Дима, Катя, Света и Миша уже несколько лет

Дима, Катя, Света и Миша уже несколько лет занимаются плаванием, и каждый из них
выиграл на соревнованиях несколько медалей. Известно, что число медалей Светы
составляет ровно четверть от числа медалей Димы, а число медалей Димы составляет
четыре трети от числа медалей Кати. Также известно, что у Кати ровно столько же
медалей, сколько у Светы и Миши вместе.
1a)
Если было бы известно, что у Димы всего 24 медали, то сколько медалей было бы в
таком случае у Миши?
1b)
Если было бы известно, что у ребёнка с наименьшим числом медалей всего
14 медалей, то сколько медалей было бы в таком случае у ребёнка с наибольшим
числом медалей?
1c)
Если было бы известно, что у четверых ребят всего 120 медалей, то сколько медалей
было бы в таком случае у Кати?
1d)
Если было бы известно, что у Димы и Кати вместе на 64 медали больше, чем у Миши и
Светы вместе, то сколько медалей было бы в таком случае у всех четверых вместе?
1e)
Если бы у каждого из них было на 5 медалей больше, чем сейчас, то число медалей у
всех четверых вместе было бы на пятую часть больше того числа медалей, которое у
них есть сейчас. Сколько медалей сейчас у Димы?
Чтобы по трассе добраться из точки 𝐴 в точку 𝐺, имеется всего два пути 𝐴𝐵𝐶𝐹𝐺 и
𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺. Известно, что длины участков пути 𝐴𝐵 и 𝐸𝐹 равны 33 км, длина 𝐵𝐶 равна 24 км,
длина 𝐶𝐹 равна 52,5 км, а длина 𝐷𝐸 равна 28 км. Также известно, что на участках пути
𝐴𝐵 и 𝐸𝐹 машина должна ехать на скорости 110 км/ч, на участках пути 𝐵𝐶 и 𝐹𝐺 на
скорости 90 км/ч, на участках пути 𝐶𝐹 и 𝐷𝐸 на скорости 70 км/ч, а на участке пути 𝐵𝐷 на
скорости 50 км/ч. При таких условиях на прохождение пути 𝐴𝐵𝐶𝐹𝐺 на машине уходит
ровно 1 час и 41 минута, а на прохождение пути 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺 уходит на 4 минуты меньше.
2a)
Найди длину участка пути 𝐹𝐺 (в километрах).
2b)
Найди длину участка пути 𝐵𝐷 (в километрах).
2c)
Найди наименьшее время (в минутах), за которое на машине возможно добраться из
точки 𝐴 в точку 𝐺, пройдя на пути все другие точки 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 и 𝐹.
TÜ Teaduskool
1
2d)
Проезжая из точки 𝐴 в точку 𝐺 по пути 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹𝐺, машина превысила разрешённую
скорость только на одном из пяти участков пути (на всех других участках пути она ехала
с указанной в условиях скоростью), причём превышение скорости не было больше
15 км/ч. Таким образом, машина проехала весь путь за 1 час и 33 минуты. Найди
скорость машины (в км/ч) на том участке пути, где была превышена скорость.
2e)
Проезжая из точки 𝐴 в точку 𝐺 по пути 𝐴𝐵𝐶𝐹𝐺, машина превысила разрешённую
скорость на трёх участках пути из четырёх. На этих участках пути машина превысила
скорость в каком-то порядке на 10 км/ч, на 20 км/ч и на 30 км/ч. Найди наименьшее
время (в минутах), за которое машина могла добраться из точки 𝐴 в точку 𝐺.
В этой задаче все данные равенства должны действовать при прочтении их слева
направо или сверху вниз.
В клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 (в каждую клетку
одно число) так, чтобы действовали все данные равенства. Найди сумму всех чисел,
которые нужно записать в пять клеток со знаком вопроса.
3a)
3b)
В клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 (в каждую клетку
одно число) так, чтобы действовали все данные равенства. Найди сумму всех чисел,
которые нужно записать в четыре клетки со знаком вопроса.
3c)
3e)
3d)
В этот раз в клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 (в каждую
клетку одно число) так, чтобы действовали все пять равенств. Для такой записи чисел
больше одной возможности. Сколько всего возможностей для такой записи чисел?
TÜ Teaduskool
2
Дима взял два шестигранных кубика. На грани первого кубика он записал шесть букв
𝐾, 𝑈, 𝑈, 𝐵, 𝐼 и 𝐾 (на каждую грань одну букву), а на грани второго кубика шесть букв
𝐹, 𝑂, 𝑂, 𝐾, 𝑈 и 𝑆 (на каждую грань одну букву). Значением каждой буквы он выбрал одно
натуральное число больше нуля так, чтобы одинаковым буквам соответствовали
одинаковые значения, а разным буквам – разные значения. Для обоих кубиков сумма
значений двух букв, записанных на противоположных гранях, была равна одному и тому
же числу 𝑋.
4a)
Найди значение суммы 𝐾 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾, если известно, что буквам 𝐹, 𝑂, 𝐾 и 𝑆
соответствуют в каком-то порядке числа 11, 12, 14 и 17.
4b)
Найди число 𝑋, если известно, что сумма значений семи различных букв 𝐾, 𝑈, 𝐵, 𝐼, 𝐹, 𝑂
и 𝑆 равна 2016.
4c)
Найди наибольшее возможное значение произведения 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑈 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐾, если известно,
что 𝐹 + 𝑂 + 𝑂 + 𝐾 + 𝑈 + 𝑆 = 36.
4d)
Найди наименьшее возможное значение произведения 𝐹 ∙ 𝑂 ∙ 𝑂 ∙ 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑆, если известно,
что 𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾 = 36.
4e)
Найди наибольшее возможное значение выражения 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑈 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐾 + 𝐹 ∙ 𝑂 ∙ 𝑂 ∙ 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑆,
если известно, что
(𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾) ∙ (𝐹 + 𝑂 + 𝑂 + 𝐾 + 𝑈 + 𝑆) = 3600.
На листке бумаги, поделённом на равные прямоугольники, нарисованы и заштрихованы
четыре фигуры 𝑁, 𝐴, 𝐵 и 𝐶.
Замечание. Все следующие задачи являются отдельными задачами.
5a)
Среди сторон восьмиугольника 𝐶 пять сторон имеют различную длину. Из этих пяти
сторон длины четырёх сторон равны 26 см, 32 см, 64 см и 78 см. Найди длину пятой
стороны (в сантиметрах).
5b)
Пусть периметр фигуры 𝑁 равен 26 см. Зная это, можно вычислить точный периметр
только одной из фигур 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Найди точный периметр этой фигуры (в сантиметрах).
5c)
Пусть периметр фигуры 𝑁 равен 26 см, а периметр фигуры 𝐴 равен 83 см. Найди
периметр фигуры 𝐵 (в сантиметрах).
5d)
Пусть периметр фигуры 𝐵 ровно в 3,5 раза больше периметра фигуры 𝑁. Во сколько раз
в таком случае периметр фигуры 𝐴 больше периметра фигуры 𝑁?
5e)
Пусть произведение периметров фигур 𝐴 и 𝑁 ровно в 3,2 раза меньше произведения
периметров фигур 𝐵 и 𝐶. Найди частное от деления длины наибольшей стороны фигуры
𝑁 на длину наименьшей стороны этой же фигуры 𝑁.
TÜ Teaduskool
3
У Димы есть робот, который оставляет на своём пути красный след.
Управляется этот робот при помощи пульта, на котором всего три
кнопки, изображённые на рисунке справа.
При нажатии на первую кнопку робот поворачивается направо под прямым углом. При
нажатии на кнопку с цифрой 1 робот делает один шаг прямо, а при нажатии на кнопку с
цифрой 2 робот делает два шага прямо.
Если, например, поставить робот в точку 𝐴 лицом на север, то
для того, чтобы он добрался в точку 𝐵 и оставил за собой
красный след, нужно, по крайней мере, 9 раз нажать на кнопки
пульта в следующем порядке:
Замечание. Длина одного шага робота равна длине стороны одной клетки.
6a)
Дима поставил робот в точку 𝐴 лицом на север. По крайней мере, сколько раз он должен
нажать на кнопки пульта, чтобы робот остановился на точке 𝐵 и на своём пути оставил
показанный на рисунке красный след?
6b)
Дима поставил робот в точку 𝐴. По крайней мере, сколько раз он должен нажать на
кнопки пульта, чтобы робот остановился на точке 𝐵 и чтобы он на своём пути не
проходил вдоль отрезков, обозначенных синим цветом?
По крайней мере, сколько раз Дима должен нажать на кнопки пульта, чтобы робот
нарисовал следующие картинки?
6c)
6e)
6d)
Дима поставил робот в точку 𝐴 и нажал на кнопки пульта ровно 99 раз. В результате
этого робот снова оказался на точке 𝐴, оставив за собой красный след в виде квадрата.
Какое наибольшее число клеток (длина стороны которых равна длине шага робота)
может оказаться внутри этого красного квадрата?
TÜ Teaduskool
4
7a)
7b)
7c)
7d)
7e)
Четыре друга Дима, Катя, Света и Миша завтра пойдут в школу. Они знают, что у одного
из них завтра будет 5 уроков, у другого 6 уроков, у третьего 7 уроков, а у четвёртого
будет 5, 6 или 7 уроков. Никто из них не знает, сколько уроков завтра будет у него
самого и у каждого из его друзей. Каждый из них делает два предположения.
Дима:
У Светы и Миши будет одинаковое количество уроков.
У Кати будет 5 уроков.
Катя:
У Димы будет не меньше 6 уроков.
У Миши будет 5 уроков.
Света:
У Димы и Кати будет разное число уроков.
У Миши и Димы будет разное число уроков.
Миша:
У Димы, Кати и Светы в каком-то порядке будет 5, 6 и 7 уроков.
У Светы будет 7 уроков.
Сначала предположим, что оба предположения у Димы и у Кати ложные, а оба
предположения у Светы и у Миши верные.
Сколько уроков в таком случае завтра будет у всех четверых друзей вместе?
Теперь предположим, что одно из предположений каждого из них оказалось верным, а
другое ложным.
Сколько уроков в таком случае завтра будет у Димы и Кати вместе?
Сколько уроков в таком случае завтра будет у Светы и Миши вместе?
В этот раз предположим, что только у Миши оба предположения оказались верными
(то есть среди предположений каждого из его друзей было хотя бы одно ложное).
Сколько в таком случае всего возможностей для того, чтобы ответить на вопрос, сколько
уроков будет завтра у каждого из них?
Наконец, предположим, что у каждого из них либо оба предположения оказались
верными, либо оба предположения оказались ложными.
Сколько в таком случае всего возможностей для того, чтобы ответить на вопрос, сколько
уроков будет завтра у каждого из них?
При помощи следующей таблицы с цифрами можно составлять числа, переходя с одной
клетки на другую только тогда, когда эти клетки имеют хотя бы одну общую точку (при
составлении одного числа можно каждую клетку проходить не более одного раза).
8a)
8b)
8c)
8d)
8e)
Например, начиная с крайней справа клетки с цифрой 1, можно составить девять
различных трёхзначных чисел: 100, 101, 102, 106, 120, 122, 126, 160 и 162.
Сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить, начиная с крайней
слева клетки с цифрой 2?
Сколько всего различных возможностей для составления числа 2016?
Катя составила наибольшее возможное 9-значное число и вычла из него наименьшее
возможное 9-значное число, которое ей удалось составить. Какой ответ получила Катя?
Дима составил 9-значное число, сумма цифр которого была наибольшей возможной.
Найди сумму цифр составленного числа.
Какое наибольшее количество различных четырёхзначных чисел можно составить?
TÜ Teaduskool
5