pdf 386 Kb

kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
iGUDESMAN k b
.
.
zada~i po analiti~eskoj geometrii.
~astx 1.
u^EBNOE POSOBIE K KURSU aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ
kAZANX
| 2003
pE^ATAETSQ PO REENI@ U^EBNO METODI^ESKOJ KOMISSII MEHANIKO
MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
-
iGUDESMAN k.b. zADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII ~ASTX
.
kAZANX
, 2003. 63
1.
S
.
rECENZENT DOKTOR FIZ MAT NAUK {URYGIN w w
:
-
.-
.
.
.
u^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW KURSA MEHANIKO
MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
I
-
pREDISLOWIE
w NASTOQ]EM pOSOBII PODOBRANY I METODI^ESKI RASPREDELENY
ZADA^I PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII
w NA^ALE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY FORMULY OPREDELENIQ I
DRUGIE KRATKIE POQSNENIQ TEORII NEOBHODIMYE DLQ REENIQ POSLE
DU@]IH ZADA^
w KONCE KAVDOGO PARAGRAFA PRIWEDENY POSLE ^ERTY ZADA^I DLQ
POWTORENIQ |TA OSOBENNOSTX POMOVET PREPODAWATEL@ W PODBORE ZA
DA^ DLQ RABOTY W KLASSE I DLQ DOMANIH ZADANIJ ILI DLQ POWTORE
NIJ PERED KONTROLXNYMI RABOTAMI
"
"
.
,
,
-
.
(
.
)
-
-
.
3
1
wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
wEKTOROM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQ PARA TO^EK T E PARA TO^EK
WZQTYH W OPREDELENNOM PORQDKE pERWAQ TO^KA NAZYWAETSQ NA^ALOM
WEKTORA WTORAQ EGO KONCOM eSLI OBE TO^KI SOWPADA@T TO WEKTOR
NAZYWAETSQ NULEWYM
;!
mODULEM WEKTORA AB NE RAWNOGO NUL@ NAZYWAETSQ DLINA OTREZKA
AB mODULX NULX WEKTORA RAWEN NUL@ PO OPREDELENI@ eSLI MODULX
WEKTORA RAWEN TO WEKTOR NAZYWAETSQ EDINI^NYM
;;!
dWA NENULEWYH WEKTORA ;!
AB I CD NAZYWA@TSQ RAWNYMI ESLI ONI
KOLLINEARNY NAPRAWLENY W ODNU STORONU I IH MODULI RAWNY
sUMMOJ a b WEKTOROW a I b NAZYWAETSQ WEKTOR KOTORYJ STROIT
SQ TAK OT PROIZWOLXNOJ TO^KI O OTKLADYWA@T WEKTOR a OT KONCA
OTLOVENNOGO WEKTORA a OTKLADYWA@T WEKTOR b tO^KA O BUDET NA
^ALOM WEKTORA a b A KONEC WEKTORA b KONCOM WEKTORA a b
wEKTOROM ;a PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU a 6 0 NAZYWAETSQ WEK
TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a IME@]IJ TOT VE MODULX I NAPRAW
LENNYJ W STORONU PROTIWOPOLOVNU@ a eSLI a 0 TO ;a 0
sWOJSTWA SLOVENIQ
a b c a b c ASSOCIATIWNOSTX
,
.
.
,
.
,
.
,
.
,
.
-
.
1,
.
,
,
.
+
,
-
:
,
.
+
-
,
+
,
=
,
.
,
-
,
-
,
.
=
,
=
.
:
+ (
+
) = (
+
) +
(
)
a 0 a
a ;a 0
a b b a KOMMUTATIWNOSTX
pROIZWEDENIEM a ^ISLA 6 NA WEKTOR a 6 0 NAZYWAETSQ WEK
TOR KOLLINEARNYJ WEKTORU a MODULX KOTOROGO RAWEN j j jaj I KO
TORYJ NAPRAWLEN W TU VE STORONU ^TO I WEKTOR a ESLI > I W
PROTIWOPOLOVNU@ STORONU ESLI < eSLI
ILI a 0 TO
a 0
+
=
+ (
+
) =
=
+
(
).
= 0
,
=
,
-
,
,
=
-
,
0.
.
4
= 0
0,
=
,
sWOJSTWA UMNOVENIQ WEKTORA NA ^ISLO
a a
a
a
a b a b
a a a:
:
1
=
(
(
(
) = (
+
+
)
) =
+
=
+
)
zada~i
;;!
1. wEKTORY ;!
AC a I BD b SLUVAT DIAGONALQMI PARALLELO
;! ;;!
GRAMMA ABCD wYRAZITX ^EREZ WEKTORY a I b WEKTORY ;!
AB BC CD
I ;!
DA QWLQ@]IESQ STORONAMI \TOGO PARALLELOGRAMMA
2. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA MEDIANA AD wYRAZITX WEKTOR
;!
;! ;!
AD ^EREZ WEKTORY AB I AC
3. tO^KI E I P SLUVAT SEREDINAMI STORON
AB I CD ^ETYREH
;
;
!
;
;
!
;!
UGOLXNIKA ABCD dOKAZATX ^TO EP B C +2 AD : wYWESTI OTS@DA
TEOREMU O SREDNEJ LINII TRAPECII
4. dOKAZATX ^TO SUMMA WEKTOROW IDU]IH IZ CENTRA PRAWILXNOGO
MNOGOUGOLXNIKA K EGO WERINAM RAWNA
5. w TREUGOLXNIKE NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEKTOROW
IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM TREUGOLXNIKA BYLA RAWNA
;!
6. iZ TO^KI O WYHODQT DWA WEKTORA ;!
OA a OB b nAJTI
;!
KAKOJ NIBUDX WEKTOR ;
OM IDU]IJ PO BISSEKTRISE UGLA AOB
7. nA TREH NEKOMPLANARNYH WEKTORAH
;!
;!
;;!
AB p AD q AA0 r
POSTROEN PARALLELEPIPED ABCDA0B 0 C 0 D0 wYRAZITX ^EREZ p q I
r WEKTORY SOWPADA@]IE S REBRAMI DIAGONALX@ PARALLELEPIPEDA I
DIAGONALQMI GRANEJ \TOGO PARALLELEPIPEDA DLQ KOTORYH WERINA
A0 SLUVIT NA^ALOM
;!
;!
8. dAN TETRA\DR OABC pOLAGAQ ;!
OA a OB b OC
;! ;!
c WYRAZITX ^EREZ a b I c WEKTORY ;;!
M N P Q I RS GDE M P
=
=
-
.
,
.
.
.
-
.
,
=
.
,
,
,
0.
,
,
,
=
-
0.
=
,
.
.
=
=
=
.
,
,
,
.
.
=
=
,
5
=
I R SEREDINY REBER OA OB I OC A N Q I S
SOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYH REBER
|
,
|
SEREDINY
.
||||||||||||||{
9. tO^KI K I L SLUVAT SEREDINAMI STORON BC I CD PARALLELO
;!
;!
GRAMMA ABCD pOLAGAQ ;
AK k I AL l WYRAZITX ^EREZ WEKTORY
;;!
k I l WEKTORY ;!
BC I CD
10. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF
;! ;!
nAJTI SUMMU WEKTOROW ;!
AD BE CF
;!
11. wEKTORY ;!
AB p I AF q SLUVAT DWUMQ SMEVNYMI STO
RONAMI PRAWILXNOGO ESTIUGOLXNIKA ABCDEF wYRAZITX ^EREZ p
;;! ;;! ;!
I q WEKTORY ;!
BC CD DE EF IDU]IE PO STORONAM \TOGO ESTI
UGOLXNIKA
12. dOKAZATX ^TO WEKTOR IDU]IJ IZ PROIZWOLXNOJ TO^KI PLOS
KOSTI W CENTR PRAWILXNOGO MNOGOUGOLXNIKA ESTX SREDNEE ARIFMETI
^ESKOE WEKTOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM MNOGOUGOLXNIKA
13. w PARALLELOGRAMME NAJTI TAKU@ TO^KU ^TOBY SUMMA WEK
TOROW IDU]IH IZ \TOJ TO^KI K WERINAM PARALLELOGRAMMA BYLA
RAWNA 0
14. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENA BISSEKTRISA AD UGLA A
;! ;!
wYRAZITX WEKTOR ;!
AD ^EREZ WEKTORY AB I AC
15. w TETRA\DRE ABCD DANY REBRA WYHODQ]IE IZ WERINY A
;!
;!
;!
AB b AC c AD d:
wYRAZITX ^EREZ \TI WEKTORY OSTALXNYE REBRA TETRA\DRA MEDIANU
;;!
;!
DM GRANI BCD I WEKTOR AQ GDE Q CENTR TQVESTI GRANI BCD
16. w ^ETYREHUGOLXNIKE ABCD PLOSKOM ILI PROSTRANSTWEN
;!
;;!
;!
NOM POLOVIM ;!
AB m BC n CD p DA q: nAJTI WEKTOR
;!
EF SOEDINQ@]IJ SEREDINY DIAGONALEJ AC I BD
;! ;!
17. nA WEKTORAH ;!
OA OB I OC POSTROEN PARALLELEPIPED dOKA
ZATX ^TO DIAGONALX OD PROHODIT ^EREZ CENTR TQVESTI E TREUGOLX
-
.
=
=
,
.
.
+
+
=
.
=
-
.
-
.
,
,
-
,
-
,
.
,
-
,
,
.
.
.
,
=
=
:
=
,
,
)
=
=
|
.
(
-
=
,
=
.
,
.
,
-
-
6
NIKA ABC
2
.
rADIUS-WEKTOR
;;!
rADIUSOM-WEKTOROM r TO^KI M NAZYWAETSQ WEKTOR OM GDE O
FIKSIROWANNAQ TO^KA
,
|
.
zada~i
18. dANY RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH
WERIN A B I C PARALLELOGRAMMA nAJTI RADIUS WEKTOR ^ETWERTOJ
WERINY D
19. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 WERIN TREUGOLXNIKA NAJTI
RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ EGO MEDIAN
20. dANY TRI POSLEDOWATELXNYE WERINY TRAPECII A r1 B r2
I C r3 nAJTI RADIUSY WEKTORY r4 ^ETWERTOJ WERINY D r0 TO^
KI PERESE^ENIQ DIAGONALEJ I r00 TO^KI PERESE^ENIQ BOKOWYH STORON
ZNAQ ^TO OSNOWANIE AD W RAZ BOLXE OSNOWANIQ BC
21. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO
LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W
NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ I PRQMYE
SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO
LOVNYH GRANEJ
-
.
-
.
-
,
-
.
(
(
).
-
:
)
,
(
)
,
,
.
,
,
-
,
.
,
,
-
.
||||||||||||||{
22. zNAQ RADIUSY WEKTORY r1 r2 r3 TREH POSLEDOWATELXNYH WER
IN PARALLELOGRAMMA NAJTI RADIUS WEKTOR r TO^KI PERESE^ENIQ
DIAGONALEJ PARALLELOGRAMMA
23. zNAQ RADIUSY WEKTORY rA rB rD I rA ^ETYREH WERIN
PARALLELEPIPEDA ABCDA0B 0 C 0 D0 NAJTI RADIUSY WEKTORY ^ETYREH
OSTALXNYH EGO WERIN
;!
;!
24. rADIUSY WEKTORY ;!
OA r1 OB r2 I OC r3 SLUVAT
-
-
,
-
.
-
0
,
-
.
-
=
=
7
=
REBRAMI PARALLELEPIPEDA nAJTI RADIUS WEKTOR TO^KI PERESE^ENIQ
DIAGONALI PARALLELEPIPEDA WYHODQ]EJ IZ WERINY O S PLOSKOS
TX@ PROHODQ]EJ ^EREZ WERINY A B I C
.
-
,
,
,
3
-
.
kOORDINATY WEKTOROW
lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW a1 a2 : : : ak S KO\FFICIENTAMI
1 2 : : : k NAZYWAETSQ WEKTOR
1a
1+
2a
2 + ::: +
ka
k:
lINEJNAQ KOMBINACIQ WSE KO\FFICIENTY KOTOROJ RAWNY NUL@ 1
2 :::
k
NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ
wEKTORY a1 a2 : : : ak NAZYWA@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI ESLI
SU]ESTWUET NETRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \TIH WEKTOROW RAW
NAQ NUL@
1a
2a : : :
ka
1
2
k 0:
eSLI VE RAWNA NUL@ TOLXKO TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK
TOROW a1 a2 : : : ak \TI WEKTORY NAZYWA@TSQ LINEJNO NEZAWISIMYMI
uPORQDO^ENNAQ PARA e1 e2 NEKOLLINEARNYH WEKTOROW NAZYWAETSQ
BAZISOM NA PLOSKOSTI
kOORDINATAMI WEKTORA a PO OTNOENI@ K BAZISU e1 e2 NAZY
WA@TSQ ^ISLA X Y TAKIE ^TO a X e1 Y e2:
dWA WEKTORA a fX Y g b fX 0 Y 0g RAWNY TOGDA I TOLXKO
TOGDA KOGDA RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE KOORDINATY X X 0 Y
,
=
=
:
= 0,
=
.
,
-
:
+
+
+
=
-
,
.
.
-
,
,
=
=
+
=
,
:
=
=
Y 0:
nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOLLINEARNOSTI DWUH WEK
TOROW a fX Y g 6 0 b fX 0 Y 0g 6 0 QWLQETSQ PROPORCIONALX
NOSTX IH SOOTWETSTWU@]IH KOORDINAT X 0 X Y 0 Y:
-
=
=
=
=
:
8
=
=
-
eSLI a fX Y g b fX 0 Y 0g TO
a b fX X 0 Y Y 0g
a ; b fX ; X 0 Y ; Y 0g
a f X Y g:
uPORQDO^ENNAQ TROJKA e1 e2 e3 NEKOMPLANARNYH WEKTOROW NAZY
WAETSQ BAZISOM W PROSTRANSTWE
rAWENSTWO KOLLINEARNOSTX PROIZWEDENIE WEKTORA NA ^ISLO SUM
MA WEKTOROW W PROSTRANSTWE OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO PLOSKOSTI S
TOJ LIX RAZNICEJ ^TO W PROSTRANSTWE WEKTOR IMEET NE DWE A TRI
KOORDINATY a fX Y Z g
=
=
,
+
=
+
+
=
=
-
.
,
,
,
-
,
,
,
=
.
Z
e3
e1
e2
a
a
Y
e2
Y
X
e1
X
rIS
nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM KOMPLANARNOSTI TREH WEK
TOROW a fX Y Z g b fX 0 Y 0 Z 0 g c fX 00 Y 00 Z 00 g QWLQETSQ
RAWENSTWO
. 1.
-
=
=
=
X Y Z
X0 Y 0 Z0
X 00 Y 00 Z 00
:
= 0
zada~i
25. dANY TRI WEKTORA a f g b f; g c f ; g:
nAJTI WEKTORY a b ; c a b c
26. pREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW a
I b W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW
=
1) 2
+ 3
2
5 2)
4
=
+ 24
+ 14 .
:
9
3
1
=
5
2
a f ; g b f g c f ; g
a f g b f; g c f g
a f; g b f g c f ; g:
27. uSTANOWITX W KAKIH IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TROJKI WEK
TOROW a b I c BUDUT LINEJNO ZAWISIMY I W TOM SLU^AE KOGDA \TO
WOZMOVNO PREDSTAWITX WEKTOR c KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTO
ROW a I b
a f g b f; g c f; ; g
a f g b f; g c f; g
a f ; g b f; ; g c f g
28. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU
AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETYRE
;!
;;!
RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA BAZIS WEKTORY ;
DE e1 I F M e2
;!
NAJTI KOORDINATY WEKTORA ;
AK
1)
=
4
2)
=
5
3)
=
2
=
4
6
=
2
=
3
5
=
1
7 3
0
=
19
4
7
=
9
8 3
,
-
,
,
,
-
:
1)
=
5
2
1
=
1
4
2
=
1
2)
=
6
4
2
=
9
6
3
=
3
3)
=
6
18
12
=
8
24
16
1
6 6
3 =
8
7
3 .
.
,
.
=
=
,
.
||||||||||||||{
29. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c f g:
pODOBRATX ^ISLA I TAK ^TOBY TRI WEKTORA a b I c SOSTAWILI
TREUGOLXNIK ESLI NA^ALO WEKTORA b SOWMESTITX S KONCOM WEKTORA a
A NA^ALO WEKTORA c S KONCOM WEKTORA b
30. dANY TRI WEKTORA a f g b f g c
f; ; g: nAJTI WEKTORY a ; b c a b c
31. pREDSTAWITX WEKTOR d KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ WEKTOROW
a b I c W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW
a f g b f g c f ; g d f ; g
a f ; g b f ; g c f; g d f ; g
a f g b f ; g c f g d f g
32. pOKAZATX ^TO KAKOWY BY NI BYLI TRI WEKTORA a b I c I TRI
^ISLA WEKTORY a ; b b ; c c ; a KOMPLANARNY
33. dANY ^ETYRE WEKTORA a f g b f ; ; g c
=
5
3
=
2
0
=
4
2
,
,
,
.
=
6
1
1
5
1) 3
7
2
2
+
=
2) 5
3
0
+6
4
=
+ 4 .
:
1)
=
2
2)
=
5
3)
=
3
3
1
2
5
=
0
=
6
=
5
0
2
7
0
3
7
=
3
4
=
1
=
2
6
12
4
0
0
=
4
12
1
=
25
6
=
0
3 22
20
16 18 .
,
,
.
=
10
1
5
3
=
6
4
2
=
f ; g d f; ; g: pODOBRATX ^ISLA I TAK
^TOBY WEKTORY a b c I d OBRAZOWYWALI ZAMKNUTU@ LOMANU@
LINI@ ESLI NA^ALO KAVDOGO POSLEDU@]EGO WEKTORA SOWMESTITX S
KONCOM PREDYDU]EGO
34. dOKAZATX ^TO STORONY AB I DC ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD
PARALLELXNY TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA OTREZOK MN SOEDINQ@
]IJ SEREDINY IH STORON PROHODIT ^EREZ TO^KU O PERESE^ENIQ DIA
GONALEJ
0
5
7
=
20
27
35
,
,
.
,
,
,
-
,
-
.
4
aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I
W PROSTRANSTWE
aFFINNYM REPEROM NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2g
SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI
kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2g NAZYWA
@TSQ KOORDINATY fX Y g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELXNO WEK
TORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI
tAKIM OBRAZOM rA X e1 Y e2: ~TOBY OTLI^ATX W KOORDINAT
NOJ ZAPISI TO^KI OT WEKTOROW KOORDINATY TO^EK BUDEM ZAKL@^ATX
W KRUGLYE SKOBKI A X Y
eSLI A X Y B X 0 Y 0 TO ;!
AB fX 0 ; X Y 0 ; Y g:
aFFINNYM REPEROM W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NABOR
fO e1 e2 e3g SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g
PROSTRANSTWA
kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2 e3g NA
ZYWA@TSQ KOORDINATY fX Y Z g EE RADIUSA WEKTORA rA OTNOSITELX
NO WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA
eSLI A X Y Z B X 0 Y 0 Z 0 TO ;!
AB fX 0 ;X Y 0 ;Y Z 0 ;Z g:
,
.
-
-
-
.
,
=
+
-
,
:
(
(
)
).
(
),
=
,
.
-
-
-
.
(
)
(
),
11
=
zada~i
35. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK ABCDEF nAJTI KOORDI
NATY EGO WERIN PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT WERINU A ZA PO
LOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE STORONY AB
ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE DIAGO
NALI AE A ZA EDINICU MASTABA PO OBEIM OSQM STORONU ESTI
UGOLXNIKA
36. w TRAPECII ABCD NIVNEE OSNOWANIE AB W TRI RAZA BOLXE
EE WERHNEGO OSNOWANIQ CD pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU A
ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS NAPRAWLENIE OSNOWA
NIQ AB ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT NAPRAWLENIE
BOKOWOJ STORONY AD A STORONY AB I AD ZA EDINI^NYE OTREZKI
NA \TIH OSQH NAJTI KOORDINATY WERIN TRAPECII A TAKVE KOOR
DINATY TO^KI O PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I KOORDINATY TO^KI S
PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON
37. dANY DWE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B ;
nAJTI DWE DRUGIE EGO WERINY PRI USLOWII ^TO DIAGONALI PARAL
LELOGRAMMA PARALLELXNY OSQM KOORDINAT
38. dANA TO^KA M x y z nAJTI EE PROEKCI@ NA OSX Ox
NA PLOSKOSTX Oyz
39. dAN PARALLELOGRAMM ABCD tO^KI E I F DELQT STORONU
AB NA TRI RAWNYE ^ASTI A TO^KI K L I M STORONU BC NA ^ETY
RE RAWNYE ^ASTI pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU E ZA BAZIS
;!
;;!
WEKTORY ;
EK e1 I ED e2 NAJTI KOORDINATY TO^KI M
.
-
,
,
|
,
|
,
-
|
-
.
.
,
|
-
,
|
,
|
,
,
-
.
(
1
3),
(2
,
1).
-
.
(
).
: 1)
2)
.
.
,
-
.
=
,
=
,
.
||||||||||||||{
40. w RAWNOBO^NOJ TRAPECII BOLXEE EE OSNOWANIE AB
WY
SOTA RAWNA A UGOL PRI OSNOWANII RAWEN pRINIMAQ ZA OSX AB
SCISS PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT BOLXEE OSNOWANIE TRAPE
CII A ZA OSX ORDINAT PERPENDIKULQR W EGO SEREDINE I WYBIRAQ
= 8,
3,
45 .
-
,
|
12
ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT TO NAPRAWLENIE \TOGO
PERPENDIKULQRA KOTOROE IDET WNUTRX TRAPECII NAJTI KOORDINATY
WERIN TRAPECII TO^KI M PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I TO^KI S
PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON
41. dANY TRI WERINY PARALLELOGRAMMA A ; B C nAJTI ^ETWERTU@ EGO WERINU
42. tRI REBRA PARALLELEPIPEDA WYHODQ]IH IZ ODNOJ WERINY
PRINQTY ZA EDINI^NYE WEKTORY OSEJ KOORDINAT nAJTI W \TOJ SIS
TEME KOORDINATY WSEH EGO WERIN
43. dANA TO^KA M x y z nAJTI KOORDINATY TO^KI SIMMET
RI^NOJ S TO^KOJ M OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT OTNOSI
TELXNO PLOSKOSTI Oxy OTNOSITELXNO OSI Oz
,
,
,
.
(
(4
0).
2
1),
(1
3),
.
,
,
.
-
.
(
).
,
: 1)
2)
3)
5
-
.
pROSTOE OTNO ENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ
pROSTYM OTNOENIEM TREH TO^EK ABC LEVA]IH NA PRQMOJ I TA
KIH ^TO B 6 C NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO
;!
AC :
ABC ;!
CB
|TO ^ISLO ABC NAZYWA@T TAKVE OTNOENIEM W KOTOROM TO^KA C
DELIT NAPRAWLENNYJ OTREZOK AB
eSLI TO^KA C DELIT OTREZOK AB W OTNOENII TO
rC rA rB W KOORDINATAH NA PLOSKOSTI
XC XA XB YC YA YB W PROSTRANSTWE
XC XA XB YC YA YB ZC ZA ZB :
,
,
=
,
:
(
(
-
) =
)
(
,
)
.
,
=
=
=
+
1 +
+
1 +
+
=
1 +
=
+
1 +
13
+
1 +
=
+
1 +
zada~i
44. dOKAZATX ^TO W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TO^KI
A B C NAHODQTSQ NA ODNOJ PRQMOJ I NAJTI PROSTOE OTNOENIE
,
,
ABC
A B; C A B C;
A B;; C 45. dANY DWE TO^KI A I B ; nAJTI TO^KI PERESE^ENIQ
PRQMOJ AB S OSQMI KOORDINAT
46. dANY SEREDINY STORON TREUGOLXNIKA M1 M2 ; M3 nAJTI EGO WERINY
47. dANY DWE TO^KI A ; B ; nAJTI TO^KI C I D
DELQ]IE OTREZOK AB NA TRI RAWNYE ^ASTI
48. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; ; I B ;
nAJTI TRETX@ WERINU C ZNAQ ^TO SEREDINA STORONY AC LEVIT NA
OSI Oy A SEREDINA STORONY BC NA PLOSKOSTI Oxz
:
1)
(2
1)
(
2)
(1
6)
(5
3)
(0
0)
(
2
5)
10)
3
(0
(
3)
3
3)
(1
(3
2)
1).
4)
(2
1).
.
(2
(2
1).
4)
(
3
0)
.
(
4
2)
(8
7).
,
.
:
,
(
4
1
2)
(3
5
16).
,
,
|
.
49. dOKAZATX ^TO PRQMYE SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO
LOVNYH REBER TETRA\DRA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W
NEJ POPOLAM dOKAZATX ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ PRQMYE
SOEDINQ@]IE WERINY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO
LOVNYH GRANEJ nAJTI OTNOENIE W KOTOROM \TA TO^KA DELIT OT
REZKI UKAZANNYH PRQMYH
50. tEOREMA mENELAQ nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA
ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0
1 CAB0
2
I ABC0
3 dOKAZATX ^TO TO^KI A0 B0 I C0 LEVAT NA ODNOJ
PRQMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3 ;
,
,
-
,
.
,
,
-
.
,
-
.
(
).
,
,
(
) =
,
.
(
,
) =
, (
) =
,
,
=
1.
||||||||||||||{
51. nAJTI KOORDINATY TO^KI M DELQ]EJ OTREZOK M1M2 OGRA
NI^ENNYJ TO^KAMI M1 I M2 ; W OTNOENII
,
(2
3)
(
14
5
,
1),
:
-
1
; 21
;
3
52. oDIN IZ KONCOW OTREZKA AB NAHODITSQ W TO^KE A EGO
SEREDINOJ SLUVIT TO^KA M ; nAJTI DRUGOJ KONEC OTREZKA
53. dANY DWE SMEVNYE WERINY PARALLELOGRAMMA A ; ;
I B I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M nAJTI DWE
DRUGIE WERINY PARALLELOGRAMMA
54. oPREDELITX KOORDINATY KONCOW A I B OTREZKA KOTORYJ TO^
KAMI C D RAZDELEN NA TRI RAWNYE ^ASTI
55. nAJTI OTNOENIE W KOTOROM KAVDAQ IZ PLOSKOSTEJ KOORDI
NAT DELIT OTREZOK AB A ; I B ;
56. w KAKOM OTNOENII PLOSKOSTX PROWEDENNAQ ^EREZ KONCY TREH
REBER PARALLELEPIPEDA ISHODQ]IH IZ ODNOJ TO^KI DELIT DIAGONALX
ISHODQ]U@ IZ \TOJ VE TO^KI
1)
= 2 2)
=
3)
=
4 4)
=
.
(2
(1
2).
.
(
(2
3),
6)
(3
4
7)
1).
.
,
(2
2)
(1
5)
-
.
,
:
-
(2
1
7)
(4
5
2).
,
,
,
,
?
6
rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI
eSLI BAZISNYE WEKTORY fe1 e2g NA PLOSKOSTI SOOTWETSTWENNO
fe1 e2 e3g W PROSTRANSTWE POPARNO ORTOGONALXNY A MODULI IH
RAWNY TO SISTEMA KOORDINAT NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNOJ w \TOM
SLU^AE BAZISNYE WEKTORY OBY^NO OBOZNA^A@T TAK fi jg SOOTWET
SWENNO fi j kg
w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT RASSTOQNIE d MEVDU DWUMQ
TO^KAMI M1 x1 y1 I M2 x2 y2 NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FOR
MULE
d
x2 ; x1 2 y2 ; y1 2 W PROSTRANSTWE
(
)
,
,
1,
.
:
,
(
-
).
(
)
(
)
-
q
=
d
q
=
(
)
x2 ; x1 2
(
)
+ (
)
y2 ; y1 2
+ (
)
15
+ (
z2 ; z1 2 :
)
zada~i
57. nAJTI RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A I B W KAVDOM IZ
SLEDU@]IH SLU^AEW
A B A ; B A B;
A B 58. nA OSQH KOORDINAT NAJTI TO^KI KAVDAQ IZ KOTORYH RAWNO
UDALENA OT TO^EK I 59. nAJTI CENTR OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A ; I KASA@]EJSQ OSI Ox W TO^KE B 60. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT DWUH TO^EK
A IB ; 61. nA^ALO WEKTORA NAHODITSQ W TO^KE A ; dLINA WEK
TORA RAWNA nAJTI KONEC \TOGO WEKTORA ZNAQ ^TO PERWYE DWE EGO
KOORDINATY RAWNY SOOTWETSTWENNO x
y
:
1)
(4
3)
(7
2)
(3
1)
(
7)
2
4)
3)
(12
4)
(3
1)
5)
(0
(4
4)
6).
,
(1
1)
(3
-
7).
,
(
(2
4
2)
0).
,
(3
1
0)
(
2
4
1).
(2
11.
,
= 7,
1
5).
-
,
= 6.
||||||||||||||{
62. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT KAVDOJ IZ SLEDU@
]IH TO^EK A B;;
C; D 63. nA OSI Oy NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TO^KI ; ;
I OT NA^ALA KOORDINAT
64. nAJTI CENTR I RADIUS OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU
A ; I KASA@]EJSQ OBEIH OSEJ KOORDINAT
65. nAJTI W PLOSKOSTI Oxz TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT TREH TO^EK
A B; C ;
66. dANY ^ETYRE TO^KI A B C D ; nAJTI CENTR I RADIUS SFERY PROHODQ]EJ ^EREZ \TI
TO^KI
-
: 1)
(11
4) 2)
(
3
4) 3)
(
11
0) 4)
,
(5
(
12).
8
4)
.
,
(2
1)
.
,
(1
1
1)
(
1
1
0)
(3
1
1).
(1
(1
2
1).
2
3)
(5
,
.
16
2
3)
(2
5
3)
7
sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW
sKALQRNYM PROIZWEDENIEM ab ^ASTO ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ a b
ILI a b DWUH WEKTOROW a 6 0 I b 6 0 NAZYWAETSQ ^ISLO RAWNOE
PROIZWEDENI@ MODULEJ \TIH WEKTOROW NA KOSINUS UGLA MEVDU NIMI
(
)
(
=
=
,
:
ab jaj jbj ' :
eSLI a 0 ILI b 0 TO ab 0 PO OPREDELENI@
sKALQRNOE PROIZWEDENIE ab RAWNO NUL@ TOGDA I TOLXKO TOGDA
KOGDA a?b ILI a 0 ILI b 0
sWOJSTWA SKALQRNOGO UMNOVENIQ
ab ba KOMMUTATIWNOSTX ab
ab
a b c ac bc DISTRIBUTIWNOSTX aa a2 jaj2 PRI^EM aa TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA a 0
=
=
=
cos
,
=
.
,
=
=
.
:
=
(
(
(
)
) = (
+
)
=
)
=
+
=
(
)
0
= 0
,
=
.
zada~i
67. nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ
SLEDU@]IH SLU^AEW
jaj jbj 6 a b
jaj jbj 6 a b
a?b
jaj jbj a "" b
jaj jbj a "# b
68. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE ABC MEDIANY AA1 I BB1
PROWEDENNYE K BOKOWYM RAWNYM STORONAM CB I CA PERESEKA@TSQ
POD PRQMYM UGLOM nAJTI UGLY \TOGO TREUGOLXNIKA
69. dOKAZATX ^TO WEKTORY p a bc ; b ac I c PERPENDIKU
LQRNY DRUG DRUGU
:
1)
= 8
= 5
(
) = 60 2)
= 1
= 1
(
) = 135 3)
4)
= 3
= 6
5)
= 3
= 1
.
,
(
)
,
.
,
.
=
.
17
(
)
(
)
-
)
70. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF
;! ;! ;! ;! ;!
wY^ISLITX ;!
BC AD CA BE AB CF
71. w PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE ABC OPU]EN PERPENDIKULQR
;;!
;!
CH NA GIPOTENUZU AB wYRAZITX WEKTOR CH ^EREZ WEKTORY a CB
I b ;!
CA
72. dOKAZATX ^TO ESLI W TETRA\DRE ABCD DWA REBRA PERPEN
DIKULQRNY SOOTWETSWENNO SWOIM PROTIWOPOLOVNYM TO I OSTALXNYE
DWA REBRA WZAIMNO PERPENDIKULQRNY
73. dOKAZATX ^TO SUMMA KWADRATOW STORON ^ETYREHUGOLXNIKA
A1A2A3A4 RAWNA SUMME KWADRATOW EGO DIAGONALEJ I U^ETWERENNOGO
KWADRATA RASSTOQNIQ MEVDU SEREDINAMI DIAGONALEJ
.
(
) + (
) + (
).
.
=
=
.
,
-
,
-
.
,
.
||||||||||||||{
74. w TREUGOLXNIKE ABC DANY DLINY EGO STORON BC CA
;!
AB
nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ;!
BA I BC
75. kAKOJ UGOL OBRAZU@T EDINI^NYE WEKTORY s I t ESLI IZWESTNO
^TO WEKTORY p s t I q s ; t WZAIMNO PERPENDIKULQRNY
76. dAN RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK ABC U KOTOROGO DLINY
;!
;!
STORON RAWNY pOLAGAQ ;!
BC a CA b AB c WY^ISLITX
WYRAVENIE ab bc ca
77. dAN PRQMOUGOLXNIK ABCD I TO^KA M KOTORAQ MOVET LE
VATX KAK W PLOSKOSTI PRQMOUGOLXNIKA TAK I WNE EE pOKAZATX ^TO
SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW IDU]IH OT TO^KI M K DWUM
NESMEVNYM WERINAM PRQMOUGOLXNIKA RAWNO SKALQRNOMU PROIZWE
DENI@ WEKTOROW IDU]IH OT TOJ VE TO^KI K DWUM DRUGIM WERINAM
;
;! ;;! ;M;!
;;!
M A M C
B M D
= 5
6
= 7.
=
.
,
=
+ 2
= 5
4
,
-
.
,
1.
=
+
+
=
=
,
.
(
,
1)
-
).
,
:
,
,
-
,
(
) = (
)
SUMMA KWADRATOW WEKTOROW ODNOJ PARY RAWNA SUMME KWADRATOW
;!2 ;;!2 ;;!2 ;;!2
DRUGOJ PARY ;
MA MC MB MD
78. w TREUGOLXNIKE ABC TO^KA D DELIT STORONU AB W OTNOE
;;!
NII ;!
AD DB
wYRAZITX DLINU OTREZKA CD ^EREZ TRI STORONY
2)
(
+
=
+
).
-
:
=
.
18
TREUGOLXNIKA I ^ISLO
79. dOKAZATX ^TO PRI L@BOM RASPOLOVENII TO^EK ABCD NA
;!
PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE IMEET MESTO RAWENSTWO ;!
BC AD
;!
;;! ;! ;;!
CA BD AB CD
.
,
(
(
)+(
)+
) = 0.
80. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE UGOL PROTIW OSNOWANIQ RAWEN
6 nAJTI UGLOL MEVDU MEDIANAMI \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNY
MI K BOKOWYM STORONAM
81. tO^KA M RASPOLOVENA WNUTRI WYPUKLOGO n UGOLXNIKA P
A1A2 : : : An dOKAZATX ^TO NAJDETSQ TAKAQ STORONA AiAi+1 \TOGO n
UGOLXNIKA ^TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ TO^KI M
NA Ai Ai+1 QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AiAi+1
.
,
-
.
-
.
=
,
-
,
,
.
8
sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH
sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0 g W PRO
IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ
PO FORMULE
=
=
-
:
ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0 g22Y Y 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO
=
GDE gij
ROW
w PROSTRANSTWE
=
+
(
+
) +
= 1 2 |
-
.
:
ab g11XX 0 g12 XY 0 Y X 0
=
+
(
+
) +
g13 XZ 0 ZX 0
(
+
)+
g22Y Y 0 g23 Y Z 0 ZY 0 g33ZZ 0 eiej i j SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO
+
(
+
) +
GDE gij
ROW
w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT \TI FORMULY PRINIMA@T
WID
ab XX 0 Y Y 0
=
= 1 3 |
-
.
:
=
+
19
NA PLOSKOSTI I
ab XX 0 Y Y 0 ZZ 0
=
+
+
W PROSTRANSTWE
.
zada~i
82. pOSTROITX AFFINNU@ SISTEMU KOORDINAT ESLI
1)
2)
3)
4)
g11
g11
g11
g11
= 4
= 1
= 4
= 4
g12 g12 12 g12 g12 ; = 0
=
= 8
=
8
g22
g22
g22
g22
,
= 1
= 1
= 25
:
= 25
83. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11
=
g22
8
56
10 ,
g12
= 4
=
= 25.
84. oPREDELITX EDINI^NYJ WEKTOR b PERPENDIKULQRNYJ K WEK
TORU a f ; g ESLI g11 g12 g22
85. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT
p
SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j
A UGOL MEVDU NIMI !
5 oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT DANY DWA WEKTORA a
6
f g b f g nAJTI UGOL OT PERWOGO WEKTORA DO WTOROGO
86. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN TREUGOLX
NIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C DLINY
p
p
AC BC
oPREDELITX
STORON KOTOROGO SUTX AB
DLINY EDINI^NYH WEKTOROW \TOJ SISTEMY KOORDINAT I UGOL MEVDU
NIMI
87. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN
NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE
DU@]IH SLU^AEW
a f g b f; g
a f ; g b f g
a f ; g b f g:
88. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY
,
=
7
8 ,
= 4
= 8
= 2
=
-
= 25.
3,
=
.
1
=
2
=
2
2 .
.
-
(1
=
52
1)
= 4
(5
3)
=
(3
5),
28.
.
,
-
-
:
1)
=
5
2
=
3
2)
=
6
8
=
12
3)
=
3
5
=
7
6 9 4
,
20
-
MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU
@]IH SLU^AEW
a f g b f ; g
a f g b f g:
89. w PRAWILXNOM TETRA\DRE ABCD NAJTI UGOL MEVDU MEDI
ANAMI BB1 I CC1 GRANEJ ABC I ACD
-
:
1)
=
8
4
1
=
2
2)
=
2
5
4
=
6
2 1 0
3
-
.
||||||||||||||{
90. oPREDELITX DLINU WEKTORA a f ; g ESLI g11
=
g22
8
7
8 ,
= 4
g12
=
= 25.
91. dANY DLINY EDINI^NYH WEKTOROW REPERA je1j je2j
I UGOL MEVDU NIMI ! 3 oPREDELITX g11 g12 g22 I RASSTOQNIE d
MEVDU TO^KAMI A ; B ; 92. dLINY EDINI^NYH WEKTOROW AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT
SUTX SOOTWETSTWENNO je1j je2j
uGOL MEVDU NIMI ! 3
oTNOSITELXNO \TOJ SISTEMY KOORDINAT WERINY TREUGOLXNIKA ABC
IME@T KOORDINATY A B C oPREDELITX DLINY
STORON AB I AC \TOGO TREUGOLXNIKA I UGOL A MEVDU NIMI
93. oTNOSITELXNO AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT DAN PRQMOUGOLX
NYJ TREUGOLXNIK ABC S WERINAMI W TO^KAH A B C PRQMYM UGLOM PRI WERINE C I KATETAMI CA CB
oPREDELITX DLINY STORON A0 B 0 I A0C 0 TREUGOLXNIKA A0B 0 C 0 I UGOL
MEVDU NIMI ESLI WERINY \TOGO TREUGOLXNIKA IME@T KOORDINATY
= 2
=
(1
= 3
.
2)
(
3
4).
= 4
(1
3)
= 2.
(1
0)
=
(2
.
1).
.
-
(1
(3
2),
0),
= 2
(0
1),
= 3.
,
A0 B 0 C 0 (1
1)
(2
2)
(2
4).
94. oPREDELITX UGOL MEVDU DWUMQ WEKTORAMI a I b ZADANNY
MI SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLEDU
@]IH SLU^AEW
a f g b f g
a f ; g b f g
a f g b f ; g
a f ; g b f; g:
,
-
:
1)
=
4
2)
=
6
3)
=
2
4)
=
2
3
8
5
6
=
1 7 =
12
9 =
3
7 =
3
9
21
95. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b ZADAN
NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE
DU@]IH SLU^AEW
a f g b f; g
a f ; g b f ; g
a f g b f ; g:
96. nAJTI ^ISLENNU@ WELI^INU PROEKCII WEKTORA f g NA
OSX PARALLELXNU@ WEKTORU f ; g
97. w TREUGOLXNIKE ABC DLINY STORON CA I CB RAWNY SOOT
WETSTWENNO I A UGOL PRI WERINE C RAWEN 6 nAJTI UGOL '
MEVDU MEDIANAMI AA1 I BB1 nAJTI DLINU MEDIANY CC1
,
-
:
1)
=
3
5
2)
=
3
0
3)
=
2
5
7
=
6
1
2
6
1 =
2
4
0 =
3
2
4
8
,
2
2
4
1
1 .
,
, 4
6,
. 1)
. 2)
9
-
.
pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI
pUSTX fO i jg ORTONORMIROWANNYJ REPER NA PLOSKOSTI wEKTOR
e ' POLU^A@]IJSQ POWOROTOM WEKTORA i NA UGOL ' IMEET SLEDU@
]IJ WID
e ' i ' j ':
y
iSPOLXZUQ \TOT WEKTOR PROIZWOLXNYJ
a
WEKTOR a fX Y g MOVNO PREDSTAWITX
'
W WIDE
x
a jaje ' rIS
GDE ' UGOL NA KOTORYJ NUVNO POWERNUTX WEKTOR i ^TOBY EGO
NAPRAWLENIE SOWPALO S NAPRAWLENIEM WEKTORA a pRI \TOM
(
|
.
),
,
-
:
(
) =
cos
+
sin
,
=
:
=
(
)
. 2.
|
,
,
.
X jaj
=
cos
' Y
=
jaj ':
sin
rASSMOTRIM WEKTOR b fX 0 Y 0g POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA
=
,
22
a NA UGOL tOGDA b jaje ' W KOORDINATAH
X0
X ;Y .
=
8
>
>
<
(
+
=
Y0
>
>
:
),
cos
X
=
sin
sin
Y
+
cos
:
w ^ASTNOM SLU^AE WEKTOR POLU^ENNYJ POWOROTOM WEKTORA a NA
UGOL 2 BUDEM OBOZNA^ATX a W KOORDINATAH a f;Y X g
,
,
,
],
] =
.
zada~i
98. dANY DWE TO^KI A I B nAJTI KONEC WEKTORA ;!
AC
POLU^A@]EGOSQ IZ WEKTORA ;!
AB POWOROTOM NA UGOL 56
99. dANY DWE SOSEDNIE WERINY KWADRATA A ; I B nAJTI DWE DRUGIE WERINY
100. oSNOWANIEM RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA SLUVIT OTREZOK
AC A ; C ; nAJTI KOORDINATY WERINY B \TOGO
5
TREUGOLXNIKA ZNAQ ^TO UGLY PRI EGO OSNOWANII RAWNY
6
101. oPREDELITX KOORDINATY k OJ WERINY PRAWILXNOGO
n UGOLXNIKA ESLI DANY KOORDINATY PERWOJ WERINY A1 x1 y1 I
KOORDINATY CENTRA S x0 y0
102. sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M
LEVA]EJ NA OKRUVNOSTI ! RADIUSA R KATQ]EJSQ BEZ SKOLXVENIQ PO
DANNOJ PRQMOJ ` CIKLOIDA
103. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX
WNUTRI NEGO nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISY
WAEMOJ TO^KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA GIPOCIKLOIDA
104. pO OKRUVNOSTI ! ZADANNOJ URAWNENIEM x2 y2 R2 KATIT
SQ BEZ SKOLXVENIQ PRQMAQ ` NA^ALXNOE POLOVENIE KOTOROJ x R
sOSTAWITX URAWNENIQ TRAEKTORII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M LEVA]EJ
NA ` PRINIMAQ ZA NA^ALXNOE EE POLOVENIE TO^KU M0 R
\WOLX
WENTA OKRUVNOSTI
(2
1)
(5
5).
,
.
(
3
2)
(2
4).
.
:
(
4
2)
(4
,
4).
,
arctg
.
-
-
,
(
(
)
).
,
,
,
(
).
,
.
,
(
-
).
,
+
=
,
,
-
=
,
,
,
(
).
||||||||||||||{
23
.
0). (
-
105. dANY DWE PROTIWOPOLOVNYE WERINY KWADRATA A ; I
B ; nAJTI DWE DRUGIE WERINY
106. dANY DWE WERINY RAWNOSTORONNEGO TREUGOLXNIKA A B nAJTI EGO TRETX@ WERINU
! ;
;;A! ;
;;A! IME@T DLINY a a a I OB
107. wEKTORY ;A;;
A
A
A
0 1 1 2 2 3
1 2 3
RAZU@T UGLY !1 !2 !3 S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI Ox
;;!
oPREDELITX KOORDINATY WEKTORA ;
A0 A3
! ;;;!
;;;;!
108. wEKTORY ;A;;
0 A1 A1 A2 : : : An;1 An IME@T DLINY d1 d2 : : : dn
I OBRAZU@T UGLY 1 2 : : : n S POLOVITELXNYM NAPRAWLENIEM OSI
Ox oPREDELITX KOORDINATY TO^KI An ESLI A0 x0 y0
109. kRUG RADIUSA r KATITSQ PO KRUGU RADIUSA R OSTAWAQSX
WNE EGO nAJTI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ LINII OPISYWAEMOJ TO^
KOJ KATQ]EGOSQ KRUGA \PICIKLOIDA PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT
CENTR NEPODWIVNOGO KRUGA A ZA PARAMETR UGOL t MEVDU POLOVITELX
NYM NAPRAWLENIEM OSI ABSCISS I S RADIUSOM NEPODWIVNOGO KRUGA
IDU]IM W TO^KU KASANIQ PODWIVNOGO KRUGA S NEPODWIVNYM w NA
^ALXNOM POLOVENII PODWIVNAQ OKRUVNOSTX KASALASX NEPODWIVNOJ W
TO^KE A PERESE^ENIQ POSLEDNEJ S OSX@ ABSCISS
(
(5
4).
3
2)
.
(2
(6
3).
1)
.
-
.
.
.
,
(
).
,
.
,
(
-
),
,
-
,
.
-
.
10
kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI
kOSYM PROIZWEDENIEM WEKTOROW a I b NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI
NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO
:
< a b > a b jajjbj
= ]
=
sin
GDE UGOL OT WEKTORA a DO WEKTORA b tAKIM OBRAZOM j< a b >j
PLO]ADX PARALLELOGRAMMA POSTROENNOGO NA WEKTORAH a I b
|
|
.
,
,
.
24
sWOJSTWA KOSOGO PROIZWEDENIQ
< a b > ; < b a > KOSOSIMMETRI^NOSTX < a b > < a b > < a b c > < a c > < b c > DISTRIBUTIWNOSTX :
kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a fX Y g I b fX 0 Y 0g W PRO
IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ
PO FORMULE
X Y
< a b > "12 0 0
:
=
(
=
(
+
(
)
)
)
=
+
(
)
=
=
-
:
=
X Y
GDE "12 < e1 e2 > KOSOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTOROW w PRQ
MOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
=
|
.
-
X Y
X0 Y 0
< a b >
=
iMEET MESTO SLEDU@]AQ FORMULA DLQ PLO]ADI TREUGOLXNIKA ABC
NA PLOSKOSTI
;! ;!
XB ; XA YB ; YA
S4ABC j < AB AC > j
XC ; XA YC ; YA
:
=
1
=
2
1
2
zada~i
110. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO
SLUVAT TO^KI A B I C 111. wY^ISLITX PLO]ADX PQTIUGOLXNIKA WERINAMI KOTOROGO
SLUVAT TO^KI A ; B ; C D I E ; 112. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI
DO PRQMOJ PROHODQ]EJ
^EREZ TO^KI
I
113. dWE WERINY TREUGOLXNIKA NAHODQTSQ W TO^KAH I
; TRETXQ WERINA NA OSI Ox zNAQ ^TO PLO]ADX TREUGOLX
NIKA RAWNA NAJTI TRETX@ WERINU
,
(4
2)
(9
4)
(7
6).
,
(
2
0)
(0
1)
(2
0)
(3
(2, 0)
(1, 1)
2)
(
1
,
(5, 4).
(5
(
2
2),
3).
|
.
10,
,
.
||||||||||||||{
25
1)
-
114. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ABC W KAVDOM IZ SLE
DU@]IH SLU^AEW
-
:
1)
2)
3)
A B C A; B ; A B C :
(2
(
1)
2
(5
(3
4)
4)
(1
(0
4)
(11
3)
0)
6)
(1
(0
7)
3)
115. nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ PROHO
DQ]EJ ^EREZ TO^KI
I
116. pLO]ADX TREUGOLXNIKA S
DWE EGO WERINY SUTX TO^KI
A I B ; CENTR TQVESTI \TOGO TREUGOLXNIKA LEVIT NA OSI
Ox oPREDELITX KOORDINATY TRETXEJ WERINY C
,
(1, 5)
-
(2, 4).
= 3,
(3
1)
(1
3),
.
11
.
pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI
pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOS
M
'
KOSTI OPREDELQETSQ TO^KOJ O POL@S
ISHODQ]IM IZ NEE LU^OM Ox POLQRNAQ
O
x
OSX MASTABNYM OTREZKOM e I NAPRAW
rIS
LENIEM OTS^ETA UGLOW
pOLQRNYMI KOORDINATAMI TO^KI M NE SOWPADA@]EJ S POL@SOM
NAZYWA@TSQ RASSTOQNIE POLQRNYJ RADIUS OT TO^KI M DO POL@SA
O I UGOL ' POLQRNYJ UGOL OT POLQRNOJ OSI Ox DO LU^A OM
eSLI POL@S O PRINQTX ZA NA^ALO DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SIS
TEMY KOORDINAT NAPRAWLENIE POLQRNOJ OSI ZA POLOVITELXNOE
NAPRAWLENIE OSI Ox TO MEVDU DEKARTOWYMI KOORDINATAMI x I y
TO^KI I EE POLQRNYMI KOORDINATAMI I ' IME@T MESTO SLEDU@]IE
SOOTNOENIQ
p2 2
x y
x
'
' px x+y
y
'
' px y+y :
-
(
),
(
),
-
. 3.
.
,
:
,
(
(
)
)
.
-
,
|
,
:
8
>
>
<
>
>
:
=
=
cos
sin
8
>
>
>
>
>
>
>
<
cos
=
>
>
>
>
>
>
>
: sin
=
26
+
=
2
2
2
2
zada~i
117. dAN PRAWILXNYJ ESTIUGOLXNIK STORONA KOTOROGO RAWNA
a wZQW ZA POL@S ODNU IZ EGO WERIN A ZA POLQRNU@ OSX STORONU
^EREZ NEE PROHODQ]U@ OPREDELITX POLQRNYE KOORDINATY OSTALXNYH
PQTI WERIN
118. wY^ISLITX RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ DANNYMI TO^KAMI
A 12 I B 512
C 5 I D 65
E 1118 I F 49 :
119. wY^ISLITX PLO]ADX TREUGOLXNIKA ODNA IZ WERIN KOTORO
GO POME]AETSQ W POL@SE A DWE DRUGIE IME@T POLQRNYE KOORDINATY
,
.
,
|
,
,
.
:
1)
(2
2)
(4
3)
(3
)
(1
)
)
(6
)
)
(4
)
,
-
,
(4
9 )
(1
5 ).
18
120. nAJTI POLQRNYE KOORDINATY TO^KI M ZNAQ EE DEKARTOWY
KOORDINATY x y ;
121. nAPISATX W POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE PRQMOJ PER
PENDIKULQRNOJ K POLQRNOJ OSI I OTSEKA@]EJ NA NEJ OTREZOK OA a
122. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS
STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ
DANNU@ PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY
OT TO^KI B OTKLADYWA@TSQ OTREZKI BM1 BM2 b nAPISATX W
POLQRNYH KOORDINATAH URAWNENIE LINII KONHOIDA nIKOMEDA OPI
SYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI WRA]ENII LU^A PRINIMAQ ZA POL@S
TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI
O NA DANNU@ PRQMU@
123. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a DANA TO^KA O wOKRUG TO^KI O
WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX W PEREMENNOJ TO^KE A
nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^KI A OTKLADYWA@TSQ OTREZKI
AM1 AM2 a lINIQ OPISYWAEMAQ TO^KAMI M1 I M2 NAZYWAET
SQ KARDIOIDOJ nAPISATX URAWNENIE \TOJ LINII W POLQRNYH KOORDI
,
= 8
=
6.
,
-
=
,
=
.
-
.
,
.
=
=
.
(
),
,
-
,
,
,
.
.
,
=
= 2 .
.
,
,
.
-
-
27
NATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU O A ZA POLQRNU@ OSX PROHODQ]IJ
^EREZ NEE DIAMETR OK
,
,
.
||||||||||||||{
124. oTNOSITELXNO POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT DANA TO^KA
A 23 nAJTI
TO^KU B SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POL@SA
TO^KU C SIMMETRI^NU@ TO^KE A OTNOSITELXNO POLQRNOJ OSI
125. nAJTI PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY TO^EK KOTORYE DANY
p
SWOIMI POLQRNYMI KOORDINATAMI A 3 B 34 C 2 D ; 6 PRI^EM OSX ABSCISS SOWPADAET S POLQRNOJ OSX@ A NA^ALO
KOORDINAT S POL@SOM
126. nAPISATX URAWNENIE OKRUVNOSTI RADIUSA a W POLQRNYH KO
ORDINATAH PRINQW ZA POL@S TO^KU O NA OKRUVNOSTI A ZA POLQRNU@
OSX PROHODQ]IJ ^EREZ NEE DIAMETR OA
127. dANY TO^KA O I PRQMAQ NAHODQ]AQSQ OT TO^KI O NA RAS
STOQNII OA a wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ
PRQMU@ W PEREMENNOJ TO^KE B nA \TOM LU^E PO OBE STORONY OT TO^
KI B OTKLADYWA@TSQ RAWNYE OTREZKI BM1 BM2 AB nAPISATX
URAWNENIE LINII STROFOIDA OPISYWAEMOJ TO^KAMI M1 I M2 PRI
WRA]ENII LU^A W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S TO^KU
O A ZA POLQRNU@ OSX PERPENDIKULQR OA OPU]ENNYJ IZ TO^KI O NA
DANNU@ PRQMU@
128. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O I ^EREZ TO^KU K
DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA
TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ PERESEKA@]IJ OKRUVNOSTX
I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B nA \TOM LU^E OT TO^
KI O OTKLADYWAETSQ OTREZOK OM RAWNYJ OTREZKU AB LU^A ZAKL@
^ENNOMU MEVDU OKRUVNOSTX@ I KASATELXNOJ lINIQ OPISYWAEMAQ
TO^KOJ M PRI WRA]ENII LU^A NAZYWAETSQ CISSOIDOJ dIOKLESA nA
(5
).
:
1)
,
2)
,
.
,
:
(3
(2
)
(
2
)
(5
),
)
,
|
.
-
,
,
.
,
=
-
.
,
.
-
=
(
=
.
),
,
,
,
,
,
.
,
,
.
-
,
.
-
,
,
.
,
-
,
.
28
-
PISATX EE URAWNENIE W POLQRNYH KOORDINATAH PRINIMAQ ZA POL@S
TO^KU O I ZA POLQRNU@ OSX DIAMETR OK
129. nA OKRUVNOSTI RADIUSA a WZQTA TO^KA O ~EREZ TO^KU K
DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ O K OKRUVNOSTI PROWEDENA KASA
TELXNAQ wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ PRQMAQ PERESEKA@]AQ OKRUV
NOSTX I KASATELXNU@ SOOTWETSTWENNO W TO^KAH A I B iZ TO^KI A
PROWODITSQ PRQMAQ PARALLELXNAQ KASATELXNOJ A IZ TO^KI B PRQ
MAQ PARALLELXNAQ DIAMETRU OK nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK
PERESE^ENIQ \TIH PRQMYH WERZXERA mARII aNXEZI PRINIMAQ ZA NA
^ALO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT TO^KU O A ZA OSX ABSCISS
DIAMETR OK
130. wOKRUG TO^KI O WRA]AETSQ LU^ S POSTOQNNOJ UGLOWOJ SKO
ROSTX@ ! pO \TOMU LU^U DWIVETSQ TO^KA M S POSTOQNNOJ SKOROSTX@
v sOSTAWITX URAWNENIE LINII OPISYWAEMOJ TO^KOJ M W POLQRNYH
KOORDINATAH ESLI W NA^ALXNYJ MOMENT DWIVENIQ LU^ SOWPADAET S
POLQRNOJ OSX@ A TO^KA M S TO^KOJ O lINIQ OPISYWAEMAQ TO^
KOJ M NAZYWAETSQ SPIRALX@ aRHIMEDA
,
.
.
,
-
.
,
-
.
,
,
,
|
-
.
(
),
-
,
.
-
.
.
,
,
,
,
|
.
,
12
,
-
.
pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI
oB]IM URAWNENIEM PRQMOJ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ URAW
NENIE WIDA
Ax By C
PRI \TOM WEKTOR f;B Ag PARALLELEN PRQMOJ
uRAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU x1 y1 PARALLELXNO
WEKTORU fl mg MOVET BYTX ZAPISANO TAK
-
:
+
+
= 0
.
,
(
,
:
x ; x1 y ; y1
l
m
29
= 0
)
ILI
y ; y1 m
POSLEDNEE URAWNENIE NAZYWAETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM PRQMOJ
eSLI ZADANY PROIZWOLXNAQ TO^KA x1 y1 I PROIZWOLXNYJ WEKTOR
fl mg 6 0 TO PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ
x ; x1
l
=
.
(
=
)
,
,
^EREZ DANNU@ TO^KU PARALLELXNO DANNOMU WEKTORU BUDUT
,
x
y
=
=
:
x1 lt
y1 mt :
+
+
uRAWNENIE PRQMOJ NE PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT I PE
RESEKA@]EJ OSI KOORDINAT W TO^KAH a I b MOVET BYTX ZA
PISANO W WIDE URAWNENIE PRQMOJ W OTREZKAH
,
-
(
0)
(0
(
)
-
):
x y
a b
+
:
= 1
eSLI PRQMAQ ZADANA SWOIM OB]IM URAWNENIEM TO DLQ KOORDINAT
WSEH TO^EK LEVA]IH PO ODNU STORONU OT NEE
,
,
,
Ax By C > +
+
0
A DLQ KOORDINAT x y WSEH TO^EK LEVA]IH PO DRUGU@ STORONU OT
NEE
,
,
Ax By C < :
+
+
0
zada~i
131. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU
; PARALLELXNO OSQM KOORDINAT
132. dAN TREUGOLXNIK ABC A ; B C ;
nAPISATX URAWNENIE MEDIANY \TOGO TREUGOLXNIKA PROWEDENNOJ IZ
WERINY A
133. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ OTSEKA@]EJ NA OSQH KOORDI
NAT OTREZKI I
,
(3
2)
.
:
(
2
3)
(4
1)
(6
5).
,
.
,
3
5.
30
-
134. nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ PROHODQ]EJ
^EREZ TO^KU
PARALLELXNO WEKTORU f g
135. nAPISATX W PARAMETRI^ESKOJ FORME URAWNENIQ SLEDU@]IH
PRQMYH
,
(3, -5)
:
-4, 2 .
x y
x; y;
y ;x
1) 3
2)
3)
x
y ;
x y
+6
+ 5 = 0
4)
2
4 = 0
5)
+ 5
6) 2
=
3
= 2
=
3
+ 3
= 0
:
136. zAPISATX W WIDE Ax By C
URAWNENIQ SLEDU@]IH
PRQMYH x t y ; t
x
t y ; t:
137. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA
@T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU
PERESE^ENIQ
x y;
x y;
x;y
x; y
x; y
; x y;
+
: 1)
=
= 1
3 +
2)
= 0
= 2 + 5 = 4
7
,
-
,
:
1)
+
2)
3)
4)
9)
+3
8 = 0
+5 = 0
2
2
+ 3 = 0
+ 4 = 0
2
x y
x y;
x; y x y;
x
p
x;y
+
+ 3
1 = 0
= 0
+ 9
+ 4
8 = 0
x y
x y;
x; y
x y
x
p
x ; y
+5 = 0
5
7) 7
8)
2
2
5) 2
6)
3 = 0
2
+3
4
+6
2
62 = 0
+ 2 = 0
3 = 0
+ 10 = 0
10
7 = 0
= 0
8
+3
2
+ 3 = 0
3
+ 2 = 0
3
= 0
:
138. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA
@T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU
PERESE^ENIQ
x
t y ; t
x t
y ;t
x
t y ; ; t x ; t y
t
x ; t y
t
x ;
t y ; t:
139. dANY SEREDINY M1 M2 ; I M3 STORON
TREUGOLXNIKA sOSTAWITX URAWNENIQ STORON
,
-
,
:
1)
= 3 +
= 2
2)
= 5 + 4
=
3)
= 4
= 2 + 6 8
2
= 3
2 (2
= 1
=
3)
.
=
(
2
4 + 4
1
.
31
2)
2 = 7 +
= 8
(4
3
5)
140. dANY URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y ;
x; y
I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M ; nAPI
SATX URAWNENIE DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA
141. w KAKOM OTNOENII PRQMAQ x ; y
DELIT OTREZOK
NA^ALO KOTOROGO NAHODITSX W TO^KE
A KONEC W TO^KE
142. dOKAZATX ^TO PRQMAQ x ; y ;
PERESEKAET OTREZOK
PRQMOJ x ; y ;
ZAKL@^ENNYJ MEVDU OSQMI KOORDINAT
143. oPREDELITX POLOVENIE PRQMOJ x ; y
OTNOSITELXNO
TREUGOLXNIKA WERINY KOTOROGO A B ; C 1 =
0
2
= 0
(3
,
1).
-
.
2
+ 5 = 0
(-5, 4),
,
3
2
5
,
|
(2, 1)?
5 = 0
6 = 0,
.
7
,
(3
1)
(
+5 = 0
2
4)
(1
0).
||||||||||||||{
144. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO
ORDINAT I ^EREZ TO^KU
145. sOSTAWITX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ OTSEKA@
]EJ NA OSQH Ox I Oy OTREZKI I
146. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA
@T PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU
PERESE^ENIQ
x y
x ;
t y ; t
x; y;
x
t
y ; ;t
x; y
x
t
y ;
t
x y;
x ;
t y ;
t
x y
x
t y ;t
x y;
x ;
t y ; t:
147. ~EREZ TO^KU
PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ
x; y
148. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU
; PARALLELXNO PRQMOJ x y
149. zNAQ URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y I
x y
I ODNU IZ EGO WERIN C ; SOSTAWITX URAWNENIQ
,
-
(-1, -8).
,
3
-
-5.
,
-
,
:
1) 3
+ 4
+ 5 = 0
=
2) 2
5
7 = 0
= 2 +
=
9
3) 6
3
+ 5 = 0
= 5 +
=
3 + 2 4) 2
+ 5
=
=
9 + 5 5) 3
+ 9
+ 5 = 0
6) 4
+ 5
6 = 0
38 = 0
3 + 4
2 + 2
= 2 + 3
=
=
= 6
6 + 5
(7, 4)
3
2
= 1
3 4
,
+ 4 = 0.
,
(
8
1)
+
+ 7 = 0.
3
2
+5
+6 = 0
(4
32
1)
= 0
DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA
150. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I C ~EREZ KAVDU@ IZ NIH PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PROTIWOLE
VA]EJ STORONE
151. sOSTAWITX URAWNENIQ STORON PARALLELOGRAMMA ABCD ZNAQ
^TO EGO DIAGONALI PERESEKA@TSQ W TO^KE M A STORONY AB BC
CD I DA PROHODQT SOOTWETSTWENNO ^EREZ TO^KI P Q R S ; 152. w PARALLELOGRAMME ABCD DANY URAWNENIQ STORON AB
x y;
I AD x ; y ;
I TO^KA E ; 136 SEREDINA
STORONY BC nAJTI URAWNENIQ DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA
153. dANY DWE TO^KI A ; I B I PRQMAQ x ; y
dOKAZATX ^TO DANNAQ PRQMAQ PERESEKAET PRODOLVENIE OTREZKA AB
ZA TO^KU B
154. oPREDELITX POLOVENIE TO^EK A B ; C ; D OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA URAWNENIQ STORON KOTOROGO
x;y
x y;
x y
.
:
(
1
2)
(3
1)
(0
4).
,
-
.
,
(1
6),
(3
(5
9)
(
5
,
0)
(6
6)
4).
:
3
+4
12 = 0
: 5
12
6 = 0
(
2
) |
.
.
(
3
1)
(5
4)
2
= 0.
,
.
(3
(3
2)
2
(7
6)
(
1
1)
,
+2 = 0
13
1)
+
4 = 0
2
+
= 0.
uRAWNENIE PU^KA PRQMYH
sOWOKUPNOSTX PRQMYH PROHODQ]IH ^EREZ ODNU TO^KU M x0 y0 NA
ZYWAETSQ PU^KOM PRQMYH tO^KA M x0 y0 PRI \TOM NAZYWAETSQ
CENTROM PU^KA o^EWIDNO PU^OK PRQMYH S CENTROM M x0 y0 ZA
DAETSQ URAWNENIEM
,
(
.
.
(
(
(
) +
B y ; y0
(
-
)
-
)
,
A x ; x0
),
:
) = 0
pUSTX DANY DWE PERESEKA@]IESQ RAZLI^NYE PRQMYE `1 I `2 ZA
DANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x B1y C1
I A2x
B2y C2
l@BAQ PRQMAQ PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ
(
,
+
,
= 0.
)
+
,
33
,
+
= 0
-
+
DWUH DANNYH PRQMYH MOVET BYTX OPREDELENA URAWNENIEM WIDA
:
A1x B1 y C1
(
+
+
) +
A2x B2y C2
(
+
+
:
) = 0
PRI NEKOTORYH I NE RAWNYH NUL@ ODNOWREMENNO pOSLEDNEE URAW
NENIE NAZYWA@T URAWNENIEM PU^KA PRQMYH
eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANNYE SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x
B1y C1
I A2x B2 y C2 PARALLELXNY NO NE SOWPADA@T
TO WSQKAQ PRQMAQ IME@]AQ URAWNENIE
,
.
-
.
,
+
= 0
,
+
+
,
= 0
+
(
),
,
A1x B1 y C1
(
+
+
) +
A2x B2y C2
(
+
+
:
) = 0
PRI NEKOTORYH I PARALLELXNA `1 I `2 wS@ SOWOKUPNOSTX PRQMYH
PRI \TOM TAKVE NAZYWA@T PU^KOM NESOBSTWENNYM PRQMYH
,
.
(
)
.
zada~i
155. oPREDELITX WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH W KAVDOJ IZ
SLEDU@]IH TROEK PRQMYH
x y;
x; y
x;y
x; y
x; y
x; y
x y;
x; y
x
y;
y
y
x;y
x; y
x; y
x y
x;y
x; y;
x y
x y;
x;y
:
156. nAPISATX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PE
RESE^ENIQ PRQMYH x ; y
I x y;
I ^EREZ TO^KU
A ;
157. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y
x y;
PROWESTI PRQMYE PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT
158. tEOREMA ~EWY nA STORONAH AB BC I CA TREUGOLXNIKA
ABC DANY TO^KI C0 A0 I B0 TAKIE ^TO BCA0
1 CAB0
2
:
1) 2
+
3 = 0
3
2
+ 5 = 0
5
2
4
+ 7 = 0
3
2)
2
+3 = 0
3)
+4
5 = 0
4)
2
5 = 0
5)
+ 7 = 0
6) 2
+ 3
+ 5 = 0
7) 3
+ 2
+ 6 = 0
2
2
+ 7 = 0
+ 6
+ 4 = 0
= 0
+ 1 = 0
9
6
+ 3 = 0
+ 2 = 0
+ 3 = 0
+ 2 = 0
5 = 0
4
4
3
4
5
+ 1 = 0
12 = 0
+ 3 = 0
,
: 7
(2
+ 3 = 0
3
-
+ 5
4 = 0,
1).
2
0
,
6
+3 = 0
5
+
2 =
.
(
).
,
,
,
34
(
) =
, (
) =
I ABC0
3 dOKAZATX ^TO PRQMYE AA0 BB0 I CC0 PERESEKA@TSQ
W ODNOJ TO^KE TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA 1 2 3
(
) =
.
,
,
,
= 1.
||||||||||||||{
159. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO
ORDINAT I TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x y ;
x; y
160. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x; y
x; y
PROWESTI PRQMU@ PARALLELXNU@ PRQMOJ x ; y
161. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI PE
RESE^ENIQ PAR PRQMYH x ; y x y ;
Ix y x; y
,
-
2
+
3 = 0
3
0
,
5
7
4
+2 = 0
2
+ 2 = 0.
5
2
+ 4 = 0.
,
2
3
7
14
= 0
+4 =
-
+ 4
2 = 0
+ 2
= 0
+ 4 = 0.
pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
dLQ PRQMOJ ` IME@]EJ URAWNENIE Ax By C
W PRQMOUGOLX
NOJ SISTEME KOORDINAT WEKTOR N fA B g QWLQETSQ NORMALXNYM
WEKTOROM A WEKTOR a f;B Ag NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM
eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANY SOOTWETSTWENNO URAWNENIQMI A1x
B1y C1
I A2x B2y C2
TO KOSINUS UGLA MEVDU NIMI
RAWEN
' A2 1A2 2 B12B2 2 :
,
+
,
,
+
-
=
=
.
,
+
= 0
= 0
+
+
,
+
= 0,
+
q
q
A1 B1 A2 B2
rASSTOQNIE d OT TO^KI M x0 y0 DO PRQMOJ ZADANNOJ OTNOSITELX
NO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT URAWNENIEM Ax By C
cos
=
+
(
+
)
,
+
+
-
= 0
OPREDELQETSQ PO FORMULE
d jAxp0 2By0 2 C j :
A B
+
=
+
+
pUSTX UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO LU
^A OP PROHODQ]EGO ^EREZ NA^ALO KOORDINAT PERPENDIKULQRNOGO K
PRQMOJ AB I PERESEKA@]EGO \TU PRQMU@ A p RASSTOQNIE OT NA
^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ AB tOGDA URAWNENIE PRQMOJ AB MOVET
|
-
,
,
,
.
35
|
-
BYTX ZAPISANO W WIDE
:
x
cos
y
+
sin
;p
= 0
:
|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM PRQMOJ
.
zada~i
162. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU
PERPENDIKULQRNO K PRQMOJ x ; y
163. dANY WERINY TREUGOLXNIKA A B ; I C ; ;
sOSTAWITX URAWNENIE WYSOTY OPU]ENNOJ IZ WERINY A NA STORONU
,
4)
3
2
(7,
+ 4 = 0.
:
(4
6)
(
4
0)
(
1
4).
,
BC
.
164. nAJTI PROEKCI@ TO^KI
NA PRQMU@ x ; y ;
165. nAJTI TO^KU SIMMETRI^NU@ TO^KE M ; OTNOSITELXNO
PRQMOJ x ; y
166. oPREDELITX UGLY MEVDU DWUMQ PRQMYMI ESLI IZWESTNY IH
UGLOWYE KO\FFICIENTY k1 31 k2 ; 21
167. sOSTAWITX URAWNENIE BISSEKTRISY UGLA 6 A TREUGOLXNIKA
ABC S WERINAMI A B ; I C 168. nAJTI RASSTOQNIQ OT TO^EK
DO PRQMOJ x y
169. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH PARALLELXNYH PRQMOJ x ;
p
y
I OTSTOQ]IH OT NEE NA RASSTOQNII
170. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI M DO PRQMOJ ` ZADANNOJ
URAWNENIEM x ; y ;
W NEKOTOROJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT
ESLI IZWESTNY g11
g12
g22
171. dOKAZATX ^TO WYSOTY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ
TO^KE PRINADLEVAT ODNOMU PU^KU PRQMYH
(-5, 6)
7
,
2
3
(
2
13
105 = 0.
9)
+ 18 = 0.
,
=
(3
1),
=
(0
.
3)
(7
4).
(3, 1), (2, -4), (5, -1), (0, -3), (0,
0)
3
+ 4
= 0.
,
2
7
+ 4 = 0
53.
(2
2
3
1)
5 = 0
= 4,
,
,
= 8,
= 25.
,
(
).
||||||||||||||{
172. uSTANOWITX KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH BUDUT
,
36
WZAIMNO PERPENDIKULQRNY
x; y
x y;
:
x y;
x; y
x y
x; y
x y;
x y
x;y x y
x
y;
:
173. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH x ; y
1)
2
+ 3 = 0
2
+
5 = 0
2) 2
+ 3
6 = 0
2
3
+ 4 = 0
3) 3
+ 7
+ 4 = 0
7
3
+ 2 = 0
4) 5
+ 6
8 = 0
6
+ 5
+ 2 = 0
5)
= 0
6)
+ 3 = 0
+
= 0
2 = 0
x y;
PROWESTI PRQMU@ PERPENDIKULQRNU@ K PRQMOJ x y
174. nA PRQMOJ x ; y
NAJTI TO^KU RAWNOUDALENNU@ OT
3
,
= 0
2
3
+1 = 0
+4
+7
2 = 0
= 0.
,
DWUH TO^EK
I
175. dANY DWE WERINY TREUGOLXNIKA A ; B ; I TO^
KA H PERESE^ENIQ EGO WYSOT wY^ISLITX KOORDINATY TRETXEJ
WERINY C
176. ~EREZ TO^KU
PROWESTI PRQMYE NAKLONENNYE K PRQMOJ
x y;
POD UGLOM 177. oPREDELITX RASSTOQNIQ OT TO^EK
I
DO PRQMOJ
x;y
178. dOKAZATX ^TO PRQMYE x ; y
x; y
PARALLELXNY I NAJTI RASSTOQNIE I MEVDU NIMI
179. cENTR SIMMETRII KWADRATA NAHODITSQ W TO^KE
URAW
NENIE ODNOJ IZ EGO STORON x y ;
sOSTAWITX URAWNENIQ TREH
DRUGIH STORON
(-3, 1)
(5, 4).
(
(1
2)
6
2)
(2
2)
-
.
.
(3, 1)
2
+ 3
1 = 0
,
45 .
(1, 0)
3
(-1, 2)
+ 4 = 0.
,
3
7
+ 2 = 0
,
3
7
+ 3 = 0
.
(-1, 0)
+3
-
5 = 0.
.
15
oKRUVNOSTX
uRAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE C a b I RADIUSOM r OT
NOSITELXNO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT IMEET WID
(
)
-
:
(
x;a 2
)
+ (
y ; b 2 r2 :
37
)
=
|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM OKRUVNOSTI
uRAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI W TO^KE M0 x0 y0 IMEET
WID
x ; x0 x0 ; a y ; y0 y0 ; b
:
.
(
)
:
(
)(
) + (
)(
) = 0
zada~i
180. oPREDELITX KOORDINATY CENTRA S I RADIUS r KAVDOJ IZ
SLEDU@]IH OKRUVNOSTEJ
x2 y2 ; x
x2 y2 x ; y
x2 y2 ; x
y;
x2 y2 x ; y ;
181. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI
I
ESLI EE CENTR LEVIT NA PRQMOJ x ; y
182. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ DWUH PRQ
MYH x y ;
x;y
I PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO
KOORDINAT
183. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2 ;
x y
W NA^ALE KOORDINAT
184. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax
By C
KASAETSQ OKRUVNOSTI x2 y2 R2
185. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K OKRUVNOSTI x ; 2
y 2
PARALLELXNYH PRQMOJ x ; y
:
1)
+
6
2)
+
+6
3)
+
4) 3
= 0
8
10
+ 3
= 0
+ 24
+ 6
56 = 0
4
1 = 0.
,
(2, 1)
(3, 4),
2
+ 1 = 0.
,
2
+
1 = 0
2
-
+ 2 = 0
.
+
2
+ 6
= 0
.
+
+
= 0
+
=
?
(
(
+ 2)
= 25,
3
4
1)
+
= 0.
||||||||||||||{
186. pRIWESTI K NORMALXNOMU WIDU URAWNENIQ OKRUVNOSTEJ
x2 y2 ; x y
x2 y2 x ; y ;
x2 y2 ; x y
187. oKRUVNOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KI
I
:
1)
2)
3) 3
+
+
+ 3
2
+ 4
+
= 0
5
2
3 = 0
+ 7
+ 1 = 0.
(1, 4), (-7, 4)
38
(2, -5).
y
x ; ae
=
x
d1
M x y
(
r1
F1 ;c
(
O
F2 c
(
a
e
)
r2
0)
=
d2
x
0)
rIS
. 4.
nAJTI EE CENTR RADIUS I URAWNENIE
188. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI KASA@]EJSQ PRQMOJ x
y
I PRQMOJ x ; y
W TO^KE
189. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 y2
Ax By
W NA^ALE KOORDINAT
190. oPREDELITX DLINU OTREZKA KASATELXNOJ PROWEDENNOJ IZ
TO^KI
K OKRUVNOSTI x2 y2 ; x
,
.
,
2
= 0
2
+ 1 = 0
+
(-1, 0).
+
+
= 0
+
.
,
(7, 1)
16
+
6
= 0.
|LLIPS
|LLIPS ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK SUMMA RASSTOQNIJ KOTORYH
OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW \LLIPSA ESTX WELI^INA POSTO
QNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS
pROSTEJEE URAWNENIE \LLIPSA MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@ SO
EDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W
,
|
,
-
2 .
= 2
,
,
39
(
.4).
,
-
SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE \LLIPSA PRIMET WID
.
x2 y 2
a2 b2
+
= 1
:
GDE b2 a2 ; c2
pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T
S OSQMI SIMMETRII \LLIPSA A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMET
RII
tO^KI PERESE^ENIQ \LLIPSA S EGO OSQMI A1 I A2 B1 I B2 NAZY
WA@TSQ WERINAMI \LLIPSA
oTREZKI ZAKL@^ENNYE MEVDU WERINAMI NAZYWA@TSQ OSQMI \L
LIPSA BOLXAQ FOKALXNAQ OSX A2A1 a I MALAQ OSX B2 B1 b
~ISLO
=
.
,
-
.
(
,
)
-
.
,
:
,
(
)
-
= 2
= 2 .
e ac <
NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM \LLIPSA
rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y \LLIPSA DO FOKUSOW NAZYWA@TSQ
EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 MY IMEEM
=
1
.
(
)
r2 a ; ex :
r1 a ex
=
:
+
=
pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI
,
x ae =
NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI \LLIPSA
oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI \LLIPSA DO FOKUSA r1 ILI
r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1
ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU
.
(
)
(
)
:
r1
d1
=
r2
d2
=
e:
sEREDINY PARALLELXNYH HORD \LLIPSA LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ
NAZYWAEMOJ DIAMETROM \LLIPSA SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eSLI
,
,
40
.
UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD \LLIPSA TO URAWNENIE SOPRQVENNOGO
IM DIAMETRA IMEET WID
k
|
,
:
x ky
a2 b2
+
= 0
:
dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL
LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG
LOWYE KO\FFICIENTY TO
,
,
.
,
-
|
-
,
2
b
r1r2 ; a2 :
kASATELXNAQ K \LLIPSU W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAW
=
(
NENIEM
:
xx0 yy0
a2 b2
+
= 1
)
-
:
zada~i
191. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA ESLI
POLUOSI EGO SOOTWETSTWENNO RAWNY I
RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I BOLXAQ OSX RAWNA
BOLXAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1312
y
192. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA x25 169
193. dAN \LLIPS 36x 20y
nAPISATX URAWNENIQ EGO DIREKTRIS
194. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ZNAQ ^TO
MALAQ OSX EGO WIDNA IZ FOKUSA POD PRQMYM UGLOM
RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO RASSTOQNI@ MEVDU WERINAMI
MALOJ I BOLXOJ OSEJ
RASSTOQNIE MEVDU DIREKTRISAMI W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQ
NIQ MEVDU FOKUSAMI
y
x
195. nA \LLIPSE 100
NAJTI TO^KU RASSTOQNIE KOTOROJ
36
OT PRAWOGO FOKUSA W ^ETYRE RAZA BOLXE RASSTOQNIQ EE OT LEWOGO
FOKUSA
,
1)
5
2)
8
3)
4
10
26
.
=
2
2
+
2
:
+
2
= 1.
= 1.
.
,
,
1)
:
2)
3)
-
.
2
+
2
= 1
.
41
,
SOPRQVENNYJ
196. oPREDELITX DIAMETR \LLIPSA x25 16y
HORDAM IME@]IM UGLOWOJ KO\FFICIENT k 32
197. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY \LLIPSA x25 16y
KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM
198. dOKAZATX ^TO STORONY PRQMOUGOLXNIKA WPISANNOGO W \L
LIPS PARALLELXNY EGO OSQM
W
199. nAPISATX URAWNENIE KASATELXNOJ K \LLIPSU 32x 18y
TO^KE M 200. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K \LLIPSU x25 16y
PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU N 201. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax
By C
KASAETSQ \LLIPSA xa yb
202. nAJTI OB]IE KASATELXNYE K SLEDU@]IM DWUM \LLIPSAM
y
x
I x4 y5
5
4
203. dOKAZATX ^TO OTREZKI KASATELXNYH K \LLIPSU xa yb
ZAKL@^ENNYE MEVDU KASATELXNYMI PROWEDENNYMI W WERINAH BOLX
OJ OSI WIDNY IZ FOKUSOW POD PRQMYM UGLOM
204. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO PROEKCIJ KAKOGO LIBO FOKUSA
\LLIPSA NA KASATELXNYE K \TOMU \LLIPSU
205. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@
]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA
]U@ WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI
2
,
2
+
=
= 1,
.
2
(2
1)
2
+
= 1,
.
,
,
-
.
2
(4
2
+
= 1
3).
2
(10
2
+
= 1,
4).
+
+
2
2 +
= 0
2
2 = 1?
:
2
+
2
= 1
2
2
+
= 1.
2
2 = 1,
2
2 +
,
,
-
,
.
-
.
,
-
,
-
.
||||||||||||||{
206. oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA 25x y16
207. oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA ESLI
OTREZOK MEVDU FOKUSAMI WIDEN IZ WERIN MALOJ OSI POD UGLOM
2
+
2
= 1.
,
1)
:
60 RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ WERINAMI \LLIPSA RAZLI^NYH OSEJ W
DWA RAZA BOLXE RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI
2)
42
RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI ESTX SREDNEE ARIFMETI^ESKOE DLIN
OSEJ
208. pRQMYE x SLUVAT DIREKTRISAMI \LLIPSA MALAQ OSX
KOTOROGO RAWNA nAJTI URAWNENIE \TOGO \LLIPSA
209. ~EREZ FOKUS F c \LLIPSA xa yb
PROWEDENA HORDA
PERPENDIKULQRNAQ K BOLXOJ OSI nAJTI DLINU \TOJ HORDY
210. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ PROHODQ]EJ ^EREZ SEREDINY
y
x
HORD x ; y
x;y;
\LLIPSA 100
64
211. oPREDELITX KASATELXNYE K \LLIPSU x16 y9
PARALLELX
NYE PRQMOJ x y ;
PROWEDEN
212. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb
NYE W KONCAH ODNOGO I TOGO VE DIAMETRA PARALLELXNY MEVDU SOBOJ
I OBRATNO ESLI DWE KASATELXNYE K \LLIPSU PARALLELXNY TO TO^KI
I KASANIQ LEVAT NA ODNOM I TOM VE DIAMETRE
213. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ L@BOJ KASATELX
NOJ \LLIPSA OT DWUH EGO FOKUSOW ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ
KWADRATU MALOJ POLUOSI
214. dOKAZATX ^TO KASATELXNYE K \LLIPSU xa yb
OTSEKA@T
NA DWUH KASATELXNYH PROWEDENNYH W KONCAH BOLXOJ OSI OTREZKI
PROIZWEDENIE KOTORYH ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ b2
215. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax
3)
.
=
8
,
8.
.
(
2
2 +
0)
2
2 = 1
,
.
.
,
2
+ 7 = 0
2
2
1 = 0
2
+
+
+
2
2
= 1.
= 1,
-
2
2 = 1,
-
1 = 0.
2
2 +
,
,
,
,
,
.
,
-
,
.
2
2 +
,
,
2
2 = 1
,
,
,
.
+
By C
+
= 0:
PERESEKAET \LLIPS xa yb
NE PERESEKAET \TOT \LLIPS
216. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOGO \LLIPSA
DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOMU \LLIPSU
1)
2)
2
2 +
2
2 = 1?
?
.
43
y
x ; ae
=
F1 ;c
(
x
a
e
F2 c
O
0)
=
(
x
0)
rIS
. 5.
17
gIPERBOLA
gIPERBOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK DLQ KOTORYH ABSOL@T
NAQ WELI^INA RAZNOSTI RASSTOQNIJ OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK FOKUSOW GIPERBOLY ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ RAWNAQ a rASSTOQNIE
MEVDU FOKUSAMI F2F1 c RIS
pROSTEJEE URAWNENIE GIPERBOLY MY POLU^IM WYBRAW PRQMU@
SOEDINQ@]U@ FOKUSY ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT
W SEREDINE MEVDU NIMI tOGDA URAWNENIE GIPERBOLY PRIMET WID
x2 ; y2
a2 b2
GDE b2 c2 ; a2
pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T
S OSQMI SIMMETRII GIPERBOLY A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM
SIMMETRII
gIPERBOLA IMEET DWE DEJSTWITELXNYE WERINY TO^KI PERESE^E
,
-
|
,
= 2
(
2 .
. 5).
,
,
,
.
:
= 1
=
.
,
|
.
|
44
-
NIQ GIPERBOLY S OSX@ Ox OTREZOK ZAKL@^ENNYJ MEVDU NIMI NAZY
WAETSQ DEJSTWITELXNOJ WE]ESTWENNOJ OSX@ GIPERBOLY sO WTOROJ
OSX@ GIPERBOLA PERESEKAETSQ W DWUH MNIMYH TO^KAH ib uSLOW
NO DEJSTWITELXNYJ OTREZOK b NAZYWAETSQ MNIMOJ OSX@ GIPERBOLY
~ISLO
,
-
(
)
.
(0
,
).
-
2
.
e ac >
NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM GIPERBOLY
rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M x y GIPERBOLY DO FOKUSOW NAZYWA
@TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI-WEKTORAMI r1 I r2 DLQ LEWOJ WETWI
=
1
.
(
)
-
GIPERBOLY MY IMEEM
:
r1 ;a ; ex
r2 a ; ex
r1 a ex
r2 ;a ex :
=
=
DLQ PRAWOJ WETWI
:
=
+
=
+
pRQMYE OPREDELQEMYE URAWNENIQMI
,
x ae =
NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI GIPERBOLY
oTNOENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI GIPERBOLY DO FOKUSA r1 ILI
r2 K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY d1
ILI d2 RAWNO \KSCENTRISITETU
.
(
)
(
)
:
r1
d1
=
r2
d2
=
e:
sEREDINY PARALLELXNYH HORD GIPERBOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ
NAZYWAEMOJ DIAMETROM GIPERBOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM eS
LI k UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD GIPERBOLY TO URAWNENIE SOPRQ
VENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID
,
.
|
,
:
x ;ky
a2 b2
45
= 0
:
,
-
dWA DIAMETRA IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY PARAL
LELXNYE DRUGOMU NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI eSLI k1 k2 IH UG
LOWYE KO\FFICIENTY TO
,
,
.
,
-
|
-
,
k1 k2
=
b2 :
a2
kASATELXNAQ K GIPERBOLE W EGO TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ
URAWNENIEM
xx0 ; yy0
:
a2 b2
aSIMPTOTY GIPERBOLY OPREDELQ@TSQ URAWNENIQMI
y ab x :
dWE GIPERBOLY
2 y2
x2 ; y2
x
I a2 ; b2 ;
a2 b2
NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI
(
)
:
= 1
:
=
= 1
=
1
.
zada~i
217. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI
DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I \KSCENTRISITET e 1213
DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA I UGOL MEVDU ASIMPTOTOJ I OSX@
ABSCISS OPREDELQETSQ USLOWIEM 34
218. dANY URAWNENIQ ASIMPTOT GIPERBOLY y 125 x I KOORD
NATY TO^KI M LEVA]EJ NA GIPERBOLE sOSTAWITX URAWNENIE
GIPERBOLY
y
219. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 25x ; 144
220. dOKAZATX ^TO DIREKTRISA GIPERBOLY PROHODIT ^EREZ OSNO
WANIE PERPENDIKULQRA OPU]ENNOGO IZ SOOTWETSTWU@]EGO FOKUSA NA
ASIMPTOTU GIPERBOLY wY^ISLITX DLINU \TOGO PERPENDIKULQRA
221. sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY GIPERBOLY x9 ; y4
KOTORAQ TO^KOJ M DELITSQ POPOLAM
,
1)
48
2)
16
=
tg
=
:
.
-
=
(24
5),
.
.
2
2
= 1.
,
-
,
.
.
2
(5
1)
.
46
2
= 1,
222. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x5 ; y4
W TO^KE M ;
223. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K GIPERBOLE x9 ; y36
ESLI KASATELXNAQ
PARALLELXNA PRQMOJ x ; y ;
PERPENDIKULQRNA K PRQMOJ x y
224. oPREDELITX PROIZWEDENIE RASSTOQNIQ OT FOKUSOW GIPERBOLY
x ;y
DO KASATELXNOJ
a
b
225. dOKAZATX ^TO PROIZWEDENIE OTREZKOW OTSEKAEMYH KASATELX
NOJ K GIPERBOLE NA EE ASIMPTOTAH S^ITAQ OT CENTRA RAWNO KWAD
RATU POLOWINY RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI
226. dOKAZATX ^TO TO^KA GIPERBOLY SLUVIT SEREDINOJ OTREZKA
KASATELXNOI K \TOJ GIPERBOLE ZAKL@^ENNOGO MEVDU ASIMPTOTAMI
2
2
(5
= 1
4).
2
2
= 1,
:
1)
3
17 = 0
2)
2
2
2
2
2 = 1
+ 5
+ 11 = 0.
.
,
,
-
(
),
-
.
,
,
.
||||||||||||||{
227. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY ESLI
DEJSTWITELXNAQ POLUOSX a I MNIMAQ b
RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO I DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA
,
1)
2)
= 5
:
= 3
10
8.
x ;y
228. oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 225
64
229. sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY IME@]EJ OB]IE FOKUSY
S \LLIPSOM 49x 24y
PRI USLOWII ^TO \KSCENTRISITET EE e 45
tREBUETSQ
230. dANA GIPERBOLA x9 ; 16y
WY^ISLITX KOORDINATY FOKUSOW
WY^ISLITX \KSCENTRISITET
NAPISATX URAWNENIQ ASIMPTOT I DIREKTRIS NAPISATX URAWNE
NIE SOPRQVENII GIPERBOLY I WY^ISLITX EE \KSCENTRISITET
231. nAJTI WERINY KWADRATA WPISANNOGO W GIPERBOLU xa ; yb
I ISSLEDOWATX W KAKIE GIPERBOLY WOZMOVNO WPISATX KWADRAT
232. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ
2
2
= 1.
,
2
2
+
= 1
,
2
2
1)
= 1.
=
.
:
2)
3)
4)
-
.
,
1,
,
2
2
2
2 =
.
47
S GIPERBOLOJ xa ; yb
233. dANY FOKUSY GIPERBOLY F1 F2 ; ; I URAWNENIE
KASATELXNOJ x y ;
oPREDELITX POLUOSI
234. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ KASA@
]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU LEVA
]U@ WNE \TOJ OKRUVNOSTI
235. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOJ GIPERBO
LY DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOJ GIPERBOLE
236. nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA OBRAZOWANNOGO ASIMPTOTAMI
GIPERBOLY xa ; yb
I PROIZWOLXNOJ KASATELXNOJ K \TOJ GIPERBOLE
Ax By C
+
+
2
2 = 1.
2
2
= 0
(4
3
+ 4
2)
(
1
5 = 0.
10)
.
,
-
,
-
.
-
,
.
,
2
2
18
2
2 = 1
.
pARABOLA
pARABOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK RAWNOUDALENNYH OT PO
STOQNNOJ TO^KI FOKUSA PARABOLY I POSTOQNNOJ PRQMOJ DIREKTRISY PARABOLY RIS
eSLI ZA OSX ABSCISS PRINQTX PERPENDIKULQR OPU]ENNYJ IZ FOKU
SA NA DIREKTRISU A NA^ALO KOORDINAT POMESTITX POSREDINE MEVDU
FOKUSOM I DIREKTRISOJ TO URAWNENIE PARABOLY BUDET
,
|
-
|
(
|
. 6).
,
-
,
,
:
y2
px = 2
GDE PARAMETR p ESTX RASSTOQNIE FOKUSA OT DIREKTRISY pARABOLA
IMEET ODNU OSX SIMMETRII KOTORAQ SOWPADAET PRI TAKOM WYBORE
SISTEMY KOORDINAT S OSX@ Ox eDINSTWENNAQ WERINA PARABOLY
SOWPADAET S NA^ALOM KOORDINAT
dIREKTRISA PARABOLY OPREDELQETSQ URAWNENIEM
.
,
,
,
.
.
:
x ;p :
=
2
rASSTOQNIE r L@BOJ TO^KI M x y PARABOLY DO FOKUSA OPREDE
(
48
)
-
x ; 2p
=
y
M x y
(
O F 2p (
rIS
LQETSQ FORMULOJ
r
)
x
0)
. 6.
=
p x:
2
+
sEREDINY PARALLELXNYH HORD PARABOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ
NAZYWAEMOJ DIAMETROM PARABOLY SOPRQVENNYM \TIM HORDAM wSE
DIAMETRY PARABOLY PARALLELXNY EE OSI SIMMETRII I OPREDELQ@TSQ
URAWNENIEM
,
,
.
y kp =
GDE k UGLOWOJ KO\FFICIENT SOPRQVENNYH EMU HORD
kASATELXNAQ K PARABOLE W TO^KE M0 x0 y0 OPREDELQETSQ URAWNE
NIEM
|
.
(
)
-
y0y p x x0 :
=
(
+
)
zada~i
237. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2
49
= 4
x
.
238. sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY ESLI RASSTO
QNIE FOKUSA OT WERINY RAWNO
239. nA PARABOLE y2 x NAJTI TO^KU FOKALXNYJ RADIUS WEKTOR
KOTOROJ RAWEN
240. ~EREZ FOKUS PARABOLY y2 px PROWEDENA HORDA PERPENDI
KULQRNAQ K EE OSI oPREDELITX DLINU \TOJ HORDY
241. nAJTI TAKU@ HORDU PARABOLY y2 x KOTORAQ TO^KOJ DELITSQ POPOLAM
242. nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ
Ax By C
I PARABOLY y2 px
243. oPREDELITX GEOMETRI^ESKOE MESTO OSNOWANIJ PERPENDIKU
LQROW OPU]ENNYH IZ FOKUSA PARABOLY y2 px NA KASATELXNYE
244. nAJTI KRAT^AJEE RASSTOQNIE PARABOLY y2 x OT PRQMOJ
,
-
3.
= 6
,
-
20.
= 2
,
.
-
.
= 4
,
(3
1)
.
+
+
= 0
= 2
.
-
,
= 2
.
= 4
x
4
+ 3
y
+ 46 = 0.
245. mOSTOWAQ ARKA IMEET FORMU PARABOLY oPREDELITX PARA
METR \TOJ PARABOLY ZNAQ ^TO PROLET ARKI RAWEN M A WYSOTA
M
246. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW PROHODQ]IH
^EREZ DANNU@ TO^KU I KASA@]IHSQ DANNOJ PRQMOJ
.
,
6
-
,
24
,
.
,
.
||||||||||||||{
247. oPREDELQTX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY x2 y
248. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 ; x
249. sOSTAWITX URAWNENIE DIREKTRISY PARABOLY y2 x
250. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K PARABOLE y2 x W
TO^KE M 251. dANO URAWNENIE KASATELXNOJ x ; y
K PARABOLE
y2 px sOSTAWITX URAWNENIE PARABOLY
252. dOKAZATX ^TO L@BAQ KASATELXNAQ PARABOLY PERESEKAET DI
REKTRISU I FOKALXNU@ HORDU PERPENDIKULQRNU@ K OSI W TO^KAH
= 4 .
=
8
.
= 6
.
= 4
(9
6).
3
= 2
.
+ 9 = 0
.
,
-
,
,
50
,
RAWNOUDALENNYH OT FOKUSA
253. kAMENX BROENNYJ POD OSTRYM UGLOM K GORIZONTU OPISAL
DUGU PARABOLY I UPAL NA RASSTOQNII M OT NA^ALXNOGO POLOVE
NIQ oPREDELITX PARAMETR PARABOLI^ESKOJ TRAEKTORII ZNAQ ^TO
NAIBOLXAQ WYSOTA DOSTIGNUTAQ KAMNEM RAWNA M
254. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW KASA@]IHSQ
OSI ORDINAT I KRUGA x2 y2
.
,
,
16
-
.
,
,
,
12
,
.
,
+
19
= 1.
pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
oB]EE PREOBRAZOWANIE ODNOJ AFFINNOJ SISTEMY KOORDINAT NA PLOS
KOSTI W DRUGU@ OPREDELQETSQ PO FORMULAM
-
:
x
y
a1x0 b1y0 c1 a2x0 b2y0 c2 =
=
+
+
+
+
;;!
GDE RIS a1 a2 KOORDINATY WEKTORA ;
O0 E10 b1 b2 KOORDINATY
;;!
WEKTORA ;
O0 E20 c1 c2 KOORDINATY TO^KI O0 OTNOSITELXNO SISTEMY
KOORDINAT Oxy x y KOORDINATY PROIZWOLXNOJ TO^KI M PLOSKOS
TI OTNOSITELXNO SISTEMY Oxy I x0 y0 KOORDINATY TOJ VE TO^KI M
OTNOSITELXNO SISTEMY O0x0 y0
w SLU^AE PARALLELXNOGO PERENOSA FORMULY IME@T WID
(
.7)
|
,
,
|
|
,
|
-
.
:
x
y
x0 c1 y0 c2 :
=
+
=
+
fORMULY PREOBRAZOWANIQ POWOROTA ODNOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY
KOORDINAT Oxy W DRUGU@ PRQMOUGOLXNU@ SISTEMU O0x0 y0 IME@T WID
x
x0 ; y 0 :
=
y
=
cos
x0
sin
sin
y0
51
+
cos
y0
x0
y
E20
E10
O0
E2
O
x
E1
rIS
GDE UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox DO POLOVI
TELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox0 sISTEMY Oxy I O0x0 y0 W \TOM SLU^AE
NAZYWA@TSQ SISTEMAMI ODNOGO KLASSA eSLI VE NOWAQ SISTEMA KOOR
DINAT O0x0y0 POLU^AETSQ IZ STAROJ SISTEMY Oxy POWOROTOM NA UGOL
I POSLEDU@]EJ SIMMETRIEJ OTNOSITELXNO Ox0 TO FORMULY PRE
OBRAZOWANIQ BUDUT
. 7.
|
-
.
.
-
,
-
:
x
y
=
=
x0
x0
cos
sin
y0
; y0
+
sin
cos
:
w \TOM SLU^AE SISTEMY Oxy I O0x0y0 NAZYWA@TSQ SISTEMAMI RAZNYH
KLASSOW
eSLI NAM DANY DWE SISTEMY KOORDINAT W PROSTRANSTWE Oxyz I
;;;!
;;;!
;;;!
O0x0 y0z 0 PRI^EM O0 E10 fa1 a2 a3g O0 E20 fb1 b2 b3g O0 E30
fc1 c2 c3g O0 d1 d2 d3 TO KOORDINATY x y z TO^KI M OTNOSI
TELXNO SISTEMY Oxyz ^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 TOJ VE TO^KI OTNO
.
,
=
,
(
,
),
=
,
=
-
52
SITELXNO SISTEMY O0x0y0z 0 WYRAVA@TSQ FORMULAMI
:
x
y
z
=
=
=
a1x0 b1y0 c1z 0 d1 a2x0 b2y0 c2z 0 d2 a3x0 b3y0 c3z 0 d3 :
+
+
+
+
+
+
+
+
+
zada~i
255. nAJTI NOWYE KOORDINATY TO^EK A B ; C W SISTEME POLU^ENNOJ PERENOSOM DANNOJ AFFINNOJ ESLI ZA NOWOE
NA^ALO KOORDINAT PRINIMAETSQ TO^KA O0 ;
256. nAJTI FORMULY PREOBRAZOWANIQ AFFINNOJ SISTEMY KOORDI
NAT NA PLOSKOSTI W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW ESLI DANY STARYE
KOORDINATY NOWYH EDINI^NYH WEKTOROW I STARYE KOORDINATY NOWO
GO NA^ALA
KOORDINAT;;;!
;
;;
!
0
0
O E1 f g O0 E20 f g O0 ;
;;!
;;;!
O0 E10 f g O0 E20 f g O0 ;
;;!
;;;!
O0 E10 f g O0 E20 f; g O0 ;
;;!
;;;!
O0 E10 fa g O0 E20 f bg O0 ;
;;!
;;;!
O0 E10 f ag O0 E20 fb g O0 :
257. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 pO OTNOENI@
K PERWOJ SISTEME NA^ALO WTOROJ NAHODITSQ W TO^KE O0 A
EDINI^NYE WEKTORY WTOROJ SISTEMY SUTX e01f g e02f g
e03f g
NAPISATX WYRAVENIQ KOORDINAT TO^EK OTNOSITELXNO PERWOJ SIS
TEMY ^EREZ IH KOORDINATY WO WTOROJ SISTEME
WYRAZITX KOORDINATY TO^EK OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY ^EREZ
IH KOORDINATY W PERWOJ SISTEME
NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3
PERWOJ SISTEMY OTNOSITELXNO WTOROJ
258. nAJTI URAWNENIE GIPERBOLY W SISTEME KOORDINAT KOORDI
NATNYMI OSQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ASIMPTOTY
(2
3)
(
,
5
4)
(0
2)
,
(7
1).
-
,
-
:
1)
=
2
5
=
7
9
(3
1)
2)
=
5
0
=
0
4
(3
5)
3)
=
0
2
=
(0
2)
4)
=
0
=
(0
0)
5)
=
(0
0)
0
=
7
0
0
0
..
(2
2
1
1
4
1 ,
1
0
3),
4
4 ,
0 1)
-
2)
3)
.
,
.
53
-
259. nA^ALO I WEKTORY BAZISA NOWOGO REPERA NA PLOSKOSTI ZA
DANY SWOIMI KOORDINATAMI OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOGO REPERA
O0 ; e01 f g e02 f g
kAKOE URAWNENIE W NOWOJ SISTEME KOORDINAT BUDET IMETX PRQ
MAQ ` x ; y
kAKOE URAWNENIE OTNOSITELXNO PERWONA^ALXNOJ SISTEMY KOOR
DINAT IMEET KOORDINATNAQ OSX O0y0
kAKIE KOORDINATY IME@T TO^KI O I A ; W NOWOJ
SISTEME KOORDINAT
260. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE
KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T
BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f g
e2 f g e3 f g x f g
261. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ
BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH
DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g e01
f g e02 f g e03 f ; g
262. pO OTNOENI@ K KOSOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT ! 3
DANA TO^KA M ; nAJTI KOORDINATY \TOJ VE TO^KI PRINQW ZA
NOWYE OSI KOORDINAT BISSEKTRISY PREVNIH KOORDINATNYH UGLOW
263. kOORDINATY RQDA TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ x2
y2 x ; y
kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX
KOORDINATY TEH VE TO^EK ESLI PREVNQQ SISTEMA KOORDINAT ZAMENENA
NOWOJ A IMENNO NA^ALO KOORDINAT PERENESENO W TO^KU O0 ; A NAPRAWLENIE OSEJ NE IZMENILOSX
-
:
(1
1),
=
2
3 ,
=
1
2 .
1)
-
: 2
3
+ 5 = 0?
2)
-
?
3)
(0
0)
(
2
1)
?
-
.
,
,
=
:
1
1
2
=
1
2
3 1
2
1
=
6
9
=
1
1
1
14 .
,
,
:
3
1
4
=
=
5
2
1
=
=
1
1
2
3
3
=
3
7
1 6 .
(
(
1
=
4).
=
)
,
.
+
+ 2
10
+ 22
= 0.
,
,
|
(
1
5),
?
||||||||||||||{
264. w AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT ZADANA TO^KA M eE
KOORNATY POSLE PERENOSA SOOTWETSTWENNO RAWNY I nAJTI STARYE
KOORDINATY NOWOGO NA^ALA O0 I NOWYK EDINI^NYH TO^EK E10 E20 E 0
(2
-4
54
7.
5).
I NOWYE KOORDINATY STAROGO NA^ALA O I STARYH EDINI^NYH TO^EK
E1 E2 E
.
265. dANY DWE SISTEMY KOORDINAT Oxy I O0x0 y0 kOORDINATY x
I y PROIZWOLXNOJ TO^KI OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY WYRAVA@TSQ
^EREZ EE KOORDINATY x0 I y0 OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY SLEDU@
]IMI FORMULAMI
.
-
:
x
x0 ; y 0
= 2
5
+3
y ;x0
=
y0 ; :
+ 2
2
nAJTI KOORDINATY NA^ALA WTOROJ SISTEMY I EDINI^NYH WEKTOROW EE
OSEJ OTNOSITELXNO PERWOJ SISTEMY
266. kOORDINATY x y z TO^EK W SISTEME Oxyz WYRAVA@TSQ
^EREZ KOORDINATY x0 y0 z 0 \TIH TO^EK W SISTEME O0x0y0z 0 SOOTNOE
NIQMI
.
-
x ; x0 ; y0 ; z 0 ; y ;y0 ; z 0 z x0
=
2
1
=
=
y0 z 0
+3
+
+1 WYRAZITX KOORDINATY x0 y0 z 0 ^EREZ KOORDINATY x y z
NAJTI KOORDINATY NA^ALA O0 I EDINI^NYH WEKTOROW e01 e02 e03
WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ
NAJTI KOORDINATY NA^ALA O I EDINI^NYH WEKTOROW e1 e2 e3
WTOROJ SISTEMY OTNOSITELXNO PERWOJ
267. wEKTORY e1 e2 : : : en I x ZADANY SWOIMI KORDINATAMI W NE
KOTOROM BAZISE pOKAZATX ^TO WEKTORY e1 e2 : : : en SAMI OBRAZU@T
BAZIS I NAJTI KOORDINATY WEKTORA x W \TOM BAZISE e1 f ; g
e2 f ; g e3 f ; g x f ; g
268. dOKAZATX ^TO KAVDAQ IZ DWUH SISTEM WEKTOROW QWLQETSQ
BAZISOM I NAJTI SWQZX KOORDINAT ODNOGO I TOGO VE WEKTORA W \TIH
DWUH BAZISAH e1 f g e2 f g e3 f g
e4 f g e01 f g e02 f; ; ; ; g
e03 f g e4 f; ; ; ; g
1)
2)
,
3)
,
.
-
.
,
,
=
:
3
2
5
=
1
1
1
1
1 =
6
2
=
2
1
3
7 .
,
,
:
=
=
1
2
3
2
=
2
5
4
3 1
=
=
1
1
2
=
0
3
3
4
55
1
2
3
1
=
4 .
1
=
2
1
3
1
5
2
1
4
269. dAN ROMB STORONA KOTOROGO a
oSI KOORDINAT SNA
^ALA SOWPADALI S DWUMQ STORONAMI UGOL MEVDU KOTORYMI ! 23
I ZATEM S EGO DIAGONALQMI oPREDELITX KOORDINATY WERIN ROM
BA OTNOSITELXNO WTOROJ SISTEMY I DATX SOOTWETSTWU@]IE FORMULY
PREOBRAZOWANIQ KOORDINAT
270. kOORDINATY NEKOTORYH TO^EK UDOWLETWORQ@T URAWNENI@
xy x ; y ;
kAKOMU URAWNENI@ BUDUT UDOWLETWORQTX KOOR
DINATY TEH VE TO^EK POSLE TOGO KAK NA^ALO KOORDINAT BUDET PERE
NESENO W TO^KU O0 ;
,
= 2.
,
.
-
=
,
-
.
+3
2
6 = 0.
-
,
(2
-
3)?
56
otwety
;!
;;!
;!
;!
;!
1.
AB a;2 b BC a+2 b CD b;2 a DA ; a+2 b : 2. AD
;
;!+;!
;!
AB
AC : 5. tO^KA PERESE^ENIQ MEDIAN TREUGOLXNIKA 6. ;
OM
2
;;!
;;!
;
;0!
0 B0
0 D0
0 C0
b : 7. ;;!
a
A
p
A
q
A
p
q
A
B p;
jaj
jbj
;;!
;!
;;!
k
r ;A;0!
D q ; r A0 C p q ; r: 9. BC 4l;23 k CD 2l;4
3 :
;;!
;;!
;! ;p ; q:
10. : 11. ;!
BC p q CD ;q DE ;p ;;EF
!j;!
;!
;
;!j
;!
AB
AC
j+
AC
j
AB
:
13. tO^KA PERESE^ENIQ DIAGONALEJ 14. AD
;!j+j;!
j;
AB
AC j
;;!
;;!
;;!
;!
15. ;!
BC c ; b CD d ; c DB b ; d DM b+2 c ; d AQ
b+c+d : 16. ;!
EF m2+p ; n+2 q : 18. r1 r3 ; r2 : 19. r r +r3 +r :
3
20. r4 r1 r3 ; r2 r0 r 1++r r00 r 1;;r : 22. r r +2 r :
23. rC rB rD ;rA rB rB ;rA rA rC rB rD rA ; rA rD
rD ; rA rA : 24. r r +r3 +r : 25. f; g f g:
26. c a ; b c a ; b c ; 23 a: 27. wEKTORY
a b I c LINEJNO NEZAWISIMY WEKTORY a b I c LINEJNO ZA
WISIMY c 21 a 23 b WEKTORY a b I c LINEJNO ZAWISIMY NO
WEKTOR c NE MOVET BYTX PREDSTAWLEN KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ WEK
TOROW a I b TAK KAK \TI POSLEDNIE KOLLINEARNY MEVDU SOBOJ A
;!
WEKTOR c IM NE KOLLINEAREN 28. ;
AK f 78 137 g: 29. ; : 30. f ; g f g: 31. d a b ; c
d
a b d pa ; c 33. p :
p
p
35. A B 23 23 D E F ; 12 23 :
36. A B 31 D O 14 34 S 32 : 37. C D ILI C ; ; D ; ; : 38. x y z
39. M 109 29 40. A ; B D;
M 125
S : 41. D ; 42. : 43. ;x ;y ;z
x y ;z
;x ;y z 44.
; 12 ; 14 45. 115 I
;
46. ; ; ; 47. C ; D ;
=
=
=
=
=
.
+
=
=
=
=
0
=
=
+
+
=
=
=
=
=
=
+
=
1)
(
)
0
2)
1
=
=
=
2
= 2
1
=
0
0
3
3)
3
=
=
+
1)
3
1
=
3
+
1
=
0
=
=
+
+
+
=
=
.
=
=
=
+
=
=
+
30
3
1
3
2
0
0
21 2)
=
2
0
=
0
1)
2)
+
=
-
3)
,
-
,
,
.
3
1)
2)
=
5
(0
(0
(2
(0
0)
=
0)
(1
(
3 2)
3)
(1
0)
1
).
0
(
4
5),
(4
(0
1
3)
(7
5)
0), (1
1
1)
1) 1 2)
(
3
57
)
3).
=
0
(
0), (0
(0
=
5
(
)
)
(5
0), 2) (0
1
3),
1
3),
).
(0
0), (0
1) (
3)
=
+
3
3)
3),
0
=
(0
1) (
0), (1
0), (1
).
3
0
2
(0
(
1)
0),
2).
3)
1)
4
1)
=
(1
(0
(
4
30
.
1)
(
1), (1
39
)
) 3) (
11).
19
(
(
(1
1), (1
(
(0
0)
4)
1
22
+ 4
7)
(
(0
3
= 2
=
),
0
1),
) 2)
.
1)
(
0)
(4
4).
48. C ; ; 49. 51. ; 83 53
; 223 13
; 14 52 52. B ; 53. C D ; 54. A ; B p
p
55. 1 27 2 15 3 ; 12 56. 21 57.
60. 116 61. B1 58. I 143 59. M p
B2 ; 62.
63. ; 64. M1 ;
r1
M2 ;p r2
65. 65 ; 67 66. R
; 2
67.
; : 68. 45 70.
2
;! a b+b a 73. 74.
75. 3 76. ; 32 78. CD2
71. ;CH
c
2
1 2
1 2
DLINY STORON TREUGOLXNI
1+ a
1+ b ; (1+)pc GDE a b c
9 3;10 82. !
KA 80. je2j
!
26
2 je1j
je2j
! 54 je1j
je2j
!
3 je1j
4
1
; 45 je1j je2j : 83. jaj
84. b1
5 ; 5 b2
; 54 15 85. 53 86. je1j je2j 6 e1 e2 23 p87.
89.
88.
13 3 123;4
p
90. jaj
91. g11 g22 g12 d
: 92. AB
A0 C 0
A0 54
AC
6 A 3 93. A0B 0
95.
94. 96.
p
p
99. D ; C 97. ; p1311p28 98. C ; 3 2 3 25 ;
ILI D0 ; ; C 0 ; 100. B1 25 73 B2 ; 52 ; 133 101. x0
2 (k;1) ; y ; y
2 (k;1) y
2 (k;1) y ;
x1 ; x0
1 0
0 x1 ; x0
1
n
n
n
2 (k;1) 102. Rt ; R t R ; R
t 103. R ; r t
y0
n
r R;r r t R ; r t r R;r r t 104. R t Rt t R t ;
p
p
Rt t 105. C D ; ; 106. C1 ; C2
p
p
;
107. fa1 !1 a2 !2 a3 !3 a1 !1 a2 !2
a3 !3 g 108. x0 d1 1 : : : dn n y0 d1 1 : : :
dn n 109. R r t ; r Rr+r t R r t ; r Rr+r t
27
110. 111.
112. 57 113. ; 114.
p
p 2
115.
116. ILI 117. a a 6 p
p
a 3 a 2 a 23 118. AB
(4
(
5
2).
).
(0
=
(14
(9
3.
7).
(10
=
0)
=
1).
= 1
(5
1) 20
2
=
2
2
3) 0
4) 18
).
5)
1)
=
.
1),
= 3.
.
0.
.
=
.
1)
3) cos
-
=
= 2
=
= 1
= 2
= 5
= 5
= 78.
2)
=
4) cos
n
= 2
11),
(1
3
cos
2.
5
10).
8).
|
= arccos
= 1
(0
(9
(3
3
,
1)
34 3) 13 4)
(0
0
) 4)
0).
-19.
2
= 1
(0
(
.
+
.
(3
1) 5 2)
10).
= 5.
5) 3) (
4).
137 2) 5 3) 11 4) 13.
5),
2)
(4
.
(2
1)
) 2) (9
9)
.
.
0
5
1) (
=
o
=
=
o
n
.
=
-3 2) 0 3)1.
.
1) cos
= 30.
6
=
cos
(
=
2)90 3)
).
cos
(
cos
3
) sin
).
2
(4
2
3).
sin
.
sin
).
3) 13.
3
)
(
(
cos
((
+
) cos
3
2.
)
(5
(
).
=
.
(
+
+
+
(2
1)
58
+
3
0)
(
2).
=
sin
8
(
+
sin
(4 +
sin
+
+
+
sin
0).
(
3)
+
) sin
+
sin
2+2
+
+
9)
) cos
sin
cos
(
(32
2)
cos
(0
+(
((
cos
cos
7)
) sin
(4
cos
5
3.
).
cos ).
5).
.
.
=
cos
(
+(
+
+
(
)
).
2
(
12,5.
(
sin
cos
7.
(2
3)
5
3).
2
sin
=
244
=
) sin
+
1)
1) 31 2) 6 3) 0.
1).
(
=
1
4)180 .
.
) =
cos
= 3
=
(
(
= 90 .
(
(4
) cos
2)
.
.
1
) cos
= 1
= 9
3)135 =
(
=
= 4
4
1)45 = 2
).
1) 4 2)
0)
(
3
)
3 2) CD=10 3) EF=5.
119. S
122. r
125. A
127. r
130. r
133. x
y ; 65
120. 54 ; 35 121. r cosa a
5
4
a 124.
B
C
cosp b 123. r
3
3
p
3
3
3
B ; C D 2 ; 2 126. r a 2a sin 129. x
a
a 2 y a cos a 128. r
cos v
y
132. x y ;
! 131. x ;
y;
134. x ; t y ; t 135. x ; t
t x
t y t x t y ; t
x y t x t y ;
x t y ; t 136. x y ;
x y;
137. PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELX
NY SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY
SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELXNY
SOWPADA@T 138. PERESEKA@TSQ W TO^KE ;
PARAL
LELXNY SOWPADA@T 139. x ; y
x;y
140. x ; y ;
x; y;
141. 89 143. dANNAQ PRQ
MAQ PERESEKAET STORONY CB I BA A TAKVE PRODOLVENIE STORNY
CA ZA TO^KU A 144. x ; y
145. x
t y ; t
146. SOWPADA@T PERESEKA@TSQ W TO^KE ; PARALLELX
NY PERESEKA@TSQ W TO^KE PARALLELXNY SOWPADA@T
147. x; y ;
148. tAKOJ PRQMOJ NE SU]ESTWUET TAK KAK DAN
NAQ TO^KA LEVIT NA DANNOJ PRQMOJ 149. x; y ;
x y;
150. x ; y
x y;
x;y ;
151. x y ;
x;y;
x y;
x;y
152. x y
x; y
154. tO^KA A LEVIT NA WTOROJ STORONE NA EE
PRODOLVENII ZA TRETX@ WERINU tO^KA B LEVIT W OBLASTI OGRANI
^ENNOJ PERWOJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI WTOROJ I TRETXEJ STORON
SOOTWETSWENNO ZA TRETX@ I WTORU@ WERINY tO^KA C LEVIT W OB
LASTI OGRANI^ENNOJ TRETXEJ STORONOJ I PRODOLVENIQMI PERWOJ I
WTOROJ STORON SOOTWETSWENNO ZA WTORU@ I PERWU@ WERINY tO^KA
D LEVIT W OBLASTI OGRANI^ENNOJ PRODOLVENIQMI PERWOJ I WTOROJ
= 1.
= 10
=
.
(1
3)
=
7
1
1)
(0
.
1).
5)
=
.
1)
(5
(
=
.
2)
).
+
.
3 = 0
+3
5)
+5
arcsin
=
.
(5
).
= 2
cos
.
2
tg
=
=
=
= 2 (cos
(
=
5
arccos
15 = 0.
2)
=
=
=
3 6)
34 = 0.
3)
+ 2 = 0.
= 3
= 4 + 2
= 2
4
5
=
3)
= 3
=
7)
9)
.
3
(1
(
(
5
4
1)
3
7 = 0
2
5
+ 9
+
.
2
= 2
1 = 0,
2) 2)
-
0) 5)
10) 8)
10) 2)
= 0
10 = 0.
=
+ 5 4)
(15
.
tg
11 = 0.
1)
3
1)
3)
+ 7
2 .
4)
6)
= 2
5+2 .
=
=
cos
-
+ 3
=
0
.
-
,
.
1)
8
(
(4
2
2
5
4
+16 = 0 5
+2
=
5 .
3) 3)
-
6)
13 = 0.
6 = 0
12
4
6) 5)
.
,
.
3
= 3 + 3
2)
4)
3
= 0.
+3
3
1 = 0 2
23 = 0 2
7 = 0 2
7 = 0.
+ 14 = 0.
9
-
+5
3 = 0.
+2
3 = 0
+ 12
+ 20 = 0,
+ 36 = 0.
,
,
-
.
-
,
.
,
59
STORON ZA TRETX@ WERINU 155. TRI PRQMYE PROHODQT ^EREZ OD
NU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ TRI PRQMYE
PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SO
BOJ TRI PRQMYE PARALLELXNY MEVDU SOBOJ PRQMYE OBRAZU@T
TREUGOLXNIK PERWYE DWE PRQMYE PARALLELXNY TRQTXQ IH PERESE
KAET 156. x
y;
157. x ;
y;
159. x ; y
160. x ; y
161. x ; y
162. x y ;
163. x ; y
164.
165. M 0 166. I 167. x y ;
168. 135 115 125 169. x ; y
x; y;
170. p1258 172.
173. x ; y ;
174. 2918 5447 175. C 176. x y ;
x; y
177. p710 p110 178. p158
179. x;y
x;y ;
x y
180. S r
S; r
S ; r
S ; 32 r 43
p
181. x2 y2 ; x ; y
182. x2 y2 x y
183. x ; y
184. A2 B 2 R2 ; C 2
185. x ; y
x;
y;
186. x; 2 y 2;
x 12 2 y ; 25 2; 192
p
x ; 13 2 y 67 2 ; 4136
187. S ; ; r
2;5
x 12 2 y
188. x 98 2 y ; 14 2 ; 645
4
p
y
y
x
x
189. Ax By
190.
191. 25 16
25
9 p
y
x
192. 193.p x 194. A e 22
169 p25
10
1 195. ; 15 3 7
B e
196. x
y
5 W e
2
2
2
197. x y ;
199. x y ;
200. y
x; y;
201. A2a2 B 2b2 ; C 2
202. x y 204. oKRUVNOSTX 205. |LLIPS 206. 207. e 21 e
e 45 208. x36 y16
209. 2ab 210. x y
sqrt 172
211. x y 215. A2a2 B 2b2 ;C 2 >
A2a2 B 2b2 ;C 2 <
x ; y
216. b2 GDE b MENXAQ POLUOSX \LLIPSA 217. 576
100
y
y
x ;
x ;
218. 432
219. F1 ; F2 64 36
75
.
1)
-
2)
3)
4)
-
5)
6)
7)
.
25
5
2
2
91
3
3
2
3
= 0.
)
+ (
)
+
2
)
=
32
16
)
5
2
2)
2
+
5 = 0.
,
|
2
= 1.
+
+ 4
1)
(
= 1.
+
2
1
)
2
4
+ (
2
+
3
=
60
= 0
41.
=
+ 1)
= 0.
2
9.
2
+
)
+ 25
1)
= 1
=
= 0.
= 4 2)
3 = 0.
0).
1)
.
8
=
2)
+ 25
13
0)
=
= 0.
+
1)
(
3
)
= 1 2)
0 2)
= 1.
.
= 0.
+14 = 0
24
2
= 3
10)
1)
.
2
0)
= 0.
.
+
(3
24 = 0.
+
2
3
)
2
1)
+ (3
).
3
4).
.
+ ) +(
=
(
.
.
(
12).
.
2
(2
(
3
(
1)
89 = 0.
=
+2
0.
2.
100 = 0.
3)
+4
5 = 0 2) (
= 0
(0
=
+ 25
+2)
1), 3),
.
= 0.
)
= 1.
)
0.
).
= 15 4)
4
=
= 0.
2
+
)
+ (
+
3)
+
1) +(
2
+7 = 0.
12)
+ 5 = 0.
1) (
(2, -7).
+ 2 = 0.
(5
+
0.
.
(
+3
+ 20 = 0.
4 = 0.
0.
3 = 0
(
=
19 = 0.
49
49 = 0.
=
5
3
6
36 = 0.
(
2
= 5 3)
+
(
2
32
8
+ 12
+
7
16 = 0
4)
4
-
9 = 0
+ 30 = 0.
135 .
26
+9 = 0
(
19
3
45
+
32
= 0.
+ 57 = 0
5), 6).
3)
38
26
2
5
21 = 0.
= 0.
3).
7
4
+ 29
+ 3
(2
2)
,
0.
2
2
(13
= 1
0).
220. b 221. x ; y ;
222. x y ;
223.
p
x;y
x; y
224. b2 227. 25x ; y9
x ;y
228. F1 F2 ;
229. x16 ; y9
16
9
y 34 x x 95
230. F1 F2 ; e 35
y
x
e 54 231. pbab;a pbab;a ZADA^Ap IMEET REE
16 ; 9
NIE ESLI b > a 232. a2A2 ; b2B 2 C 2 233. a 2p2695 b p125
234. gIPERBOLA 235. b2 GDE b DLINA MNIMOJ POLUOSI 236. ab
237.
238. y2
x 239.
I
240. p
241. y x ; 242. B 2 p AC 243. kASATELXNYE K PARABOLE
I EE WERINE 244. 245.
246. pARABOLA IME@]AQ DANNU@
TO^KU FOKUSOM I DANNU@ PRQMU@ DIREKTRISOJ 247.
248.
249. x ; 23 250. x ; y
251. y2 x 253. 83
254. dWE PARABOLY y2 x 255.
256.
.
20
3
3
2)
1)
2
2
91
5 = 0. 2) 5
2
2
9
2
= 1.
(5
= 1
(
=
5
0.
+
9 = 0.
(0
0)
,
=
17)
.
(
.
.
,
(1, 0).
2.
-
.
=
=
=
=
2
2 .
,
3
:
.
.
12.
.
.
(18, -12).
.
2, 0).
4)
2 )
(18, 12)
= 2
.
= 1.
.
.
5.
= 1
=
|
= 12
= 2
2
=
2
=
1)
2
2
2
3)
2
0.
1)
17).
=
2
=
.
(0
0) 2)
1
(0, 1).
+ 9 = 0.
+1.
= 4
(-
.
.
(-5, 4), (-12, 5), (-7, 3).
1)
x x0 y 0 y x 0 y 0
x x0 y y0
x ; y 0 y x0
x ax0 y by0 x by0 y ax0 257.
x x0 z 0 y x0 y0 z 0 z x0 y0
x0 ;x y ; z
O ; 47 ; e1
y0 41 x ; 41 y 21 z ; 74 z 0 x ; y z ;
f; 41 g e2 f ; 14 ; g e3 f; 21 g 258. x0 y0
259. x0 ; y0
x;y ;
O0 ; A0 ; 260. f
g 261. x ; x0 ;p y0 ; z 0 y x0 y0 z 0 z
x0
y0 z 0 262. x0 3 2 3 y0 25 263. x02 y02
264. O0 ; E10 ; E20 ; O ; E1 ; E2 ; 265. O0 ; e01 f ; g e02 f; g 266. x0 ; 21 x
1 y ; 1 y0 1 x 1 y 1 z ; 1 z 0 ; 1 x; 5 y ; 1 z 1
O0 ; e01
2 2
4 4 2 4
4 4 2 4
f; g e02 f; ; g e03 f; ; g O ; 21 ; 41 14 e1
g
f; 12 14 ; 14 g e2 f 12 41 ; 45 g e3 f 12 ; 21 g 267. f
268. x1 x01 x03 ; x04 x2 ; x01 x02 ; x03 x04 x3 x01 ; x02 x03 ;
p
p
x04 x4 x01 ; x02 x03 ; x04 269. ; ; x
x0 ; py 3 y x0 py 3
270. x0y0
= 2
=
+ 7
7
= 2
4
+ 3
= 2
+
= 5
+ 2, 4)
+2
= 4
1
3
4
+ 12
(3
=
2
0
1
=
2
+2
2
=
2)
2)
+
2)
=
(6
2
=
1
3
=
=
= 2
=
=
+
=
+
.
0
(
6
5
1
3
(
+
1
0)
=
+
+ 1.
5)
(
+ 20
(
5
+
10)
=
8
1)
(
1 3)
(
1
+
0)
=
=
4.
(
6
=
0
3).
+
1)
=
)
=
1, 1, 1 .
=
(0
13).
+9
2)
.
= 0.
61
3
+ 2)
0
2
+
= 1.
2 .
0
+1
(
2)
1
(1
=
1)
+
=
1
.
(4
= 9
.
=
+ 5, 3)
2 .
=
1)
1
+
1
41
=
+ 3 2)
10 3)
71
= 4
=
+4
=
=
(7
+ 3
3 = 0, 3)
27
.
= 5
, 5)
+1
+ 5 = 0, 2) 2
+ 8
(6
+
1
1, 2, 3 .
4
+4
=
= 3
=
1) 5
+ 1, 2)
=
+
=
+ 9
3)
2
(0
+2
3)
=
lITERATURA
1]
bAHWALOW s w mODENOW p s pARHOMENKO a s sBORNIK ZADA^
PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA
.
.,
.
.,
.
.
2]
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1964.
{URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PLOSKOSTI u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANALITI
^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T
S
.
.
.
.
5]
.
cUBERBILLER o n zADA^I I UPRAVNENIQ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII m nAUKA
.
4]
. 1964.
pROSKURQKOW i w sBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE m nAUKA
S
1967. 384
3]
.
.
.
-
-
. 2001. 50
.
{URYGIN w w wEKTORNAQ ALGEBRA I EE PRIMENENIE W ANALITI^ESKOJ GEOMETRII PROSTRANSTWA u^EBNOE POSOBIE K KURSU ANA
LITI^ESKOJ GEOMETRII kAZANSK UN T
S
.
.
.
.
.
62
-
-
. 2002. 72
.
sODERVANIE
1 wEKTORY NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE
4
2 rADIUS-WEKTOR
7
3 kOORDINATY WEKTOROW
8
4 aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PRO-
STRANSTWE
5 pROSTOE OTNOENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ
6 rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI
7 sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW
8 sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH
9 pOWOROT WEKTORA NA ORIENTIROWANNOJ PLOSKOSTI
10 kOSOE PROIZWEDENIE WEKTOROW NA PLOSKOSTI
11 pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT NA PLOSKOSTI
12 pRQMAQ LINIQ NA AFFINNOJ PLOSKOSTI
13 uRAWNENIE PU^KA PRQMYH
14 pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT
15 oKRUVNOSTX
16 |LLIPS
17 gIPERBOLA
63
11
13
15
17
19
22
24
26
29
33
35
37
39
44
18 pARABOLA
48
19 pREOBRAZOWANIQ AFFINNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI I
W PROSTRANSTWE
64
51