A1 (21) , B1 (1 4) получен из отрезка
A(21) , B (3 4) параллельным переносом вдоль оси абсцисс?
2. Дайте определение параллельного переноса фигуры  вдоль си абсцисс.
3. В каком случае параллельный перенос фигуры  на a вдоль оси Ox происходит
в положительном направлении, в каком случае в отрицательном направлении?
4. В какую фигуру переходит прямая при параллельном переносе вдоль оси абсцисс?
5. Что можно сказать о длине и положении отрезка A1 B1 , если этот отрезок получен
из отрезка AB параллельным переносом вдоль оси Ox ?
6. Что можно сказать о треугольнике A1B1C1 , если известно, что он получен из треугольника ABC параллельным переносом вдоль оси Ox ?
7. В какую фигуру переходит окружность при параллельном переносе вдоль оси
Ox ?
8. Какой параллельный перенос будет получен в результате последовательного выполнения сдвигов вдоль Ox вначале на a1 , а затем на a2 ?
Задачи и упражнения
1. Докажите, что прямоугольный треугольник при параллельном переносе вдоль оси
Ox переходит в прямоугольный треугольник.
2. Докажите, что равнобедренный треугольник при параллельном переносе вдоль
оси Ox переходит в равнобедренный треугольник.
3. Докажите, что равносторонний треугольник переходит при параллельном переносе вдоль оси Ox в равносторонний треугольник.
4. В какую окружность переходит окружность радиуса 1 с центром в начале координат при параллельном переносе вдоль оси Ox :
а) на 1; б) на -4; в) на 2.
Укажите центр полученной окружности и ее радиус.
5. В какую окружность переходит окружность с центром в точка F (1 2) радиуса 2
при параллельном переносе вдоль оси Ox :
а) на -1; б) на 12 ; в) на -2.
6. Докажите, что при параллельном переносе:
а) параллелограмм переходит в параллелограмм;
б) ромб переходит в ромб;
в) квадрат переходит в квадрат;
г) прямоугольник переходит в прямоугольник.
7. Докажите, что при параллельном переносе на a вдоль оси Ox трапеция переходит
в трапецию .
8. Отрезок A(0 0) B (2 2) переходит при параллельном переносе вдоль оси Ox на 3
в отрезок A1 B1 . Найдите координату точки пересечения диагоналей O параллелограмма
ABB1 A1 .
Ответы и указания
Задача 1. Указание. При параллельном переносе вдоль оси Ox равные отрезки переходят в равные отрезки, поэтому прямоугольный треугольник со сторонами a , b , c переходит в треугольник с теми же сторонами. Оба треугольника равны по трем сторонам по
третьему признаку равенства треугольников, поэтому при этом преобразовании прямоугольный треугольник переходит в прямоугольный треугольник.
Задача 2. Указание. См. указание к задаче 1.
Задача 3. Указание. См. указание к задаче 1.
Задача 4. Указание. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат задается
уравнением x 2  y 2  1. В результате при параллельном переносе вдоль оси Ox получаем
соответственно уравнения: а) ( x  1)2  y 2  1 ; б) ( x  4)2  y 2  1 ; в) ( x  2)2  y 2  1 .
Задача 5. Указание. Окружность радиуса 2 с центром в точке F (1 2) задается уравнением ( x  1)2  ( y  2)2  4 . В результате при параллельном переносе вдоль оси Ox получаем соответственно уравнения: а) x 2  ( y  2)2  4 ; б) ( x  1 5)2  ( y  2)2  4 ;
в) ( x  1)2  ( y  2)2  4 .
Задача 6. Указание. Использовать третий признак равенства треугольников и признак параллелограмма: если противоположные стороны четырехугольника соответственно
равны между собой, то четырехугольник является параллелограммом.
Задача 7. Указание. См. указание к предыдущей задаче.
Задача 8. Указание. Отрезок A1 B1 , полученный при параллельном переносе вдоль
оси Ox на 3 имеет концы в точках A1 (3 0) и B1 (5 2) . Поэтому точка пересечения O диагоналей параллелограмма ABB1 A1 — это середина отрезка AB1 , поэтому координаты точки есть полусуммы соответствующих координат этого отрезка. Ответ: O (2 51) .