Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №41» Муниципального образования г. Братска

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №41»
Муниципального образования г. Братска
Новые главы в школьном курсе математики: «Элементы статистики,
комбинаторики и теории вероятности»
Учитель математики
Чернышова Ольга Алексеевна
2014г.
1
История возникновения и развития теории вероятностей
1.1. Предыстория науки о случайном. С глубокой древности были известны события,
относительно которых нельзя было с определённостью заявить, произойдут они или
нет при очередном наблюдении. Например, кто родится в семье – мальчик или
девочка? Доживёт ли лицо А, которому исполнилось 35 лет, до 70 лет? Дойдёт ли
торговый корабль из Пирея в Александрию благополучно, не попав в бурю?
Подобных вопросов возникало много, но они не становились предметом точного
количественного изучения, а обсуждались лишь в чисто качественном, философском
смысле. Впрочем, некоторые выводы, весьма общего характера, всё же были сделаны
и нашли отражение в письменных памятниках той эпохи. Например, было
подмечено, что если в отдельной семье колебание числа мальчиков и девочек среди
детей может быть очень большим, то в общине, где количество детей исчисляется
десятками и сотнями, происходит выравнивание –число мальчиков и девочек
примерно одинаково. Констатация этого факта имеется, например, в материалах
переписи населения Китая 2232 года до нашей эры, связанных с формированием
воинских контингентов во времена правления императора Яо.
1.2. Свою долю в развитии интереса к случайным явлениям внесли и азартные игры.
Более того, они послужили и некоторой базой для выработки первичных понятий
теории вероятностей. Сейчас трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть
и в весьма несовершенной форме, об измерении самой возможности появления
случайного события. Несомненно, что это относится к очень древним временам. В
литературных произведениях, таких как «Божественная комедия» Данте,
неоднократно встречаются замечания об «игре в кости» и даже попытки подсчитать
число благоприятствующих возможностей той или иной комбинации.
1.3. Более определенные вопросы, связанные со случайными событиями, впервые
встречаются в одном из первых математических сочинений начала итальянского
Возрождения, написанном Лукой Пачоли (1445–1514), носившее называние «Сумма
знаний по арифметике, геометрии, отношениями пропорциональности».
Существенное продвижение в решении простейших задач теории вероятностей
связано с именем итальянского врача, математика и философа Дж. Кардано (1501–
1576). В рукописи «Книга об и-ре в кости», датированной самим Кардано 1526
годом, но изданной лишь в 1663 году, были решены многие задачи, связанные с
бросанием игральных костей и выпадением на них того или иного числа очков. Он
правильно подсчитал числа различных случаев, которые могут произойти при
бросании двух и трех костей. Однако до понятия вероятности и формулировки закона
больших чисел, даже в самой несовершенной форме, Кардано ещё не дошёл. Он
интересовался лишь задачами комбинаторного характера и достаточно далеко
продвинулся в их решении. Таким образом, уже в XVI веке возникали задачи чисто
вероятностного характера и упорно разыскивались подходы к их решению. Это
неизбежно приводило к необходимости развития, с одной стороны, комбинаторных
методов, а с другой –к поиску тех понятий, в терминах которых можно было бы
описывать возникающие вопросы. Ошибки, допущенные одним исследователем,
подмечались другими. Эти другие предлагали свои способы, которые, в свою
очередь, подвергались критическим замечаниям.
Постепенно вырабатывались подходы, которые позднее становились основой новой
теории.
Заслуживает внимания вклад в это развитие известного естествоиспытателя Галилео
Галилея (1564–1642). Его работа «О выходе очков при игре в кости», которая увидела
2
свет только в 1718 году, была посвящена подсчёту числа возможных исходов при
бросании трёх костей. Числа всех возможных случаев Галилей подсчитал самым
простым и естественным путём – он возвёл 6 (число различных возможностей при
бросании одной кости) в третью степень и получил 216
Далее Галилей подсчитал число различных способов, которыми может быть
получено то или другое значение суммы числа выпавших очков. Ясно, что эта сумма
может принимать любое значение от 3 до 18. При подсчёте Галилей пользовался
полезной идеей – кости нумеровались и возможные исходы записывались в виде
троек чисел, причём на соответствующем месте стояло число очков, выпавшее на
кости с данным номером. Эта простая идея для своего времени была новой и весьма
полезной. Заметим, что у Галилея имеется лишь подсчёт числа возможных случаев
для каждого интересующего нас случайного события, но не было нигде понятия
вероятности. Большой вклад в формирование теории вероятностей внесли два
великих математика XVII века – Блез Паскаль (1623–1662) и Пьер Ферма (1601–
1665). Толчком к появлению интереса Паскаля к задачам теории вероятностей
послужили его встречи и беседы с одним из придворных французского королевского
двора – шевалье де Мере –азартным игроком, интересовавшимся философией,
литературой и неплохо знавшим математику своего времени. Перепиской Паскаля и
Ферма, и их решением задач, поставленных де Мере, заинтересовался известный
голландский ученый Х. Гюйгенс. Размышляя над аналогичными задачами, Гюйгенс в
1656 году опубликовал специальное сочинение по этой проблеме. Как бы извиняясь
за несерьёзность решаемых задач, Х. Гюйгенс пишет: «...при внимательном изучении
предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь
закладываются основы очень интересной и глубокой теории».
История науки о случайном. По существу, теория вероятностей как наука
начинается с работы Якоба Бернулли (1654–1705) «Искусство предположений»,
опубликованной в 1716 году. В этом произведении уже введено и широко
использовано понятие вероятности случайного события, доказаны некоторые общие
теоремы и сделаны полезные примечания к работе Х. Гюйгенса. Книга Я. Бернулли
состоит из четырёх частей. Первая ее часть посвящена изложению работы Х.
Гюйгенса и примечаниям к её содержанию. Эти примечания, как правило, имеют
большой самостоятельный интерес. Построение теории ошибок наблюдений в
основном было завершено в самом начале XIX века почти одновременно
математиками А.М. Лежандром (1752–1833) и К.Ф. Гауссом (1777–1855). В
результате их исследований большое значение приобрело нормальное распределение.
Вторая половина XIX века прошла под знаком интенсивного развития молекулярных
представлений о строении материи. Роль теории вероятностей при этом быстро
возрастала. Появились новые вопросы, связанные со статистической физикой,
возросла роль классической проблемы о сходимости распределения нормированных
и центрированных сумм к нормальному распределению при неограниченном
увеличении числа слагаемых. Этой задачей занимались в разных планах П. Лаплас, С.
Пуассон, О. Коши (1789–1856), П.Л.Чебышев. Чёткое определение функции
распределения случайной величины, независимо от того, какое–конечное счётное или
континуальное множество значений она способна принять, впервые встречается
только в работе А.М. Ляпунова «Об одном предложении теории вероятностей»
(1900). Двадцатый век внес в развитие теории вероятностей принципиальные
изменения.
3
1.4. Математики уже не могли удовлетворяться тем идейным наследием, которое им было
получено от прошлого. В то время как физиков, биологов, инженеров интересовал
процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей
предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, позволяющие
изучать вероятности случайных событий и случайных величин. Для исследования
изменений во времени теория вероятностей конца XIX –начала XX века не имела ни
соответствующих понятий, ни общих приёмов, ни разработанных частных схем. А
необходимость их разработки ощущалась все острее. Естественно, что в конце
концов они были созданы, и ведущим среди них стало понятие случайного процесса.
Соответствующая теория была создана усилиями многих математиков и связана
прежде всего с именами А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина,Е.Е. Слуцкого, Н. Винера
(1894–1964). Это понятие в наши дни является одним из центральных и широко
используется в самых разнообразных областях естествознания, инженерного дела,
экономики, организации производства. Теория случайных процессов принадлежит к
одним из самых быстроразвивающихся математических дисциплин. Несомненно, что
в значительной мере это определяется её глубокими связями с практикой.
1.5. Попытки включения элементов теории вероятностей и статистики в программы
различных учебных заведений предпринимались в России неоднократно, начиная с
первой половины XIX века. В частности, известно, что они некоторое время
преподавались в Царскосельском лицее. Периодически появляясь, а затем вновь
исчезая, они во второй половине XIX века утвердились в реальных и кадетских
училищах России. Хотя в Советском Союзе в те годы работало много крупнейших
специалистов с мировым именем в области теории вероятностей и математической
статистики, в практику школьного преподавания элементы теории вероятностей так и
не были включены. Даже когда в конце шестидесятых годов в нашей стране под
руководством А.Н. Колмогорова была осуществлена радикальная реформа школьного
математического образования, в новых программах элементам теории вероятностей и
статистики так и не нашлось места. Сказывалось отсутствие экспериментально
проверенных методик, учебно-методической литературы. Пугало и смутное
предчувствие трудностей, с которыми из-за необычности материала неизбежно
столкнулись бы учителя и школьники. И все же некоторые подвижки произошли.
Было принято решение о включении элементов теории вероятностей и статистики в
перечень рекомендуемых факультативных занятий, а также о возможности (по
усмотрению учителя) включения этих вопросов в программу школ с углубленным
изучением математики. И только в новой России были внесены существенные
изменения в программу по математике в стандартах второго поколения.
1.6. После того как были открыты границы СССР и наши школьники стали активно
принимать участие в международном тестирование TIMSS, PISA (места в третьем и
четвёртом десятке), то были обнаружены пробелы российского образования –
отсутствие в программе глав по статистике, комбинаторике и теории вероятностей,
поэтому министерством образования в 2004 году было принято решение о внесение
этих глав в школьную программу. В наших школьных учебниках этих глав ещё не
было, активных курсов по этим главам также не было, а решение об их изучении уже
начало действовать и пришлось самим сидеть вспоминать программу университета,
искать в учебниках, справочниках и других источниках информацию. Теперь это не
актуально так, как появилось много литературы, есть образцы решения, поэтому я
остановилась на типовых заданиях, которые встречаются в ЕГЭ и нужны нам и
нашим ученикам.
4
1.7. Практическая часть
Математическая статистика – дисциплина, разрабатывающая математические методы
систематизации и использования статистических данных для научных и практических
(перепись населения и т.д.) выводов. Латинское слово status «состояние, положение
вещей»
Мода – значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду
распределения.
Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел – это сумма всех чисел в
этом наборе, делённая на их количество.
Медиана –это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд
(упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для нахождения медианы
нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.
Если упорядоченный ряд состоит из чётного количества чисел, то нужно взять среднее
арифметическое тех двух чисел, которые наиболее близки к середине.
Задачи по статистике:
1. На каждые 11 страниц наборщик в среднем допускает 3 ошибки. Сколько ошибок
следует ожидать на 1650 страницах?
2. Найдите медиану ряда чисел 6, 4, 7, 8, 12, 4, 6, 7, 5.
3. Найдите медиану ряда чисел 61, 12, 54, 104, 37, 49.
4. Дан ряд чисел: 16, 15, 18, 12, 13, 20, 16, 14, 11. Найдите, на сколько мода этого ряда
больше среднего.
5. На письменном экзамене можно получить от 0 до 10 баллов. Десять учеников
получили такие оценки: 10, 4, 5, 7, 7, 6, 9, 4, 8, 5. Определите, насколько размах
этого ряда данных меньше его среднего.
6. Ученики 9-го класса получили следующие четвертные оценки по математике:
4 5 5 3 4 4 4 3 5 4 5 5 5 3 3 4 4 4 4 3
Определите процентную частоту оценки «5»
7. На уроке ученики подсчитывали среднее значение своих четвертных оценок по
математике. Для этого они составили таблицу и посчитали среднее значение.
Получилось 4,04. После урока одно число было стёрто. Восстановите его.
Варианты
Кратность
3
7
4
5
19
Решение
1. 1650:11·3 = 450.
2. 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 12
3. 12, 37, 49, 54, 61, 104;
4.
5.
Ответ: 450;
Ответ: 6;
49+54
16+15+18+12+13+20+16+14+11
9
10+4+5+7+7+6+9+4+8+5
10
2
= 51,5;
Ответ: 51,5;
= 15, мода равна 16; Ответ: 1
= 6,5; Размах 10 – 4 = 6; Ответ: 0,5
6. Пятёрок − 6, всего оценок – 20; Ответ: 30
7. Пусть пятёрок было х, составим уравнение:
3∙7+4∙10+5∙х
7+10+х
= 4,04; х = 8 Ответ:8
5
Комбинаторика
Множество (совокупность элементов) называется занумерованным, если каждому
элементу этого множества сопоставлено своё натуральное число (номер) от 1 до n. Для
краткости занумерованные множества также будут называться далее наборами.
Число перестановок. Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из
всех элементов данного конечного множества, называются перестановками этого
множества. Французское слово permutation «перестановка, расстановка»
Число всех перестановок множества из n элементов обозначается Pn = n!, где n =
1·2·3·4….·n.
Число размещений. Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов,
выбранных из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k.
Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и порядком.
Размещения с повторениями. Наборы, содержащие k - элементов, выбираемых из n
элементов различных видов, и отличающиеся одна от другой либо составом, либо
порядком следования в них элементов, называют размещениями с повторениями из n по k.
Формула для вычисления ̅̅̅̅
𝐴𝑘𝑛 = 𝑛𝑘 , где 𝐴𝑘̅𝑛 размещения с повторениями.
Число всех размещений из n элементов по k обозначается и определяется по формуле
𝐴𝑘𝑛
=
𝑛!
(𝑛−𝑘)!
. Французское слово arrangement «размещение, приведение в порядок», в
музыке аранжировка от того же слова.
Число сочетаний. Неупорядоченные наборы (подмножества), состоящие из k
элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k.
Сочетания отличаются друг от друга только элементами.
Число сочетаний из n элементов по k обозначается 𝐶𝑛𝑘 и определяется по формуле
𝐶𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
. От французского слова combinations «сочетание, соединение»
Задачи по комбинаторике
1. Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых используются лишь
цифры 7, 2 и 1?
2. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 4,
5, 6, 7 таким образом, чтобы все цифры в числах были различны?
3. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра 5?
4. В автомашине 6 мест. Сколькими способами шесть человек могут сесть в машину,
если занять место водителя могут занять только двое из них?
5. В парке 10 различных аттракционов. Сколько существует способов выбрать 4
различных аттракциона?
6. У Тани есть 3 разноцветные ручки, 6 разноцветных фломастеров и 4 разноцветных
карандаша. Сколькими способами можно составить набор из одной ручки, одного
фломастера и одного карандаша?
7. В классе 25 учеников. Найдите количество способов выбрать из них двух
дежурных.
6
8. В классе 17 учеников. Из них 15 мальчиков. Для участия в соревнованиях
необходимо собрать команду из двух мальчиков и одной девочки. Сколько
различных команд можно составить из учеников этого класса?
Решение
1. На первое место можно поставить любую из трёх цифр и для каждого случая на
второе место можно поставить любую из трёх цифр, и аналогично на третье место
можно поставить любую из трёх цифр. Значит 3·3·3 = 27.
Либо 𝐴̅33 = 3 · 3 · 3 = 27
Ответ: 27
2. P6 = 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720
Ответ: 720
3. На первое место можно поставить 9 цифр, так как 0 взять нельзя, для каждой из
девяти цифр на второе место можно поставить 10 цифр, на третьем месте может
стоять лишь одна цифра, на четвёртом – 10 цифр, на четвёртом – 10 цифр. Значит
9·10·1·10·10 = 9000.
Ответ: 9000
4. Если место водителя занял 1 человек, то оставшиеся 5 могут пересаживаться как
угодно P5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120, теперь удвоим это произведение так как место
водителя может занять ещё один человек из шести собирающихся ехать. Получим
120·2 = 240.
Ответ: 240
5. Так как не важно, какой аттракцион будет первым, вторым, третьим или
4
четвёртым, то найдем число сочетаний 𝐶10
=
10!
4!(10−4)!
= 210.
Ответ: 210
6. Для каждой из 3-х ручек можно взять любой из 6-ти фломастеров и для этих
наборов можно взять каждый из 4-х карандашей, получим 3·6·4 = 72. Ответ:72
2
7. Важно выбрать любых 2 человека из 25. 𝐶25
=
2
8. 𝐶15
=
15!
2!(15−2)!
25!
2!(25−23)!
= 300
= 105, а если девочек две, то 105·2 = 210.
Ответ: 300
Ответ: 210
Элементы теории вероятности. Основные сведения.
Случайные события и их вероятности. Опытом, или испытанием, называют всякое
осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается
соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.
Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и
не произойти.
Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдёт в
этом опыте. Событие называют невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте
произойти не может.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них
не исключает появление другого в этом опыте, и несовместными, если они не могут
произойти при одном и том же испытании.
Два события называются противоположными, если появление одного из них
равносильно не появлению другого.
События считаются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно
событие является более возможным, чем другие.
Суммой, или объединением двух событий, называется событие, состоящее в
появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий A и B обозначается A + B.
7
Аналогично определяется и обозначается сумма n событий: ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 +
⋯ + 𝐴𝑛 . Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.
Произведением, или пересечением двух событий, называется событие, состоящее в
одновременном их появлении. Произведение двух событий A и B обозначается через AB.
Произведение n событий ∏𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ … . .∙ 𝐴𝑛 означает событие, состоящее в
появлении всех событий = 𝐴1 𝐴2 … . . 𝐴𝑛 .
Разностью событий A и B называется событие C, которое означает, что наступает
событие A и не происходит событие B. Разность событий принято обозначать A – B.
Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие
A, происходит и событие В, то говорят, что А влечёт за собой В, или А является частным
случаем В, и обозначается: 𝐴 ⊂ 𝐵. Если А ⊂ В и В ⊂А, то говорят, что А и В
равносильны: 𝐴 ≡ 𝐵.
Вероятность события
Классическое определение вероятности. Вероятность события А определяется
формулой P(A) = m/n, где n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, m
- число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.
Относительная частота события А (или просто частота) определяется формулой W(A)
= m/n, где m - число опытов, в которых появилось событие А, n - число всех проведённых
опытов.
Вероятность P(C) наступления хотя бы одного из двух несовместных событий A и B
равна сумме их вероятностей: P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B).
Вероятность P (𝐴̅) противоположного события : P(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
Задачи по теории вероятности
1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Ответ: 0,5
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что оба раза выпадет решка. Ответ: 0,25
3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что один раз выпадет орёл, а другой решка. Ответ: 0,25
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,06
5. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,11
6. Маша дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите
вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков. Ответ: 0,25
7. Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найдите
вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка. Ответ: 0,2
8. Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает
тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья.
В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла. Ответ:
0,5
9. Ученик дает верный ответ на вопрос учителя в 85% случаев. С какой вероятностью
при очередном ответе ученик ошибается? Ответ: 0,15
8
10. Из отрезка [−4; 1], случайным образом выбирают число a. Найдите вероятность
того, что 0 ≤ 4а − 1 ≤ 2; Ответ: 0,1
геометрическая вероятность
11. Какова вероятность того, что произвольное решение неравенства х2 − 8х + 12 ≤0,
принадлежит отрезку [2; 3] ? 0,25
геометрическая вероятность
12. Капля краски случайным образом падает на круг диаметром 1 метр. С какой
вероятностью окрашенная точка окажется на расстоянии не более 20 сантиметров
от центра? 0,16
геометрическая вероятность
13. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет
чётное число очков, не превосходящее шести.
Ответ: 0,25
14. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите
вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. Ответ: 0,375
15. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет не менее 10 очков. Результат округлите до сотых.
0,17
16. В ящике лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами К, О, С, М, О, С.
Какова вероятность того что, наудачу извлекая карточки и выкладывая их на столе,
получится слово КОСМОС? Результат округлите до сотых. 0,01
17. Завод выпускает насосы. В среднем на выпущенных 100 насосов 91 качественный.
Найдите вероятность того, что купленный насос будет со скрытым дефектом. 0,09
18. Завод выпускает холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников
приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того,
что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до
сотых.
Ответ: 0,87
19. Вероятность того, что в случайный момент времени температура здорового
человека окажется ниже чем 36,8° С, равна 0,88. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8° С
или выше.
Ответ: 0,12
20. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите
вероятность того, что герб выпадет не более двух раз.
Ответ: 0,875
21. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет менее 7 очков. Результат округлите до сотых. 0,42
22. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно
нажатая цифра будет чётной и больше 5?
Ответ: 0,2
23. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23
делится на три?
Ответ: 0,3
24. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,7. Какова вероятность хотя бы
одного попадания в мишень этим стрелком в результате двух выстрелов? 0,91
25. Одновременно бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 5 очков.
Ответ: 0,03
26. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и
Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11
человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в
одной команде. Ответ округлите до тысячных. 0,3125
Ответ: 0,313
27. Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2. Если майское утро
облачное, то вероятность дождя в течение дня 0,6. Вероятность того, что утро в мае
будет облачным равна 0,4. Найдите вероятность того, что в случайно взятый
майский день дождя не будет.
Ответ: 0,64
9
28. Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. Если июльское
утро пасмурное, то вероятность дождя 0,5. Вероятность того, что утро будет
пасмурным равна 0,2. Найдите вероятность того, что случайный июльский день
будет без дождя.
Ответ: 0,82
29. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая
фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая -40%. Первая выпускает 4%
бракованных стёкол, а вторая -3%. Найдите вероятность того, что случайно
купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ: 0,036
Симметричная монета – это монета, у которой нет смещения центра тяжести и
события выпадения орла или решки будут равновозможными.
Решение задач
1. ОР, ОР, ОО, РР; m = 2, n = 4 P =
Ответ: 0,5
2. Вероятность того, что выпадет одна решка 0,5, если одновременно, то 0,5·0,5 =
0,25.
Ответ: 0,25
3. Вероятность того, что выпадет решка 0,5. Вероятность того, что выпадет орёл 0,5.
Вероятность одновременного выпадения орла и решки 0,5·0,5 = 0,25.
Ответ: 0,25
4. Благоприятных событий два: 1+2, 2+1, всего событий n = 36, P = .
Ответ: 0,06
5. Благоприятных событий четыре: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2, всего n = 36, P =
Ответ: 0,11
6. Всего четыре исхода: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, благоприятный исход: 5+ 4
n = 4, m = 1, P =
Ответ: 0,25
7. Всего пять исходов: 1+5, 5+1, 4+2, 2+4, 3+3, благоприятный исход: 3+3.
n = 5, m = 1, P =
Ответ: 0,2
8. Всего четыре исхода: 3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4, выигрывают 2 случая, проигрывают
два случая, n = 4, m = 2, P =
Ответ: 0,5
9. Вероятность считают в дробях: 85% = 0,85, 1 – 0,85 = 0,15;
Ответ: 0,1
10. Геометрическая вероятность: n = 1 – (-4) = 5, m = 0,5, 0 + 1 ≤ 4а ≤ 2 + 1,
1: 4 ≤ а ≤ 3: 4 , 0,25 ≤ а ≤ 0,75, a = 0,75 – 0,25 = 0,5, P =
0,5
5
= 0,1.
Ответ: 0,1
11. Геометрическая вероятность: решение неравенства х𝜖[2; 6], x = n = 4, m = 3 -2 =1,
1
P = 4 = 0,25.
Ответ: 0,25
𝜋·400
12. Геометрическая вероятность: P = 𝜋·2500 = 0,16, R = 50 см, r = 20 см, Ответ: 0,16
13. n = 6·6 = 36, m = 9, благоприятные случаи: 1+1, 1+3, 1+5, 2+2, 2+4, 4+2, 5+1, 3+1,
3+3, все случаи: каждой из 6 граней первого кубика может упасть любая из 6
9
граней второго кубика. P = 36 = 0,25.
Ответ: 0,25
14. Всего 2·2·2 = 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО.
3
Благоприятных исходов три: РОО, ОРО, ООР, P = 8 = 0,375.
Ответ: 0,375
10
15. Всего исходов n = 6·6 =36, благоприятных исходов m = 6: 4+6, 6+4, 5+5, 6+6, 6+5,
5+6. P =
Ответ: 0,17
16. Общее число исходов n = 6! = 720, благоприятных исходов m = 4, так как буквы о и
4
с можно поменять местами. P = 720 = 0,0055556 ≈ 0,01
Ответ: 0,01
9
17. n = 100, m = 100 – 91 = 9, P = 100 = 0,09.
Ответ: 0,09
18. n = 100 +15 = 115, m = 100, P = 115 = 0,8695652 0,87
Ответ: 0,87
100
19. P = 1 – 0,88 = 0, 12
Ответ: 0,87
̅ более 2 раз, P(А
̅)=
20. n = 2·2·2 = 8, событие А – не более 2 раз, событие А
P(A) = 1 – 0,125 = 0,875. Все исходы: ООО, ОРР, РОО, РОР, ОРО, РРО, ООР, РРР.
Благоприятные исходы: ОРР, РОО, РОР, ОРО, РРО, ООР, РРР. Ответ: 0,75
21. n = 6·6 = 36, m = 15. Благоприятные исходы: 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 2+1,2+2, 2+3,
14
2+4, 3+1, 3+2, 3+3, 4+1, 4+2. P = 36 = 0,4166 ≈ 0, 42.
Ответ: 0,42
22. n = 10, m = 2, благоприятные исходы: 6 и 8. P =
Ответ: 0,2
6
23. n = 20 (23 – 4 = 19; 19 +1 = 20) m = 6 (6,9,12,15,18,21), P = 20 = 0,3
Ответ: 0,3
P(попадания) = 0,7; P(промаха) = 0,3; Вероятность попадания при первом
выстреле 0,3·0,7 = 0,21; 0,7 + 0,21 = 0,91.
Ответ: 0,91
25. n = 6·6·6 = 216, благоприятных исходов m = 6 это: 1+1+3, 1+3+1, 3+1+1, 1+2+2,
6
2+1+2, 2+2+1. P = 216 = 0, 027 ≈ 0, 03.
Ответ: 0,03
24.
1
10
26. P(A) = 33 , P(Д) =32 = 0,3125
Ответ: 0,3125
27. 1) 1 – 0,4 = 0,6 вероятность того, что в мае утро ясное
2) 0,6·0,2 = 0,12 вероятность того, что дождь будет, если утро ясное
3) 0,4·0,6 =0,24 вероятность того, что будет дождь, если утро пасмурное
4) 0,12 + 0,24 = 0,36 вероятность того, что в майский день будет дождь
5) 1 – 0,36 = 0,64 вероятность того, что дождя не будет
Ответ: 0,64
28. 1) 1 - 0,2 = 0,8 вероятность того, что в июле утро ясное
2) 0,8·0,1 = 0,08 вероятность того, что дождь будет, если утро ясное
3) 0,2·0,5 = 0,1 вероятность того, что будет дождь, если утро пасмурное
4) 0,08 +0,1 = 0,18 вероятность того, что в июльский день будет дождь
5) 1 – 0,18 = 0,82 вероятность того, что дождя не будет
Ответ: 0,82
29. 1) 0,6·0,04 = 0,024 вероятность того, что куплено бракованное стекло 1 фабрики
2) 0,4·0,03 = 0,012 вероятность того, что куплено бракованное стекло 2 фабрики
3) 0,024 + 0,012 = 0,036 объединение несовместных событий
Ответ: 0,036
Литература:
1. К.И. Нешков, А.М.Пышкало, В.Н.Рудницкая, «Множества, отношения,
числа, величины» М. Просвещение, 1997г.
2. Н.Я. Виленкин «Комбинаторика», М. Наука, 1996г.
11
3.
4.
5.
6.
Н.Я. Виленкин «Популярная комбинаторика», М. Наука, 1975г.
М.И. Зайкин «Развиваем комбинационные способности», М. Владос, 2006г
А.А. Рывкин «Справочник по математике», М. Высшая школа, 1995г
А.Л. Семёнова, И.В. Ященко «Типовые тестовые задания», М. Экзамен,
2014г
12