Методы оптимизации_БПМИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ДИСЦИПЛИНЕ
Б3.Б.8 МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Основная образовательная программа подготовки бакалавра по направлению
подготовки бакалавриата
010400 Прикладная математика и информатика, профиль общий
1. Программа учебной дисциплины
Экстремальные задачи. История развития теории оптимального управления.
Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Задача Евклида. Основные
понятия, связанные с экстремальными задачами. Принцип Лагранжа исследования задач с
ограничениями. Общий случай применения принципа Лагранжа. Основные понятия и
теоремы функционального анализа. Основы дифференциального исчисления в линейных
нормированных пространствах. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой
элементарной задачи, правило решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного
программирования). Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств
(постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с
равенствами и неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения,
правило множителей Лагранжа). Необходимые условия высших порядков. Достаточные
условия. (Одномерный случай в задаче без ограничений, задача без ограничений (общий
случай), гладкая задача с ограничениями типа равенств). Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
Классическое вариационное исчисление. Вариация и ее свойства (определения
функционала, вариации аргумента, непрерывности функционала, близости кривых,
непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка, линейного функционала,
два определения вариации функционала). Экстремум функционала. Строгий максимум и
минимум. Необходимое условие экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум.
Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Достаточные
условия
экстремума
функционала
в
задаче:
'd
F
x
,,
y
y

m
i
n
,
y
x

y
,
y
x

y




.
0
0
1
1
x


x
1
x
0
',.
' d
F
,y
,.
.
.,yy
,1
.
.,y
1
n
n
. Функционалы,
x
x

x
1
Функционалы
вида:
x
0
зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона.
Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение
Остроградского. Вариационные задачи в параметрической форме. Принцип
стационарного действия Остроградского - Гамильтона. Канонические уравнения.
Простейшая задача с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный
экстремум. Изопериметрические задачи.
Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Основные понятия и
определения. Постановка задачи. Принцип максимума. Примеры.
2. Автор программы: Мартынов О.М., к.ф.-м.н., доцент
3. Рецензенты: Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент, Богомолов Р.А., к.ф.-м.н., доцент
4. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «методы оптимизации» являются
1. Приобретение знаний в области методов теории экстремальных задач и умение их
применять в различных исследованиях теоретического и прикладного характера.
2. Подготовка бакалавров к следующим видам деятельности:
Проектной и производственно-технологической деятельности;
Научной и научно-исследовательской деятельности;
Организационно-управленческой деятельности.
5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Методы оптимизации» относится к базовой части профессионального
цикла (Б3.Б.8).
Для освоения дисциплины «Методы оптимизации» студенты используют знания,
умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предмета
«Математика» на предыдущем уровне образования, а также знания, умения и виды
деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин «Математический
анализ», «Дифференциальные уравнения».
Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего
изучения дисциплин «Функциональный анализ», «Прогнозирование социальноэкономических процессов», дисциплин по выбору студентов.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- способностью владеть культурой мышления, умение аргументированно и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
- способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК12);
- способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
- способностью приобретать новые научные и профессиональные знания,
используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
- спосюбностью понимать и применять в исследовательской и прикладной
деятельности современный математический аппарат (ПК-3).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
основные понятия, связанные с экстремальными задачами;
методы решения задач безусловной оптимизации;
методы решения гладких задач с ограничениями;
постановки и правила решения задач классического вариационного исчисления;
постановки и правила решения задач оптимального управления.
Уметь:
применять классические методы математики при решении фундаментальных и
прикладных задач;
самостоятельно разбираться в мощном математическом аппарате,
содержащемся в специальной литературе;
доводить решение оптимизационной задачи до практически приемлемого
результата (уметь проводить доказательства и делать выводы).
Владеть:
мощным и универсальным математическим аппаратом, позволяющим решать
экстремальные задачи, возникающие в социально-экономических, экологических и
производственных системах;
применять навыки формализации задач вариационного исчисления и
оптимального управления и методов их решения в практической деятельности.
7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на
которых обеспечивается данная дисциплина).
Общая трудоемкость дисциплины (модуля) составляет 4 зачетных единицы
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
144 часов.
144/4
72
28
28
ПР/
СМ
ЛБ
44
-
Вид итогового контроля (форма
отчетности)
5
ЛК
Часы на СРС
Часы на СРС
. (для дисц-н с экзаменом,
включая часы на экзамен)*
3
Часов в интеракт.форме. (из
ауд.)
Семестр
010400 Прикладная
математика и
информатика
Всего аудит.
Курс
1
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
№
п/п
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
Виды учебной работы в часах
экзамен
45
8. Содержание дисциплины
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
времени:
учебного
Количество часов
№
п/п
Наименование
раздела, темы
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Часов на
СРС
1
2
Экстремальные задачи
Классическое вариационное исчисление
28/10
28/10
12
12
16
16
–
–
15
15
3
Задачи оптимального управления. Принцип
максимума.
16/8
4
12
–
15
9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с
обязательным указанием номера раздела (темы).
1. Экстремальные задачи. История развития теории оптимального управления.
Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Задача Евклида. Основные
понятия, связанные с экстремальными задачами. Принцип Лагранжа исследования задач с
ограничениями. Общий случай применения принципа Лагранжа. Основные понятия и
теоремы функционального анализа. Основы дифференциального исчисления в линейных
нормированных пространствах. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой
элементарной задачи, правило решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного
программирования). Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств
(постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с
равенствами и неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения,
правило множителей Лагранжа). Необходимые условия высших порядков. Достаточные
условия. (Одномерный случай в задаче без ограничений, задача без ограничений (общий
случай), гладкая задача с ограничениями типа равенств). Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
2. Классическое вариационное исчисление. Вариация и ее свойства (определения
функционала, вариации аргумента, непрерывности функционала, близости кривых,
непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка, линейного функционала,
два определения вариации функционала). Экстремум функционала. Строгий максимум и
минимум. Необходимое условие экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум.
Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Достаточные
условия
экстремума
функционала
в
задаче:
'd
F
x
,,
y
y

m
i
n
,
y
x

y
,
y
x

y




.
0
0
1
1
x


x
1
x
0
',.
' d
F
,y
,.
.
.,yy
,1
.
.,y
. Функционалы,
1
n
n
x
x

x
1
Функционалы
вида:
x
0
зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона.
Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение
Остроградского. Вариационные задачи в параметрической форме. Принцип
стационарного действия Остроградского - Гамильтона. Канонические уравнения.
Простейшая задача с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный
экстремум. Изопериметрические задачи.
3. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Основные понятия и
определения. Постановка задачи. Принцип максимума Понтрягина. Примеры.
10. Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Экстремальные задачи.
Основные понятия и
теоремы функционального анализа. Основы
дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах.
Форма
самостоятельной
работы
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Коллоквиум
Количество
Часов
15
2
3
Классическое
вариационное исчисление.
Вариационные задачи в
параметрической форме.
Принцип стационарного
действия Остроградского
- Гамильтона.
Достаточные
условия
экстремума функционала
Задачи
оптимального
управления.
Схема
доказательства
принципа максимума
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Экзамен
15
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Экзамен
15
11. Образовательные технологии
На занятиях предполагается использование элементов следующих образовательных
технологий:
Личностно-ориентированная технология обучения
Технология уровневой дифференциации
Проблемное обучение
Исследовательские методы в обучении
Тестовые технологии
Зачетная система
Групповая технология
Технология модульного обучения
Информационно-коммуникационные технологии
Здоровьесберегающие технологии
Интерактивные формы занятий:
№
раздела
(темы)
1.
2.
3.
Интерактивные формы
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Практические занятия по теме «Экстремальные задачи»
Формализация экстремальных задач. Гладкие элементарные задачи. Гладкие
конечномерные задачи с ограничениями типа равенств. Гладкая задача с равенствами и
неравенствами. Выпуклые задачи.
Литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во
МГУ, 1989.
3. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2005.
4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Физматлит, 2005.
5. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
Практические занятия по теме «Классическое вариационное исчисление»
Нахождение экстремалей функционалов. Задачи с неподвижными границами.
Задачи с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный экстремум.
Изопериметрические задачи.
Литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2006.
3. Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов
А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы
оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М.,
Наука, 1990.
4. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во
МГУ, 1989.
5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Физматлит, 2005.
Практические занятия по теме «Задачи оптимального управления»
Решение задач оптимального управления. Простейшая задача о быстродействии.
Литература:
1) Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2) Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во
МГУ, 1989.
3) Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Физматлит, 2005.
4) Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2006.
5) Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов
А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы
оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М.,
Наука, 1990.
6) Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.,
Высшая школа, 2003.
13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Физматлит, 2005.
2. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М., Финансы и статистика,
2003.
3. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
4. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2006.
5. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М.,
Высшая школа, 2003.
6. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М.,
Высшая школа, 2005.
Дополнительная литература
1. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во
МГУ, 1989.
2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
3. исчислению функций одной переменной. М.: Просвещение, 1985.
4. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М., 2001.
5. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. СПб, ЛГУ, 1980.
6. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М., 1950.
7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.,
Наука, 1965.
8. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М., Наука,
1978.
9. Фролькис В.А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. СПб,
2002.
10. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука,
1966.
11. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления.
М., Мир, 1974.
12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.
Программное обеспечение
программы Mathematica, Microsoft Word, Microsoft Excel.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 перечень используемых технических средств
Ноутбук, проектор, экран.
 программное обеспечение
программы Mathematica, Microsoft Word, Microsoft Excel.
15. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов для оценки сформированности компетенций по
дисциплине, заявленных в п. 6:
Примерные вопросы к коллоквиуму и экзамену
1. История развития теории оптимального управления. Классическая изопериметрическая
задача. Задача Дидоны. Задача Евклида.
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
3.
Принцип
Лагранжа
исследования
задач
с
ограничениями.
Пример:
2 2 2
x
y

s
u
p
,x

yr

0
.
1) Общий случай применения принципа Лагранжа. Примеры:
 

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X


;


3
3
2
f
x
,
x

x

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X





;
2)
0
1
2
1
1
1
2
1
2
1)
2
f
, 2
x
xx

0
1
2x
1
f
x
i
n
f
,F
x
0

,
3
1
1
21
1
2
3)
X Y l2,
где
x
x
x


2x
n
2
n
f
x

x


.
.
.


.
.
.
,
F
x

x
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
x

x
,
.
.
.
,
x
,
.
.
.






1
1
1
n


2
n 
2
n

.
5. Основные понятия и теоремы функционального анализа.
6. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах.
Примеры.
7. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило
решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования).
8. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи,
правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и
неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения, правило
множителей Лагранжа). Примеры:
2 2
4 4
x

a
x

b
x

c

e
x
t
r
a

0

x

e
x
t
r
,x

x

1




1) f
; 2) x
;
1
2
1
2
2

x

x

i
n
f
,
2
x

x

x

5
,
x

x

x

3
3) x
.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
9. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. (Одномерный случай в
задаче без ограничений, задача без ограничений (общий случай), гладкая задача с
2
2
2
x
,
x


x

x

x

x

e
x
t
r
ограничениями типа равенств). Пример: f
.




1
2
12
1
2
10. Элементы выпуклого анализа.
11. Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
Примеры:
44
2

y

y

3
x

y

2

i
n
f

2
m
a
x
x
,y

i
n
f


1) xx
; 2) xy
.
12. Вариация и ее свойства (определения функционала, вариации аргумента,
непрерывности функционала, близости кривых, непрерывности функционала в смысле
близости
k - го порядка, линейного функционала, два определения вариации
функционала).
13. Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум. Необходимое условие
экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум. Замечания 1-3.
14. Вывод уравнения Эйлера (основная лемма вариационного исчисления без
доказательства).
15. Основная лемма вариационного исчисления (с доказательством). Примеры 1, 2.
16. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 1-3, примеры 3-7).
17. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 4, 5, примеры 8-10).
2
2
2 2
x
1
18. Функционалы вида
F
x
,y
,y
,
.
.
.
,y
,y
'
,y
'
,
.
.
.
,y
'
d
x


1
2
n
12
n
.

x
0
19. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера
– Пуассона.
20. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Уравнение Остроградского.
21. Вариационные задачи в параметрической форме.
22. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера.
23. Простейшая задача с подвижными границами (вывод условий трансверсальности).
24. Простейшая задача с подвижными границами (формулировка необходимого условия
экстремума и условий трансверсальности, примеры). Задача Больца. Пример.

xy
, 1
,.
.
., y
0

25. Вариационные задачи на условный экстремум. Связи вида 
.
n
26. Вариационные задачи на условный экстремум. Неголономные связи. Задача Лагранжа.
27. Изопериметрические задачи. Примеры.
28. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Пример. Функция
Понтрягина. Простейшая задача о быстродействии.
Контрольные работы
ВАРИАНТ № 1
1. Какой должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной
площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
y
1

xy

x
t
r
 e
2. x
.
32
2
2
2
x
y
z

y

z

e
x
t
r
,



1
a

b

c

0
3. x
.


2
2
2
a
b
c
2 22
222

2
y

3
ze

x
t
r
,
x

y

z

1
0
0
4. x
.
2
2
2
5.
На
x24y24 найти точку наименее удаленную от прямой
эллипсе
2
x3
y60.
ВАРИАНТ № 2
км
. После того, как он
ч
отошел от A на 6 км из A следом за ним выехал велосипедист, скорость которого на
км
9
больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода они повернули
ч
км
назад и возвратились вместе в A со скоростью 4
. При каком значении V время
ч
прогулки пешехода окажется наименьшим?
1. Из пункта A на прогулку вышел пешеход со скоростью V

x
y

y

3
xy

2

1

e
x
t
r
2. x
.
2
2
y
z

e
x
t
r
,x

yz

3
3. x
.
2 2 2

x

yx

1
2

1
6
y

e
x
t
r
,
x

y

2
5
4. z
.
22
22
2
5. Найти кратчайшее расстояние между параболой y  x и прямой xy20.
ВАРИАНТ № 3
1. Найти все экстремали функционала J  y  , удовлетворяющие указанным граничным
1
2



y

x
y

y
'd
x
,y
0

y
1





0
условиям: а) J
;
0
2
1



y

yy
'd
x
,y

1

y
1




1
б) J
;
22

1
1
1 1
2 4
y

x

1
y
'
'
d
x
,
y
0

1
,
y
'
0


1
,
y
1

,
y
'
1














в) J
.

3
2
0
1
C
, , на которых может достигаться экстремум
x
ab
2. Найти функции y1  x  и y
2
функционала Jy1, y2 при указанных граничных условиях:






2
2
2
J
y
,
y

2
y
y
2
y

y
'

y
'
d
x
,0
y

y
0

0
,
y

1
,





1
2
1
2
1
1
2
1
2
1



2


0
2

y2 1.
2
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
x
1
1
2
J
y

1

y
'
d
x
,y
0

0
,y
x







.
1

2
x
1
0

J
y

y
'

y

4
y
s
i
n2
x
d
x

y
0
2
y


y







.



4. Найти экстремали функционала:
2
2
2
2
0
ВАРИАНТ № 4
1. Найти все экстремали функционала J  y  , удовлетворяющие указанным граничным
1
y

1

x
y
'd
x
,y
0

0
,y
1

1







условиям: а) J
;

2
0
1
2 2



y

yy
'4
d
x
,
y

1


1
,
y
1

1






б) J
;


1





 

2
2

 

2
2
2
2
в) J
.
yy

'
'

y

x
d
x
,0
y

1
,
y
'
0
y

0
,
y
'


1










0
1
C
, , на которых может достигаться экстремум
x
ab
2. Найти функции y1  x  и y
2
функционала Jy1, y2 при указанных граничных условиях:
1


2
J
y
,
y

y
'
y
'

6
x
y

1
2
x
y
d
x
,
y
0

y
0

0
,
y
1

y
1

1










.
1
2
1
2
1
2
12
1
2

0
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
x
1
2
2
J
y

1

y
'
d
x
,
y
xx

,
y
x

x

5






0
0
1
1
.

x
0
4. Найти экстремали функционала:
e
2 2
J
y

2
y
'
x
y
'

y
d
x

3
y
1

y
e
4
y
e










.

1
16. Содержательный компонент теоретического материала
Лекция №1
Глава 1. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами
§ 1. Основные понятия и определения
Лекция №2
§ 2. Некоторые определения и теоремы из функционального анализа
Лекция № 3
§ 3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями
Лекция № 4
§ 4. Основы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
Лекция № 5
§5. Гладкие задачи без ограничений
Лекция № 6
§ 6. Об одном классе экстремальных задач.
Лекция № 7
§ 7. Элементы выпуклого анализа
Лекция № 8.
Глава 2. Вариационное исчисление.
§ 1. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала.
Основная лемма вариационного исчисления.
Лекция № 9.
Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Лекция № 10.
',.
' d
F
,y
,.
.
.,yy
,1
.
.,y
.
1
n
n
x
x

x
1
Функционалы вида
x
0
Лекция № 11.
Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка.
Лекция № 12.
Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Лекция № 13.
Простейшая задача с подвижными границами.
Лекция № 14.
Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные связи.
Лекция № 15
Лекция № 16.
Изопериметрические задачи.
Лекция №17
Глава 3. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
§ 1. Основные понятия и определения. Постановка задачи.
Лекция №18.
Принцип максимума. Пример.
Примечание. При составлении лекционного курса использована следующая
литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ,
1989.
3. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2006.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М., Наука, 1981.
5. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука,
1965.
17. Словарь терминов (глоссарий)
Глобальный экстремум - Допустимая точка x называется абсолютным (или еще говорят
  для любого
глобальным) минимумом (максимумом) в задаче ( з1 ), если f  x   f x
x C
(соответственно

f  x  f x
для
любого
x  C ). При этом пишут
x  absmin з1 ( abs max з1 ). Абсолютный минимум (максимум) задачи называется

решением задачи. Величина f x , где x – решение задачи, называется численным
значением задачи (или просто значением задачи). Эта величина обозначается
Smin  Smax  .
( f  x   inf  sup  , x  C .
S з1 или
( з1 ))
Локальный экстремум - Пусть в задаче ( з1 ) X – нормированное пространство. Говорят,
что точка x доставляет в ( з1 ) локальный минимум (максимум), и пишут x  locmin з1
( loc max з1 ), если x  C и существует
  0 такое, что для любой допустимой точки x ,
   f  x   f  x  .
x  x   , выполняется неравенство f  x   f x
для которой
Другими словами, если x  locmin з1 ( loc max з1 ), то существует окрестность U
точки x такая, что x  locmin з5 ( loc max з5 ) в задаче
f  x   inf  sup  , x  C U .
( з5 )
Линейное пространство - Множество X   x называется линейным пространством,
если выполнены следующие условия:
1. Для любых двух элементов x, y  X однозначно определен элемент z такой, что
z  x  y , называемый их суммой, причем:
а) x   y  z    x  y   z ;
б) x  y  y  x ;
в) существует нулевой элемент 0 такой, что для любого x  X имеем x  0  x ;
г) для всякого
x  X существует противоположный элемент   x  такой, что
x  x  0 ;
2. Для любого вещественного числа  и любого x  X определен элемент
(произведение элемента x  X на число   ), причем:
а)    x     x ;
x X
б) 1  x  x ;
3. Операции сложения и умножения связаны свойством дистрибутивности:
а)     x   x   x ;
б)   x  y    x   y .
Элементы линейного пространства называются векторами.
Нормированное пространство - Линейное пространство X называется нормированным,
если
на
X
определен
функционал
удовлетворяющий условиям:
x  0 и x  0  x  0;
1) x  X
 :X 
,
называемый
нормой
и
2)   , x  X
x    x ;
3) x1, x2  X
x1  x2  x1  x2 .
Фундаментальная последовательность - Последовательность  xn  точек метрического
пространства X называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши,
то есть если


  0 N n1, n2 :  n1  N , n2  N     xn1 ; xn2   .
Полное пространство - Если в пространстве X
любая фундаментальная
последовательность сходится, то это пространство называется полным.
Банахово пространство - Полное нормированное пространство называется банаховым
пространством.
Компакт - Множество A в метрическом пространстве называется компактом, если из
всякой последовательности элементов из A можно выбрать сходящуюся к элементу из A
подпоследовательность или (что равносильно) если из всякого покрытия A открытыми
множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Скалярное произведение - Пусть на множестве X задана структура линейного
пространства. Скалярным произведением в действительном линейном пространстве X
называется действительная функция  x, y  , определенная для каждой пары элементов
x, y  X и удовлетворяющая условиям:
1) x, y  X
 x, y    y, x  ;
 x1  x2 , y    x1, y    x2 , y  ;
3) x, y  X ,  
  x, y     x, y  ;
4) x  X  x, x   0 , причем  x, x   0 только при
2) x1, x2 , y  X
x  0.
Евклидово пространство - Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством.
Изоморфизм евклидовых пространств - Два евклидовых пространства X и X 1
называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно
однозначное соответствие так, что если x  x1, y  y1 ( x, y  X , x1, y1  X 1 ), то
x  y  x1  y1,  x   x1 и  x, y    x1, y1  .
Таким образом, изоморфизм евклидовых пространств – это взаимно однозначное
соответствие, сохраняющее как линейные операции, определенные на этих пространствах,
так и скалярное произведение.
Функционал - Числовая функция f , определенная на некотором линейном пространстве
X , называется функционалом (термин «числовая функция» означает, что множеством
значений этой функции является множество
или его часть).
Линейный функционал - Функционал f называется линейным функциона-лом, если
f  x  y  f  x  f  y ;
f  x    f  x  .
2)   , x  X
1) x, y  X
Норма функционала - Пусть f – непрерывный линейный функционал в нормированном
f  sup f  x  , т.е. точная верхняя грань значений f  x  на
пространстве X . Число
x 1
единичном шаре пространства X , называется нормой функционала f .
Линейный оператор - Пусть X и X 1 – два линейных пространства. Линейным
X1 ,
оператором,
действующим
из
в
называется
отображение
X
удовлетворяющее
условию
y  Ax  x  X , y  X1  ,
A  x1 
  x2    Ax1   Ax2 . Совокупность D A всех тех x  X , для которых отображение
A определено, называется областью определения оператора A , при этом D A есть
линейное многообразие, т.е. если x, y  DA , то  x   y  DA при всех  ,  .
Теорема Вейерштрасса - Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом
подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и
минимума.
Выпуклое множество - Множество M  X называется выпуклым, если оно вместе с
любыми двумя точками x и y содержит и соединяющий их отрезок.
Производная по направлению - Пусть X и Y – нормированные пространства,
F : X  Y – отображение пространства X или некоторой окрестности точки x0 в
пространство Y . Предел
 F  x0 , h  
d
F  x0  h 
d
 0
 lim
 0
F  x0   h   F  x0 

,
если он существует, называется производной F в точке x0 по направлению h .
Вариация по Лагранжу - Если отображение F имеет в точке x0 производную по всем
направлениям h  X , то говорят, что F имеет в точке x0 вариацию по Лагранжу. При
этом отображение h   F  x0 , h  называется вариацией по Лагранжу.
Производная
Гато
0
Г
Если
-
 т.е.  F  x , h  F  x  h
'
оператор
 F  x0 ,  : X  Y
линеен
и непрерывен по h , то говорят, что F дифференцируемо
0
по Гато в точке x0 , а оператор
 F  x0 ,  называется производной Гато (слабой
производной) отображения F в точке x0 и обозначается FГ'  x0  .
Таким образом, если F дифференцируемо по Гато в точке x0 , то для любого
фиксированного h имеет место разложение
где r  h,
  0
F  x0  h   F  x0    FГ'  x0  h  r  h,   ,
при
  0.
Производная Фреше - Пусть X и Y – нормированные пространства, F : X  Y –
отображение пространства X или некоторой окрестности точки x0 в пространство Y .
Отображение F называют дифферен-цируемым по Фреше в точке x0 и пишут
F  D  x0  , если существуют линейный непрерывный оператор из X в Y ,
обозначаемый F '  x0  , и отображение r некоторой окрестности точки x0 в Y , такие,
что
F  x0  h   F  x0   F '  x0  h  r  h  ,
r  h  o  h
 при
(4.5)
h  0.
Оператор F '  x0  : X  Y называется производной Фреше (или сильной производной
отображения F в точке x0 ).
Строгая дифференцируемость отображения - Пусть отображение F дифференцируемо
по Фреше в точке x0 . Оно называется строго дифференцируемым в точке x0 (при этом
пишут F  SD  x0  ), если для любого
  0 найдется такое   0 , что для всех x1 и x2 ,
удовлетворяющих неравенствам x1  x0   , x2  x0   , выполнено неравенство
F  x1   F  x2   F '  x0  x1  x2    x1  x2 .
Гладкая элементарная задача без ограничений - Гладкой элементарной задачей без
ограничений называется задача об отыскании экстремумов функции f  x  :
f  x   extr .
Теорема Ферма - Пусть f – функция одного переменного, определенная в некотором
интервале, содержащем точку x0 , и дифференцируемая в точке x0 . Тогда , если x0 есть
точка локального экстремума функции f , то
f '  x0   0 .
Аналог теоремы Ферма для нормированных пространств - Пусть X  нормированное
пространство, U  открытое множество в X , x0 U , f : U 
и функционал f
имеет вариацию по Лагранжу (дифференцируем по Фреше) в точке x0 . Тогда, если
x0  loc extr f , то
 f  x0 , x   0 x  X
( f '  x0   0 ).
Критерий Сильвестра - Матрица A является положительно (отрицательно)
определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры det Ak , где
Ak   aij 
k
i , j 1
, k  1, ... , n , положительны (  1 det Ak  0, k  1, ... , n ) .
k
Отрезок в пространстве - Отрезком, соединяющим точки x1 и x2 пространства X ,
называется множество
 x1,


x2   x  X x   x1  1    x2 , 0    1 .
Конус - Множество K  X называется конусом, если из того, что x  K следует, что
 x  K при всяком   0 .

Эффективное множество функции - dom f  x  X
Надграфик функции - epi f 
 ,

f  x    .

x   X   f  x .
Собственная функция - Функция f
называется собственной, если dom f   и
f  x    для всех x . Функции, не являющиеся собственными, называются
несобственными.
Выпуклая функция - Функция f называется выпуклой, если множество epi f выпукло
в пространстве  X .
Неравенство Иенсена –
f  x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  x1, x2  X ,  0, 1 .
Субградиент функции - Пусть f – выпуклая собственная функция на X . Функционал
в точке
x , если
f
x* X * называется субградиентом функции
f  z   f  x   x*, z  x для всех z  X .
Субдифференциал функции - Множество всех субградиентов функции f в точке x
называется субдифференциалом функции f в точке x и обозначается f  x  , то есть


f  x   x*  X * f  z   f  x   x*, z  x , z  X .
Задача выпуклого программирования - Задачей выпуклого программирования (или
выпуклой задачей) называется следующая экстремальная задача:
f0  x   inf; fi  x   0, i  1, ... , m, x  A .
fi : X  , i  0, 1, ... , m
Здесь
–
выпуклые функции (функционалы),
отображающие некоторое линейное (не обязательно нормированное) пространство X в
расширенную прямую, A – выпуклое подмножество в X .
Выпуклая задача без ограничений - Выпуклой задачей без ограничений называется
задача:
f  x   inf .
Здесь f : X 
– собственная выпуклая функция, отображающая некоторое линейное
пространство X в расширенную прямую.
Вариация кривой - Обозначим через y  x  допустимую кривую, на которой функционал
достигает экстремума, а через y  x  произвольную допустимую кривую. Разность
y  x   y  x    y  x  называется вариацией кривой y  x  .
Вариация  y  x  есть функция x и принадлежит тому же функциональному
пространству, что и функция y  x  . Используя вариацию  y  x  , можно представить
любую допустимую кривую y  x  в виде
y  x  y  x   y  x .
Используется так же и другая запись
y  x   y  x    y  x  ,
где
 y  x  – фиксированная функция, а  – числовой параметр. Очевидно, что при
  0 справедливо равенство y  x   y  x  .
Приращение функционала - Приращением функционала называется разность
v  v  y  x   v  y  x  .
Вариация функционала - Если приращение функционала v  v  y  x    y  
v  y  x 
можно
представить
v  L  y  x  ,  y     y  x  ,  y  
– линейный по отношению к  y функционал и
в
виде
 max  y , где L  y  x  ,  y 
  y  x  ,  y   0 при max  y  0 , то линейная по отношению к
 y часть
приращения функционала, то есть L  y  x  ,  y  , называется вариацией функционала и
обозначается  v .
Таким образом, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к
 y , часть приращения функционала.
Необходимое условие экстремума функционала - Если функционал v  y  x   ,
имеющий вариацию, достигает максимума или минимума на кривой y  y  x  , где y  x 
– внутренняя точка области определения функционала, то при
функционала равна нулю:
 v  0.
y  x   y  x  вариация
Основная лемма вариационного исчисления - Если для каждой непрерывной функции
  x  выполняется равенство
x1
   x   x  dx  0 ,
x0
где функция   x  непрерывна на отрезке  x0 , x1  , то   x   0 на этом отрезке.
Необходимое условие экстремума функционала v  y  x   
x1
 F  x, y  x  , y '  x   dx
x0
- Для того, чтобы функционал (1) достигал на функции y  x  (из некоторого класса M
функций) слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению
Эйлера:
Fy 
Уравнение Эйлера - Fy 
d
Fy '  0 .
dx
d
Fy '  0  Fy  Fxy '  Fyy '  y ' Fy ' y '  y ''  0 .
dx