6. Теория вероятностей и элементы математической статистики

6. Теория вероятностей и элементы
математической статистики
Вероятность события, алгебра событий, основные определения, Классическое
определение вероятности. Перестановки, размещения, сочетания.
Теория вероятностей – это наука о случайных событиях (явлениях). Случайное событие – это такое
событие, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания) может
произойти или не произойти, т.е. случайное явление при одном и том же опыте протекает каждый
раз по иному. Примеры: при бросании монеты появление орла или решки – случайное событие;
также появление очков 1, 2, …, 6 при бросании кости; стрельба при постоянном α (рис.6.1).
α
Рис. 6.1.
Измерение одного и того же предмета каждый раз дает новое значение за счет
ошибок отсчета показаний прибора, изменения температуры и других
второстепенных факторов; полет самолета на заданное высоте и т.п.
Характерной чертой случайного события является то, что в результате испытания оно происходит
не обязательно; это отличает случайное событие от детерминированного события, которое
происходит обязательно.
Теория вероятности развилась из потребностей практики:
Попытки создания общей теории страхования, основанной на анализе закономерностей в таких
массовых случайных явлениях, как заболеваемость, статистика несчастных случаев, смертность и
т.д. Закономерности случайных событий наиболее просто было изучать, выбирая в качестве модели
случайные игры.
Вплоть до настоящего времени примеры из области азартных игр и аналогичные им задачи на
«схему урн» широко употребляются при изучении теории вероятностей, как упрощенные модели
случайных явлений.
Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века
и связанно с исследованиями Б.Паскаля, П.Ферма и Х.Гюйгенса в области теории азартных игр.
Крупный вклад далее сделал Н.Бернулли – доказательство закона больших чисел; П.Лаплас –
стройное изложение основ теории вероятностей, доказательство центральной предельной теории и
ряд приложений к практике; П.Л.Чебышев – среди его ряда трудов по теории вероятностей особое
место имеет обобщение закона больших чисел, введения метода моментов. А.А.Марков заложил
основы теории случайных (стохастических ) процессов. Большой вклад в развитие теории
вероятностей внесли русские ученые А.Н.Ляпунов, С.Н.Бернштейн, А.Я.Хинчин, А.Н.Колмогоров,
В.И.Романовский, Н.В.Смирнов и др.
Вероятность события
Закономерности случайных событий проявляются при многократном повторении испытаний
(опытов). Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности,
нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно
событие и чем чаще оно появляется . такое число назовем вероятностью события.
Итак, вероятность считается величиной, характеризующей частоту наступления события при
многократном повторении событий. Введя понятие событий, введем и действия над ними, которые
назовем алгеброй (арифметикой) событий.
6.1. Алгебра событий
Основные определения
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет при любом количестве
опытов. Пример: бросается монета. Достоверно известно, что будет либо «орел», либо «решка»
(выпадение монеты на «ребро» или ее зависание и т.п. не берутся в расчет). Достоверное событие
обозначается U.
Невозможное событие, которое обозначается V – это событие, которое не может произойти.
Предыдущий пример: выпадение «орла» и «решки» при одном бросании монеты.
А теперь введем понятие алгебры (арифметики) событий.
1. Если при каждом осуществлении опыта, при котором происходит событие А, происходит также
и событие В, то говорят, что А влечет за собой В, обозначается А< B.
2. Если А< B, а В < A, т.е. события А и В при опыте оба либо наступают, либо нет, то события А
и В равномерны и пишут А=В.
3. Событие С, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением
событий: С = А ⋅ В = AB
4. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из
этих событий: С = А + В + ...Q
5. Событие С, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В – не происходит,
называется разностью событий А и В : С = А – В; при этом предполагают В < A.
6.
7.
Два события А и А называют противоположными , если выполняется: A + A = U .
Два события А и В называются несовместимыми, если их совместное наступление невозможно,
т.е. А ⋅ В = V .
Пример
Пусть событие А – попадание точки в область А., а событие В – попадание точки в область В. Тогда
указанные выше события можно представить в виде:
A⋅B
8.
A
B
A
B
Если
B
A-B
A
B
A+B
A
B
A = В 1 + В 2 + ... + В к и событие Bi попарно несовместимы, т.е. Bi + B j = V ,
при j≠ i, то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи
В 1 + ... + В к .
9.
События A1 ,..., Ak образуют полную группу событий, если в результате опыта происходит
хотя бы одно из этих событий, т.е. A1 + A 2 + ... + A к = U .
Нас будут интересовать полная группа попарно несовместимых событий.
10. Система S образует поле событий, если:
• вместе с событиями А и В в систему входят также А ⋅ В, А + В, А , В ;
• система S содержит достоверные U и невозможные V события.
11. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными (равновероятными), если
по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является
объективно более возможным, чем другое. (орел – решка, очки кости и т.д.)
Классическое определение вероятности
Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу из n попарно
несовместимых и равновероятных событий, то вероятность Р(А) события А равна:
P ( A) =
m
.
n
(6.1)
Пусть из n всевозможных испытаний событию А благоприятствует m: например, вынимание карты
бубновой масти – m=9, n=36; выпадение на кости (кубике) 2,4,6 очков – m=3, n=6.
Тогда, вероятность Р(А) события А равна отношению числа результатов испытания,
благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов испытания.
Из приведенной формулы следует :
1. Т.к. 0 ≤ m ≤ n , то 0 ≤ P ( A) ≤ 1 .
n
= 1.
n
2.
Для достоверного события U: m = n и P (U ) =
3.
Для невозможного события V: m = 0 ⇒ P(V) = 0.
Для определения m и n часто требуется выборка элементов: сколькими способами можно выбрать
три карты из 36, два шара из (а + b), где белых шаров – а, и черных - b; только 2 белых оттуда же и
т.п.
Для этого введем понятия перестановок, размещений и сочетаний.
Перестановками Pn из n называются их соединения, отличающиеся друг от друга только порядком
входящих в них элементов. Например для n=3 получим: abc, cab, cba, acb, bac, bca – шесть
способов, т.е. 1⋅2⋅3 =6. В общем случае при n элементов имеем:
Pn = n! .
m
n
Размещениями A
(6.2)
из n элементов по m называются их соединения, отличающиеся друг от друга
самими элементами или их порядком: из трех a,b,c по 2 – ab, ba, ac, ca, bc, cb. При n элементах по m
получим:
Anm =
Сочетаниями
n!
.
(n − m)!
(6.3)
С nm из n элементов по m называются их соединения, различающиеся друг от друга
только самими элементами: a,b,c - 3 по 2 : ab, ac, bc – 3. Тогда
С nm =
Аnm
n!
=
.
Pm m!(n − m)!
(6.4)
Основное свойство сочетаний:
C nm = C nn − m =
n!
n!
.
=
(n − m)!(n − (n − m))! m!(n − m)!
(6.5)
Например,
3
С 25
=
трех
делегатов
на
конференцию
из
25
человек
можно
выбрать:
25!
3
= 23 ⋅ 8 ⋅ 25 способами; три карты из 36 - С 36
способами.
3!22!
Геометрическое определение вероятности
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Если
предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка
и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на
отрезок l определяется равенством
P=
Длина l
.
Длина L
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуре G наудачу брошена
точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g
пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения относительно G, ни от
формы g, то вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством
P=
Площадь g
.
Площадь G
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая
составляет часть фигуры V:
P=
Объём v
.
ОбъёмV
Пример: В квадрат со стороной 1 вписан круг. Какова вероятность того, что точка,
наудачу брошенная в квадрат, попадет в круг?
Решение: Площадь квадрата со стороной 1 равна также 1. Круг, вписанный в этот квадрат,
имеет радиус
1
π
2
, то есть его площадь равна S = π R = . Значит, вероятность того, что наудачу
2
4
брошенная в квадрат точка окажется в круге, равна
P=
Sкруга
Sквадрата
π 
  π
4
= = .
1
4