pdf (121 кБ) - Кубанский государственный аграрный университет

УДК 622.011.43
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
УПРУГОГО МАССИВА, СОДЕРЖАЩЕГО
ОСЕСИММЕТРИЧНУЮ ПОЛОСТЬ
Аршинов Г. А. – к. ф.-м. н.
Кубанский государственный аграрный университет
Рассматривается
конечно-элементная
модель
расчета
напряженно-
деформированного состояния упругого полупространства, содержащего осесимметричную полость.
Модель строится из следующих соображений. Допустим, что в упругом однородном изотропном полупространстве образована осесимметричная (с вертикальной осью симметрии) полость с центром на глубине Н и
максимальным характерным размером а. Предполагая, что а/Н<<1, и учитывая малость влияния полости на напряженное состояние окружающего
ее массива вне шара (центры полости и шара совпадают) радиуса 4а, заменим весомое полупространство, содержащее емкость, невесомым круглым
цилиндром с полостью, по верхнему торцу и боковой поверхности которого равномерно распределены сжимающие усилия p = γH ( γ – объемный
вес массива) и p1 = λp , а нижний торец опирается на жесткое основание.
Выделенную область массива с полостью аппроксимируем совокупностью
кольцевых конечных элементов треугольного поперечного сечения и в силу осесимметричности рассмотрим лишь половину меридионального сечения полученной аппроксимации (рис. 1в). При наличии у полости эквато-
2
риальной плоскости симметрии достаточно рассмотреть четверть указанного сечения (рис. 1а).
Предположим, что конечно-элементная идеализация содержит Е
треугольников и G узлов, будем нумеровать узлы (вершины) треугольников 1, 2, 3 против часовой стрелки.
Рисунок 1 – Конечно-элементная аппроксимация
выделенной области с полостью
Для удобства дальнейшего изложения воспользуемся матричной
символикой [1]. Функцию перемещений u( ρ, z ) аппроксимируем следующим образом:
(1)
E
u( ρ , z ) ≈ υ( ρ , z ) = ∑ q(Ne ) ( a N + bN ρ + c N z ) ,
e =1
где u, υ – вектора-столбцы, компоненты которых суть проекции вектора
смещений
и
его
аппроксимации
на
оси
координат
Oρ ,
u N 
q(Ne ) =   (N = 1,2,3) – вектор узловых смещений е-го треугольника.
v N 
Oz;
3
Коэффициенты a N ,bN , c N определяются через координаты узлов элемента:
1 ρ1
a1 = S( e ) ( ρ 2 z3 − ρ3 z 2 ), b1 = S( e )( z 2 − z3 ), c1 = S( e )( ρ3 − ρ 2 ),
= 1 ρ2
S( e )
1 ρ3
1
z1
z2
z3
(2)
.
Циклической перестановкой индексов в порядке 1, 2, 3 в (2) получаются остальные коэффициенты. Используя (1) и формулы Коши, представим вектор деформаций элемента в виде
 ερ 
 
 εz 
ε( e ) =  ε θ  = B( e )q( e ) ,
ε 
 ρя 
 
bi


0

где B( e ) = [ B1B2 B3 ]; Bi =  ai
ci z
 + bi +
ρ
ρ
ci

0
ci
0
bi
(3)



 , i=1, 2, 3,



q( e ) 
 1( e ) 
а q( e ) = q2  – вектор узловых перемещений е-го элемента.
 ( e )
q3 
По закону Гука
σ( e ) = Dε( e ) ,
µ
µ
λ + 2µ
 µ
λ + 2µ
µ
где D = 
 µ
µ
λ + 2µ

0
0
 0
(4)
0
0 
, а λ, µ – параметры Ламе.
0

µ
Решение смешанной краевой задачи в случае ее осесимметричности
минимизирует функционал энергии:
1
J ( u ) = 2π( ∫ ε|σρdρdz − ∫ u| fρdρdz − ∫ u| pds ) ,
V2
V
s
(5)
4
где f, p – вектора массовых и поверхностных сил, V – область, в которой
ищется решение, S – граница V. Принимая во внимание (3) и (4), получим
аппроксимацию функционала (5):
E
E
E
1 |
q( e ) k( e ) q( e ) − 2π( ∑ q(| e ) ∫ A(| e ) fρ∂ρ∂z + ∑ q(| e ) ∫ A(| e )ρ∂s ) ,
e =1 2
e =1
e =1
v
s
J( υ ) = ∑
(e)
(6)
(e)
где матрица k( e ) = 2π ∫ B(| e ) DB( e )ρ∂ρ∂z называется матрицей жесткости е-го
v( e )
конечного элемента, а матрица
0
a + b ρ + ci z

.
A( e ) = [ A1 A2 A3 ]; Ai =  i i
0
ai + bi ρ + ci z 

Введем матрицы C( e ) размером 6 × 2G , компоненты которых либо
нуль, либо единичные. Для любого m-го узла е-го элемента, совпадающего
с i-м узлом в глобальной нумерации узлов конечно-элементной сетки,
компоненты C ( e ) 2m − 1,2i − 1; C ( e ) 2m − 1,2i ; C ( e ) 2m ,2i − 1 и C ( e ) 2m ,2i равны 1.
После перебора всех элементов и присвоения компонентам C( e ) единицы
согласно указанному правилу, оставшиеся компоненты приравниваются к
нулю. Если
 u1 
v 
 1
 . 
 
υ=  . 
 . 
 
uG 
v 
 G
– вектор смещений узлов согласно глобальной нумерации, то
q( e ) = C( e )υ .
(7)
Учитывая (7), запишем (6) в виде
J( υ ) =
или
E1
E
1 | E |
υ ( ∑ C( e ) K ( e ) C( e ) υ − 2π( υ| ∑ C(| e ) ∫ A(| e ) fρ∂ρ∂z +υ| ∑ C(| e ) ∫ A(| e )ρ∂s + ) )
2
e =1
e =1
e =1
v( e )
s( e )
5
J( υ ) =
Функционал
(8)
(8)
1 |
υ Kυ − υ|( F + ρ ) .
2
принимает
минимальное
значение,
если
u 
∂J
= 0 ; υi =  i  ; I =1,2,…, σ .
∂υi
 vi 
Эти условия сводятся к системе линейных алгебраических уравнений
относительно вектора глобальных узловых перемещений
Kυ = F + ρ ,
(9)
матрица коэффициентов которой К называется матрицей жесткости системы конечных элементов. Решение υ позволяет установить деформации и
напряжения по формулам (3), (4).
Иногда в элементах полезно задавать начальные деформации или
напряжения, тогда видоизменяется связь (4), которая в этих случаях соответственно имеет вид:
σ( e ) = D( ε( e ) − ε(0e ) ) ; σ( e ) = Dε( e ) + σ(0e ) ,
(10)
где ε(0e ) и σ(0e ) – начальные деформации и напряжения, а к правой части (9)
добавится слагаемое Q, соответственно равное
E
Q = 2π ∑ C(| e ) B(| e ) D ε(0e ) ,
(11)
e =1
или
E
Q = −2π ∑ C(| e ) B(| e )σ(0e ) .
(12)
e =1
После решения системы Кυ = F + ρ + Q напряжение вычисляются согласно (10).
Список литературы
1. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. – М. : Мир,
1975.