Задача 1. Всего у выступающих на арене цирка 10 голов и 32

Задачи группы Евклида для учеников 3 – 5 классов.
Срок представления решений первого тура 15 ноября 2011 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1. Всего у выступающих на арене цирка 10 голов и 32 ноги. Сколько львов может
быть на арене цирка, если там
a) только дрессировщики и львы;
b) только дрессировщики, львы и ядовитые змеи.
Задача 2. Когда в кафе справляют праздники, то из столов квадратной формы всегда
составляют длинный праздничный стол. На рисунке изображён праздничный стол,
составленный из четырёх столов.
За одной стороной одного стола квадратной формы может разместиться только один
человек.
a) В кафе всего 15 столов. Найди наибольшее количество людей, которые могут
разместиться за длинным праздничным столом, составленным из всех имеющихся столов?
b) На день рождения Кати в кафе обещали придти 15 её одноклассников. Из скольких
столов квадратной формы достаточно составить длинный праздничный стол?
Задача 3. Катя заметила, что в этом (невисокосном) году день её рождения выпал на
234-ый день года. А Дима обнаружил, что в этом году до его дня рождения и после его дня
рождения одинаковое количество дней. Какого числа какого месяца
a) день рождения у Кати?
b) день рождения у Димы?
Задача 4. У Кати любимое число 5, поэтому она называет число красивым, если сумма его
цифр равна 5. Например, число 1022 для неё красивое, а число 1234 некрасивое.
а) Сколько всего двузначных чисел, которые для Кати являются красивыми?
b) А сколько всего трёхзначных чисел, которые Катя назовёт некрасивыми?
Задача 5. Дима в строчку в каком-то порядке записывал пять цифр 1, 2, 3, 4 и 5, а затем
между некоторыми цифрами ставил знак сложения „+“. Например, однажды у него
получилась сумма 21+34+5, которая равна числу 60.
а) При записи данных цифр в каком-то порядке Дима составил сумму, которая оказалась
равна числу 150. Составь такую же сумму.
b) При записи данных цифр в каком-то порядке Дима составил сумму из двух слагаемых,
которая оказалась равна наибольшему возможному числу. Найди это число.
Задача 6. У Димы в руках показанный на рисунке круг с числами от 1 до 11, в центре
которого закреплены 2 поворачивающиеся стрелки, а у Кати такой же круг с числами, но с
тремя стрелками.
a) Сможет ли Дима расположить между числами стрелки так, чтобы они поделили круг на
две части, суммы чисел в которых были бы равны между собой?
b) А сможет ли Катя расположить между числами стрелки так, чтобы они поделили круг на
три части, суммы чисел в которых были бы равны между собой?
Если сможет, то покажи расположение стрелок и сосчитай сумму чисел в каждой части
круга. А если не сможет, то объясни, почему не сможет.
Задача 7. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, длина которого равна 6
единицам, а ширина равна 5 единицам. Длина одной единицы равна 5 мм.
Внутри этого прямоугольника Катя нарисовала дробную линию так, чтобы она начиналась
в середине левой верхней клетки, заканчивалась в середине правой нижней клетки и
проходила через середину всех других клеток (см рисунок).
a) Найди длину дробной линии, которую нарисовала Катя.
b) Дима нарисовал точно также дробную линию внутри прямоугольника, длина которого
равна 16 единицам, а ширина равна 15 единицам. Найди длину дробной линии, которую
нарисовал Дима.
Задача 8. На прямой линии обозначены шесть точек. Между двумя ближайшими точками
записаны расстояния между ними.
a)
b)
Найди количество различной длины отрезков, крайними точками которых являются
обозначенные точки.
Задача 9. Длина стороны самого маленького из изображённых на рисунке квадратов равна 1.
a) Сколько квадратов с разными длинами сторон можно найти на рисунке? Запиши длины
сторон найденных различных квадратов.
b) Сколько всего квадратов изображено на рисунке? Например, на рисунке
квадратов.
всего 5
Задача 10. Из двух красных (К), двух жёлтых (Ж) и двух зелёных (З)
кубиков Катя на столе построила показанную на рисунке справа башню.
Затем она стала поднимать эти же кубики и строить новую башню.
За один раз она брала один кубик, на который сверху не опирался ни один
другой кубик, и ставила его так, чтобы он целиком опирался на
поверхность стола или на другие кубики.
По крайней мере, сколько раз Катя должна поднять кубики, чтобы из уже построенной
башни получить следующую башню?
a)
b)
Задача 11. На рисунке изображены первые четыре числовые таблицы, которые заполнены
числами по некоторой закономерности.
a) Нарисуй следующую, пятую по счёту числовую таблицу по той же закономерности.
b) Найди наибольшее число, которое должно быть записано в десятой по счёту числовой
таблице. В каком ряду сверху и в каком столбце слева оно будет находиться?
Задача 12. У Димы в кошельке ровно 20 монет, из которых 10 монет по 2 цента каждая и
10 монет по 5 центов каждая.
a) Может ли Дима имеющимися у него монетами заплатить за мороженое, которое стоит 59
центов так, чтобы продавцу не нужно было бы давать сдачу?
Если может, то покажи, как он может это сделать. А если не может, то объясни, почему не
может.
b) При оплате каких денежных сумм от 1 цента до 70 центов продавцу в любом случае
придётся отдать Диме сдачу? Поясни ответ.