13. Множества Жюлиа В статье рассматривается множество

Ìíîæåñòâà Æþëèà
Í.ÄÎËÁÈËÈÍ
Âìåñòî ïðîëîãà: âîñïîìèíàíèå
î äàâíåì ïóòåøåñòâèè
 äàëåêîì 1968 ãîäó ìíå ïîñ÷àñòëèâèëîñü ñîâåðøèòü
ïóòåøåñòâèå â Êàðïàòû ñ ìîèì ó÷èòåëåì, âûäàþùèìñÿ
ìàòåìàòèêîì Áîðèñîì Íèêîëàåâè÷åì Äåëîíå.  îäèí
ïàñìóðíûé äåíü âî âðåìÿ ïðîãóëêè ÿ îêàçàëñÿ íà ñåäëå
ïîä âåðøèíîé Ãîâåðëà. Â ñïóñêàâøåìñÿ íà âîñòîê
öèðêå, â ìåòðàõ 100 íèæå ñåäëà, áóðëèë ìîùíûé
ïîòîê. Ýòî áûë èñòîê ðåêè Ïðóò. Ñêëîí, ñáåãàâøèé íà
þãî-çàïàä, áûñòðî óãëóáëÿÿñü, ïåðåõîäèë â óùåëüå, èç
êîòîðîãî âûòåêàëà ðå÷êà Ãîâåðëÿíêà. Íàäî ìíîé íàâèñàë èíòåíñèâíî òàÿâøèé (äåëî áûëî â íà÷àëå ìàÿ)
ñíåæíèê. ×àñòî ïàäàâøèå ñ îãðîìíîé ñîñóëüêè êàïëè
îáðàçîâûâàëè ïî÷òè íåïðåðûâíóþ ñòðóéêó. Ñèëüíûé
âåòåð, ïîäíèìàâøèéñÿ ñ þãî-çàïàäíîãî öèðêà, ñíîñèë
ýòó ñòðóéêó íà âîñòî÷íûé ñêëîí îáëåäåíåëîé ïëîùàäêè ïîä ñíåæíèêîì, îòêóäà âîäà óõîäèëà âíèç, ê Ïðóòó,
âïàäàþùåìó â Äóíàé. Íî êàê òîëüêî âåòåð íà ìãíîâåíèå ñòèõàë, âîäà âåðòèêàëüíî ïàäàëà íà ïëîùàäêó,
íàêëîíåííóþ ê çàïàäó, è ñòåêàëà â äðóãóþ ñòîðîíó, ê
Ãîâåðëÿíêå, êîòîðàÿ ìíîãî íèæå âïàäàëà â Òèñó, à òà
– â Äóíàé. È õîòÿ ðàíî èëè ïîçäíî ýòè «âîñòî÷íûé» è
«çàïàäíûé» ïîòîêè ñëèâàëèñü â îäèí (âáëèçè óñòüÿ
Äóíàÿ), äîñòàòî÷íî áûëî âçãëÿíóòü íà êàðòó, ÷òîáû
ïîíÿòü, êàêàÿ ðàçíàÿ ó íèõ ñêëàäûâàëàñü ñóäüáà.
Îñîáåííî ïîðàæàëî – íàñêîëüêî ïîâåäåíèå ñòðóéêè,
âûòåêàâøåé èç ñíåæíèêà, ðàäèêàëüíî çàâèñåëî îò
äóíîâåíèÿ âåòðà.
ìóëîé
z1z2 = (a1, b1 )(a2 , b2 ) = (a1a2 - b1b2 , a1b2 + b1a2 ) .
Îòìåòèì, ÷òî åñëè îáà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ
âåùåñòâåííûìè, ò.å. b1 = b2 = 0 , òî ïðàâèëî óìíîæåíèÿ (ã) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîâïàäàåò ñ ïðàâèëîì
óìíîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
Îáû÷íî êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a, b) çàïèñûâàþò â âèäå
äâó÷ëåíà a + bi, ãäå i – òàê íàçûâàåìàÿ ìíèìàÿ
åäèíèöà, ò.å. òàêîå «íîâîå ÷èñëî», íå ÿâëÿþùååñÿ
âåùåñòâåííûì, êâàäðàò êîòîðîãî ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí –1.  ýòîì ñëó÷àå, íàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèå äâóõ
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ äâó÷ëåíîâ:
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1b2i2
=
= (a1a2 - b1b2 ) + (a1b2 + b1a2 ) i .
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi ìîæíî ïðåäñòàâèòü
òî÷êîé (a, b) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè (ðèñ.1,à).
Ïðè ýòîì ñàìà êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü, êàæäàÿ òî÷êà
(a,b) êîòîðîé îòîæäåñòâëåíà ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì
z = a + bi, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.
Íåñêîëüêî ñëîâ î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ
Ïðåæäå âñåãî íàì ïîíàäîáèòñÿ êîå-÷òî, ñîâñåì íåìíîãîå, èç òåîðèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ìû êîíñïåêòèâíî ïðèâåäåì ëèøü ñàìûå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ.1
Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ
ïàðà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (a, b) . Ïðè ýòîì
(à) äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z = ( a, b) è z ¢ = ( a ¢, b ¢)
ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = a ¢
è b = b¢ ;
(á) âåùåñòâåííîå ÷èñëî a ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a = ( a,0) ;
(â) ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ â òî÷íîñòè êàê äëÿ âåêòîðîâ ïî ôîðìóëå
z1 ± z2 = (a1 ± a2 , b1 ± b2 ) ;
(ã) óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë çàäàåòñÿ ôîð1 Áîëåå ïîäðîáíî î êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ ìîæíî ïðî÷èòàòü,
íàïðèìåð, â ñòàòüÿõ Ë.Ñ.Ïîíòðÿãèíà «Êîìïëåêñíûå ÷èñëà»
(«Êâàíò» ¹3 çà 1982 ã.) è «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû»
(«Êâàíò» ¹4 çà 1982 ã.).
Ðèñ. 1
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà èìååò âèä z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ) . Çäåñü ϕ åñòü óãîë
uuur
ìåæäó îñüþ Ox è âåêòîðîì Oz , à ρ – ìîäóëü
z = a2 + b2 ÷èñëà z, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äëèíà
uuur
âåêòîðà Oz (ðèñ.1,á).
È, íàêîíåö, íàì ïîíàäîáèòñÿ èçÿùíàÿ ôîðìóëà
Ìóàâðà:
zn = (ρ (cos ϕ + i sin ϕ)) = ρn (cos nϕ + i sin nϕ) . (1)
n
Êîðíåì n-é ñòåïåíè èç ÷èñëà z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî, n-ÿ ñòåïåíü êîòîðîãî ðàâíà
z. Äðóãàÿ ôîðìóëà Ìóàâðà äàåò ïðåäñòàâëåíèå âñåõ
êîðíåé n-é ñòåïåíè:
ϕ + 2πk
ϕ + 2πk ö
æ
n
+ i sin
z = n ρ ç cos
÷,
è
n
n ø
k = 0, 1, …, n – 1.
ÊÂÀÍT 2008/¹1
Ïðèâåäåì òàêæå ôàêò, âûòåêàþùèé èç îñíîâíîé
òåîðåìû àëãåáðû: âñÿêèé ìíîãî÷ëåí n-é ñòåïåíè ñ
êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè (â òîì ÷èñëå è ñ
âåùåñòâåííûìè) èìååò â îáëàñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
ðîâíî n êîðíåé.
Ïóòåøåñòâèå ñòðåêîçû òèõèì óòðîì
 îäíî ïðåêðàñíîå ëåòíåå òèõîå óòðî ïîïðûãóíüÿñòðåêîçà, ïðîñíóâøèñü â òî÷êå z0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) ,
îòïðàâèëàñü â ïóòåøåñòâèå, ïåðåëåòàÿ èç îäíîãî ïóíêòà â äðóãîé. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïîñëå ïåðâîãî ïåðåëåòà ñòðåêîçà îêàçàëàñü â òî÷êå z1 = z02 , ïîñëå âòîðîãî –
â òî÷êå z2 = z12 , ïîñëå òðåòüåãî – â òî÷êå ..., ïðàâèëüíî,
â òî÷êå z3 = z22 è òàê äàëåå. È âîîáùå, åñëè ïîñëå
(n - 1) -ãî ïåðåëåòà ñòðåêîçà áûëà â òî÷êå zn -1 , òî ïîñëå
n-ãî ïåðåëåòà îíà îêàæåòñÿ â òî÷êå zn = zn2 -1 . Ìíîæåñòâî
z0 , z1 = z02,K , zn = zn2 -1,K
(2)
òî÷åê «ïðèçåìëåíèÿ» ñòðåêîçû áóäåì íàçûâàòü îðáèòîé.
Ðàññìîòðèì, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îðáèòà. ßñíî,
÷òî íà÷àëüíàÿ òî÷êà z0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îðáèòó. Ïî ôîðìóëå Ìóàâðà àðãóìåíòû òî÷åê îðáèòû ñóòü ϕ0 , 2ϕ0 , 22 ϕ0 ,…, 2n ϕ0 è ò.ä.
Ìîäóëè òî÷åê îðáèòû ðàâíû ρ0 , ρ02 , ρ04 ,K , ρ02n è ò.ä.
Î÷åâèäíî, ÷òî îðáèòà ëåæèò íà áûñòðî ðàñêðó÷èâàþùåéñÿ óõîäÿùåé â
áåñêîíå÷íîñòü ñïèðàëè, åñëè
ρ0 > 1
(ðèñ.2). Åñëè æå
ρ0 < 1 , òî îðáèòà ëåæèò íà ñïèðàëè, çàêðó÷èâàþùåéñÿ ê
íóëþ. Åñëè òî÷êà z0
ëåæèò íà åäèíè÷íîé
îêðóæíîñòè, ò.å. åñëè
ρ0 = 1 , òî âñÿ îðáèòà
ëåæèò íà ýòîé îêðóæíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì,
Ðèñ. 2
åñëè z0 > 1 , òî îðáèòà, çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé zn = zn2 -1 , óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü. Åñëè æå z0 < 1 , òî, íàîáîðîò, îðáèòà
îñòàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Áîëåå òîãî, â íàøåì ñëó÷àå
îíà íå ïîêèäàåò åäèíè÷íûé êðóã è ïðèòÿãèâàåòñÿ ê
íóëþ.
Ýòî î÷åíü íàïîìèíàåò ðàñïðåäåëåíèå çåìíîé ñóøè ïî
òàê íàçûâàåìûì âîäíûì áàññåéíàì. Èç êóðñà ãåîãðàôèè èçâåñòíî î áàññåéíå ðåêè Âîëãà, î áàññåéíå îçåðà
Áàéêàë... Óñëîâíàÿ ëèíèÿ, ðàçäåëÿþùàÿ áàññåéíû
ðåê, ñêàæåì Âîëãè è Äîíà, íàçûâàåòñÿ âîäîðàçäåëîì.
Ýïèçîä, ðàññêàçàííûé â íà÷àëå ñòàòüè, ïðîèçîøåë íà
âîäîðàçäåëå áàññåéíîâ Ïðóòà è Òèñû (âïðî÷åì, îáå îíè
âïàäàþò â Äóíàé).
 ñëó÷àå èòåðàöèè zn = zn2 -1 âñå îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, ñòåêàþòñÿ ê íóëþ, â òî
âðåìÿ êàê îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ âíå ýòîãî êðóãà,
ñòåêàþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Åäèíè÷íûé êðóã ÿâëÿåòñÿ
áàññåéíîì «îêåàíà Íóëü», âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè ñîñòàâëÿåò áàññåéí «îêåàíà Áåñêîíå÷íîñòü».
Âîäîðàçäåë ìåæäó ýòèìè îêåàíàìè ïðîõîäèò ïî
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |z| = 1. Ìåæäó òî÷êîé, ëåæàùåé
âíóòðè áàññåéíà, è òî÷êîé, ëåæàùåé íà âîäîðàçäåëå,
èìååòñÿ êà÷åñòâåííîå ðàçëè÷èå. Ó êàæäîé òî÷êè z0 ,
ëåæàùåé âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, íåêîòîðàÿ åå îêðåñòíîñòü ëåæèò âíóòðè ýòîãî êðóãà. Äðóãèìè ñëîâàìè,
îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ â òî÷êàõ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
òî÷êå z0 , âïàäàþò â òîò æå îêåàí, ÷òî è îðáèòà òî÷êè
z0 . Ñîâñåì èíà÷å îáñòîèò äåëî íà âîäîðàçäåëå. Ïðîèçâîëüíàÿ, ñêîëü óãîäíî ìàëåíüêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè,
ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè |z| = 1, ñîäåðæèò êàê òî÷êè
âíóòðè, òàê è òî÷êè ñíàðóæè åäèíè÷íîãî êðóãà. Òàêèì
îáðàçîì, ðÿäîì ñ ëþáîé òî÷êîé âîäîðàçäåëà íàõîäÿòñÿ
ñêîëü óãîäíî áëèçêî òî÷êè, ÷üè îðáèòû âïàäàþò â îäèí
îêåàí, è òóò æå ðÿäîì ñèäÿò òî÷êè, èç êîòîðûõ âûòåêàþò îðáèòû, âïàäàþùèå â äðóãîé îêåàí.
Èìåííî íà ýòó îñòðóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïîâåäåíèÿ
îðáèò â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè ïðè
îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ îáðàòèë âíèìàíèå â 1918 ãîäó
ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Æþëèà2 . Ìàòåìàòèê Á.Ìàíäåëüáðîò, ïðîÿâèâøèé ñåðüåçíûé èíòåðåñ ê ðàáîòàì
Æþëèà, íàçâàë òàêèå «âîäîðàçäåëû» â ÷åñòü ïåðâîèññëåäîâàòåëÿ ìíîæåñòâàìè Æþëèà. Ñïðàâåäëèâîñòè
ðàäè, íàäî ñêàçàòü, ÷òî íå ìåíåå ñåðüåçíûé âêëàä â ýòîé
îáëàñòè áûë ñäåëàí òàêæå äðóãèì ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ï.Ôàòó. Ðàçóìååòñÿ, âðÿä ëè áûëî áû îïðàâäàííî êàê-òî îñîáî íàçûâàòü ñòîëü ïðîñòî óñòðîåííûé
âîäîðàçäåë (èìååòñÿ â âèäó åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü),
åñëè áû âñå îáñòîÿëî ñòîëü ïðîñòî, êàê ìîãëî ïîêàçàòüñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä. Ñåé÷àñ ìû óâèäèì, ÷òî ýòî ñîâñåì
íå òàê.
È ïîäíÿëñÿ âåòåð...
Ðàññìîòðèì îðáèòó ñòðåêîçû â ñëó÷àå, åñëè «äóåò
ïîñòîÿííûé âåòåð», ò.å. «âåòåð», èìåþùèé ïîñòîÿííûå
íàïðàâëåíèå è ñèëó.
Èòàê, «âåòå𻠖 ýòî âåêòîð íà ïëîñêîñòè, êîòîðûé ìîæíî çàäàâàòü
êîìïëåêñíûì ÷èñëîì c.
Êîíêðåòíî, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñòðåêîçà âî
âðåìÿ ñâîåãî ïðûæêà èç
òî÷êè z â òî÷êó z2 äîïîëíèòåëüíî «ñíîñèòñÿ âåò- Ðèñ. 3
ðîì» íà âåêòîð, çàäàâàåìûé êîìïëåêñíûì ÷èñëîì c (ðèñ.3). Äðóãèìè ñëîâàìè,
îðáèòà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
zn = zn2 -1 + c , ãäå n = 1, 2, ...
(3)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî «øòèëåâàÿ» îðáèòà (2) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé «âåòðåííîé» îðáèòû (3), ñîîòâåòñòâóþùèé
2 Ãàñòîí Æþëèà (1893–1978) âî âðåìÿ ïåðâîé ìèðîâîé
âîéíû ïîëó÷èë òÿæåëîå ðàíåíèå. Ñâîþ çíàìåíèòóþ ðàáîòó
«Ìåìóàð îá èòåðàöèè ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé» îí íàïèñàë â
ãîñïèòàëå â 1918 ãîäó â èíòåðâàëå ìåæäó äâóìÿ áîëåçíåííûìè
îïåðàöèÿìè.
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
çíà÷åíèþ c = 0. Òåïåðü äëÿ ôèêñèðîâàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà c, âîîáùå ãîâîðÿ íå ðàâíîãî íóëþ, ðàññìîòðèì îðáèòó, çàäàííóþ ôîðìóëîé (3).
Íàçîâåì òî÷êó z0 áåãëÿíêîé, åñëè íà÷èíàþùàÿñÿ â
íåé îðáèòà (3) óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü. Ïîä ýòèì
ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùåå: êàêîé áû áîëüøîé êðóã z £ R
íà ïëîñêîñòè íè âçÿòü, ñóùåñòâóåò íîìåð k, çàâèñÿùèé
îò ðàäèóñà R (k = k ( R)) , òàêîé, ÷òî âñå òî÷êè zn â
îðáèòå (3) ñ íîìåðàìè n > k ëåæàò âíå äàííîãî êðóãà,
ò.å. z > R ïðè n > k ( R) . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ
òî÷åê-áåãëÿíîê ïðè ôèêñèðîâàííîì c ÷åðåç Ec (îò
àíãëèéñêîãî escape – óáåãàòü). Íàïðèìåð, â ÷àñòíîì
ñëó÷àå c = 0 ìíîæåñòâî E0 ñîñòîèò èç òî÷åê, ëåæàùèõ
âíå åäèíè÷íîãî êðóãà.
Íàïðîòèâ, åñëè îðáèòà (3), íà÷èíàþùàÿñÿ â z0 , âñå
âðåìÿ îñòàåòñÿ â ïðåäåëàõ êàêîãî-òî (ïóñòü äàæå î÷åíü
áîëüøîãî) êðóãà, òî òî÷êó z0 íàçîâåì ïëåííèöåé.
Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê-ïëåííèö áóäåì íàçûâàòü ïëåííûì è îáîçíà÷àòü ÷åðåç Pc . Êàê ìû óæå âèäåëè, êîãäà
c = 0, ïëåííîå ìíîæåñòâî P0 – ýòî åäèíè÷íûé êðóã
{z : z £ 1} . Âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, ëåæàùèå âíå åäèíè÷íîãî êðóãà, ÿâëÿþòñÿ áåãëÿíêàìè è ñîñòàâëÿþò óáåãàþùåå ìíîæåñòâî E0 .
Ãèïîòåòè÷åñêè èìååòñÿ è òðåòüÿ âîçìîæíîñòü, êîãäà
îðáèòà, ñ îäíîé ñòîðîíû, âûõîäèò çà ïðåäåëû ëþáîãî
äàííîãî êðóãà ñêîëü óãîäíî ìíîãî ðàç, à ñ äðóãîé,
âîçâðàùàåòñÿ â ýòîò êðóã ñòîëü æå ìíîãî ðàç. Îäíàêî
â ñèëó «òåîðåìû î áåãëÿíêå», êîòîðóþ ìû äîêàæåì â
ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå, òðåòèé ñëó÷àé íåâîçìîæåí.
Èòàê, äëÿ ôèêñèðîâàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà c
êàæäàÿ òî÷êà z0 ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèáî áåãëÿíêîé,
ëèáî ïëåííèöåé. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñÿ ïëîñêîñòü
ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ìíîæåñòâà: Pc è Ec .
Èç òåîðåìû î áåãëÿíêå ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî åñëè z –
òî÷êà-áåãëÿíêà, òî åå äîñòàòî÷íî ìàëåíüêàÿ îêðåñòíîñòü ñîñòîèò ëèøü èç òî÷åê-áåãëÿíîê.
Ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè òàêèõ, ÷òî â êàæäîé åå
îêðåñòíîñòè ñîäåðæàòñÿ êàê ïëåííèöû, òàê è áåãëÿíêè,
îáðàçóþò ãðàíèöó ìåæäó ìíîæåñòâàìè Ec è Pc . Ýòî
ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì Æþëèà Jc . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Æþëèà ñîñòîèò òîëüêî èç
ïëåííèö.
Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà Æþëèà, ïðè c = 0 ìíîæåñòâî J0 åñòü åäèíè÷íàÿ îêðóæíîñòü, íî ïðè c ¹ 0
õàðàêòåð ìíîæåñòâà Jc ñåðüåçíî ìåíÿåòñÿ. Íà ðèñóíêå
4 ïðèâåäåíû ìíîæåñòâà Æþëèà Jc ïðè ðàçëè÷íûõ
ÆÞËÈÀ
Óñëîâèå óáåãàíèÿ îðáèòû
Òåîðåìà î áåãëÿíêå. Ïóñòü òî÷êà z0 òàêîâà, ÷òî
z0 ³ c è z0 > 2 .
(4)
zn2 -1
Òîãäà îðáèòà zn =
+ c , íà÷èíàþùàÿñÿ â òî÷êå
z0 , óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü, äðóãèìè ñëîâàìè, òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ áåãëÿíêîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî íåðàâåíñòâà (4) íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì òî÷êèáåãëÿíêè. Òî÷êà z0 ìîæåò íå óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
(4), íî åñëè êàêÿ-òî òî÷êà
îðáèòû óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, òî îðáèòà
óáåãàåò íà áåñêîíå÷íîñòü
è òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ áåãëÿíêîé.
Ïóñòü òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4). Òàê
êàê â (4) âòîðîå íåðàâåíñòâî – ñòðîãîå, òî Ðèñ. 5
z = 2 + ε , ãäå ε – íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà (ðèñ.5), èìååì
(
)
z2 = z2 + c - c = z2 + c + ( - c) £ z2 + c + c . (5)
Èç (4) è (5) ïîëó÷àåì
z2 + c ³ z2 - c ³ z2 - z = ( z - 1) z = (1 + ε) z .
Èòàê, åñëè òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (4), òî
z2 + c ³ (1 + ε) z . Ïîýòîìó, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
z0 îðáèòû äî íà÷àëà 0 ïðåâîñõîäèò îáà ÷èñëà c è 2:
z0 > max { c ,2} , òî ñëåäóþùàÿ òî÷êà z1 îðáèòû îòñòîèò
åùå äàëüøå. Ïðè÷åì êîýôôèöèåíò óäàëåíèÿ êàæäûé
ðàç íå ìåíüøå ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà 1 + ε , ñòðîãî
ïðåâîñõîäÿùåãî 1. Òàêèì îáðàçîì, åñëè z0 > max { c ,2} ,
òî ïîëó÷àþùàÿñÿ ïîñëå k èòåðàöèé òî÷êà zk îðáèòû
k
áóäåò ðàñïîëîæåíà îò íà÷àëà ïî êðàéíåé ìåðå â (1 + ε)
k
ðàç äàëüøå. Òàê êàê (1 + ε) ìîíîòîííî è íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè íîìåðà k, òî è òî÷êè
îðáèòû ìîíîòîííî è íåîãðàíè÷åííî óäàëÿþòñÿ îò íà÷àëà. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äàæå åñëè òî÷êà z0 íå
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4), íî ïåðâûé æå âîçìîæíûé
âûõîä îðáèòû zn = zn2 -1 çà ïðåäåëû êðóãà ðàäèóñà
max { c ,2} ãàðàíòèðóåò óáåãàíèå äàííîé îðáèòû íà
áåñêîíå÷íîñòü.
Óïðàæíåíèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè z Î Ec , òî ó òî÷êè z ñóùåñòâóåò
îêðåñòíîñòü U ( z) , ñîäåðæàùàÿñÿ â Ec .
2. Äîêàæèòå, ÷òî Jc Ì Pc .
Íåïîäâèæíûå òî÷êè
Ðèñ. 4
çíà÷åíèÿõ c. Ìû âèäèì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ìîäóëÿ |c|
ëèíèÿ «âîäîðàçäåëà» Æþëèà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå
ñëîæíîé è èçëîìàííîé.
Ìû çíàåì, ÷òî ïðè èòåðàöèè zn +1 = zn2 + c îäíè
îðáèòû óáåãàþò íà áåñêîíå÷íîñòü, ïðè÷åì òàêîå óáåãàíèå èäåò ïî ðàñêðó÷èâàþùåéñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò
ñïèðàëè ñ ïîñòîÿííîé ïîïðàâêîé íà «âåòåð» c. Äðóãèå
îðáèòû «ãóëÿþò» â îáëàñòè, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà ìíîæåñòâîì Æþëèà. Ýòè îðáèòû ñîñòîÿò èç òî÷åê-ïëåí-
ÊÂÀÍT 2008/¹1
íèö. Ñðåäè òî÷åê-ïëåííèö åñòü îñîáûå òî÷êè. Ýòî – òàê
íàçûâàåìûå íåïîäâèæíûå òî÷êè.
Òî÷êà z íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé äëÿ ôóíêöèè f ( z) ,
åñëè z = f ( z) . Ïðè èòåðàöèè zn +1 = f ( zn ) îðáèòà íåïîäâèæíîé òî÷êè îñòàåòñÿ íà ìåñòå: zn = z0 äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.  ñëó÷àå êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè
f ( z) = z2 + c íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z óäîâëåòâîðÿåò óðàâ2
íåíèþ z - z + c = 0 . Ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ
z0 è z1 (çäåñü ìû ïðèìåíÿåì âåðõíèå èíäåêñû,
ïîòîìó ÷òî íèæíèå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íóìåðàöèè òî÷åê
â îðáèòå).
Èòàê, îðáèòà íåïîäâèæíîé òî÷êè íèêóäà íå óáåãàåò,
ò.å. êàæäàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé. Ìåæäó òåì, íåïîäâèæíûå òî÷êè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ äðóã îò
äðóãà â òîì, êàê âåäóò ñåáÿ îðáèòû, íà÷èíàþùèåñÿ
âáëèçè ýòèõ òî÷åê.
Ðàññìîòðèì îïÿòü ïðîñòåéøèé ñëó÷àé: c = 0. Èç
óðàâíåíèÿ z = z2 íàõîäèì äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè:
z0 = 0 , z1 = 1 . Ìåæäó íèìè èìååòñÿ ñóùåñòâåííîå
ðàçëè÷èå. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 = 0 , êàê ìû óæå
çíàåì, «ïðèòÿãèâàåò» ê ñåáå ëþáóþ îðáèòó, íà÷èíàþùóþñÿ âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà.  òî æå âðåìÿ åñëè
òî÷êà z äîñòàòî÷íî áëèçêî íàõîäèòñÿ ê äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êå z1 = 1 , òî ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçîì z2
è íåïîäâèæíîé òî÷êîé 1 áîëüøå, ÷åì ìåæäó «ïðîîáðàçîì» z è 1. Òî÷êà z1 = 1 ïðè èòåðàöèè zn +1 = zn2 êàê áû
îòòàëêèâàåò îò ñåáÿ îñìåëèâøèåñÿ áûëî ïðèáëèçèòüñÿ
ê íåé òî÷êè îðáèòû. Îäíè îðáèòû (åñëè z0 > 1 )
óáåãàþò îò z1 = 1 íà áåñêîíå÷íîñòü. Äðóãèå îðáèòû
(åñëè z0 < 1 ) óáåãàþò îò z1 = 1 ê äðóãîé íåïîäâèæíîé òî÷êå z0 = 0 . Òðåòüè îðáèòû ( z0 = 1 ) ðàñïîëîæåíû íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè.
 îáùåì ñëó÷àå íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè f ( z) íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε > 0 , ÷òî ëþáàÿ îðáèòà,
íà÷èíàþùàÿñÿ â ε -îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 , ñõîäèòñÿ ê
z0 . Ïðèòÿãèâàþùóþ òî÷êó z0 òàêæå íàçûâàþò åùå
è óñòîé÷èâîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé, èìåÿ â âèäó, ÷òî
ïðè íåáîëüøîì îòêëîíåíèè òî÷êè z îò íåïîäâèæíîé
òî÷êè z0 åå îðáèòà âñå ðàâíî ñòðåìèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå. Òàêèì îáðàçîì, ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà íå
òîëüêî ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé, íî è íåêîòîðàÿ åå
îêðåñòíîñòü ïîëíîñòüþ ñîñòîèò èç òî÷åê-ïëåííèö. Îíà
ëåæèò âíóòðè ïëåííîãî ìíîæåñòâà Pc , íî íå íà åãî
ãðàíèöå, ò.å. ïðèòÿãèâàþùàÿ òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó Æþëèà Jc .
Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z1 ôóíêöèè f ( z) –îòòàëêèâàþùàÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0 , ÷òî äëÿ ëþáîé
òî÷êè z, óäàëåííîé îò z1 íå äàëåå ÷åì íà ε , åå îáðàç
1
f ( z) îòñòîèò îò z äàëüøå ÷åì z:
(z
2
)
+ c - z1 >
> z - z1 . Îòòàëêèâàþùàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ òàêæå
íåóñòîé÷èâîé. Äàæå íåáîëüøîå îòëè÷èå íà÷àëüíîé
òî÷êè z0 îò íåóñòîé÷èâîé òî÷êè z1 ïðèâîäèò ê ñåðüåçíîìó îòêëîíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåé îðáèòû.
Ïóñòü z0 – íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f ( z) .
Èìååòñÿ âàæíûé êðèòåðèé, âûÿñíÿþùèé, êàêîâà ýòà
òî÷êà: ïðèòÿãèâàþùàÿ èëè îòòàëêèâàþùàÿ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèÿ f ( z) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå
z0 . Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè îò êîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî
äåëàåòñÿ äëÿ âåùåñòâåííîé ôóíêöèè âåùåñòâåííîãî
àðãóìåíòà:
f ( z ) - f z 0 .
f ¢ z0 = lim0
z ® z z - z0 Õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ îðáèòû â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé f ¢ ( z) â
ýòîé òî÷êå.
Òåîðåìà. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 äëÿ ôóíêöèè
f ( z) ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè f ¢ ( z) < 11, è
îòòàëêèâàþùåé, åñëè f ¢ ( z) > 1.
Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè
f ( z) = z2 + c ðàâíà f ¢ ( z) = 2z . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì
êðèòåðèåì, â õîðîøî çíàêîìîì íàì ñëó÷àå c = 0
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z0 = 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, òàê êàê
f ¢ (0) = 0 < 1 , à íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z1 = 1 – îòòàëêèâàþùàÿ, òàê êàê f ¢ (1) = 2 > 1 .
Ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòîò âàæíûé ôàêò äëÿ
ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, íî ïîïûòàåìñÿ
îáúÿñíèòü åãî â ñëó÷àå âåùåñòâåííîé ôóíêöèè f ( x ) îò
âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé x. Ïóñòü x0 – íåïîäâèæíàÿ
òî÷êà ôóíêöèè f ( x ) , ò.å. x0 = f x 0 . Ðàññìîòðèì
( )
( )
( )
ãðàôèêè äâóõ ôóíêöèé y = x è y = f ( x ) â îêðåñòíîñòè
( ) < 1 , èç ðèñóí-
íåïîäâèæíîé òî÷êè x0 . Ïóñòü f ¢ x 0
Ðèñ. 6
êîâ 6,à è 6,á âèäíî, ÷òî åñëè òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà
äîñòàòî÷íî áëèçêî ê x0 , òî âûòåêàþùàÿ èç íåå îðáèòà
xn +1 = f ( xn ) ìîíîòîííî ïðèáëèæàåòñÿ ê x0 :
x0 - x 0 > L > xn - x0 > xn +1 - x 0 > K
Óñëîâèå «òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà äîñòàòî÷íî áëèçêî»
îçíà÷àåò: òî÷êà x0 ðàñïîëîæåíà â òîé îêðåñòíîñòè
íåïîäâèæíîé òî÷êè, ãäå ïðîèçâîäíàÿ óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâó f ¢ ( x ) < 1 .
( )
Åñëè æå f ¢ x 0 > 1 , òî âûòåêàþùàÿ èç òî÷êè x0 ,
ðàñïîëîæåííîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , îðáèòà
xn +1 = f ( xn ) êàêîå-òî âðåìÿ áóäåò óäàëÿòüñÿ îò x0
(ðèñ.7,à è 7,á): x0 - x 0 > x1 - x 0 > K Ïðè÷åì óäà-
ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
ÆÞËÈÀ
!
ôðàêòàëû» 3 ,
Ðèñ. 7
ëåíèå êàæäîé ñëåäóþùåé òî÷êè xn +1 îðáèòû ïî ñðàâíåíèþ ñ xn îò íåïîäâèæíîé òî÷êè ãàðàíòèðîâàíî,
ïîêà îðáèòà íàõîäèòñÿ â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé
òî÷êè, ãäå ñîõðàíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ¢ ( x ) > 1 . Íî
êàê òîëüêî îðáèòà âûõîäèò çà ïðåäåëû òàêîé îêðåñòíîñòè, åå ïîâåäåíèå ñòàíîâèòñÿ íå ñòîëü îäíîçíà÷íûì.
Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå, ÷òî îòòàëêèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà èòåðàòîðà xn +1 = xn2 + c ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
Æþëèà Jc , ò.å. ëåæèò íà ãðàíèöå ìíîæåñòâ Pc è Ec .
è
îòëè÷àëàñü çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì:
ýòà ñàëôåòêà áûëà ïîäîáíà (äàæå ãîìîòåòè÷íà) ëþáîé
èç ñâîèõ «÷åòâåðòèíîê», êàæäàÿ èç êîòîðûõ áûëà
ëèíåéíî âäâîå ìåíüøå ñàëôåòêè Ñåðïèíñêîãî. ×åòâåðòèíêà, â ñâîþ î÷åðåäü, áûëà ïîäîáíà (îïÿòü ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ 1/2) «ñâîåé» ÷åòâåðòèíêå, è ò.ä. äî
áåñêîíå÷íîñòè. Ñâîéñòâî öåëîãî áûòü ïîäîáíûì ñâîåé
÷àñòè íàçûâàþò ñàìîïîäîáèåì.
Âîçüìåì íà ìíîæåñòâå Æþëèà Jc òî÷êó z è ïóñòü
U Ì Jc – íåêîòîðàÿ äóãà, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó z. Òàê êàê
ìíîæåñòâî Æþëèà ïîä äåéñòâèåì fc îòîáðàæàåòñÿ íà
ñåáÿ, òî äóãà U ïåðåõîäèò â äðóãóþ äóãó fc (U ) ,
ñîäåðæàùóþ òî÷êó fc ( z) . Åñëè áû ôóíêöèÿ fc ( z) áûëà
ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî z, òî ïðåîáðàçîâàíèå fc áûëî
áû ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ, êàê ýòî ñëó÷èëîñü â
ñëó÷àå ñàëôåòêè Ñåðïèíñêîãî. Îäíàêî íàøà ôóíêöèÿ
fc ( z) íå ëèíåéíàÿ, à êâàäðàòè÷íàÿ. Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå ôðàãìåíòû íå ÿâëÿþòñÿ ïîäîáíûìè äðóã
äðóãó. Òåì íå ìåíåå, îíè âî ìíîãîì î÷åíü ñõîæè ìåæäó
ñîáîé.
Íà ðèñóíêå 8,á ïðåäñòàâëåí (â òîì æå ìàñøòàáå)
ôðàãìåíò ìíîæåñòâà Æþëèà, îãðàíè÷åííûé ðàìêîé íà
Ñàìîïîäîáèå ìíîæåñòâà Æþëèà
Îáîçíà÷èì êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ z2 + c ÷åðåç
fc ( z) . Ïóñòü U – ìíîæåñòâî òî÷åê íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè, ÷åðåç fc (U ) îáîçíà÷èì îáðàç ýòîãî ìíîæåñòâà ïðè ôóíêöèè fc ( z) . Äðóãèìè ñëîâàìè, fc (U )
åñòü ìíîæåñòâî îáðàçîâ âñåõ òî÷åê z Î U :
fc (U ) = U z ÎU fc ( z) .
Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñî çíàêîìûìè ìíîæåñòâàìè Pc , Ec , Jc . Âîçüìåì òî÷êó z0 Î Pc . Ëåãêî âèäåòü,
÷òî òî÷êà fc ( z0 ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïëåííèöåé. Äåéñòâèòåëüíî, îðáèòà òî÷êè z1 = fc ( z0 ) ñîâïàäàåò ñ îðáèòîé
òî÷êè z0 ñî ñäâèãîì íóìåðàöèè íà åäèíèöó. Ïîýòîìó
fc ( Pc ) Í Pc . Âåðíî è îáðàòíîå: Pc Í fc ( Pc ) . Òàêèì
îáðàçîì, Pc = fc ( Pc ) , ò.å. ïîä äåéñòâèåì ôóíêöèè fc
ìíîæåñòâî Pc îòîáðàæàåòñÿ íà ñåáÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
ðàññìîòðèì ïðîîáðàçû u = fc-1 ( z0 ) òî÷êè z0 = u2 + c .
Ïîíÿòíî, ÷òî îíè îáà òàêæå ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè-ïëåííèöàìè. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà-ïëåííèöà z0 ÿâëÿåòñÿ
fc -îáðàçîì òî÷êè-ïëåííèöû, òî Pc Í fc ( Pc ) .  òàêèõ
ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî Pc èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc .
Ïî òîé æå ïðè÷èíå óáåãàþùåå ìíîæåñòâî Ec òàêæå
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc . Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî òàê êàê êàæäîå èç ìíîæåñòâ Ec è Pc
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ fc ,
òî è ãðàíèöà ìåæäó íèìè, ò.å. ìíîæåñòâî Æþëèà Jc ,
òàêæå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî fc .
Óñòàíîâëåííàÿ èíâàðèàíòíîñòü ìíîæåñòâà Æþëèà
îòíîñèòåëüíî fc ïîðîæäàåò ïîâòîðÿåìîñòü, òî÷íåå ñõîæåñòü, ôîðìû ìíîæåñòâà Æþëèà â öåëîì ñ ôîðìàìè
âñå áîëåå è áîëåå ìåëêèõ åãî ôðàãìåíòîâ. Íàïðèìåð,
ñàëôåòêà Ñåðïèíñêîãî, îïèñàííàÿ â ñòàòüå «Èãðà «Õàîñ»
Ðèñ. 8
ðèñóíêå 8,à. Ôðàãìåíò, âûäåëåííûé ðàìêîé íà ðèñóíêå 8,á, óâåëè÷åí íà ðèñóíêå 8,â.  ñâîþ î÷åðåäü,
ðèñóíîê 8,ã ïðåäñòàâëÿåò óâåëè÷åíèå ôðàãìåíòà, óêàçàííîãî â ðàìêå íà ðèñóíêå 8,â.
Èãðà «Õàîñ» è ìíîæåñòâà Æþëèà
 çàêëþ÷åíèå ðàññêàæåì, êàê ìîæíî ïîëó÷àòü íà
ìîíèòîðå êîìïüþòåðà èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Æþëèà
Jc äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ c. Ïðåäëàãàåìàÿ ïðîöåäóðà
ïîñòðîåíèÿ åñòü ïîïðîñòó âåðñèÿ èãðû «Õàîñ», êîòîðàÿ ïîäðîáíî èçëîæåíà äëÿ áîëåå ïðîñòîé ñèòóàöèè â
óïîìÿíóòîé ñòàòüå «Èãðà «Õàîñ» è ôðàêòàëû».
Äàâàéòå îòïðàâèìñÿ èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè-ïëåííèöû z0 Î Pc ( z0 ¹ z0 ) â ïóòåøåñòâèå ïî îðáèòå «ââåðõ»,
3 Ñì. «Êâàíò» ¹4 çà 1997 ãîä.
"
ÊÂÀÍT 2008/¹1
ïåðåõîäÿ îò îäíîãî ïðîîáðàçà ê ïðåäûäóùåìó. Ó òî÷êè
z0 èìåþòñÿ äâà ïðîîáðàçà ± z-1 , òàêèå, ÷òî
2
fc ( ± z1 ) = ( ± z1 ) + c = z0 . Âûáåðåì îäèí èç íèõ ñëó÷àéíûì îáðàçîì è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç z-1 . Ó òî÷êè z-1
èìåþòñÿ îïÿòü äâà ïðîîáðàçà ± z-2 . Âûáåðåì ñëó÷àéíî
îäèí èç äâóõ ïðîîáðàçîâ è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç z-2 .
Äâèãàÿñü òàêèì îáðàçîì ïî îðáèòå ââåðõ è äåëàÿ íà
êàæäîì øàãå ñëó÷àéíûé âûáîð ìåæäó äâóìÿ ïðîîáðàçàìè, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü z-1, z-2, z-3,K Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
òî÷åê, îñòàâàÿñü âíóòðè ìíîæåñòâà Pc , ïðèáëèæàåòñÿ
ê ìíîæåñòâó Æþëèà Jc . Áîëåå êîíêðåòíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { z- n } ñèäèò íà ñëîæíî óñòðîåííîé ñïèðàëè,
êîòîðàÿ àñèìïòîòè÷åñêè íàìàòûâàåòñÿ íà ìíîæåñòâî
Æþëèà Jc . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ñèëó ñëó÷àéíîãî âûáîðà
îäíîãî èç äâóõ ïðîîáðàçîâ, ïðîèñõîäÿùåãî íà êàæäîì
øàãå, ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê { z- n } áóäåò íàíèçûâàòüñÿ íà âñå ìíîæåñòâî Æþëèà. Ïîýòîìó íåñêîëüêî òûñÿ÷ ïåðâûõ òî÷åê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { z- n } ,
âûâåäåííûå íà ýêðàí êîìïüþòåðà, èìèòèðóþò ìíîæåñòâî Æþëèà. Òàê êàê íà÷àëüíàÿ òî÷êà îðáèòû ìîæåò
áûòü âûáðàíà äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ìíîæåñòâà Æþëèà
Jc äà è îðáèòà { z- n } ñõîäèòñÿ êî ìíîæåñòâó Æþëèà íå
ñëèøêîì áûñòðî, òî íåñêîëüêî ïåðâûõ òî÷åê îðáèòû
ñëåäóåò âûáðîñèòü, äàáû íå èñêàæàòü êàðòèíó. Äðóãàÿ
íåïðèÿòíîñòü – îðáèòà ðàñïðåäåëÿåòñÿ âäîëü ìíîæåñòâà Æþëèà íå î÷åíü ðàâíîìåðíî: íåêîòîðûå ó÷àñòêè
ïðîÿâëÿþòñÿ âåñüìà îò÷åòëèâî, íà äðóãèõ, íàîáîðîò,
åñòü «ïðîïëåøèíû». ×òîáû çàïîëíèòü ýòè ïðîïëåøèíû â èçîáðàæåíèè, íóæíî ëèáî ïîçâîëèòü ïðîãðàììå
äîëãî-äîëãî ðàáîòàòü, ëèáî, ó÷èòûâàÿ ñàìîïîäîáèå
ìíîæåñòâà Æþëèà, «ïåðåñàäèòü» íà ïðîïëåøèíû êóñêè êðèâîé Æþëèà ñ äðóãèõ óæå ïðîÿâèâøèõñÿ ó÷àñòêîâ. Ïîñëåäíèé ïîäõîä íàìíîãî ýôôåêòèâíåé. Áëàãîäàðÿ åìó óæå ïåðâûå íåñêîëüêî òî÷åê îðáèòû äàþò
èçîáðàæåíèå ìíîæåñòâà Æþëèà, áîëåå îò÷åòëèâîå, ÷åì
ïðè ñòàíäàðòíîì ïîäõîäå – ñîòíÿ òûñÿ÷ òî÷åê îðáèòû.
Ïðåîäîëåâ ýòè òðóäíîñòè, âû áóäåòå âîçíàãðàæäåíû:
âû ñìîæåòå ñàìîñòîÿòåëüíî çíàêîìèòüñÿ ñ ìèðîì èçóìèòåëüíûõ ïî êðàñîòå è ðàçíîîáðàçèþ ìíîæåñòâ Æþëèà. Ñóäÿ ïî ýñêèçàì ýòèõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå äåëàë
ñàì Æþëèà «îò ðóêè», àâòîð âðÿä ëè ïðåäñòàâëÿë âñå
âåëèêîëåïèå «öàðñòâà» ìíîæåñòâ, íîñÿùèõ òåïåðü åãî
èìÿ, à î íåêîòîðûõ ãëóáîêèõ ñâîéñòâàõ îí äàæå íå
ïîäîçðåâàë. Íàïðèìåð, âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà
áûë îáíàðóæåí «âçðûâíîé» õàðàêòåð ìíîæåñòâ Æþëèà. Äàâàéòå ïðè çàäàííîì íàïðàâëåíèè «âåòðà» c
áóäåì íåïðåðûâíî óâåëè÷èâàòü ñèëó |c|. Ïîëó÷àþùèåñÿ
ïðè ýòîì ìíîæåñòâà Æþëèà ñòàíîâÿòñÿ âñå áîëåå è
áîëåå ñëîæíûìè è àæóðíûìè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè
äîñòèæåíèè íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ |c| ìíîæåñòâî
Æþëèà âçðûâàåòñÿ, ðàçëåòàÿñü ïðè ýòîì íà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îòäåëüíûõ êóñî÷êîâ (ðèñ.9). Çíà÷åíèå ìîäóëÿ |c|, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò âçðûâ, çàâèñèò îò
íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà c . Îòëîæèâ íà ïëîñêîñòè âñå
çíà÷åíèÿ c, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò âçðûâ ìíîæåñòâà
Jc , Á.Ìàíäåëüáðîò ïîëó÷èë íîâîå ìíîæåñòâî, åùå
Ðèñ. 9
áîëåå ñëîæíîå è âîñõèòèòåëüíîå, ÷åì ìíîæåñòâà Æþëèà. Òåïåðü ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ èìåíåì åãî
îòêðûâàòåëÿ – ìíîæåñòâî Ìàíäåëüáðîòà. Íî ýòî –
òåìà äðóãîé ñòàòüè.
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
Ìîçàèêà èç
ñíåæèíîê
Í
À ÏÅÐÂÎÉ ÑÒÐÀÍÈÖÅ ÎÁËÎÆÊÈ ÈÇÎÁÐÀÆÅÍÀ
ìîçàèêà èç òàê íàçûâàåìûõ ñíåæèíîê Êîõ. Ñíåæèíêà Êîõ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôðàêòàëîâ, î êîòîðûõ
ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå Í.Äîëáèëèíà â
ýòîì íîìåðå æóðíàëà.
Ïîñòðîèòü ñíåæèíêó ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âîçüìåì ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, ðàçäåëèì êàæäóþ åãî ñòîðîíó íà òðè ðàâíûõ îòðåçêà è ïîñòðîèì íà
ñðåäíèõ îòðåçêàõ ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè âî âíåøíþþ ñòîðîíó îò èñõîäíîãî. Ïîëó÷èì ôèãóðó, îãðàíè÷åííóþ 12 îòðåçêàìè. Ðàçäåëèì êàæäûé èç ýòèõ îòðåçêîâ íà òðè ÷àñòè è âíîâü ïîñòðîèì íà ñðåäíèõ îòðåçêàõ
ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè (ðèñ.1).
Ïîâòîðèì òó æå îïåðàöèþ ñ îòðåçêàìè, îãðàíè÷èâàþùèìè ïîëó÷åííóþ ôèãóðó, è ò.ä.  ïðåäåëå êàê ðàç
ïîëó÷èòñÿ ñíåæèíêà Êîõ.
Îòìåòèì, ÷òî ïåðèìåòð ñíåæèíêè áåñêîíå÷åí, à ïëî8
ùàäü êîíå÷íà è ðàâíà ïëîùàäè èñõîäíîãî òðåóãîëü5
íèêà.
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 29)