Дима, Катя, Света и Миша уже несколько лет

Дима, Катя, Света и Миша уже несколько лет занимаются плаванием, и каждый из них
выиграл на соревнованиях несколько медалей. Известно, что у Миши медалей в 2 раза
меньше, чем у Димы, и в 3 раза больше, чем у Светы. Также известно, что у Кати ровно
столько же медалей, сколько у Светы и Миши вместе.
1a)
Если было бы известно, что у Светы всего 6 медалей, то сколько медалей было бы в
таком случае у Кати?
1b)
Если было бы известно, что у ребёнка с наибольшим числом медалей всего 66 медалей,
то сколько медалей было бы в таком случае у ребёнка с наименьшим числом медалей?
1c)
Если было бы известно, что у Димы на 16 медалей больше, чем у Кати, то сколько
медалей было бы в таком случае у Кати?
1d)
Если было бы известно, что у четверых ребят всего 126 медалей, то сколько медалей
было бы в таком случае у Миши?
1e)
Если было бы известно, что у Димы на 26 медалей меньше, чем у других трёх ребят
вместе, то сколько медалей было бы в таком случае у Димы?
Чтобы по трассе добраться из точки 𝐴 в точку 𝐹, имеется всего два пути 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹 и
𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹. Известно, что длина участка пути 𝐴𝐵 равна 30 км, длина 𝐵𝐶 равна 10 км, длина
𝐵𝐷 равна 20 км, а длина 𝐷𝐸 равна 15 км. Также известно, что на участках пути 𝐴𝐵 и 𝐷𝐸
машина должна ехать на скорости 90 км/ч, на участках пути 𝐶𝐸 и 𝐸𝐹 на скорости 70 км/ч,
а на участках пути 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 на скорости 50 км/ч. При таких условиях на прохождение
пути 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹 на машине уходит ровно 1 час и 26 минут, а на прохождение пути 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹
уходит на 2 минуты меньше.
2a)
Найди длину участка пути 𝐸𝐹 (в километрах).
2b)
Найди длину участка пути 𝐶𝐸 (в километрах).
2c)
Найди наименьшее время (в минутах), за которое на машине возможно добраться из
точки 𝐴 в точку 𝐹, пройдя на пути все другие точки 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸.
TÜ Teaduskool
1
2d)
Проезжая из точки 𝐴 в точку 𝐹 по пути 𝐴𝐵𝐶𝐸𝐹, машина превысила разрешённую
скорость только на участке пути 𝐵𝐶 (на всех других участках пути она ехала с указанной
в условиях скоростью), и проехала весь путь за 1 час и 22 минуты. Найди скорость
машины (в км/ч) на участке пути 𝐵𝐶.
2e)
Машина ехала из точки 𝐴 в точку 𝐹. Она проехала четыре участка пути и только на
одном из них она превысила разрешённую скорость на 10 км/ч (на других трёх участках
пути она ехала с указанной в условиях скоростью). Найди наименьшее время
(в минутах), за которое машина могла добраться из точки 𝐴 в точку 𝐹.
В этой задаче все данные равенства должны действовать при прочтении их слева
направо или сверху вниз.
В клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 (в каждую клетку одно
число) так, чтобы действовали все данные равенства. Найди сумму всех чисел, которые
нужно записать в четыре клетки со знаком вопроса.
3a)
3b)
Теперь в клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 (в каждую клетку
одно число) так, чтобы действовали все данные равенства. Найди сумму всех чисел,
которые нужно записать в пять клеток со знаком вопроса.
3c)
3e)
3d)
В этот раз в клетки нужно записать различные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 (в каждую
клетку одно число) так, чтобы действовали все пять равенств. Для такой записи чисел
больше одной возможности. Найди наибольшую возможную сумму всех чисел, которые
нужно записать в четыре клетки со знаком вопроса.
TÜ Teaduskool
2
Дима взял кубик и записал на его грани шесть букв 𝐾, 𝑈, 𝑈, 𝐵, 𝐼 и 𝐾 (на каждую грань
одну букву). Значением каждой буквы он выбрал одно натуральное число больше нуля
так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые значения, а разным буквам
– разные значения, и чтобы сумма значений двух букв, записанных на противоположных
гранях, была всегда равна одному и тому же числу.
4a)
Найди значение суммы 𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾, если известно, что буквам 𝐾, 𝑈, 𝐵 и 𝐼
соответствуют в каком-то порядке числа 10, 20, 30 и 40.
4b)
Найди наибольшее возможное значение буквы 𝐾, если известно, что значения букв
𝑈, 𝐵 и 𝐼 равны в каком-то порядке 15, 51 и 55.
4c)
Найди значение суммы 𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾, если известно, что
𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑈 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐾 = 1008.
4d)
Найди наибольшее возможное значение произведения 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑈 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐾, если известно,
что 𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾 = 30.
4e)
Найди наименьшее возможное значение произведения 𝐾 ∙ 𝑈 ∙ 𝑈 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐾, если известно,
что 𝐾 + 𝑈 + 𝑈 + 𝐵 + 𝐼 + 𝐾 = 51.
На листке бумаги, поделённом на равные прямоугольники, нарисованы и заштрихованы
четыре фигуры 𝑁, 𝐴, 𝐵 и 𝐶.
Замечание. Все следующие задачи являются отдельными задачами.
5a)
Среди сторон восьмиугольника 𝐴 четыре стороны имеют различную длину. Из этих
четырёх сторон длины трёх наибольших сторон равны 27 см, 39 см и 81 см. Найди
длину наименьшей стороны среди этих четырёх сторон (в сантиметрах).
5b)
Пусть периметр фигуры 𝑁 равен 9 см. Зная это, можно вычислить точный периметр
только одной из фигур 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Найди точный периметр этой фигуры (в сантиметрах).
5c)
Пусть периметр фигуры 𝑁 равен 20 см, а периметр фигуры 𝐴 равен 66 см. Найди
периметр фигуры 𝐶 (в сантиметрах).
5d)
Пусть периметры обеих фигур 𝐴 и 𝐶 равны 80 см. Найди периметр фигуры 𝐵
(в сантиметрах).
5e)
Пусть периметр фигуры 𝐴 на 8 см больше периметра фигуры 𝐵 и на 2 см меньше
периметра фигуры 𝐶. Найди периметр фигуры 𝑁 (в сантиметрах).
TÜ Teaduskool
3
У Димы есть робот, который оставляет на своём пути красный след.
Управляется этот робот при помощи пульта, на котором всего три
кнопки, изображённые на рисунке справа.
При нажатии на первую кнопку робот поворачивается налево под прямым углом. При
нажатии на кнопку с цифрой 1 робот делает один шаг прямо, а при нажатии на кнопку с
цифрой 2 робот делает два шага прямо.
Если, например, поставить робот в точку 𝐴 лицом на юг, то для
того, чтобы он добрался в точку 𝐵 и оставил за собой красный
след, нужно, по крайней мере, 9 раз нажать на кнопки пульта в
следующем порядке:
Замечание. Длина одного шага робота равна длине стороны одной клетки.
6a)
Дима поставил робот в точку 𝐴 лицом на север. По крайней мере, сколько раз он должен
нажать на кнопки пульта, чтобы робот остановился на точке 𝐵 и на своём пути оставил
показанный на рисунке красный след?
6b)
Дима поставил робот в точку 𝐴. По крайней мере, сколько раз он должен нажать на
кнопки пульта, чтобы робот остановился на точке 𝐵 и чтобы он на своём пути не
проходил вдоль отрезков, обозначенных синим цветом?
По крайней мере, сколько раз Дима должен нажать на кнопки пульта, чтобы робот
нарисовал следующие картинки?
6c)
6e)
6d)
Дима поставил робот в точку 𝐴 и нажал на кнопки пульта ровно 15 раз. В результате
этого робот снова оказался на точке 𝐴, оставив за собой красный след в виде квадрата.
Какое наибольшее число клеток (длины сторон которых равны длине шага робота)
может оказаться внутри этого красного квадрата?
TÜ Teaduskool
4
Три друга Дима, Катя и Миша завтра пойдут в школу. Они знают, что у одного из них
завтра будет 5 уроков, у другого 6 уроков, а у третьего 7 уроков. Никто из них не знает,
сколько уроков завтра будет у него самого и у каждого из его друзей. Каждый из них
делает два предположения.
Дима:
У Кати будет 5 уроков.
У Миши не будет 7 уроков.
Катя:
У Димы будет больше уроков, чем у Миши.
У Миши будет 5 или 6 уроков.
Миша:
У Кати не будет 7 уроков.
У Димы будет 5 уроков.
7a)
Сначала предположим, что одно из предположений каждого из них оказалось верным,
а другое ложным. Сколько уроков в таком случае завтра будет у Кати?
7b)
Теперь предположим, что у каждого из них либо оба предположения оказались
верными, либо оба предположения оказались ложными. Сколько уроков в таком случае
завтра будет у Димы?
7c)
В этот раз предположим, что у одного из них оба предположения оказались верными,
у другого оба предположения оказались ложными, и у третьего одно из предположений
оказалось верным, а другое ложным. Сколько уроков в таком случае завтра будет
у Миши?
7d)
Теперь предположим, что ровно одно из шести предположений оказалось ложным.
Сколько уроков в таком случае завтра будет у Димы?
7e)
Наконец, предположим, что ровно два из шести предположений оказались верными.
Сколько уроков в таком случае завтра будет у Кати?
При помощи следующей таблицы с цифрами можно составлять числа, переходя с одной
клетки на другую только тогда, когда эти клетки имеют хотя бы одну общую точку
(при составлении одного числа можно каждую клетку проходить не более одного раза).
Например, начиная с крайней слева клетки с цифрой 6, можно составить десять
различных трёхзначных чисел: 601, 602, 606, 610, 612, 616, 660, 661, 662 и 666.
8a)
Сколько всего различных трёхзначных чисел можно составить, начиная с крайней снизу
клетки с цифрой 1?
8b)
Сколько всего различных возможностей для составления числа 2016?
8c)
Сколько всего различных четырёхзначных чисел можно составить, начиная с крайней
сверху клетки с цифрой 2?
8d)
Какое наибольшее количество различных трёхзначных чисел можно составить, начиная
с одной и той же выбранной клетки?
8e)
Катя составила наибольшее возможное 8-значное число и вычла из него наименьшее
возможное 8-значное число, которое ей удалось составить. Какой ответ получила Катя?
TÜ Teaduskool
5