Домашнее задание №2

Домашнее задание №2
Срок сдачи 30 октября 2015 г.
Задание следует сдавать в тонкой (12–18 листов) тетради или на отдельных листах, скреплённых между собой. Не забудьте подписать работу — укажите имя, фамилию и код группы:
«A» — семинарист А. С. Скрипченко, 3-я пара; «B» — семинарист Ю. Г. Кудряшов, 5-я пара;
«C» — семинарист А. С. Скрипченко, 5-я пара.
Задача 2.1. Случайная величина ξ такова, что P({ξ 6= 0}) > 0. Известно, что распределения
случайных величин aξ и bξ совпадают. Следует ли отсюда, что a = b? А если a, b ≥ 0?
Задача 2.2. Определим функцию F (x, y) в единичном квадрате [0, 1]×[0, 1] следующей формулой: (а) F (x, y) = max(x, y); (б) F (x, y) = min(x, y). Можно ли продолжить её на всю плоскость
так, чтобы она стала функцией распределения некоторого двумерного вектора (ξ, η)? Если да,
опишите явно распределение такого вектора.
Задача 2.3. Случайные величины ξ и η независимы и равномерно распределены на отрезке
[0, 1]. Найдите плотность распределения следующих величин: ξ + η, ξη, ξ/η.
Задача 2.4. Случайная величина ξ распределена по стандартному нормальному закону: ξ ∼
N (0, 1). Найдите все её моменты E(ξ k ), k ∈ N.
Задача 2.5. Определим коэффициенты асимметрии γ1 (ξ) = E((ξ − a)3 )/σ 3 и эксцесса γ2 (ξ) =
E((ξ − a)4 )/σ 4 − 3 случайной величины ξ со средним a и дисперсией σ 2 . Пусть случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и одинаково распределены. Выразите γ1,2 (ξ1 + · · · + ξn ) через γ1,2 (ξ1 ),
считая, что последние существуют.
Задача 2.6. Вектор ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) распределён по многомерному гауссовскому закону с вектором математических ожиданий a и матрицей ковариаций B, det B 6= 0. Пусть η = Aξ, где
A : Rn → Rm — некоторый линейный оператор, im A = Rm . Докажите, что вектор η распределён
по гауссовскому закону и выразите его вектор математических ожиданий и матрицу ковариаций
через таковые для исходного вектора ξ.
Задача 2.7. К началу приёма задач по некоторому предмету пришло только два преподавателя и три студента: Антон, Боря и Витя. Антон и Боря сразу начали рассказывать задачи,
а Витя подошёл затем к первому освободившемуся преподавателю. Считая, что длительность
разговора студента и преподавателя распределена по экспоненциальному закону с одинаковым
для всех студентов и преподавателей параметром λ (т. е. её плотность равна pτ (x) = λe−λx ), и
эти длительности для разных разговоров независимы, вычислите:
(а) математическое ожидание и дисперсию времени разговора Антона с преподавателем;
(б) плотность распределения длительности ожидания Вити;
(в) математическое ожидание и дисперсию полного времени, которое заняла у Вити сдача
задач (т. е. включая время ожидания);
(г) вероятность того, что Витя закончил беседу с преподавателем не последним из этих трёх
студентов.
Задача 2.8. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы и равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Найти математическое ожидание и дисперсию для величин
ξ1 + . . . + ξn
,
ξ¯ =
n
ξ(n) = max(ξ1 , . . . , ξn ).
2
2
Задача 2.9. Случайный вектор
p (ξ, η) равномерно
p распределён в единичном круге {ξ +η < 1}.
2
2
Положим ρ = ξ + η , X = ξ −2 ln ρ/ρ, Y = η −2 ln ρ/ρ. Докажите, что X и Y — независимые
случайные величины, каждая из которых распределена по нормальному закону со средним 0 и
дисперсией 1.
1
Задача 2.10. Случайные величины ξ1 , . . . , ξn — результаты испытаний в схеме Бернулли (они
независимы и принимают значения 1 и 0 с вероятностями p и q = 1 − p соответственно). Найти
математическое ожидание и дисперсию:
(а) числа η0 нулей в наборе значений случайных величин (ξ1 , . . . , ξn );
(б) числа η00 пар последовательных нулей в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 1}, что
(ξi , ξi+1 ) = (0, 0);
(в)* числа η101 последовательностей вида 101 в этом наборе, то есть таких i ∈ {1, . . . , n − 2},
что (ξi , ξi+1 , ξi+2 ) = (1, 0, 1).
Задача 2.11. Случайные точки A1 = (ξ1 , η1 ), A2 = (ξ2 , η2 ), A3 = (ξ3 , η3 ) независимы и нормально распределены на плоскости с нулевым математическим ожиданием и единичной матрицей
ковариаций.
−−−→
−−−→
(а) Докажите, что случайные векторы µ
~ = A3 M3 , где M3 — середина отрезка A1 A2 и ~γ = A1 A2
независимы.
(б) Найдите совместную плотность распределения квадратов их длин.
(в) Найдите вероятность того, что треугольник A1 A2 A3 будет тупоугольным.
Указание. Угол при вершине A3 тупой тогда и только тогда, когда медиана A3 M3 короче половины стороны A1 A2 .
Задача 2.12. Профессор биологии А. поймал в болоте k лягушек, измерил их массы ξ1 , . . . , ξk
и вычислил их среднее арифметическое Ak = (ξ1 + · · · + ξk )/k. Доцент Н. на болото не пошёл,
а n раз выловил лягушку из аквариума с уловом профессора А., измерил её массу, после чего
вернул её назад. Из полученных результатов он также составил среднее арифметическое Bn =
(ξν1 + · · · + ξνn )/n (νj — номера выловленных им лягушек). Найдите математическое ожидание
и дисперсию величин Ak и Bn , если распределение массы тела у лягушек этого болота имеет
математическое ожидание a и дисперсию σ 2 .
Задача 2.13.* Пусть p ∈ (0, 1).
(а) Докажите, что существуют такие независимые величины ξ и η, что ξ имеет распределение
Бернулли с параметром p (т. е. P{ξ = 1} = p, P{ξ = 0} = 1 − p), а их сумма ξ + η имеет
симметричное распределение: Fξ+η (x) = F−(ξ+η) (x) при всех x.
(б) Среди всех таких η найдите ту, которая обладает наименьшей дисперсией.
В задачах 2.14–2.16 ответ нужно довести до числового значения и представить его в экспоненциальной записи с тремя значащими цифрами (например, 1,80 · 10−5 ). Для вычислений,
связанных с распределениями Пуассона и Гаусса, можно пользоваться, например, функциями
MS Excel POISSON/ПУАССОН и NORMDIST/НОРМРАСП.
Задача 2.14. Пекарь замесил тесто на 105 булочек и добавил в него 106 изюминок. Какова
вероятность, что в случайно выбранной булочке не окажется ни одной изюминки? окажется
ровно 15 изюминок? Воспользуйтесь подходящей асимптотической формулой.
Задача 2.15. Какова вероятность того, что при 106 подбрасываниях симметричной монетки
«орёл» выпадет ровно 503 219 раз? Воспользуйтесь подходящей асимптотической формулой.
Задача 2.16. Какова вероятность того, что при 106 подбрасываниях несимметричной монетки
с вероятностью выпадения «орла», равной 75%, число выпавших «орлов» будет от 749 000 до
750 499? Воспользуйтесь подходящей асимптотической формулой.
Задача 2.17.* Случайные величины ξ1,2 распределены по Пуассону с параметрами λ1,2 :
λki −λi
P{ξi = k} = e , причём λ1 < λ2 . Докажите, что тогда P{ξ1 ≤ k} ≥ P{ξ2 ≤ k} при любом k.
k!
Указание. Соответствующее неравенство для «допредельных» биномиальных распределений в
теореме Пуассона можно доказать вероятностными методами без каких-либо вычислений.
2