Домашнее задание №2

Домашнее задание №2
Срок сдачи 15/17 октября 2014 г.
Задача 2.1. Докажите, что коэффициент корреляции случайных величин ξ и η равен ±1 тогда
и только тогда, когда η = aξ + b почти наверное для некоторых a, b ∈ R.
Задача 2.2. Случайный вектор (t14 , t39 ), компоненты которого равны времени до прихода
трамвая соответствующего маршрута, равномерно распределён в прямоугольнике [0, 20 мин] ×
[0, 15 мин] (см. задачу 1.9). Случайная величина τ равна времени ожидания трамвая Машей,
которой подходит любой из маршрутов. Найти для случайной величины τ :
(а) функцию распределения;
(б) плотность распределения;
(в) математическое ожидание.
Задача 2.3. В метании молота участвуют n совершенно одинаковых спортсменов. Результат ξk ,
который показывает k-й спортсмен, распределён по некоторому закону с непрерывной функцией распределения F (одной и той же для всех спортсменов) и независим от результатов других
спортсменов. Событие Ak = {ξk > ξi при всех i = 1, . . . , k − 1} состоит в том, что k-й спортсмен выступил лучше, чем все выступившие до него. Докажите, что события Aj независимы и
найдите вероятность каждого из них.
Задача 2.4. Случайная величина ξ распределена по стандартному нормальному закону: ξ ∼
N (0, 1). Найдите все её моменты E(ξ k ), k ∈ N.
Задача 2.5. Вектор ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) распределён по многомерному гауссовскому закону с вектором математических ожиданий a и матрицей ковариаций B, det B 6= 0. Пусть η = Aξ, где
A : Rn → Rm — некоторый линейный оператор, im A = Rm . Докажите, что вектор η распределён
по гауссовскому закону и выразите его вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций
через таковые для исходного вектора ξ.
Задача 2.6. Время τ жизни радиоактивного атомного ядра распределено по экспоненциальному закону с плотностью p(x) = λe−λx (x ≥ 0).
(а) Как связаны параметр λ, математическое ожидание времени жизни Eτ и период полураспада T1/2 (время, по истечении которого ядро распадётся с вероятностью 1/2)?
(б) Докажите, что условное распределение величины (τ − t0 ) при условии τ ≥ t0 — экспоненциальное с тем же параметром. («Ядра распадаются от несчастного случая, а не от
старости.»)
(в) Ядро радия-225 распадается с T1/2 = 15 сут, испуская электрон и превращаясь в ядро
актиния-225. Ядро актиния-225 распадается с T1/2 = 10 сут, испуская альфа-частицу. В
момент времени t = 0 имелось ядро радия-225. Каково распределение времени до вылета
альфа-частицы? Каково его математическое ожидание?
Задача 2.7. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию для величин
ξ1 + . . . + ξn
,
ξ¯ =
n
ξ(n) = max(ξ1 , . . . , ξn ).
Задача 2.8. В точке (0, 1) плоскости находится стрелок, который выстреливает в случайном
направлении (угол выстрела равномерно распределён на интервале [0, 2π]). Найдите распределение абсциссы ξ точки, в которой пуля пересечёт ось абсцисс, при условии, что такое пересечение имеет место. Имеет ли величина ξ математическое ожидание? дисперсию?
Задача 2.9. Величина ξ распределена по закону Коши с параметрами x0 и γ, т.е. плотность её
γ
aξ + b
распределения равна fx0 ,γ (x) =
.
Докажите,
что
величина
η
=
распреπ((x − x0 )2 + γ 2 )
cξ + d
1
a(x0 + iγ) + b
.
c(x0 + iγ) + d
Указание. Достаточно провести доказательство для образующих в группе дробно-линейных
преобразований.
Задача 2.10. Независимые случайные величины ξ и η одинаково распределены, и каждая
из
p
них имеет плотность p(x). Найти совместную плотность q(u, v) величин α = ξ−η и β = ξ 2 + η 2 .
Задача 2.11. Случайные величины ξ и η независимы и равномерно распределены на отрезке
[0, 1]. Найдите плотность распределения следующих величин: ξ + η, ξη, ξ/η.
Задача 2.12. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn — результаты испытаний в схеме Бернулли (они
независимы и принимают значения 1 и 0 с вероятностями p и q соответственно). Найти математическое ожидание и дисперсию:
(а) числа η0 нулей в наборе значений случайных величин (ξ1 , . . . , ξn );
(б) числа η00 пар последовательных нулей в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 1}, что
(ξi , ξi+1 ) = (0, 0);
(в)* числа η101 последовательностей вида 101 в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 2},
что (ξi , ξi+1 , ξi+2 ) = (1, 0, 1).
Задача 2.13. Случайные точки A1 = (ξ1 , η1 ), A2 = (ξ2 , η2 ), A3 = (ξ3 , η3 ) независимы и нормально распределены на плоскости с нулевым математическим ожиданием и единичной матрицей
ковариаций. Найти плотность распределения длины медианы A1 M1 треугольника A1 A2 A3 .
Задача 2.14. Профессор биологии А. поймал в болоте k лягушек, измерил их массы ξ1 , . . . , ξk
и вычислил их среднее арифметическое Ak = (ξ1 + · · · + ξk )/k. Доцент Н. на болото не пошёл,
а n раз выловил лягушку из аквариума с уловом профессора А., измерил её массу, после чего
вернул её назад. Из полученных результатов он также составил среднее арифметическое Bn =
(ξν1 + · · · + ξνn )/n (νj — номера выловленных им лягушек). Найдите математическое ожидание
и дисперсию величин Ak и Bn , если распределение массы тела у лягушек этого болота имеет
математическое ожидание a и дисперсию σ 2 .
Задача 2.15.* Говорят, что случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение,
если для любого n её функция распределения совпадает с функцией распределения случайной
(n)
(n)
(n)
(n)
величины η1 + . . . + ηn , где η1 , . . . , ηn — некоторые независимые одинаково распределённые
случайные величины.
Докажите, что если случайная величина ξ имеет безгранично делимое распределение, сосредоточенное на конечном отрезке (т. е. P{|ξ| > C} = 0 при некотором C), то ξ имеет вырожденное
распределение (т. е. существует a, для которого ξ = a почти наверное).
делена по закону Коши с параметрами x00 , γ 0 , причём x00 + iγ 0 =
2