4 Лекция 4

Функция
Понятие функции
Способы задания функции
Характеристики функции
Обратная функция
Предел функции
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции при x → ∞
Бесконечно большая функция
4 — Лекция 4
4.1 Функция
4.1.1 Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие
функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух
множеств.
Если каждому значению переменной x из некоторого множества
X ставится в соответствие по известному закону единственное число y, то говорят,
что на множестве X задана функция y = y(x) или y = f (x). Говорят также, что
Определение 4.1
f
функция f отображает множество X на множество Y : X → Y .
При этом x называется аргументом функции, множество X областью задания функции y = f (x). Число y, которое соответствует данному значению аргумента x, называется частным значением функции в точке x. Совокупность всех частных значений
образует определенное множество Y , называемое множеством значений функции.
f
a
f
b
g
c
g
d
Соответствия f и g, изображенные на рисунке:
• соответствия f , изображенные на рисунках a и b - функции.
• соответствия g, изображенные на рисунках c и d не являются функциями. В
случае c не каждому элементу x ∈ X соответствует элемент y ∈ Y . В случае d
30
Лекция 4
не соблюдается условие однозначности.
4.1.2 Способы задания функции
Табличный способ задания функции.
При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента
x1 , x2 , . . . , xn и соответствующие значения функции y1 , y2 , . . . , yn :
x
y
x1
y1
x2
y2
...
...
xn
yn
Такие таблицы могут получиться, например, в результате экспериментального изучения каких - либо явлений и будут выражать функциональную зависимость между
измеряемыми величинами.
Графический способ задания функции.
Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторую совокупность точек M(x, y), при этом никакие две точки не лежат на одной прямой,
параллельной оси Oy, то эта совокупность точек определяет некоторую однозначную
функцию y = f (x): значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями
функции - соответствующие ординаты.
Совокупность точек плоскости xOy, абсциссы которых являются
значениями независимой переменной, а ординаты - соответствующими значениями
функции, называется графиком данной функции.
Определение 4.2
Аналитический способ задания функции.
Аналитическим выражением называется символическое обозначение совокупности
известных математических операций, которые производятся в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные
величины.
Под совокупностью известных математических операций понимается не только
математические операции, такие как сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.,
но и те, которые будут определяться по мере изучения математического анализа.
Если, зависимость y = f (x) такова, что f обозначает аналитическое выражение, то
говорят, что функция y от x задана аналитически.
Областью определения функции, заданной аналитически, является совокупность значений x, при которых стоящее справа в равенстве y = f (x) аналитическое выражение
f (x) имеет вполне определенное значение.
4.1.3 Характеристики функции
Четность
Функция y = f (x) называется четной (нечетной), если для любого
x из области определения функции справедливо равенство f (x) = f (−x) ( f (x) =
− f (−x)).
Определение 4.3
Пусть задана функция f : X → Y :
если ∀x ∈ X: −x ∈ X, f (x) = f (−x) ⇒ f (x) - четная,
если ∀x ∈ X: −x ∈ X, f (x) = − f (−x) ⇒ f (x) - нечетная.
График четной функции симметричен относительно оси OY , а нечетной - относительно начала координат,
4.1 Функция
31
Пример 4.1
√
1. y = x2 , y = 1 + x2 , y = cos x, y = |x| - четные функции;
2. y = sin x, y = x3 - нечетные функции;
√
3. y = x + 1, y = x - функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
Монотонность
Пусть функция y = f (x) определена на множестве X пусть X1 ⊂ X.
Если для любых значений x1 , x2 ∈ X1 аргументов из неравенства x1 < x2 вытекает
неравенство
f (x1 ) < f (x2 ), то функция называется возрастающей на множестве X1 ;
f (x1 ) 6 f (x2 ), то функция называется неубывающей на множестве X1 ;
f (x1 ) > f (x2 ), то функция называется убывающей на множестве X1 ;
f (x1 ) > f (x2 ), то функция называется невозрастающей на множестве X1 .
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие
функции на множестве X1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие - строго монотонными. Интервалы, в которых функция
монотонна, называются интервалами монотонности.
Определение 4.4
Возрастающие
Невозрастающие
Убывающие
Неубывающие




Возрастающие
⇒ монотонные.
Убывающие



⇒ строго монотонные.
Пример.
y
-2
O
1
3
5
x
Функция, заданная графиком, убывает на интервале (-2, 1), не убывает на
интервале (1, 5), возрастает на интервале (3, 5); функция строго монотонна на (-2,
1) и (3, 5); монотонна на (1, 3).
Ограниченность
Функцию y = f (x), определенную на множестве X, называют
ограниченной на этом множестве, если существует такое число M > 0, что для всех
x ∈ X выполняется неравенство | f (x)| 6 M: функция y = f (x), x ∈ X, называется
ограниченной на X, если ∃M > 0 : ∀x ∈ X → | f (x)| 6 M.
Определение 4.5
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми y = −M
и y = M.
32
Лекция 4
Периодичность
Функция y = f (x) называется периодической, если существует
такое число T > 0, что для любого x из области определения функции справедливо
равенство f (x) = f (x + T ).
Наименьшее из чисел T называют периодом функции.
Определение 4.6
• Если T - период функции, то ее периодом будет также и число kT , k - любое
целое число: k = ±1, ±2, . . .
f (x ± 2T ) = f [(x ± T ) ± T ] = f (x ± T ) = f (T ),
f (x ± 3T ) = f [(x ± 2T ) ± T ] = f (x ± 2T ) = f (T ), и т.д.
(4.1)
• Если функция f (x) - периодическая функция с периодом T , то функция f (ax+b)
T
- периодическая функция с периодом :
a
T
f (ax + b) = f a x +
+ b = f [(ax + b) + T ] = f (ax + b)
(4.2)
a
2π
π
= .
4
2
Пример 4.2
Функция sin x имеет период 2π, функция sin 4x имеет период
Пример 4.3
Функция cos x имеет период 2π, функция cos
Пример 4.4
Функция tg x имеет период π, функция tg(2x + 3) имеет период
Пример 4.5
График периодической функции:
x
2π
имеет период
= 4π.
1
2
2
π
π
= .
2
2
y
T
T
T
x
4.1.4 Обратная функция
Пусть задана функция y = f (x) с областью определения X и множеством значений
Y.
Если каждому значению y ∈ Y соответствует единственное значение x ∈ X, то определена функция x = ϕ(y) с областью определения Y и множеством значений X. Такая функция ϕ(y) называется обратной к функции f (x) и
записывается в следующем виде: x = ϕ(y) = f −1 (y).
Определение 4.7
4.1 Функция
33
Функции y = f (x) и x = ϕ(y) являются взаимно обратными.
Чтобы найти функцию x = ϕ(y) , обратную к функции y = f (x), достаточно
решить уравнение f (x) = y относительно x (если это возможно).
1
Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = y. 2
√
Пример 4.7 Для функции y = x2 , x ∈ [0, 1], обратной функцией является x = y. Для
функции y = x2 , заданной на отрезке [−1, 1], обратной не существует, т. к. одному
1
1
значению y соответствует два значения x (так, например, если y = , то x1 = ,
4
2
1
x2 = − ).
2
Пример 4.6
Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f (x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f (x) задает взаимно однозначное
соответствие между множествами X и Y . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную.
При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также
возрастает (убывает).
Функция y = f (x) и обратная ей x = ϕ(y) изображаются одной и той же кривой,
т. е. графики их совпадают.
Если условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент)
обозначить через x, а зависимую переменную через y, то функция обратная функции
y = f (x) запишется в виде y = ϕ(x).
Это означает, что точка M1 (x0 , y0 ) кривой y = f (x) становится точкой M2 (y0 , x0 )
кривой y = ϕ(x). Но точки M1 и M2 симметричны относительно прямой y = x.
Графики взаимно обратных функций y = f (x) и y = ϕ(x) симметричны
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
34
Лекция 4
4.2 Предел функции
4.2.1 Предел функции в точке
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть
может, самой точки x0 . Существует два, эквивалентных между собой, определения
предела функции в точке.
Определение на “языке последовательностей”, или по Гейне.
Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x0 (или при x → x0 ), если
для любой последовательности допустимых значений аргумента xn , x ∈ N (xn 6= x0 ),
сходящейся к x0 (т. е. lim xn = x0 ), последовательность соответствующих значений
Определение 4.8
n→∞
функции f (xn ), xn 6= x0 , сходится к числу A (т. е. lim f (xn ) = A).
n→∞
В этом случае записывается: lim f (x) = A.
x→x0
Геометрический смысл предела функции:
lim f (x) = A означает, что для всех точек x, достаточно близких к точке x0 ,
x→x0
соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа A.
Определение на “языке ε − δ ”, или по Коши.
Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x0 (или при x → x0 ), , если
для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для
всех x 6= x0 , удовлетворяющих неравенству |x − x0 | < δ , выполняется неравенство
| f (x) − A| < ε.
Определение 4.9
В этом случае также записывается: lim f (x) = A.
x→x0
Данное определение можно коротко записать как
(∀ε > 0∃ δ > 0 : |x − x0 | < δ , x 6= x0 =⇒ | f (x) − A| < ε) ⇐⇒ lim f (x) = A
x→x0
Геометрический смысл предела функции:
lim f (x) = A, если для любой ε - окрестности точки A найдется такая δ - окрестx→x0
ность точки x0 , что для всех x 6= x0 из этой δ - окрестности соответствующие значения
функции f (x) лежат в ε - окрестности точки A. Это также означает, что точки графика функции y = f (x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми
y = A + ε, y = A − ε.
4.2.2 Односторонние пределы
В определении предела функции lim f (x) = A предполагается, что x стремится к x0
x→x0
любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от x0 ), большим, чем x0 (справа
от x0 ), или изменяясь около точки x0 . Однако, иногда способ приближения аргумента
x к x0 существенно влияет на значение предела функции. В этом случае вводится
понятие односторонних пределов.
Число A1 называется пределом функции y = f (x) слева в точке
x0 , если для любого число ε > 0 существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что при
x ∈ (x0 − ε, x0 ), выполняется неравенство
| f (x) − A1 | < ε.
Определение 4.10
Коротко:
4.2 Предел функции
35
Рис. 4.1: К определению предела функции.
(∀ε > 0∃δ = δ (ε)∀x ∈ (x0 − ε, x0 ) =⇒ | f (x) − A1 | < ε) ⇐⇒ lim f (x) = A1 .
x→x0 −0
Предел слева записывается как lim f (x) = A1 .
x→x0 −0
Число A2 называется пределом функции y = f (x) справа в точке
x0 , если для любого число ε > 0 существует число δ = δ (ε) > 0 такое, что при
x ∈ (x0 , x0 + ε), выполняется неравенство
| f (x) − A2 | < ε.
Определение 4.11
Коротко:
(∀ε > 0∃δ = δ (ε)∀x ∈ (x0 , x0 + ε) =⇒ | f (x) − A2 | < ε) ⇐⇒ lim f (x) = A2 .
x→x0 +0
Предел справа записывается как lim f (x) = A2 .
x→x0 +0
Рис. 4.2: Односторонние пределы
4.2.3 Предел функции при x → ∞
Пусть функция y = f (x) определена в промежутке (−∞, +∞).
36
Лекция 4
Число A называется пределом функции f (x) при x → ∞, если для
любого положительного числа ε существует такое число M = M(ε) > 0, что при всех
x, удовлетворяющих неравенству |x| > M выполняется неравенство | f (x) − A| < ε.
Определение 4.12
Коротко:
(∀ε > 0∃M > 0∀x : |x| > M =⇒ | f (x) − A| < ε) ⇐⇒ lim f (x) = A.
x→∞
Если x → +∞, то предел записывается как lim f (x) = A, если x → −∞, то предел
x→+∞
записывается как lim f (x) = A.
x→−∞
Геометрический смысл определения: для ∀ε > 0∃M > 0, что при x ∈ (−∞, M) или
x ∈ (M, +∞) соответствующие значения функции f (x) попадают в ε - окрестность
точки A, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми
y = A − ε и y = A + ε.
4.2.4 Бесконечно большая функция
Определение 4.13 Функция y = f (x) называется бесконечно большой при x →
x0 , если для любого числа M > 0 существует число δ = δ (M), что для всех x,
удовлетворяющих неравенству 0 < |x −x0 | < δ , выполняется неравенство | f (x)| > M.
Коротко:
(∀M > 0∃δ > 0∀x : |x − x0 | < δ , x 6= x0 =⇒ | f (x)| > M) ⇐⇒ lim f (x) = ∞.
x→x0
Записывается: lim f (x) = ∞.
x→x0
Пример 4.8
Функция y =
1
- бесконечно большая функция при x → 4.
x−4
Функция y = f (x) называется бесконечно большой при x →
∞, если для любого числа M > 0 существует число N = N(M), что для всех x,
удовлетворяющих неравенству |x| > N, выполняется неравенство | f (x)| > M.
Определение 4.14
Коротко:
(∀M > 0∃N > 0∀x : |x| > N =⇒ | f (x)| > M) ⇐⇒ lim f (x) = ∞.
x→∞
Записывается: lim f (x) = ∞.
x→∞
Пример 4.9
Функция y = 2x - бесконечно большая функция при x → ∞.