УДК 62-50 З А Д А Ч А РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ХАРИТОНОВ В. Л. {Ленинград) Выделяется класс областей плоскости комплексного переменного, доя которых утверждение «собственные числа матрицы А лежат в обла­ сти» эквивалентно выполнению системы неравенств, содержащих только рациональные функции от мнимых и вещественных частей коэффици­ ентов характеристического полинома матрицы А. 4 * 1. Постановка задачи При решении ряда задач автоматического регулирования необходимо иметь эффективные критерии того, что собственные значения матрицы ле­ ж а т в заданной области плоскости комплексного переменного. В работе [1] изучен класс областей, включающий классические (полуплоскость, круг). Отпишем его. Пусть г (К, \х) — полином с комплексными коэффи­ циентами 1 от <1) 1 г(А,ц)= J ^ c ^ - y - . Каждый полином (1) определяет на плоскости комплексного перемен­ ного (z) область (2) R±{z\r(z,z)>0}. Пусть матрица С=={Сгз}, составленная из коэффициентов полинома (1), эрмитова. Будем говорить, что эрмитова матрица Н положительна, и пи­ сать # > 0 (неотрицательна, Я ^ О ) , если отвечающая ей эрмитова форма — зположительно определенная (неотрицательная). Будем говорить, что область R обладает свойством (L), если утвержде­ ние «корни полинома f(z) принадлежат области R» эквивалентно выполнению системы неравенств, включающих только рациональные 'функции от вещественных и мнимых частей коэффициентов полинома J(z) (эти неравенства зависят от полинома г (Я, |х)). Класс, выделенный в [ 1 ] , состоит из областей (2), для которых матрица С имеет ранг 2 и сиг­ натуру 0 (под сигнатурой эрмитовой матрицы понимаем сигнатуру отве­ чающей ей эрмитовой формы). Все области этого класса обладают свойст­ вом (L). Более того, Р. Калман высказал в [1] предположение, что это ^наибольший класс алгебраических областей, обладающих свойством ( L ) . Но это не так. Например, полином 42 определяет область R= | г 2 р ) ( £j. 1 j( ^ Р^' ^~*) > °} = z { ' 1= ф р -2 - ^0 L Матрица С имеет ранг 1 и сигнатуру 1. Корни г г=1 ^ f(z) * лежат в области R тогда и только тогда, когда полиномы f(z) и (p(z) не имеют общих корней, т. е. отличен от нуля их результант [2], являю­ щийся полиномом от коэффициентов f(z) и q>(z). Следовательно, и эти об­ ласти обладают свойством (L). Еще один класс областей, обладающих свойством (L), выделен в ра­ боте [ 3 ] . Этот класс определяется полиномамж \i) 2 2 ^c +c 2ix+C2iX+c 2h\i+c 3\i '+c X ii i 2 I 3i 1 у которых с < 0 . У таких полиномов матрица С имеет ранг 3 и сигнатуру (-1). В работе указан новый класс, содержащий все предыдущие. Оказы­ вается, свойством (L) обладают все области, у которых инварианты матри­ цы С удовлетворяют условию (3) rang (C)+signat (С) =2. 22 При доказательстве этого утверждения будем пользоваться теорией линейных матричных уравнений. Основная теорема будет сформулирована для задачи распределения собственных значений матрицы. Решение зада­ чи распределения корней полинома получается из нее при соответствую­ щем выборе матричного уравнения. 2. Основные результаты Пусть задана матрица А порядка п с комплексными коэффициентами. Составим линейное матричное уравнение т (4) J^c^XA'^^Y. Здесь Y — заданная, а X — искомая эрмитовы матрицы (* означает комплексное сопряжение). Полагаем, что матрица С=\сц} порядка т эр­ митова. Теорема 1. Пусть ранг и сигнатура матрицы С удовлетворяют усло­ вию (3). Тогда следующие два утверждения эквивалентны: а) собствен­ ные числа матрицы А лежат в области (2); б) для любой матрицы У > р решение уравнения (4) X X ) . В примере 1 приведена область (2), не удовлетворяющая условию (3), Для нее утверждения а) и б.) теоремы неэквивалентны. п Получим условия того, что все корни п о л и н о м а / ( z ) = \ k a z с компk лексными коэффициентами лежат в области (2). Для этого в уравне­ нии (4) вместо матрицы А возьмем сопровождающую матрицу F полино~ ма f(z): /О 0 0. . . О (—Ooa;i) \ / 1 0 0. . . 0 \ 0 \0 1 0 ( _ a i a ; i) °« ' - ° (-а<)" 0. . . 1 (-а^а;!)/ 43 а положим Y=E (Е — единичная матрица). Получим уравнение га ! J ^ C t F - W - ^ E . (5) Теорема 2. Пусть матрица С удовлетворяет условию ( 3 ) . Для того что­ бы все корни f(z) лежали в области ( 2 ) , необходимо и достаточно, чтобы матрица X была положительно определенной. Решение X уравнения (5) является эрмитовой матрицей, элементы ко­ торой — рациональные функции от вещественных и мнимых частей коэф­ фициентов полинома / ( z ) . Условия положительной определенности X со­ стоят в положительности ее главных миноров. Замечание 1. Для построения решения уравнения (4) достаточно ре­ шить уравнение т (6) ^ Ctf'-'XP'-^eieS • (еГ=(1,0,...,0)). i,3=l Действительно, пусть Х={чц} удовлетворяет (6). Тогда решение X уравнения (4) представимо в виде [4] п г,3=1 . Это замечание позволяет представить решение уравнения (5) в виде п 11 1 X^^F^XF* - . Замечание 2. Если в правую часть уравнения (5) вместо Е подставить п любую положительно определенную матрицу -*v Y = \ vv* k k (z>i,. и , . •. 2 — линейно независимые векторы), то n n %= ]^РЛР)ХрАР)% Jk-l п 1 где p (X) = (l, X,... ,Х " )и (fc=l, 2 , . . . , n). Выписав условия положи­ тельной определенности X, получим еще один критерий того, что все кор­ ни полинома f(z) лежат в области ( 2 ) . k к 3. Примеры 1. Для уравнения 2 2 9X-4AX-4XA*+A XA* =Y матрица С = 2 2 2 имеет ранг 3 и сигнатуру 1. Область R=={x+iy\9-8x+(x +y ) >0}. матрица А = I \ 0 Пусть ] . Собственные числа матрицы A ( X i — 1 , Я = 2 ) при2 2 /. /2 надлежат области R. С другой стороны, при Х= ^ 9-1) н е я в л я е т с я 1\ Y= у ^ > 0 решение положительно определенным. Если положим 1 /1 0 \ / 2'- 0 \ Y = у j > 0, то решение X = | ^ j > 0. Этот пример показы­ вает, что для областей, не удовлетворяющих условию (3), утверждения а) и б) теоремы 1 могут быть неравносильными. 2. Полином г (Я, \х) =X\x(X+\i) —2 определяет область R={x+iy\x(x +y )-l>0}. 2 2 Для этой области выполнено условие (3) (ранг матрицы С равен 3, а ее сигнатура равна (—1)). Найдем условия того, что все корни полинома f(z) =z +a z+a принадлежат области R. Уравнение (5) примет вид 2 { 0 2 2 -2X+F XF*+FXF* =E 1 здесь F= а ° \ . —aj \ 1 Расписав последнее уравнение покомпонентно, получим линейную алгебраическую систему для определения элементов ~ (х, х\ . матрицы Х= I ) * 2 \ Х$1 Х 2 2 —2x +2a x —2а<Дгз=1, i 0 2 2 2 ~а Х1+(За а —2)х2+(ао —2а а )х =0 0 0 1 0 2 3 1 3 —2a x +(ia —2a )x +(2a ai~2a —2)x3=l i l 1 Q 2 0 i (считаем, что и а вещественные). Решение этой системы находится по формулам Крамера. Элементы вектора решения являются рациональными функциями от а и а . Ввиду громоздкости не будем выписывать явное вы­ ражение решения. Условия того, что все корни f(z) ^=z +a z+a лежат в области i?, имеют вид 0 4 0 2 i ^!>0, Q 2 XiXz—х >0. ПРИЛОЖЕНИЕ Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1, приведем несколько вспомо­ гательных утверждений. Лемма 1. Пусть заданы: 1) набор полиномов pi(z), £ ( z ) , . . . , P«00 -с комплекс­ ными коэффициентами и 2) набор комплексных чисел zu z2,..., zn. Тогда из нера­ венств S 2 y Pi(zi)pi{zi)- ^p (zi)pk(zi)>0 k (г=1, 2 , . . . ,тг) fe=2 следуют неравенства S (7) Pi(Zj)pi(zj)- у* Рк&)р (г])Ф0 к (t,/=l,2,...,ii). Доказательство. Используя неравенство Буняковского, покажем, что модуль первого слагаемого в неравенстве (7) превосходит модуль оставшейся суммы \pi(zi)MzJ\ = (Pi(zi)p^Y47^ h [J^Ph(*t)pi&)^ х 45 ,y S 2 h=2 Лемма 1 доказана. Лемма 2. Если для некоторой матрицы 7 > 0 решение уравнения (4) Z > 0 то собственные числа матрицы А лежат в области (2). Доказательство. Пусть х* - левый собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению X (х*А=Хх*). Умножив уравнение (4) слева на x* а спра­ ва на х, получим 0 0 ? t г( Я, X)x*X x=x*Y x. 0 0 Так как Х > 0 и 7 о > 0 , то г ( Я Д ) > 0 , а значит, X^R. Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть собственные числа матрицы А лежат в области (2), тогда су­ ществует такая матрица Г > 0 , что уравнение (4) имеет решение Х > 0 . Доказательство этой леммы приведено в работе [ 5 ] . Перейдем к доказательству теоремы 1. То, что б)->а), есть очевидное следствие леммы 2. Доказательство а)-> б) разобьем на два этапа. 1. Покажем сначала, что если собственные числа матрицы А л е я т т в области (2), то уравнение (4) имеет решение при любом выборе матрицы Y. Матрица С удовлетворяет условию (3), а значит, представима в виде 0 0 0 s (8) Y^v v \ C = v v *i k i k где Vi, i 7 2 , . . . , v — линейно независимые вектор-столбцы. Левая часть уравнения (4) определяет линейный оператор в пространстве матриц порядка п. Собственными числами этого оператора являются числа г (Я*, ~Х ), где Я- и Xj - произвольные собст­ венные числа матрицы А [Б]. Из представления (8) имеем s 3 г ft«2 где Рк(Х) = №,- Я , . . . , Xn-^Vk (&=1, 2 , » . По предположению г(Х Яг)>0 (г=1, 2 , . . . , тг), тогда по лемме 1 ни одно из чисел г(Яг,Х,) не равно нулю. Следо­ вательно, оператор, порожденный левой частью уравнения (4), не вырожден, а зна­ чит, (4) имеет решение при любом выборе матрицы Y. 2. Покажем, что при любом выборе матрицы Г > 0 решение уравнения (4) Х > 0 . По лемме 3 существует Г о = 0 , при которой решение уравнения (4) Х > 0 . Возьмем произвольную матрицу 7 > 0 и построим (1—t) Y + tYi. Для t^[0, 1] матрица F > 0 . Пусть X - решение уравнения (4), отвечающее Y . Матрица X при t—О — положительно определенная и непрерывно зависит от t. Покажем, что пои возрастании t от 0 до 1 ни одно из собственных чисел матрицы X не обратится в ноль. Предположим противное, и пусть U — первый момент, когда d e t ( X ) = 0 . Матрица Xt >O и существует ненулевой вектор х, такой, что x*X x=0. В силу представления (8) уравнение (4) можно записать в виде и 0 4 f 0 t t t t io 0 t to 8 (9) - y^p (A)X (Ay (A)X (A)* Pl Pl k = 7. Pk fc=2 Позднее покажем, что матрица pi(A) не вырождена. Воспользуемся этим и найдем вектор у, удовлетворяющий уравнению y*pi(A)=x*. Подставим в уравне­ ние (9) Y=*Y и X=X , домножим получившееся равенство слева на у*, а спра­ ва на у: to to y*p (A)X p (A)*y k to k = y*Y y. u Здесь справа стоит положительное число, а слева - сумма неположительных чисел. Это противоречие доказывает, что матрица X не может быть вырожденной, а значит, X >0 при всех * [ 0 , 1 ] . При t=l получаем матрицу Х являющуюся ре­ шением уравнения (4) с правой частью У . Итак, решение уравнения (4) является положительно определенной матрицей, если матрица, стоящая в правой части, по­ ложительно определенная. Для завершения доказательства осталось показать, что матрица Рх(А) не вырождена. Пусть это неверно, и существует ненулевой вектор x to s t и 4 f такой, что x*pi(A)=0. Подставим в уравнение (9) Y=Y и Х=Х . равенство домножим слева на х*, а справа на х. Будем иметь 0 0 Получившееся » В этом равенстве справа стоит положительное число, а слева - сумма неположи­ тельных. Это противоречие показывает, что р±(А) — невырожденная матрица. Теоре­ ма 1 доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. Kalman R. Е. Algebraic characterization of polynomials whose zeros lie in certain algebraic d o m a i n s . - Proc. Nat. Acad. Sci., 1969, v. 64, № 3, p. 818-823. 2. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. M.: Наука, 1966. 3. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979. 4. Харитонов В. Л., Хитрое Г. М, Матричные уравнения и задача распределения собственных ч и с е л . - В кн.: Всесоюзная конференция по устойчивости движе­ ния, колебаниям механических систем и аэродинамике (тезисы докладов). М.: МАИ, 1978, с. 15. 5. Howland J. L. Matrix equations and the separation of matrix e i g e n v a l u e s . - J. Math. Anal, and Appl., 1971, v. 33, № 3, p. 683-691. Ленинградский государственный Поступила в редакцию университет 3. VI.1980 THE PROBLEM OF DISTRIBUTION OF ROOTS FOR THE CHARACTERISTIC POLYNOMIAL OF A CONTROL SYSTEM KHARITONOV V. L. A class of regions of the complex variable plane is identified for which the state­ ment «eigen values of the matrix a stay in a region» is equivalent to truth of a set of inequalities which contain only rational expressions of real and imaginary parts of coefficients in the characteristic polynomial of the matrix A.