Принцип Дирихле. Биномиальные коэффициенты. Правила

Принцип Дирихле. Биномиальные коэффициенты.
Правила сложения и умножения
1. (a) Сколько существует шестизначных чисел?
(b) Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на
5?
(c) Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых присутствует хотя бы одна чётная цифра?
2. 20 балбесов-первоклассников и учительница пришли в кинотеатр и сели в одном ряду. Учительница должна сидеть с краю,
а Петю, Колю и Васю нельзя сажать втроем. Сколькими способами можно рассадить класс?
3. Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи
которых есть цифра 9, или тех, в записи которых ее нет?
4.∗ Сколькими способами можно нарисовать квадрат на клетчатом
листе бумаги размера m × n клеток? (Например, на клетчатом
листе 3 × 2 можно нарисовать квадрат восемью различными
способами.)
Принцип Дирихле
5. В мешке имеется 32 красных шара, 29 зеленых шаров, 45 синих, 17 желтых и 30 белых, черных и серых (всего 153 шара).
Сколько шаров необходимо вынуть из мешка, чтобы среди них
гарантировано нашлось 9 шаров одного цвета?
6. Комиссия из 60 человек провела 40 заседаний, причем на каждом заседании присутствовали ровно 10 членов комиссии. Докажите, что найдутся два члена комиссии, по крайней мере
дважды встречавшиеся на заседаниях.
7. В комнате площадью 6 уложены три ковра площадью 3 каждый (форма комнаты и ковров произвольная). Докажите, что
какие-то два из этих трех ковров перекрываются по площади,
не меньшей 1.
1
8. В таблице 10 × 10 расставлены целые числа, причем любые
два числа в соседних клетках отличаются не более, чем на 5.
Докажите, что среди этих чисел найдутся два равных.
9.∗ Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами,
есть число, которое делится на 1997.
10.∗ Натуральные числа от 1 до 101 записаны в некотором порядке.
Докажите, что в этой последовательности найдется либо возрастающая, либо убывающая подпоследовательность длины 11.
Размещения, перестановки, сочетания
11. На полке стоят n книг, среди них трехтомник Пушкина. Сколькими способами книги можно переставить, если:
(a) все тома трехтомника должны стоять рядом друг с другом;
(b) тома трехтомника должны стоять по порядку слева направо, но не обязательно подряд;
(c) один из томов трехтомника обязан стоять с краю полки?
12. Есть n попарно различных чашек и n неразличимых стаканов.
Также имеется m попарно различных ложечек и m неразличимых кусочков сахара. Сколькими способами можно разложить:
(a) ложечки по чашкам;
(b) сахар по чашкам;
(c) сахар по стаканам, если n = 4, m = 10;
13.∗ Как изменится ответ в предыдущей задаче, если потребовать,
чтобы пустых емкостей не оставалось?
14.∗ Дано множество A = {1, . . . , n}. Даны числа k, s. Сколько можно составить совокупностей из s различных k-элементных подмножеств множества A? Сколько из этих совокупностей устроены так, что каждое множество в них имеет непустое пересечение с подмножеством {1, . . . , l} ⊂ A? Ответы запишите без
суммирования.
2
Простейшие комбинаторные тождества
Докажите следующие тождества:
k
15. Cn+1
= Cnk + Cnk+1 .
16. Cnk = Cnn−k .
n
17. C2n
= (Cn0 )2 + · · · + (Cnn )2 .
Найдите суммы:
18. Cn0 + · · · + Cnn .
19. Cn0 − Cn1 + Cn2 · · · + (−1)n Cnn .
20. Cn0 + Cn2 + Cn4 + . . . .
21. Cn0 + 12 Cn1 + 31 Cn2 + · · · +
1
n
n+1 Cn .
22. Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn .
k
k
23. Cnk + Cn+1
+ · · · + Cn+m
.
3