Алгебра 2 этап 4 тур

8 класс
!
1. Найти наименьшее четырехзначное число, сумма цифр которого равна 21.
13
14
15
2. Делится ли ; 7 + 7 + 7 на 19.
3. Сыну 2 года, отцу 28 лет. Сколько еще раз в течение их жизни сын будет младше
отца на целое число раз, если отец проживет ровно 100 лет?
4. Найти ; f (x) , если ; f ( x − 3) = 2 x .
5. В городе 10 улиц параллельные друг другу и 10 других пересекают их под прямым
углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый маршрут
проходящий через все перекрестки?
6. Доказать, что при любых действительных x, y имеет место неравенство
2
2
; x + 2 xy + 3 y + 2 x + 6 y + 4 ≥ 1 .
7. Можно ли разменять купюру в 50 рублей 15 монетами достоинством 1 и 5 рублей?
3
2
2
8. Разложить на множители ; x ( x − 7) − 36 x .
9. Четырьмя гирями продавец может взвесить любое целое число килограммов, от 1
до 40 включительно. Общая масса гирь равна 40 кг. Какими гирями располагает
продавец?
10. В некотором месяце три четверга пришлись на четные числа. Какой день недели
был 26-го числа этого месяца?
Ответы.
1.Если цифры в числе не могут повторяться,то наименьшее четырехзначное число- 1389.
Но так как в условии не сказано про повтор цифр в числе,то наименьшее четырехзначное
число -1299.
Ответ.1299
2.Преобразуем данное нам выражение в произведение :
7^13+7^14+7^15=7^13(1+7+7^2)=7^13*57=7^13*19*3
Это произведение делится на 19,так как один из множителей равен 19.
Значит,7^13+7^14+7^15 делится на 19.
Ответ.Да,делится.
3.Каждый раз, когда сын младше отца в целое число n раз, разность их возрастов тоже в
целое число раз больше. Следовательно, надо найти количество натуральных чисел,
больших 2, при которых число 26 делится на (n+2). 26 делится нацело на 1, 2, 13 и 26,
поэтому это случится ещё 2 раза ,когда сыну, соответственно, будет 13 и 26 лет.
Ответ.2 раза
!
4. Найти ; f (x) , если ; f ( x − 3) = 2 x
f(x-3)=2x
f(x-3)=2(x-3)+6
(Проверка:2(x-3)+6=2x-6+6=2x)
Так как,f(x-3)=2(x-3)+6,
то f(x)=2x+6.
Ответ.f(x)=2x+6.
5.Представим 10 улиц одного направления.После каждого поворота происходит переход с
горизонтальной улицы на вертикальную или наоборот,поэтому число вертикальных
звеньев замкнутого маршрута равно числу горизонтальных звеньев и равно половине
числа поворотов.Предположим,что замкнутый маршрут имеет меньше 20 поворотов,тогда
найдутся улицы ,по которым маршрут не проходит.Поэтому он не проходит через
перекрестки этих улиц.Таким образом,наименьшее число поворотов,которое может иметь
замкнутый маршрут,проходящий через все перекрестки,равно 20.
Ответ.20 поворотов.
6.
2
2
; x + 2 xy + 3 y + 2 x + 6 y + 4 ≥ 1
Перенесем единицу из правой части в левую и получим:
x^2+2xy+3y^2+2x+6y+4-1
x^2+2xy+3y^2+2x+6y+4-1
x^2+(2xy+2x)+(3y^2+6y+3)
x^2+2x(y+1)+3(y+1)^2
(x+y+1)^2+2(y+1)^2
Так как,суммы квадратов каких-либо чисел больше или равны 0,то ( x+y+1)^2+2(y+1)^2
больше или равно 0.
Отсюда следует,что при любых действительных x,y имеет место неравенство
2
2
; x + 2 xy + 3 y + 2 x + 6 y + 4 ≥ 1 ,что и требовалось доказать.
7.Пусть x монет по одному рублю,а (15-x) монет по пять рублей.Отсюда получаем
уравнение x+5(15-x)=50.Решим полученное уравнение.
x+75-5x=50
-4x=-25
4x=25
x=25:4
x=6,25
Так как по смыслу задачи x-целое число,то разменять 50 рублей с помощью 15 монет
достоинством 1 и 5 рублей нельзя.
Ответ.Нет,нельзя.
3
2
2
8. ; x ( x − 7) − 36 x
x^3(x^2-7)^2-36x=x(x^2*x^2-7^2-36)=x(x(x^2-7)-6)(x(x^2-7)+6)=x(x^3-7x-6)(x^3-7x+6)
1)x^3-7x-6=x^3-x-6x-6=(x^3-x)-(6x+6)=x(x-1)(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x^2-x-6)=(x+1)(x-3)(x+2)
x^2-x-6
a=1,b=-1,c=-6
D=b^2-4ac=1+24=25=5^2
x1=(1-5):2=-2
x2=(1+5):2=3
2)x^3-7x+6
x^3-x-6x+6=x(x^2-1)-6(x-1)=x(x-1)(x+1)-6(x-1)=(x-1)(x^2+x-6x+6)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)
(x-2)(x-3).
Таким образом ,x^3(x^2-7)^2-36x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)=x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)
(x-3)^2
Ответ.x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x-3)^2.
9.Представим четыре гири в виде:a,b,c,d.Тогда,
b-a=a+1;b=2a+1
c-(b+a)=b+a+1;c=6a+3
d-(c+b+a)=c+b+a+1;d=18a+9
a+b+c+d=40
a+2a+1+6a+3+18a+9=40
27a+13=40
27a=27
a=1
b=2*1+1=3
c=6*1+3=9
d=18*1+9=27
Отсюда получаем,что продавец располагает гирями массой 1 кг,3 кг,9 кг и 27 кг.
Ответ.1 кг,3 кг,9 кг,27 кг.
10.Четными числами в один и тот же день недели могут быть числа с интервалом в 14
дней(через каждые две недели).Значит ,количество дней в месяце не меньше 29 дней,но
так как 2-наименьшее четное число ,то получается в месяце должно быть не менее 30
дней.(То есть это все месяцы,кроме февраля)Получается,что четверг выпадает на
числа-2,26 и 30(2,2+14,2+14+14)
Следовательно,если 30 был четверг,то 26 число этого месяца было воскресенье.
Ответ.Воскресенье