Параметрическая надежность механических систем при

Параметрическая надежность механических систем при
нестационарных случайных воздействиях
к.т.н. Стародубцева С.А.
МГТУ «МАМИ»
В расчетах надежности механических систем, деталей машин и элементов
конструкций основной математической моделью для описания их эксплутационной
нагруженности является гауссовский стационарный процесс. Однако, разнообразие
режимов работы приводит к необходимости использовать и другие математические
модели, отражающие те или иные особенности процессов нагружения. Для проведения
расчетов эти модели можно сформировать на основе гауссовского стационарного
процесса с нулевым средним, который для дальнейшего обозначим через
. Тогда
обобщенную модель нагруженности
можно принять, например, в виде
(1)
где
и
- детерминированные или квазидетерминированные процессы вида
(2)
или
(3)
- заданные случайные или детерменированные величины.
где
В соотношении (1)
- параметр (напряжение, ускорение, изгибающий или
крутящий момент и т.п.), который не должен в течение заданного времени
функционирования t превышать опасный уровень .
и его первой производной
В случае, когда корреляцией между процессом
можно пренебречь (наиболее типичный случай реальных конструкций) вероятность
такого события (т.е. параметрическую надежность) можно вычислить, при
, по
формуле
(4)
,
где
и
- среднее квадратическое отклонение процесса
и его первой
производной. Для стационарного процесса ожидаемое число выбросов за уровень
определяется по формуле
(5)
В общем случае для нестационарного процесса
следует учесть не только
и
, но и переменность
переменность во времени дисперсий процессов
коэффициента корреляции между ними, что приводит к более сложным, чем в формуле (4)
интегралам .Эффективное решение поставленной задачи можно получить, если процесс
(1) свести к стационарному или к квазистационарному процессу. Этому вопросу в
основном и посвящена данная работа.
Для нестационарного процесса
(6)
имеем:
,
91
где
,
и
(7)
- среднее квадратическое отклонение процесса
- корреляционный момент между
и
,
и
- эффективная
.
частота процесса
Предлагаемый прием расчета состоит в том, что в формулы (7) вводится случайная
фаза , равномерно распределенная на интервале
. Тогда в них аргумент
заменяется на
и усреднением по вместо (6) получаем простые соотношения.
(8)
,
,
В этом случае формула для расчета надежности (4) принимает вид
(9)
Интересно отметить, что из формулы (9) следует, что эффективная частота
процесса, заданного соотношением (6), определяется как
(10)
что меньше или равно сумме
. Это и следовало ожидать для произведения
случайной и детерминированной функции.
определяется как тригонометрический ряд.
Если в формуле (1) процесс
(11)
То введя фазу и усреднив результаты, получим
,
(12)
Подставив соотношения (12) в (4), получим формулу для расчета надежности
подобную формуле (9).
Рассмотрим теперь композицию гауссовского стационарного процесса и гармоники
с амплитудой a и частотой .
(13)
Дисперсии процессов
и
и их коэффициент корреляции будут вычисляться
по формулам
,
,
(14)
Введя в формулы (14) вазу
и усреднив результаты, получим
(15)
В этом случае формула (4) для оценки надежности примет вид
(16)
Для случая, когда в формуле (13) используется ряд (11), получим
(17)
92
Подставив соотношения (17) в формулу (4) получим формулу для расчета
надежности подобную формуле(16).
Рассмотрим теперь процесс нагружения в виде композиции гауссовского
стационарного процесса с нулевым средним
и степенного ряда со случайными
статистически независимыми коэффициентами , k=1, 2, … n.
(18)
Дисперсии процессов
по формулам
и
и их коэффициент корреляции будут вычисляться
(19)
Из соотношений (19) следует, что при малом вероятностном рассеивании
можно принять
.
коэффициентов
Подробнее рассмотрим случай, когда
(20)
где и - детерменированные величины.
Для этого случая имеем:
,
(21)
Надежность будет вычисляться по формуле
(22)
,
-табулированная
функция
где
При ориентировочных расчетах, когда
и
можно ограничиться
. В этом случае
вычислением надежности только для конкретного момента времени
(23)
93
Секция 9 «ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА».
Таким образом, решение сложных в вычислительном отношении задач по оценке
надежности механических систем при нестационарных процессах нагружения сведено к
простым соотношениям типа (9), (16) и (23). Предложенный прием расчета может быть
эффективно использован и в ряде других случаев.
Литература:
1. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1 под редакцией В. В. Болотина. Колебания
линейных систем. – М.: Машиностроение, 1999.
2. Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях.
– М.: Машиностроение, 1984.
3. Гусев А. С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. – М.:
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009.
4. Гусев А.С., Карунин А. Л., Крамской Н.А., Стародубцева С.А. Надежность
механических систем и конструкций при случайных воздействиях. – М.: МГТУ МАМИ,
2001.
Материалы международной научно-технической конференции ААИ «Автомобиле- и
тракторостроение в России: приоритеты развития и подготовка кадров», посвященной 145-летию
МГТУ «МАМИ».
94