Контрольная работа по математике № 2 для студентов I курса

Ивановская государственная текстильная академия
Кафедра высшей математики и статистики
Контрольная работа по математике № 2
для студентов I курса ФДО (направление 100100)
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Составитель: Паринов М. А.
Иваново – 2013
Формулировки заданий
1. Вычислить предел функции или последовательности.
2. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график.
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций.
4. Написать уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке M0 (x0 , y0 ). Построить
график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и построить ее график.
00 , z 00 , z 00 ) ≡ 0.
6. Дана функция z = f (x, y). Показать, что F (x, y, z, zx0 , zy0 , zxx
xy
yy
7. Дана функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ~l. Найти: 1) grad z в точке A; 2) производную
в точке A по направлению вектора ~l.
Номер варианта определяется последней цифрой номера зачетной книжки (если 0, то 10-й
вариант).
1
Вариант № 2
Вариант № 1
4n2 + n − 6
,
n→∞ n2 − 3n + 5
x2 − 16
5x
б) lim 2
, в) lim
.
x→4 x − 3x − 4
x→0 4 sin 2x
2x2 − x + 3
,
x→∞ x2 − 5x + 3
2 sin 8x
x2 − 9
, в) lim
.
б) lim 2
x→0
x→3 x − 3x
3x
1. Вычислить пределы: а) lim
1. Вычислить пределы: а) lim
2. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график:

x

 2 , если x ≤ 0,
sin x, если 0 < x ≤ π/2,
f (x) =


x + 1, если x > π/2.
2. Исследовать функцию на
построить ее график:

−x, если


cos x, если
f (x) =

 2
x − 1, если
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
x−1
1
а) y = 3x2 + 2 x − √ , б) y =
,
2x + 1
x x
в) y = cos(x2 + 1), г) y = x2 ln x.
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
x−4
а) y = x3 − 2 x − √ , б) y =
,
x+1
x
в) y = sin(x2 + 3), г) y = x3 e2x .
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x2 +1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = 2 − x2 в точке M0 (−1, ?). Построить график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и
x2
построить ее график: y =
.
x−3
5. Провести полное исследование функции и
x2 + 1
.
построить ее график: y =
x−1
6. Дана функция z = y/x. Показать, что
00 + 2xy · z 00 + y 2 · z 00 ≡ 0.
x2 · zxx
xy
yy
6. Дана функция z = ln(x+e−y ). Показать, что
00 − z 0 · z 00 ≡ 0.
zx0 · zxy
y
xx
7. Дана функция z = arctg(xy), точка A(2, 3) и
вектор ~l = (4, 3). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
7. Дана функция z = ln(x2 +xy 2 ), точка A(1, 2)
и вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке
A; 2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
2
непрерывность и
x ≤ 0,
0 < x ≤ π/2,
x > π/2.
Вариант № 4
Вариант № 3
2n2 + 6
,
n→∞ 5n2 − 3n + 1
x−2
3 sin 5x
б) lim 2
, в) lim
.
x→2 x − 3x + 2
x→0
7x
x2 − 4x + 3
,
x→∞ 8x2 − 2x + 3
6x
x2 − 1
, в) lim
.
б) lim 2
x→0 7 sin 5x
x→1 x − 4x + 3
1. Вычислить пределы: а) lim
1. Вычислить пределы: а) lim
2. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график:

x2 , если x ≤ 0,


f (x) =
2 cos x, если 0 < x ≤ π/2,


x − π/2, если x > π/2.
2. Исследовать функцию на
построить ее график:

3x , если


f (x) = − sin x, если


x − 1, если
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
2x − 3
а) y = x4 + 2x x − 2 , б) y =
,
x
x−1
2
2x
в) y = tg(x + 4), г) y = (x + 3)e .
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
x+3
,
а) y = x4 + 3 x − 3 , б) y =
x
2x + 1
в) y = ctg(x2 + 3), г) y = (x + 3) sin(4x).
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x3 в точке M0 (1, ?). Построить
график и касательную.
непрерывность и
x ≤ 0,
0 < x ≤ π/2,
x > π/2.
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = 2x2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и
x2 − 1
.
построить ее график: y =
x+1
r
y
. Показать, что
6. Дана функция z = y
x
00 − y 2 · z 00 ≡ 0.
x2 · zxx
yy
5. Провести полное исследование функции и
2x2 + 1
построить ее график: y =
.
x−1
x
6. Дана функция z = arctg . Показать, что
y
00 + z 00 ≡ 0.
zxx
yy
7. Дана функция z = x3 y + xy 2 , точка A(1, 3) и
вектор ~l = (−5, 12). Найти: 1) grad z в точке
A; 2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
7. Дана функция z = 2x2 +xy, точка A(−1, 2) и
вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
3
Вариант № 6
Вариант № 5
n2 + 5n − 6
,
n→∞ 3n2 − n + 1
x2 − 25
3 sin 5x
б) lim 2
, в) lim
.
x→5 x − 5x
x→0
7x
3x2 − x + 5
,
x→∞ 2x2 − 6x + 5
4x
x2 − 1
, в) lim
.
б) lim 2
x→0 3 sin 5x
x→1 x − 3x − 4
1. Вычислить пределы: а) lim
1. Вычислить пределы: а) lim
2. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график:

2x, если x ≤ 0,


−x
2 , если 0 < x ≤ 1,
f (x) =


(x + 1)/4, если x > 1.
2. Исследовать функцию
построить ее график:


 x + 1,
3−x ,
f (x) =


−x2 + 1,
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
2x − 4
1
а) y = 2x3 + 5 x − 2 √ , б) y =
,
x+3
x x
в) y = arcsin(x2 + 5), г) y = (x − 3) cos(2x).
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
6x − 4
а) y = 2x4 + 5x x − 3 , б) y =
,
x
x+4
в) y = arccos(x2 + 4), г) y = x sin(x + 2).
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x−1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x−2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и
x2 + 1
.
построить ее график: y =
2x − 1
5. Провести полное исследование функции и
1
.
построить ее график: y = 2
x −1
6. Дана функция z = exy . Показать, что
00 − y 2 · z 00 ≡ 0.
x2 · zxx
yy
6. Дана функция z = exy . Показать, что
00 − 2xy · z 00 + y 2 · z 00 + 2xyz ≡ 0.
x2 · zxx
xy
yy
x+y
, точка A(1, −2) и
x2 + y 2
вектор ~l = (1, 2). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
на непрерывность и
если x ≤ 0,
если 0 < x ≤ 1,
если x > 1.
x
, точка A(3, 4) и векy2
тор ~l = (−3, −4). Найти: 1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
7. Дана функция z =
7. Дана функция z =
4
Вариант № 8
Вариант № 7
3n2 + 6n − 2
1. Вычислить пределы: а) lim 2
,
n→∞ n − 7n + 8
3x
x2 − 2x
1
б) lim 2
, в) lim 1 +
.
x→∞
x→2 x − 3x + 2
x−1
2x2 + 5
1. Вычислить пределы: а) lim
,
x→∞ 3x2 − 2x + 1
√
√
−x
1
4x − 1 − 11
.
б) lim
, в) lim 1 −
x→∞
x→3
x−3
x−1
2. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график:

x, если x ≤ 0,


log2 x, если 0 < x ≤ 1,
f (x) =

 2
x − 1, если x > 1.
2. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график:

2x, если x ≤ 0,


f (x) = log3 x, если 0 < x ≤ 1,

 √
x, если x > 1.
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
x−4
,
а) y = x5 + 3 x − 3 √ , б) y =
2x + 3
x x
√
в) y = arctg(x2 − 5), г) y = x x + 4.
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
1
4x − 1
,
а) y = 3x3 + 4x x − 4 , б) y =
x
2x − 3
в) y = arcctg(x2 + 3), г) y = x2 sin(x + 3).
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = ex в точке M0 (0, 1). Построить
график и касательную.
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x2 −2 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и
x
построить ее график: y = 2
.
x −1
5. Провести полное исследование функции и
1
построить ее график: y = 2
.
x −4
6. Дана функция z = sin2 (y − x). Показать, что
00 − z 00 ≡ 0.
zyy
xx
6. Дана функция z = ln(x2 + y 2 + 2y + 1). По00 + z 00 ≡ 0.
казать, что zxx
yy
7. Дана функция z = x2 +xy +y 2 , точка A(1, 1)
и вектор ~l = (3, 4). Найти: 1) grad z в точке
A; 2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
7. Дана функция z = 2x2 + 3xy + y 2 , точка
A(2, 1) и вектор ~l = (3, −4). Найти: 1) grad z
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l.
5
Вариант № 10
Вариант № 9
3n2 + 2n − 1
1. Вычислить пределы: а) lim
,
n→∞ 2n2 − 3n + 8
3x
x2 − 4x + 4
1
б) lim
1
+
.
,
в)
lim
x→∞
x→2
x2 − 4
x−1
4x2 + x − 5
1. Вычислить пределы: а) lim 2
,
x→∞ x − 5x + 1
√
√
2x
3x + 1 − 7
1
б) lim
, в) lim 1 +
.
x→∞
x→2
x−2
x+1
2. Исследовать функцию на
построить ее график:


 x, если
f (x) = x−1 , если


1, если
2. Исследовать функцию на непрерывность и
x2
построить ее график: y =
:
x+2

−x, если x ≤ 0,

 √
x, если 0 < x ≤ 1,
f (x) =


1 − x, если x > 1.
непрерывность и
x ≤ 0,
0 < x ≤ 1,
x > 1.
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
3
3x − 1
,
а) y = 2x4 + x2 x + 2 , б) y =
x
2x − 5
2
в) y = ln(x + 3), г) y = (x + 3) cos(x − 1).
3. Найти производные 1-го и 2-го порядков:
√
2
2x − 1
а) y = 2x3 + 4x x + 3 , б) y =
,
x
4x − 5
2
в) y = ex +4 , г) y = (x + 1) sin(3x − 1).
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = x3 +1 в точке M0 (1, ?). Построить график и касательную.
4. Написать уравнение касательной к графику
функции y = −x2 в точке M0 (2, ?). Построить график и касательную.
5. Провести полное исследование функции и
x2
построить ее график: y =
.
x−4
6. Дана функция z =
00 − z 0 ≡ 0.
x · zxy
y
5. Провести полное исследование функции и
x2
.
построить ее график: y =
x+2
x
. Показать, что
y
6. Дана функция z = exy . Показать, что
00 + 2z ≡ 0.
x · zx0 + y · zy0 − 2zxy
7. Дана функция z = arctg(xy 2 ), точка A(2, 3)
и вектор ~l = (4, −3). Найти: 1) grad z в точке
A; 2) производную в точке A по направлению
вектора ~l.
7. Дана функция z = ln(5x2 + 4y 2 ), точка
A(1, 1) и вектор ~l = (2, −1). Найти: 1) grad z
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора ~l.
6