ГАРМОНИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ В ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ В ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ С ШАРНИРНЫМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ
Т.Н. Черниговская, В.И. Соболев.
(Иркутск, Иркутский государственный университет путей сообщения)
Рассматривается методика построения гармонических элементов в виде тонких
пластин с шарнирным закреплением по краю, пригодных для включения в дискретноконтинуальные динамические модели. Изложена последовательность формирования
компонентов матриц динамических жесткостей, обеспечивающая исключение задачи
дискретизации инерционных параметров.
Распространенность производств и технологических процессов, сопровождающихся
высокой виброактивностью оборудования заставляет уделять повышенное внимание
вопросам безопасности конструкций и рабочих мест. Особенно остро эти вопросы стоят на
обогатительных и других производствах, специфика технологии которых требует
размещения виброактивного оборудования на верхних этажах, что исключает возможность
использования технологических фундаментов и приводит к непосредственной передаче
динамических нагрузок на несущие конструкции перекрытий.Существующие методики
расчета не учитывают специфики динамического взаимодействия виброактивного
оборудования с конструкциями зданий или этот учет в рамках известных методик обладает
крайней приближенностью. Эффективное решение задач подавления вибраций от
оборудования, установленного на конструкциях или деформируемых основаниях требует
использования гораздо более сложных, корректных расчётных схем имеющих возможность
сочетания разнородных элементов дискретного и континуального характера и
соответственно применения, более совершенных методов расчёта. Чрезвычайная
нерегулярность распределения границ областей и граничных условий несущих конструкций,
свойственная промышленным сооружениям за небольшим исключением не позволяет
непосредственно использовать аналитические методы расчета таких систем и оставляет
возможность применения довольно небольшого количества численных методов механики
конструкций, основанных преимущественно на дискретизации инерционных и жесткостных
параметров элементов строительных конструкций (метод конечных элементов, метод
конечных разностей и т. д.).
В работе [1] предложен и обоснован аналог метода конечного элемента – метод
гармонического элемента (ГаЭ), основанный на использовании и развитии известных
методов динамической податливости [2]. При подходах, использующих динамические
податливости, решение осуществляется путем декомпозиции исходной динамической
системы на некоторые достаточно простые элементы, для которых можно построить
аналитические решения для различных допустимых краевых условий, задаваемых в
соединительных узлах элементов. Метод ГаЭ, специализирующийся для решения
динамических задач вынужденных стационарных гармонических колебаний, позволил
осуществить построение дискретно-континуальных математических моделей и создание
программного комплекса, реализующего метод расчета, систем, включающих
бесконечномерные балочные элементы, сосредоточенные массы, упругие элементы и
упруго опертые твердые тела. Метод построения балочного ГаЭ основан на
аналитическом выражении величин динамических реакций в зависимости от узловых
гармонических перемещений по возможным степеням свободы узловых точек элементов
конструкции, в которых осуществляется «сшивка» решений ансамбля гармонических
элементов.
Несущие конструкции промышленных зданий в преобладающем большинстве
представляют собой системы стержневых и плоских элементов - перекрытий. Включение
в математические модели бесконечномерных изгибаемых гармонических элементов в виде
тонких пластин, усложняет задачу, хотя принцип динамической податливости [2] в
сочетании с методом гармонического сканирования связей [1], может быть с успехом
применен и в этом случае. Общая методика данного подхода была приведена в работе [3],
в которой было показано, что в отличие от балочных гармонических элементов [1]
динамические реакции в узлах плоских элементов не удаётся определить в аналитическом
виде. Для этих целей приходиться использовать приёмы аппроксимации, схожие с
конечноэлементными. Однако в отличие от классических конечноэлементных моделей
[4,5] при таком подходе не требуется решать задачу дискретизации инерционных
параметров пластины, эти параметры остаются исходными – распределенными.
Рассматривая вынужденные изгибные колебания тонкой пластины, описываемые
дифференциальным уравнением поперечных колебаний:
 4W
 4W
 4W mh  2W

2


 0,
(1)
x 4
x 2y 2 y 4
D t 2
так же как и в балочном элементе переходим к решению задачи стационарных колебаний,
получаемых при условии разделения переменных времени и пространства.
D(
4g
4g
4g

2

)   2 mhg.
x 4
x 2 y 2 y 4
(2)
Исключение параметра времени для решения статической задачи позволяет
пользоваться параметрами пространства в виде амплитуд перемещений и динамических
реакций в связях. Действительно, при циклических воздействиях гармонического
характера система переходит в стационарное динамическое состояние, которое охватывает
подавляющую часть срока её эксплуатации. Поэтому большой интерес представляет
прямой расчет стационарного состояния, минующий анализ переходного периода.
Прямое использование классических приемов конечноэлементного построения
оказывается невозможным в силу того, что полученное уравнение (2) имеет в правой части
неизвестную функцию
 2 mhg( x, y) , выражающую распределенную инерционную
нагрузку при достижении точек поверхности пластины амплитудных значений, тогда как
при построении конечных элементов (КЭ) она известна и выражена зависимостью
q ( x, y ) , определяющей заданную поверхностную распределенную нагрузку:
 4W
 4W
 4W
D( 4  2 2 2  4 )  q.
x
x y
y
(3)
Согласно
приёму
прямого
построения
модели
[4,5],
простейший
способ
аналитического описания функций перемещения поверхности элемента g ( x, y ) состоит в
представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются
обобщенными параметрами. Число обобщенных параметров выбирается равным числу
узловых степеней свободы элемента. Для варианта четырехузлового элемента с узлами,
расположенными в вершинах углов некоторой конечной прямоугольной области тонкой
пластины, степень кинематической подвижности элемента, равна двенадцати (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная схема тонкостенной пластины. 1,4,7,10 – номера линейных
связей,2,5,8,11– номера угловых связей в плоскостях параллельных ZoX, 3,6,9,12 – номера
угловых связей в плоскостях параллельных ZoY.
Для построения гармонического элемента тонких прямоугольных пластин с
шарнирным закреплением формируются
интерполирующие полиномы для базиса
граничных условий, определенного возможными вариантами поочередных единичных
перемещений узловых связей:
g ( x, y)  ( x, y)  Ai ,
(4)
( x, y)  (1, x, y, x 2 , xy, y 2 , x 3 , x 2 y, xy2 , y 3 , x 3 y, xy2 ) ,
где
Ai  (a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , a11 , a12 ) T ,(i=1..4)
Элементы вектора
Ai определяются путем решения системы уравнений:
1
0

0

0
 A  
0

0
0

0
0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1 ,
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 0
(5)
где  - матрица узловых условий поля перемещений строится с учетом шарнирно
опертого края (сумма изгибающих и крутящих моментов равны нулю) и имеет вид (6):
 (0, 0)




 (0, c)




 (b, c)


 (b, 0)


 M M

xy x  0, y  0
 x

 M M

xy x  0, y  c
 x


   M x  M xy x b , y c  .


M  M

x
xy x  b , y  0 

 M M

xy x  0, y  0 
 y
M  M

y
xy x  0, y  c 

M  M

y
xy x b , y  c 

 M M

xy x  b , y  0 
 y
Для вычисления значений суммы изгибающих и крутящих моментов в узловых
точках используется их выражение по формулам:
2 g
2 g
M x   D( 2   2 ) ,
x
y
(7)
 2 g
2g 
M y   D 2   2  ,
x 
 y
M xy   D1   
где D 
Eh 3




2 g
,
xy
, μ - коэффициент Пуассона.

12 1   2 


Для решения (5) система уравнений представляется в виде:
11 12   A1   E 

     .
 21  22   A2   0 
(8)
Откуда
22 A2  21 A1 ,
A2   221 21 A1 ,
соответственно
11 A1  12 221 21 A1  E ,

A1  11  12 221 21

1
.
В результате получаем матрицу A, столбцы которой являются коэффициентами полиномов
перемещений поверхности пластины при
g ( x, y) интерполирующих функции
соответствующих вариантах перемещения узловых связей.
Для определения аналитических выражений реакций в узловых связях при
сформированных граничных условиях скомпонуем вектор деформаций изгиба пластины в
виде:
    x  y  xy T ,
где
x  
2 g ,
x 2
y  
2 g
y 2
,
(9)
2
 g - величины кривизны изгиба и
 x y  2
x y
скручивания пластины.
Для определения вектора моментов M   M x
T
M xy  используем равенство:
My
M   G,
где для изотропного материала пластины

1
G  D  

0

(10)

0 
0 
1 

0
2 

1
Выполняя преобразования имеем выражение компонент вектора
M через
элементы вектора A1 , - то есть через параметры интерполирующей функции.
Для определения реакций в связях воспользуемся условиями равновесия
элементарного участка пластины:
M x

M x

x
x
M xy
y
M xy
y
 Qx  0 ,
(11)
 Qy  0 .
Подстановка найденных выражений компонент вектора
M в
(11) позволяет
определить величины перерезывающих сил Qx , Q y . Условие равновесия выполняется
на расчетной области почти всюду за исключением узловых точек, в которых величины
Qx , Q y имеют разрыв в силу того, что в этих точках возникают реакции в линейных
связях. Для узловых точек справедливы условия равновесия в виде:
Qx  Q y  ri1  0
,
(12)
Величины линейных реакций определяются из равенств (12) при подстановке
соответствующих координат узловых точек. Полученные величины ri1 формируют первый
столбец матрицы R единичных реакций, определенных при помощи параметров вектора
Ai .Сформированные
компоненты матрицы
R не учитывают влияния распределенной
инерционной нагрузки  2 mhg( x, y) , расположенной в правой части уравнения (3). Для ее
учета воспользуемся теоремой о взаимности работ, согласно которой работа по
преодолению внешних сил при перемещении связи равна работе, совершенной
поверхностной нагрузкой при прогибах пластины.
Исходя из этого, при перемещении связи с номером i имеем:
b
c
riim
 2 mhg 2 ( x, y ) .
1   dx 
dy
2
2
0
0
(13)
Таким образом, окончательно диагональный элемент формируется в виде суммы
rii  rii  riim .
(14)
Выполнение операций (9) – (14) с последовательной подстановкой столбцов
матрицы A в выражение (4) формирует матрицу динамических жесткостей (амплитуд
единичных динамических реакций) R , что позволяет аппроксимировать амплитудные
состояния стационарных колебаний изгиба посредством узловых соотношений вида:
(15)
R U  F ,
где U - вектор амплитуд обобщенных узловых перемещений, а F - вектор амплитуд
узловых сил. Используя полученные результаты, имеем возможность вектору обобщенных
узловых перемещений поставить во взаимоодназначное соответствие аналитическое
выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму
бесконечномерного элемента и вектор узловых динамических реакций, позволяющий
производить формирование модели в виде системы разрешающих уравнений.
Таким образом, предложенный алгоритм реализации гармонического элемента
обеспечивает исключение задачи дискретизации инерционных параметров, что позволяет
избежать дополнительных погрешностей, при этом используются плоские элементы в
исходных конструктивных размерах, что приводит к моделям меньшей размерности по
сравнению с моделями, дискретизирующими инерционные параметры и существенно
зависящих от густоты разбиения сетки.
Моделирование стационарных колебательных процессов в системах, включающих
включающих тонкие пластины, осуществляется на основе использования элементов с
распределенным характером инерционных параметров, а исходное уравнение в частных
производных не заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений
динамики, описывающих колебания материальных точек дискретизированных в узлах
ансамбля элементов.
Литература
1. Соболев В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и
виброизоляция промышленных грохотов.– Иркутск: Изд. ИрГТУ, 2002.- 202
2. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. - М.: Издательство
литературы по строительству, 1965.- 632 с
3. Соболев В. И., Черниговская Т.Н.
Построение прямоугольного
гармонического элемента для моделирования колебаний тонкой пластины //
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. №4(16).
ИрГУПС. Иркутск.2007. С.28-32
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.– М.: Мир, 1984.-428 с.
5. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечного элемента. –
М: Стройиздат, 1982. – 447 с.