Содержание. Лекции (1 час в неделю).

190100 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
3 семестр
Очная форма обучения. Бакалавры.
I курс, 3 семестр.
Направление 270800 «Наземные транспортнотехнологические комплексы»
Дисциплина - «Математика».
Содержание.
Содержание. ......................................................................................................................................1
Календарный план: 1 час лекций, 3 часа практики в неделю. .........................................................1
Лекции (1 час в неделю). .................................................................................................................1
Практические занятия (3 часа в неделю). ......................................................................................2
Литература. ...........................................................................................................................................4
Календарный план: 1 час лекций, 3 часа практики в неделю.
Лекции (1 час в неделю).
Лекция 1. Случайные события. Достоверное, невозможное, совместные и
несовместные события. Операции над событиями: сумма, произведение,
разность событий, противоположное событие. Классическое определение
вероятности.
Свойства
вероятности.
Геометрическое
определение
вероятности. Основы комбинаторики.
Лекция 2. Относительная частота события. Понятие о статистической
вероятности. Теорема сложения вероятностей, доказательство. Условная
вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Полная группа событий. Формула полной вероятности, формула Байеса
(вывод).
Лекция 3. Испытания Бернулли. Формула Бернулли, доказательство.
Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа. Функция Лапласа, ее
свойства. Формула Пуассона. Простейший поток событий.
Лекция 4. Случайные величины. Дискретные случайные величины, закон
распределения дискретной случайной величины. Непрерывные случайные
величины. Функция распределения. Свойства функции распределения,
доказательство некоторых свойств. Нахождение вероятности попадания
случайной величины в данный интервал (вывод).
Лекция 5. Плотность вероятности, ее свойства, доказательство отдельных
свойств. Вероятностный смысл плотности, элемент вероятности. Нахождение
функции распределения по известной плотности.
Лекция 6. Числовые характеристики случайной величины. Математическое
ожидание, его свойства (доказательство некоторых свойств). Дисперсия, ее
свойства (доказательство некоторых свойств). Среднее квадратическое
отклонение.
~1~
190100 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
3 семестр
Лекция 7. Нормальное распределение. Плотность вероятности, ее график.
Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины в произвольный
интервал, в интервал симметричный относительно математического
ожидания. Правило трех сигм.
Лекция 8. Задачи
математической
статистики.
Выборочный
метод.
Генеральная совокупность, выборка. Точечные оценки неизвестных
параметров. Несмещѐнность, состоятельность оценки. Выборочная средняя,
исправленная выборочная дисперсия. Понятие о доверительной вероятности и
доверительном интервале. Интервальные оценки неизвестных параметров
нормального распределения.
Лекция 9.
Обзорная. Консультация по вопросам экзамена.
Практические занятия (3 часа в неделю).
Тема «Ряды» изучается только на практических занятиях.
Занятие 1. Числовой ряд, его сходимость, сумма (основные определения).
Примеры исследования по определению сходимости рядов:

 aq
n 1
n 1

,

1
,

n 1 n( n  1 )


n 1
1
n
,
1
 n . Свойства сходящихся рядов с доказательством одного из свойств.
n 1
Необходимый признак сходимости, доказательство.
Выдача РГР №1 «Числовые и функциональные ряды».
Занятия 2, 3. Применение необходимого признака к исследованию рядов.
Ряды с положительными членами. Лемма (необходимое и достаточное условие
сходимости рядов с положительными членами), доказательство. Первый признак
сравнения (доказательство). Второй (предельный) признак сравнения (без
доказательства). Ряды Дирихле как табличные для сравнения. Применение
признаков сравнения к исследованию рядов.
Занятие 4. Признак Даламбера, формулировка, применение к исследованию
рядов. Радикальный признак Коши, формулировка, применение к исследованию
рядов.
Занятие 5. Интегральный признак Коши, формулировка. Исследование рядов
Дирихле с помощью интегрального признака. Решение примеров.
Занятия 6, 7. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов, формулировка, применение к решению задач. Признак
Лейбница, доказательство, следствие. Оценка остатка ряда. Абсолютная и
условная сходимость знакопеременного ряда, определение. Исследование рядов
на абсолютную и условную сходимость.
Занятие 8. Функциональные ряды, точка сходимости, область сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля (формулировка). Интервал сходимости
~2~
190100 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
степенного ряда. Нахождение интервала сходимости ряда
3 семестр

 an x n
по признаку
п 0
Даламбера. Решение задач (нахождение интервала сходимости, исследование
ряда в концах интервала).
Занятие 9. Исследование степенных рядов. Подготовка к контрольной
работе. Решение задач из РГР№1.
Занятие 10. Контрольная работа «Числовые и степенные ряды».
Занятия 11, 12. Свойства суммы степенного ряда: теоремы о непрерывности
суммы, о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда.
Разложение функции в степенной ряд. Теорема о единственности разложения
функции в степенной ряд, доказательство. Ряды Тейлора и Маклорена.
Достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции,
формулировка. Разложение в ряд Маклорена функции e x c доказательством
сходимости ряда к порождающей функции.
Занятия 13, 14.
Разложение в ряд Маклорена функции sin x c
доказательством сходимости ряда к порождающей функции. Разложение в ряд
Маклорена функции cos x почленным дифференцированием ряда для sin x .
Применение рядов Тейлора и Маклорена к вычислению определенного
интеграла и решению дифференциальных уравнений, примеры.
Занятие 15. Разложение в ряд Маклорена функций 1  x  , ln 1  x  , arctg x
(без исследования остаточного члена).
Занятие 16. Комбинаторика (основные формулы). Классическое определение
вероятности. Геометрическое определение вероятности. Выдача РГР №2
«Теория вероятностей».
Занятие 17. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность. Теорема
умножения вероятностей. Надежность систем, состоящих из последовательно
соединенных и параллельно соединенных элементов.
Занятие 18. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Занятие 19. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и
интегральная формулы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Простейший поток
событий.
Занятие 20. Дискретная случайная величина. Закон (ряд) распределения
дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия.
Функция распределения.
Занятие 21. Непрерывная случайная величина. Функция распределения.
Плотность вероятности. Нахождение вероятности попадания случайной
величины в интервал. Нахождение функции распределения по известной
плотности. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной
величины.
Занятие 22. Контрольная работа «Теория вероятностей».
~3~
190100 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
3 семестр
Занятие 23. Нормальное распределение. Плотность вероятности.
Вероятностный смысл параметров a и  . Вероятность попадания случайной
величины в произвольный интервал и в интервал, симметричный относительно
математического ожидания. Решение задач из РГР №2.
Занятие 24. Обзор основных распределений. Биномиальное распределение,
закон Пуассона, числовые характеристики. Равномерное распределение,
плотность вероятности, числовые характеристики, функция распределения.
Занятие 25. Элементы математической статистики. Нахождение точечных
оценок по выборке. Нахождение доверительных интервалов для
математического ожидания и среднего квадратического отклонения
нормального распределения. Прием РГР №2 «Теория вероятностей».
Занятие 26. Обзорное по теме «Ряды». Прием РГР №2.
Занятие 27. Обзорное по теме «Теория вероятностей». Прием РГР №2.
Литература.
а) Основная литература:
1. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс Письменный Д.Т., М., Айрис
Пресс, 2013
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1.2.М., Интеграл-Пресс,
2006г.
3. Бугров Я.Ф., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 8-ое
издание Дрофа, 2006г.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юрайт, 2013г.
5. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М., Юрайт, 2013г.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. 17-ое издание. М., Лань, 2010г.
7. Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., профессия, 20072008г.
б) Дополнительная литература:
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия, М., Наука, 1981г.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая алгебра, М., Наука, 1983г.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г.Основы аналитического анализа, ч..1, М., Наука, 1980г.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы аналитического анализа, ч..2, М., Наука, 1982г.
Сборник задач по математике для втузов: линейная алгебра и основы математического анализа.
Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича, М., Наука, 1986г.
6. Самохин М.В., Каган М.Л.Математика в инженерном вузе. Алгебра и геометрия, М.,
Стройиздат. 2003г.
7. Каган М.Л., Макаров В.И., Петелина В.Д., Алгебра и геометрия в вопросах и задачах.
Учебное пособие, МГСУ, 2005г.
8. Каган М.Л., Кузина Т.С., Петелина В.Д. Теория вероятностей и математическая
статистика в вопросах и задачах.Учебное пособие, МГСУ, 2005г.
1.
2.
3.
4.
5.
~4~
190100 «Наземные транспортно-технологические комплексы»
3 семестр
9. Арефьев В.Н., Титова Т.Н.. Практическое руководство по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Учебное пособие. МГСУ, 2006г.
10. Арефьев В.Н., Бобылѐва Т.Н., Ситникова Е.Г. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие.
МГСУ, 2004г.
11. Арефьев В.Н., Жилкин А.П. Ряды Фурье. Учебное пособие. МГСУ, 2004г.
12. Пакет методической литературы, разработанный кафедрой высшей математики МИСИ,
содержащий: варианты заданий расчетно-графических работ и УИРС, методические указания к
их выполнению, специализированные сборники задач по различным темам, методические
указания к проведению практических занятий по различным темам , конспекты лекций по
специальным главам курса, варианты заданий для самостоятельной работы студентов под
руководством преподавателя.
~5~