Методическое пособие. Задания В10 по теме: «Вероятность» в ЕГЭ 2012.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №14 с углубленным изучением отдельных
предметов».
Методическое пособие.
Задания В10 по теме: «Вероятность» в ЕГЭ 2012.
Выполнила:
Ильясова Н. А. учитель математики
Заслуженный учитель России.
г. Балахна. 2011 г.
Название. Методическое пособие. Задания В10 по теме: «Вероятность» в ЕГЭ 2012
Краткая аннотация. В пособии представлен теоретический материал по теме:
«Вероятность» в справочной форме, образцы решений типовых задач по этой теме,
включенных в ЕГЭ, учебно-тренировочные задания для подготовки к нему. Пособие
предназначено для подготовки учащихся общеобразовательных учреждений к единому
государственному экзамену по математике в 2012 году. Пособие может быть использовано
учителями для подготовки к экзамену по математике в форме ЕГЭ, а также
старшеклассниками – для самоподготовки и самоконтроля.
Учебные предметы: алгебра (раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей»)
Форма учебной работы: подготовка к ЕГЭ (классно-урочная, факультативная)
Описание разработки. Пособие предназначено для учителей и выпускников школ для
подготовки к ЕГЭ 2012 года. «Изменения в ЕГЭ 2012: нововведения от ФИПИ Математика.
В ЕГЭ 2012 по математике задания части А по-прежнему отсутствует, а в части В теперь 14
заданий, вместо 12 заданий в 2011 году. Т.е. появились два новых задания: одно задание по
геометрии (стереометрия) и одно практическое задание на использование вероятностных
моделей. Также без изменения сложности несколько расширена тематика задания С3 – в этом
задании может также присутствовать система неравенств» (сайт ЕГЭ информационная
поддержка [1]). Содержание задания В10 по КЭС (Кодификатор элементов содержания по
математике для составления контрольных измерительных материалов для проведения в 2012
году единого государственного экзамена, 6.3): Элементы теории вероятностей (6.3.1
Вероятности событий; 6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при
решении прикладных задач), предполагают умения, которые должны продемонстрировать
выпускники по КТ (Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников
общеобразовательных учреждений для проведения в 2012 году единого государственного
экзамена по математике, 5.3., 5.4)
5.3 Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
5.4 Уметь строить и исследовать простейшие математические модели [2]
При использовании пособия для подготовке к ЕГЭ учащиеся получат навыки, которые
позволят им:
— решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а
также с использованием правила умножения;
— вычислять средние значения результатов измерений;
— находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические
данные;
— находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.
Учителя, которые используют данное пособие, будут иметь достаточный набор заданий для
отработки необходимых умений и навыков решения задач В10, в том числе и взятых из
«Открытого банка задач ЕГЭ по математике» и их роль заключается в координации
действий, коррекции умений и проверки знаний по решению таких задач.
Для основного общего образования по теме «Элементы логики, комбинаторика, статистики
и теории вероятностей» установлен следующий обязательный минимум:
— Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества.
Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения
комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
— Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.
Понятие и примеры случайных событий.
— Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их
вероятности. Представление о геометрической вероятности.
В экзаменационную работу включена последняя из этих частей курса «Элементы логики,
комбинаторика, статистики и теории вероятностей». Поэтому в пособии справочный
материал содержит понятия и формулы комбинаторики и теории вероятностей.
Глава 1.
Справочный теоретический материал.
1. 1 Некоторые понятия комбинаторики
1. 1. 1 Правило умножения. В чем оно заключается?
Пусть некоторое множество состоит из т различных элементов одного вида и п разных
элементов другого вида. Тогда число различных пар, состоящих из одного элемента первого
вида и одного элемента второго вида, равно тп
Также можно составлять различные тройки, четверки и т. д.
Пример. (№359 [6]) Восемь сотрудников лаборатории участвовали в научном конкурсе, по
результатам которого были присуждены одна первая и одна вторая премии. Сколькими
способами могут быть присуждены рассматриваемые премии?
Решение: На первом месте может оказаться любой из 8 сотрудников лаборатории, а на
втором – любой из оставшихся 7. По правилу произведения 8 · 7 = 56 способами.
Ответ: 56.
1. 1. 2 Перестановки.
Перестановками из п разных элементов называются соединения, которые состоят из п
элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения».
Число перестановок из п элементов вычисляется по формуле: Рп = п!
Произведение 1· 2 · 3 · … · (п – 1) · п обозначают п! (читается «эн факториал»).
Пример. (№357 [6]) Сколькими способами можно составить график очередности ухода в
отпуск восьми сотрудников лаборатории?
Решение: Из восьми сотрудников лаборатории в отпуск пойдут восемь, то график ухода
будет отличаться только порядком, кто за кем пойдет, т. е. число перестановок из 8 человек.
Р8 = 8! = 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40 320. (можно рассуждать и по правилу произведения:
первым может пойти в отпуск любой из 8, вторым – любой из 7, третьим – любой из 6 и т. д.
до 1. Значит способов: 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320).
Ответ: 40 320
1. 1. 3. Размещения.
Размещениями из т элементов по п элементов (п ≤ т) называются такие соединения, каждое
из которых содержит п элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые
отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения
Число возможных размещений из т элементов по п элементов вычисляется по формуле:
т!
Атп =
.
(т  п)!
Пример. (№360 [6]) Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся,
пришедших на дополнительное занятие, на сорока имеющихся в классе стульях?
Решение: Надо разместить 3 человек на 40 стульях, причем порядок расположения учащихся
на стульях важен. Задача сводится к вычислению размещений из 40 по 3.
40!
3
А40
=
= 38 · 39 · 40 = 59 280.
(40  3)!
Ответ: 59 280
1. 1. 4. Сочетания
Сочетаниями из т элементов по п элементов (п ≤ т) называются такие соединения, каждое
из которых содержит п элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые
отличаются друг от друга по крайне мере одним элементом.
Число возможных сочетаний из т элементов по п элементов вычисляется по формуле:
т!
.
С тп 
(т  п)! п!
Пример. (№358 [6]) Сколько существует способов делегирования на конференцию двоих
человек из 8 сотрудников лаборатории?
Решение: При выборе делегатов порядок в паре не важен, поэтому находим число сочетаний
8!
из 8 по 2. С82 
= 28.
(8  2)!2!
Ответ: 28.
1. 2. Элементы теории вероятностей.
1. 2. 1 События.
Под событием в теории вероятностей понимается то, о чем имеет смысл говорить, что оно
происходит (имеет место) или не происходит.
События в материальном мире можно разбить на три категории: достоверные,
невозможные и случайные.
Пример. При одном бросании игральной кости возможны следующие события (исходы):
- на верхней грани может оказаться одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Каждое из этих событий
является случайным, т. к. оно может произойти, а может и не произойти.
- выпадет только одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 является достоверным, т. к. при бросании
игральной кости оно обязательно произойдет.
- выпадет какое – то другое число, например 7, является невозможным.
Рассмотренные возможные при бросании игральной кости события
- несовместны (появление одного из них исключает появление другого),
- единственно возможны (обязательно появится одно число),
- равновозможные (у всех чисел шансы появиться одинаковые).
Такие события называются элементарными событиями (или элементарными исходами
испытаний). События обозначаются буквами А, В, С, …
Определение. Два события А и В называются совместными, если они могут произойти
одновременно при одном исходе эксперимента.
Определение. Два события А и В называются несовместными, если они не могут произойти
одновременно при одном исходе эксперимента.
1. 2. 2 Определение вероятности события.
Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией
вероятностей. Задача теории вероятностей – установление и математическое исследование
закономерностей массовых случайных событий.
Пример. Рассмотрим эксперименты с подбрасыванием монеты, при которых подсчитывается
число подбрасываний п и число f – число выпадений «орла» или частота события «выпал
f
орел», тогда отношение
- относительная частота этого события. Опыт показывает, что
n
при увеличении числа экспериментов (п) относительная частота появления «орла» все
1
больше приближается к числу , которое называется вероятностью этого события.
2
Вероятность может быть определена и без проведения экспериментов. Для количественной
характеристики возможности наступления события и вводится понятие вероятности
события.
Определение (классическое)
Пусть п – число элементарных исходов некоторого события А, т – число исходов,
благоприятствующих событию А, тогда вероятностью события А(обозначается Р(А))
m
определяется формулой Р(А )= .
n
По определению т ≤ п, то 0≤ Р(А) ≤1.
1. 2. 3 Вероятность противоположного события
Определение. Событие называется событием, противоположным событию А, если оно
происходит, когда не происходит событие А.
Теорема: «Сумма вероятностей противоположных событий равна 1».
2. 2. 4 Вероятность суммы и произведения событий.
Определение. Событие А + В состоит в появлении либо только события А, либо только
события В, либо события А и события В одновременно.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Пример. В колоде 52 карты. Наугад берут одну карту. Найти вероятность того, что это валет
или дама.
Решение: Событие А – появится дама, событие В – появится валет.
4
4
8
2


 .
Р(А + В) =
52 52 52 13
Ответ:
2
.
13
Определение. Произведением событий А и В называется событие А ∙ В, состоящее в
появлении и события А и события В.
«Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению
вероятностей этих событий»
Р(А·В) = Р(А)·Р(В).
Пример. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что на обеих костях
выпадет 6?
Решение: Событие А – на первой кости выпало 6 очков, событие В – на второй кости выпало
1 1 1
6 очков. Р(А·В) =  
.
6 6 36
1
Ответ:
.
36
1. 2. 5 Вероятность противоположного события.
Событие А называется событием, противоположным событию А, если оно происходит,
когда не происходит событие А. Р( А ) + Р(А) = 1.
Пример. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,85. Найти вероятность того, что
при выстреле он промахнется.
Решение: Событие А – попал в цель, Р(А) = 0,85. Событие А – не попал в цель, Р( А ) = 1 –
0,85 = 0,15.
Ответ: 0,15.
Пример. Вероятность попадания в мишень равна 0,7. Найти вероятность того, что при
первом выстреле он попадет в мишень, а при втором – нет?
Решение: Событие А – попадет в мишень, Р(А) = 0,7. Событие А – не попал в мишень,
Р( А ) = 1 – 0,7 = 0,3. Р(А ∙ А ) =0,7 ∙ 0,3 = 0,21.
Ответ: 0,21.
Глава 2.
Практические задания В10.
Практические задания В10. из «Открытого банка задач ЕГЭ по математике».[3]
Решение: Игральная кость содержит 6 граней с очками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, где 1, 3, 5 – нечетные
числа, а 2, 4, 6 – четные числа. С равной вероятностью при броске может выпасть любое из
этих чисел. Всего чисел 6, значит количество всех возможных исходов равно 6. По условию
задачи нас интересуют нечетные числа, их всего 3, значит количество благоприятных
исходов (выпадение нечетных чисел) равно 3. Значит, вероятность события, что выпадет
нечетное число очков равно 3 к 6 или 3/6=1/2=0,5.
Ответ: 0,5
Решение: Т.к. чисел от 1 до 100 всего 100, и ученик может назвать любое из этих чисел, то
количество всех возможных исходов равно 100. Из этих ста чисел кратные 20 (т.е.
делящиеся на 20 без остатка) всего 5 (20, 40, 60, 80, 100), значит количество благоприятных
исходов равно 5. Значит, вероятность события, что ученик назовет число, кратное 20 равно
5 к 100 или 5/100=0,05
Ответ:0,05
Ответ: 0,17
Ответ: 0,5
Ответ: 0,25
Ответ: 0,995
Ответ: 0,93
Ответ: 0,36
ответ: 0,16
ответ: 0,225
ответ: 0,3
ответ: 0,36
ответ: 0,2
ответ: 0,6
ответ: 0,36
ответ: 0,1
ответ: 0,14
ответ: 0,25
ответ: 0,1
ответ: 0,1
Проверь себя.
Следующие задачи предлагаются для самостоятельного решения (ответы даны для
проверки):
Прототипы 282853 из «Открытого банка задач ЕГЭ по математике»
Задание B10 (№ 283441)
Элементы содержания: 6.3.1
Прототип: 282853
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
Задание B10 (№ 283443)
Элементы содержания: 6.3.1
Прототип: 282853
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.
Задание B10 (№ 283445)
Элементы содержания: 6.3.1
Прототип: 282853
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
Задание B10 (№ 283447)
Элементы содержания: 6.3.1
Прототип: 282853
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 2 очка. Результат округлите до сотых.
Задание B10 (№ 283449)
Элементы содержания: 6.3.1
Прототип: 282853
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.
Задачи по теме «Теория вероятностей»
2.1. В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 20 из них встречается вопрос по
углеводородам. Найти вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по углеводородам.
2. 2. В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 13 из них встречается вопрос по
оптике. Найти вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику
достанется вопрос по оптике.
2. 3. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из
Голландии и 7 прыгунов из Венесуэлы. Порядок выступлений определяется жеребьевкой.
Найдите вероятность того, что седьмым будет выступать прыгун из Голландии.
2. 4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 7 прыгунов из
Италии и 10 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите
вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.
2. 5. На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 2 из Испании и 6 из Италии. Порядок
докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым окажется
доклад ученого из Италии.
2. 6. На соревнования по метанию ядра приехали 7 спортсменов из России, 7 из Швеции и 6
из Сербии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что
седьмым будет выступать спортсмен из Швеции.
2. 7. В среднем из 150 карманных фонариков приходится двадцать четыре неисправных.
Найдите вероятность купить работающий фонарик.
2. 8. В среднем из 300 шариковых ручек 9 не пишут. Найдите вероятность того, что наугад
взятая ручка будет писать.
2. 9. В каждой партии из 500 лампочек в среднем 7 бракованных. Найдите вероятность того,
что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.
2. 10. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов – в
первый день 20 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями.
Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора
М. окажется запланированным на последний день конференции?
2. 11. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 60 докладов – в
первые три дня по 10 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым
днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад
профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
2. 12. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 40 выступлений – по одному от
каждой страны. В первый день 25 выступлений, остальные распределены поровну между
оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что
выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
2. 13. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 26
шахматистов, среди которых 11 участников из России, в том числе Петр Трофимов. Найдите
вероятность того, что в первом туре Петр Трофимов будет играть с каким-либо шахматистом
из России.
2. 14. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые
пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 шашистов,
среди которых 13 участников из России, в том числе Андрей Фомин. Найдите вероятность
того, что в первом туре Андрей Фомин будет играть с каким-либо шашистом из России.
2. 15. Перед началом футбольного матча судья бросают монету, чтобы определить, какая из
команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами
«Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право
первой владеть мячом ни в одном матче.
2. 16. Перед началом волейбольного матча судья бросают монету, чтобы определить, какая
из команд будет первая владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами
«Амур», «Вилюй», «Иртыш» и «Енисей». Найдите вероятность того, что ровно в двух
матчах право первой владеть мячом выиграет команда «Байкал».
2. 17. Найдите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет четное число
очков.
2. 18. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на обоих выпадет число не
большее 3.
2. 19. Аня и Яна играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто
выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Аня выкинула 3 очка. Затем кубик
бросает Яна. Найдите вероятность того, что Яна выиграет.
2. 20. Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто
выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 4 очка. Затем кубик
бросает Саша. Найдите вероятность того, что Саша проиграет.
2. 21. Биатлонист попадает в цель с вероятностью 0,9. Он стреляет пять раз. Найдите
вероятность того, что он попадет в мишень все пять раз.
2. 22. Биатлонист попадает в цель с вероятностью 0,7. Он стреляет пять раз. Найдите
вероятность того, что он не попадет в мишень ни одного раза.
2. 23. Биатлонист попадает в цель с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите
вероятность того, что он попадет в мишень ровно один раз.
Ответы.
В10 (№ 283441) 0,11. В10 (№ 283443) 0,03. В10 (№ 283445) 0,06. В10 (№ 283447) 0,03
В10 (№ 283449) 0, 05.
2. 1. 0,4. 2. 2. 0,48. 2.3 0,25. 2. 4. 0,14 2. 5. 0,5. 2.6. 0,35. 2. 7. 0,84 2. 8. 0,97. 2. 9. 0,986.
2.10 0,3. 2. 11. 0,25 2. 12. 0,125. 2.13. 0,4. 2. 14. 0,16 2. 15. 0,25. 2. 16 0,375. 2. 17. 0,5
2. 18. 0,25. 2.19. 0,5. 2.20. 0,5. 2. 21. 0,59049 2. 22. 0,00243. 2.23. 0,0064.
Используемая литература и Интернет – сайты
1) http://www.ctege.info/content/view/1996/39
2) http://www.fipi.ru/
3) http://schoolmathematics.ru/kodifikator-trebovanij-k-urovnyu-podgotovki-k-ege-po-matematikev-2012-godu
4) https://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200901403
5) ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания / И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров и др.
под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 55, [1 с]
6) Колягин И. Н. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений /
Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 240 с.: ил.
Содержание.
Описание методической разработки…………………………………………………..1
Глава 1. Справочный теоретический материал……………………………………….3
1. 1. Некоторые сведения комбинаторики……………………………………3
1. 2. Элементы теории вероятностей………………………………………….5
Глава 2. Практические задания В10……………………………………………………8
Практические задания В10 из «Открытого банка задач ЕГЭ по математике»……...8
Проверь себя…………………………………………………………………………….12
Прототипы 282853 из «Открытого банка задач ЕГЭ по математике»………………13
Задачи по теме «Теория вероятностей»……………………………………………….14
Ответы…………………………………………………………………………………...18
Используемая литература и Интернет – сайты……………………………………….18