Вариационное исчисление - Основные образовательные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического моделирования
Баринов В. А.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 02.03.01 "Математика и компьютерные науки",
профиль подготовки "Вычислительные, программные, информационные системы и
компьютерные технологии", очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2015
Баринов В. А. Вариационное исчисление. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 02.03.01 "Математика и компьютерные науки",
профиль подготовки "Вычислительные, программные, информационные системы и
компьютерные технологии", очная форма обучения. Тюмень, 2015 г, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Вариационное
исчисление [электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук ТюмГУ.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Татосов А.В., доктор физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой
математического моделирования
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Баринов В. А., 2015.
2
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью курса является получение и последующее применение студентами ключевых
представлений и методологических подходов, направленных на построение и анализ систем
управления механическими системами.
Задачи учебного курса: приобретение навыков в построении математических
моделей различных практических задач, в выборе математических методов для их решения с
использованием вычислительных машин; ознакомление с основными понятиями
вариационного исчисления, теории устойчивости и управления, с постановками задач и
методами их решения, а также с основными алгоритмами, которые отвечают этим решениям
и могут быть эффективно реализованы в теоретических исследованиях и технических
приложениях.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина входит в вариативную часть Блока 1. Для освоения дисциплины
необходимы знания дисциплин: основы математического анализа, фундаментальная и
компьютерная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения. Освоение
дисциплины позволит в дальнейшем изучать курс разностные методы решения краевых
задач.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№ п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые
для
изучения
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
1
Разностные методы решения краевых задач
2
3
4
5
6
7
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать следующими
общепрофессиональными компетенциями (ОПК):
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать профессиональными
компетенциями (ПК), соответствующими виду (видам) профессиональной деятельности, на
который (которые) ориентирована программа бакалавриата:
научно-исследовательская деятельность:
способностью строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
3
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
– типичные постановки задач вариационного исчисления;
– типичные постановки задач управления и оценивания;
– основные результаты в области вариационного исчисления, оптимального оценивания
траекторий динамических систем и оптимального управления.
Уметь:
– ставить и решать задачи вариационного исчисления, включая решение задач с
использованием вычислительных машин;
– ставить и решать задачи оптимального управления и оценивания, включая построение
алгоритмов численного решения задач.
Владеть:
– методами решения задач вариационного исчисления и оптимального управления;.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Дисциплина «Вариационное исчисление» читается в восьмом семестре. Форма
промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные
единицы, 72 академических часа, из них 62,3 часа, выделенных на контактную работу с
преподавателем; 9,7 часа, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 3.
Тематический план
Лекции
недели семестра
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
1
1.
2.
2
Основные понятия
вариационного исчисления
Простейшие задачи
вариационного исчисления
3
4.
Достаточные условия
экстремума. Сильный
экстремум
Вариационные задачи для
Из них в
Итого
интерак количество
тивной
баллов
форме, в
часах
6
7
8
9
1
4
5
Модуль 1
5
5
2
12
3
0-15
2-3
5
2
12
4
0-15
10
10
Модуль 2
4
24
7
0-30
4
5
5
2
12
3
0-15
5-6
5
5
2
12
4
0-15
Всего
3.
Итого
часов
по теме
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная
работа
№
5
4
случая многих неизвестных
функций. Вариационные
задачи на условный
экстремум
Всего
5.
6.
7.
Основные понятия и задачи
теории оптимального
управления
Условия экстремума в задачах
оптимального управления
Принцип Вейерштрасса
10
10
Модуль 3
4
24
7
3
1
7
2
7
3
0-30
0-13
8-9
4
4
2
10
2
0-24
10
3
3
1
7
2
0-13
10
30
10
30
4
12
24
72
6
0-40
10
10
Всего
Итого (часов, баллов) с учетом
иных видов работ:
из них часов в интерактивной
форме
20
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
ответ на практическом
занятии
контрольная работа
решение задач на
практическом занятии
выполнение
домашнего задания
Итого количество баллов
1
Письменные работы
собеседование
№ темы
Устный опрос
2
3
4
5
6
7
Семестр 5
Модуль 1
1. Основные понятия вариационного
исчисления
2. Простейшие задачи вариационного
исчисления
Всего
0-1
0-2
0-10
0-1
0-1
0-15
0-1
0-1
0-10
0-1
0-2
0-15
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-30
Модуль 2
3. Достаточные условия экстремума.
Сильный экстремум
4. Вариационные задачи для случая
многих неизвестных функций.
0-1
0-2
0-10
0-1
0-1
0-15
0-1
0-1
0-10
0-1
0-2
0-15
5
Вариационные задачи на условный
экстремум
Всего
0-2
0-3
0-20
0-1
0-1
0-10
0-1
0-1
0-10
0-1
0-2
0-3
0-30
0-1
0-13
0-1
0-1
0-24
0-10
0-1
0-1
0-13
Модуль 3
5. Основные понятия и задачи теории
оптимального управления
6. Условия экстремума в задачах
оптимального управления
7. Принцип Вейерштрасса
Всего
0-2
0-3
0-30
0-2
0-3
0-40
Итого за семестр
0-6
0-9
0-70
0-6
0-9
0-100
5. Содержание дисциплины.
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления: примеры содержательных
задач о поиске экстремумов; типовые задачи вариационного исчисления; основные понятия
и определения; общая постановка задачи вариационного исчисления; классификация
экстремумов.
Тема 2. Простейшие задачи вариационного исчисления: необходимые условия
экстремума в простейшей задаче; основные леммы вариационного исчисления; уравнение
Эйлера; экстремали в регулярной и сингулярной ситуациях; случаи упрощения уравнения
Эйлера; вариационная задача с незакреплёнными границами; условия трансверсальности;
разрывные задачи; условия Вейерштрасса-Эрдмана; задачи с ограничениями; односторонние
вариации.
Тема 3. Достаточные условия экстремума. Сильный экстремум: вторая вариация
функционала; условие Лежандра; достаточные условия слабого относительного экстремума;
геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального экстремума;
достаточные условия сильного относительного экстремума; необходимые условия сильного
относительного экстремума.
Тема 4. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Вариационные задачи на условный экстремум: простейшая вариационная задача с n
неизвестными; каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера;
обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных; сильный
относительный экстремум в задаче с n неизвестными; правило множителей Лагранжа в
задаче конечномерной оптимизации; вариационная задача Лагранжа на условный экстремум;
изопериметрическая задача.
Тема 5. Основные понятия и задачи теории оптимального управления: пример
содержательной задачи о построении оптимального управления; задача оптимального
программного управления как вариационная задача на условный экстремум; классификация
задач теории оптимального управления; задача о переводе системы из одного заданного
состояния в другое; управляемость системы.
Тема 6. Условия экстремума в задачах оптимального управления: построение
оптимальных программных управлений в задаче Больца; однопараметрическое семейство
допустимых управлений; необходимые условия экстремума и их каноническая форма;
оптимальное стабилизирующее управление; принцип оптимальности; уравнение Беллмана;
задача об оптимальном быстродействии; достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа
6
Тема 7. Принцип Вейерштрасса: принцип Вейерштрасса; постановка задачи; понятие
игольчатой вариации управления; принцип максимума и его соотношение с принципом
Вейерштрасса.
6. Планы семинарских занятий
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления
1) типовые задачи вариационного исчисления;
2) классификация экстремумов.
Тема 2. Простейшие задачи вариационного исчисления
1) необходимые условия экстремума в простейшей задаче;
2) уравнение Эйлера;
3) экстремали;
4) вариационная задача с незакреплёнными границами;
5) условия трансверсальности;
6) разрывные задачи;
7) условия Вейерштрасса-Эрдмана;
8) задачи с ограничениями;
9) односторонние вариации.
Тема 3. Достаточные условия экстремума. Сильный экстремум
1) вторая вариация функционала;
2) условие Лежандра;
3) достаточные условия слабого относительного экстремума;
4) достаточные условия сильного относительного экстремума;
5) необходимые условия сильного относительного экстремума.
Тема 4. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Вариационные задачи на условный экстремум
1) простейшая вариационная задача с n неизвестными;
2) каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера;
3) сильный относительный экстремум;
4) правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации;
5) вариационная задача Лагранжа на условный экстремум;
6) изопериметрическая задача.
Тема 5. Основные понятия и задачи теории оптимального управления
1) задачи о построении оптимального управления;
2) задача оптимального программного управления как вариационная задача на
условный экстремум;
3) задача о переводе системы из одного заданного состояния в другое.
Тема 6. Условия экстремума в задачах оптимального управления
1) построение оптимальных программных управлений в задаче Больца;
2) однопараметрическое семейство допустимых управлений;
3) необходимые условия экстремума;
4) оптимальное стабилизирующее управление;
5) принцип оптимальности;
6) уравнение Беллмана;
7) задача об оптимальном быстродействии;
8) достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа
Тема 7. Принцип Вейерштрасса
7
1) принцип Вейерштрасса;
2) понятие игольчатой вариации управления;
3) принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5.
№
1
Модули и темы
2
Виды СРС
обязательные
дополнительны
е
3
4
Недел
я
семест
ра
Объем
часов
Кол-во
баллов
5
6
7
1
2
0-15
2-3
2
0-15
4
0-30
Модуль 1
1
2
Основные понятия
вариационного
исчисления
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Простейшие задачи
вариационного
исчисления
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Всего по модулю 1:
Модуль 2
3
Достаточные
условия экстремума.
Сильный экстремум
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
2
работа с
литературой
4
8
0-15
4
Вариационные
задачи для случая
многих неизвестных
функций.
Вариационные
задачи на условный
экстремум
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
2
работа с
литературой
5-6
Всего по модулю 2:
0-15
4
0-30
7
1
0-13
8-9
2
0-24
10
1
0-13
Всего по модулю 3:
4
0-40
Итого *
12
0-100
Модуль 3
5
6
7
Основные понятия и
задачи теории
оптимального
управления
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Условия экстремума
в задачах
оптимального
управления
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Принцип
Вейерштрасса
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
* - с учетом иных видов работ.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
В процессе освоения образовательной программы формируются следующие
компетенции:
готовность использовать фундаментальные знания в области математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
способность строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3);
9
Аналитическая геометрия*
Основы математического анализа*
Фундаментальная и компьютерная
алгебра*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла
10
+
+
+
+
Дифференциальные уравнения*
Математическая логика*
Основы математического анализа*
Действительный анализ
Курсовая работа по направлению
+ +
+ +
Теория чисел
Дифференциальная геометрия и
топология*
Фундаментальная и компьютерная
алгебра*
2 семестр
Основы математического анализа*
Дифференциальные уравнения*
1 семестр
Дискретная математика*
Фундаментальная и компьютерная
алгебра*
ОПК-1
ПК-3
Основы математического анализа*
Индекс
компетенции
Аналитическая геометрия*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП
бакалавра
3 семестр
4 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Индекс
Компетенции
ОПК-1
ПК-3
+
+
*отмечены дисциплины базового цикла
11
+
+
Уравнения в частных производных
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Курсовая работа по направлению
+
+
+
+
+
+
Учебная практика
Уравнения в частных производных
+
Математическая статистика
5 семестр
Численные методы
Функциональный анализ
Теоретическая механика*
Комплексный анализ
Базы данных
Фундаментальный анализ
+
Стохастический анализ
Компьютерная геометрия и
компьютерное моделирование
Комплексный анализ
Дифференциальная геометрия и
топология*
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
6 семестр
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал
оценивания:
Таблица 6.
ОПК-1
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
базовый (хор.)
повышенный
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
61-75 баллов
91-100 баллов
Знает: об основных
методах вариационного
исчисления
Знает: о применении
основных методов
вариационного исчисления
Умеет: выделить аппарат
исследования, форму
представления задачи и
определить порядок её
решения
Умеет: выделить аппарат
исследования, форму
представления задачи и
выбрать наилучший (из
имеющихся) способ её
решения
Владеет: основными
методами построения
математических моделей
ПК-3
Владеет: основными
методами решения задач
вариационного
исчисления
Знает: основные понятия
и определения
вариационного
исчисления
Знает: простейшие методы
и приемы вариационного
исчисления
Знает: как добиться
наилучших результатов при
построении математических
моделей
Умеет: применять методы
вариационного исчисления
в большинстве областей
профессиональной
деятельности
Владеет: Набором физикоматематических методов,
построения
математических моделей и
решения задач
вариационного исчисления
Знает: основные методы и
приемы вариационного
исчисления, возможные
сферы их приложения
12
Виды занятий
(лекции, семинар
ские, практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы, проекты и
др.)
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Умеет: пользоваться
основными
определениями и
понятиями
Владеет: навыками
использования
определений и понятий
Умеет: пользоваться
основными определениями
и понятиями,
интерпретировать
результаты исследования
простейших задач
Владеет: навыками
использования определений
и понятий, навыками
интерпретации результатов
исследования простейших
задач
Умеет: самостоятельно
проанализировать и
объяснить характер
поведения математических
моделей
Владеет: навыками анализа
и объяснения характера
поведения математических
моделей
13
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
Лекции,
практические
занятия
Устный опрос,
контрольная
работа
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
1. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления
1
∫(𝑡 2 𝑥̇ 2 + 12𝑥 2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥(0) = 0,
𝑥(1) = 1.
0
2. Решить задачу Больца
1
∫ 𝑥̇ 2 𝑑𝑡 + 4𝑥 2 (0) − 5𝑥 2 (1) → 𝑒𝑥𝑡𝑟.
0
3. Решить задачу с подвижными концами
1
∫(𝑥̇ 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥(1) = 0.
0
4. Решить изопериметрическую задачу
2
2
∫ 𝑡 3 𝑥̇ 2 𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
∫ 𝑥𝑑𝑡 = 2,
1
1
𝑥(1) = 4,
𝑥(2) = 1.
5. Решить задачу Лагранжа
1
∫(𝑥 2 + 𝑢2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥̇ = 𝑥 + 𝑢,
𝑥(1) = 1.
0
6. Решить задачу оптимального быстродействия
𝑥̇ = 𝑥2 + 1
|𝑢| ≤ 1,
{ 1
𝑥1 (𝑡1 ) = (𝑡1 ) = 0,
𝑥1 (𝑡2 ) = 0, 𝑥2 (𝑡2 ) = −4.
𝑥̇ 2 = −𝑥1 + 𝑢,
7. Решить задачу оптимального управления
1
𝑥̇ = 𝑥2
{ 1
− ≤ 𝑢 ≤ 1,
𝑥1 (0) = −1, 𝑥2 (0) = 1,
𝑥̇ 2 = 𝑥1 + 2𝑢,
2
2𝜋
∫ 𝑢𝑑𝑡 + 𝑥2 (2𝜋) → 𝑚𝑖𝑛.
0
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Зачет проходит в виде собеседования по вопросам билета. Билет состоит из трех
вопросов: первый вопрос (В1) – теоретический, второй вопрос (В2) – задача. На подготовку к
вопросу отводится не более 40 минут. По вопросам билета проводится собеседование, в ходе
которого задаются дополнительные вопросы. Ответ на каждый вопрос оценивается по 100
бальной шкале. Результирующая оценка рассчитывается по формуле 0,5*В1+0,5*В2. При
результате от 0 до 60 баллов выставляется оценка «неудовлетворительно»; от 61 до 75 –
«удовлетворительно»; от 76 до 90 – «хорошо»; от 91 до 100 – «отлично».
14
Примерные вопросы для подготовки к зачету
Примеры содержательных задач о поиске экстремумов.
Типовые задачи вариационного исчисления.
Общая постановка задачи вариационного исчисления.
Классификация экстремумов.
Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного
исчисления.
6. Основные леммы вариационного исчисления.
7. Уравнение Эйлера.
8. кстремали в регулярной и сингулярной ситуациях.
9. Случаи упрощения уравнения Эйлера.
10. Вариационная задача с незакреплёнными границами.
11. Условия трансверсальности.
12. Разрывные задачи.
13. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
14. Задачи с ограничениями.
15. Односторонние вариации.
16. Вторая вариация функционала.
17. Условие Лежандра.
18. Достаточные условия слабого относительного экстремума.
19. Геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального
экстремума.
20. Достаточные условия сильного относительного экстремума.
21. Необходимые условия сильного относительного экстремума.
22. Простейшая вариационная задача с n неизвестными.
23. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера.
24. Обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных.
25. Сильный относительный экстремум в задаче с n неизвестными.
26. Правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации.
27. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.
28. Изопериметрическая задача.
29. Пример содержательной задачи о построении оптимального управления.
30. Задача оптимального программного управления как вариационная задача на
условный экстремум.
31. Классификация задач теории оптимального управления.
32. Задача о переводе системы из одного заданного состояния в другое.
33. Управляемость системы.
34. Построение оптимальных программных управлений в задаче Больца.
35. Однопараметрическое семейство допустимых управлений.
36. Необходимые условия экстремума и их каноническая форма.
37. Оптимальное стабилизирующее управление.
38. Принцип оптимальности.
39. Уравнение Беллмана.
40. Задача об оптимальном быстродействии.
41. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа
42. Принцип Вейерштрасса.
43. Понятие игольчатой вариации управления.
44. Принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.
1.
2.
3.
4.
5.
15
Примеры задач
1. Решить простейшую задачу классического вариационного исчисления
1
∫(𝑡 2 𝑥̇ 2 + 12𝑥 2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥(0) = 0,
𝑥(1) = 1.
0
2. Решить задачу Больца
1
∫ 𝑥̇ 2 𝑑𝑡 + 4𝑥 2 (0) − 5𝑥 2 (1) → 𝑒𝑥𝑡𝑟.
0
3. Решить задачу с подвижными концами
1
∫(𝑥̇ 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥(1) = 0.
0
4. Решить изопериметрическую задачу
2
2
∫ 𝑡 3 𝑥̇ 2 𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
∫ 𝑥𝑑𝑡 = 2,
1
1
𝑥(1) = 4,
𝑥(2) = 1.
5. Решить задачу Лагранжа
1
∫(𝑥 2 + 𝑢2 )𝑑𝑡 → 𝑒𝑥𝑡𝑟,
𝑥̇ = 𝑥 + 𝑢,
𝑥(1) = 1.
0
6. Решить задачу оптимального быстродействия
𝑥̇ = 𝑥2 + 1
|𝑢| ≤ 1,
{ 1
𝑥1 (𝑡1 ) = (𝑡1 ) = 0,
𝑥1 (𝑡2 ) = 0, 𝑥2 (𝑡2 ) = −4.
𝑥̇ 2 = −𝑥1 + 𝑢,
7. Решить задачу оптимального управления
1
𝑥̇ = 𝑥2
{ 1
− ≤ 𝑢 ≤ 1,
𝑥1 (0) = −1, 𝑥2 (0) = 1,
𝑥̇ 2 = 𝑥1 + 2𝑢,
2
2𝜋
∫ 𝑢𝑑𝑡 + 𝑥2 (2𝜋) → 𝑚𝑖𝑛.
0
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Вариационное исчисление» используются следующие
образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Вариационное исчисление» предусматривается
использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения
занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
16
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Цлаф, Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: справ. рук./ Л. Я.
Цлаф. - 3-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2005. - 192 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Пантелеев, А. В. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учеб. пособие для
студ. втузов/ А. В. Пантелеев. - Москва: Высшая школа, 2006. - 272 с.
2. Цлаф, Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения: справ. рук./ Л. Я.
Цлаф. - 3-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2005. - 192 с.
3. Краснов, М. Л. Вариационное исчисление: задачи и примеры с подробными
решениями : учеб. пособие для студ. втузов/ М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев. 3-е изд.. - Москва: URSS, 2009. - 176 c.
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического
факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary.ru
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Для работы на занятиях необходим пакет программ Maple 16 (или выше).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Аудитория с мультимедийным оборудованием для лекционных и практических
занятий.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться
с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия.
Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта
лекций можно проводить по следующей схеме:
- название темы;
- цели и задачи изучения темы;
- основные вопросы темы;
- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения
данной темы;
- список рекомендуемой литературы;
- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе
таблицы, рисунки, схемы и т.п.;
17
- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений,
основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.
В ходе работы над теоретическим материалом достигается
- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;
- воспроизведение фактического материала;
- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;
- обобщение и систематизация знаний по теме.
18