Введение Статистические методы обработки результатов

Введение
Статистические методы обработки результатов эксперимента
используются в курсах численных методов специальными кафедрами без
необходимого теоретического обоснования. Это вызывает определенные
затруднения у студентов в осмыслении сути выполняемых расчетов.
Настоящие методические указания имеют своей целью дать необходимые
теоретические сведения по статистической обработке и анализу опытных
данных.
В указаниях даются рекомендации по построению вариационных
рядов, выбору законов распределения, статистическим оценкам
параметров распределения, проверке статистических гипотез. Включены
варианты заданий и необходимые таблицы.
Алгоритмы, лежащие в основе расчетно-графической-работы,
рассчитаны на применение настольной вычислительной техники. Авторы
сознательно не используют стандартных программ, считая, что их
применение не будет способствовать глубокому пониманию существа
изучаемых вопросов. Имеется в виду, что методические указания помогут
студентам в приобретении теоретических знаний и практических навыков
при разного рода математико-статистических расчетах с использованием
статистических таблиц и справочного материала.
Цель
работы:
ознакомиться
с
простейшими
методами
статистической обработки экспериментальных данных.
Задание: По результатам наблюдений над случайной величиной 
требуется:
1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды;
2) построить полигон или гистограмму в зависимости от того, дискретна
или непрерывна изучаемая случайная величина;
3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
4) найти точечные оценки параметров закона распределения случайной
величины;
5) на основе полигона или гистограммы сделать предварительный выбор
закона распределения, используя точечные оценки параметров, записать
плотность вероятности и функцию распределения;
6) в случае нормальности распределения построить доверительные
интервалы с надежностью 0,95:
а) для математического ожидания, считая  известным, равным S 2 ;
б) для математического ожидания, считая дисперсию неизвестной;
в) для среднего квадратического отклонения;
7) проверить с помощью критерия согласия  2 , согласуется ли гипотеза о
виде распределения с опытными данными, уровень значимости
  0,05 ;
8) для непрерывной случайной величины построить график функции
плотности вероятности и сравнить его с гистограммой, для дискретной
3
случайной величины построить многоугольник распределения и
сравнить его с полигоном.
Варианты заданий
Для предотвращения смерзания песка в зимнее время в него
добавляют хлористый натрий. Потребное количество натрия зависит от
температуры воздуха.  расход хлористого натрия(%), обеспечивающий
несмерзание мелкозернистого песка. Приведены данные о расходе натрия
в течение 100 дней.
Вариант 1
26 26
35
19
27
16
32
19
23
26
26
19
15
28 30
27
19
20
29
14
22
20
24
26
26
24
25 28
28
30
29
21
27
25
18
20
24
21
18
31 25
20
32
25
30
22
23
28
22
32
25
21
21 28
19
26
22
31
34
30
24
32
28
13
29
20 26
23
28
29
30
27
27
15
23
18
29
16
17 25
22
30
22
18
33
20
17
19
36
23
27
27 22
24
25
22
23
20
24
28
33
30
34
43
18
43
54
51
Вариант 2
33 41
32
29 50
41
52 18
50
42 44
43
33 21
22
51 25
28
44 41
24
46 42
38
51
43
38
52
42
34
43
28
19
25
33
31
15
67
45
18
51
45
64
40
45
62
29
30
55
63
28
60
44
27
26
20
55
40
35
42
46
70
20
70
55
52
16
31
60
51
40
35
54
26
51
40
53
39
68
32
53
60
27
52
62
42
33
42
52
30
63
35
 количество аварий тепловых сетей на 1 км трассы. Приведены
результаты обследования 100 участков тепловой трассы.
5,9
6,6
6,5
4,6
5,2
5,2
4,8
4,6
Вариант 3
5,7 3,7
4,2 3,8
4,9 4,5
4,7 6,8
5,4 4,0
4,3 5,2
4,0 5,7
4,5 6,8
5,8
5,5
4,6
3,5
6,4
5,6
4,4
5,2
4,7
3,5
4,1
4,6
5,0
3,9
8,0
6,4
4,9
6,5
5,5
3,6
5,1
5,8
6,8
6,1
4,3
5,1
3,0
4,7
6,8
3,3
3,2
5,0
4
3,5
4,8
7,8
4,1
7,5
5,3
5,6
4,9
6,6
6,4
5,4
5,3
6,0
3,3
4,6
6,8
4,7
5,1
4,7
5,5
5,7
2,5
3,7
6,6
2,8
4,5
4,0
6,0
6,8
4,5
5,0
5,8
2,6
5,3
4,5
2,6
7,5
3,4
4,3
6,5
5,2
4,0
6,8
3,0
3,4
3,8
3,7
3,7
3,3
3,0
3,3
3,7
Вариант 4
3,8 4,1
2,9 3,2
3,6 3,5
4,4 3,7
3,6 3,0
3,8 3,5
3,4 3,7
3,8 3,6
3,7
6,1
3,9
3,3
4,0
4,0
3,7
3,3
4,0
3,6
4,1
3,9
3,7
3,7
4,3
3,7
3,8
3,9
4,2
4,0
3,9
3,7
3,9
3,4
3,7
4,6
3,8
3,8
3,7
4,0
4,2
4,0
3,6
3,5
3,9
3,7
4,2
4,1
4,6
4,7
3,5
4,4
4,1
3,1
3,6
4,2
4,3
3,6
3,6
4,0
4,3
3,6
3,7
4,1
4,1
3,5
3,8
3,4
3,8
3,4
3,8
3,9
3,2
3,6
4,0
4,8
3,5
4,1
3,8
4,3
3,8
3,2
3,4
3,7
4,1
3,2
С целью определения оптимального количества цемента для
укрепления грунта испытано 100 образцов цементо-грунта.  количество
цемента(%) к массе грунта. Приведены результаты испытаний.
Вариант 5
3,0 4,0 4,1 3,9 3,8 4,3 4,3 3,7 3,1 3,6 4,2 3,8 3,9
3,2 3,6 3,8 3,9 2,9 3,7 3,4 4,0 4,7 3,6 3,2 3,2 3,7
3,8 3,6 3,3 3,1 4,2 4,6 4,3 4,1 3,9 3,7 3,3 3,4 3,7
3,7 4,3 3,6 4,1 4,2 4,1 3,8 4,1 3,5 3,8 3,5 4,0 3,7
3,9 3,6 3,6 3,7 3,4 3,5 3,7 3,5 3,0 4,0 3,7 3,9 3,7
3,4 3,6 3,8 4,8 3,4 3,3 3,8 3,3 3,9 4,0 3,8 3,7 4,1
3,4 4,0 3,2 3,7 4,4 3,7 4,1 4,2 3,8 3,9 4,1 3,9 3,6
3,8 3,7 3,6 3,5 3,9 4,6 3,5 4,4 4,0
3,0
3,8
4,6
4,1
3,7
3,4
3,5
3,8
Вариант 6
4,0 4,2
3,9 3,7
4,3 4,1
3,8 3,5
3,9 3,7
4,0 3,0
4,4 4,0
4,1 3,7
3,9
3,4
3,9
4,0
3,6
3,7
4,3
4,0
3,8
4,0
3,3
3,7
3,8
4,4
3,8
4,2
4,3
4,7
3,4
3,2
4,8
4,1
2,9
3,8
3,7
3,6
3,7
3,6
3,4
3,6
3,2
3,9
3,1
3,2
3,7
3,7
3,3
3,8
3,1
4,1
3,6
3,7
4,3
3,4
3,3
3,7
3,7
3,6
4,2
3,8
4,1
3,5
3,9
3,6
3,6
3,9
3,6
4,2
3,7
4,0
3,5
3,6
3,2
3,3
4,1
3,0
3,8
3,9
3,5
3,6
4,2
3,8
4,0
3,7
4,6
3,4
Прочность бетона при его твердении со временем возрастает. Для
анализа кинетики твердения бетона произвели испытания 100 стандартных
образцов.
 время твердения (сутки). Приведены результаты испытаний.
5
17
15
10
14
17
18
14
8
Вариант 7
17
13
12
14
11
13
13
14
12
12
11
15
13
15
14
7
16
15
11
13
6
5
15
9
7
9
5
20
8
17
16
16
8
14
14
12
9
18
13
14
10
11
19
3
13
11
7
14
9
18
15
17
8
13
13
15
10
13
9
20
20
13
19
18
12
13
15
18
16
11
17
7
10
11
14
15
13
19
10
21
22
13
12
13
9
16
11
16
17
14
11
11
20
11
9
7
16
14
13
6
Вариант 8
16
15
11
13
10
11
9
15
14
13
6
14
20
12
8
9
12
9
7
7
13
19
4
13
14
10
16
13
11
15
18
17
10
15
14
19
13
9
13
17
11
14
14
17
13
11
17
15
15
20
15
19
16
11
14
16
5
12
18
12
21
22
13
7
16
8
16
14
11
16
17
18
12
11
13
10
14
17
9
8
8
15
11
12
13
18
10
14
15
13
18
12
21
22
13
16
15
13
15
14
Вариант 9
11
10
16
14
17
17
7
13
15
14
11
15
14
20
14
15
11
12
19
10
11
5
12
18
13
18
12
9
18
17
8
11
7
13
6
10
13
18
13
8
5
20
8
12
13
13
8
14
14
12
9
7
16
18
10
7
19
3
13
15
20
11
9
9
15
18
14
16
16
11
10
9
17
17
15
15
13
11
13
18
17
12
12
9
13
11
14
13
14
14
11
16
21
14
6
7
15
15
14
13
Вариант 10
11
10
12
13
8
9
16
16
12
14
14
20
7
9
11
13
11
20
13
12
11
12
7
13
13
12
17
14
15
8
13
10
5
3
17
15
5
8
19
9
14
18
13
14
17
16
17
10
19
18
16
11
18
14
19
11
15
14
7
18
18
14
14
16
9
13
10
13
11
15
13
11
17
9
13
11
18
15
22
17
10
20
13
11
16
16
12
12
16
9
8
13
 количество бракованных железно-бетонных изделий в смену (%).
Приведены результаты оценок брака за 100 смен.
6
3,0
3,8
4,1
3,5
3,4
3,7
4,0
4,1
Вариант 11
4,0 3,7
3,7 4,1
4,1 3,6
4,3 3,8
3,8 4,1
3,1 3,6
4,7 3,6
3,9 3,3
4,1
3,4
3,8
2,8
3,7
4,2
3,5
3,4
3,6
4,0
3,7
3,2
4,0
3,7
3,2
3,7
3,8
2,9
3,6
3,1
3,8
3,8
3,7
3,7
4,9
3,7
3,5
4,0
3,0
3,0
3,8
4,3
3,4
4,4
3,8
3,7
4,0
3,6
3,6
3,9
3,3
3,8
3,9
3,6
4,1
3,8
3,3
3,7
3,4
4,1
4,6
3,5
3,9
3,9
3,7
3,3
4,0
3,5
3,6
3,8
3,4
4,2
3,9
3,8
4,4
3,5
3,6
3,7
4,6
4,0
3,9
4,0
3,7
4,0
3,4
4,3
3,3
3,5
4,1
3,8
3,3
3,8
3,7
4,7
Вариант 12
3,4 3,7
4,0 3,7
3,9 3,8
3,9 4,0
3,7 4,2
3,6 3,8
3,6 3,5
3,5 4,4
3,7
3,9
4,1
3,7
4,6
4,8
3,6
4,1
4,3
3,8
4,3
3,4
4,3
3,4
3,5
3,6
4,1
3,6
3,7
4,0
4,1
3,3
3,8
3,9
4,1
3,7
3,1
4,7
3,9
3,9
4,3
3,6
4,2
3,4
3,6
3,6
4,4
3,4
3,8
3,7
4,1
3,5
4,2
2,9
3,0
3,9
2,8
3,4
3,8
3,7
3,4
3,2
4,0
4,1
3,2
4,1
3,9
3,9
3,7
3,7
3,7
3,1
4,2
3,0
3,2
3,8
3,9
4,0
3,7
3,8
4,0
3,6
3,6
3,7
4,0
3,9
 предел текучести стали (кг)/(мм). Приведены результаты
испытаний 100 различных марок стали.
51
45
38
72
75
36
74
33
Вариант 13
42
68
38
56
47
60
40
76
30
61
32
31
24
39
52
49
53
29
53
75
68
46
35
30
49
25
67
15
64
67
50
59
79
41
41
35
18
60
35
80
35
37
26
28
65
78
72
20
63
52
47
71
48
41
78
26
55
40
90
60
66
54
65
36
29
68
63
56
18
66
44
42
47
34
43
87
54
53
42
46
57
52
51
21
71
17
51
45
63
48
39
65
41
75
79
21
45
51
56
65
Вариант 14
17
35
34
67
42
25
74
15
26
78
18
28
29
53
52
20
51
46
63
42
49
72
87
76
48
53
71
49
80
47
46
30
61
59
40
18
48
47
66
52
66
39
90
67
36
40
38
52
60
35
60
54
78
31
52
35
41
71
69
35
47
73
38
45
50
65
29
57
53
24
55
72
75
42
41
63
44
68
30
65
48
51
68
33
60
56
36
82
37
43
26
39
7
 средняя скорость движения автомобилей (км/ч). Приведены
результаты измерений средней скорости на 100 различных участках
автомобильных дорог.
63
28
72
85
50
48
53
54
Вариант 15
63
74
53
70
75
61
52
60
70
81
62 100
85
52
56
87
90
52
51
64
41
53
55
25
43
58
65
95
57
54
69
91
42
59
61
32
60
55
83
50
43
55
50
73
59
58
35
26
42
72
44
82
60
31
79
75
62
78
47
40
33
37
85
40
40
43
50
78
27
87
93
27
65
45
27
40
30
55
42
26
50
67
74
63
53
29
30
33
84
61
65
56
33
87
79
40
29
30
33
32
Вариант 16
40
27
37
80
93
55
63
63
28
53
72
61
57
85
84
73
74
63
53
64
52
75
60
82
61
65
56
43
70
51
59
40
48
53
56
90
58
65
60
60
72
52
54
46
59
61
50
52
53
85
87
46
55
50
61
64
100
55
25
42
72
44
70
95
54
69
91
62
43
50
41
55
83
50
27
78
47
48
58
35
75
40
65
50
26
31
85
26
42
26
45
68
 длина стержня
стержней.
Вариант 17
27
26
19
24
22
36
25
28
31
22
21
31
35
23
30
22
22
17
22
20
21
35
22
26
20
26
32
15
27
17
33
27
(мм). Приведены результаты измерений длин 100
28
16
13
25
20
32
29
22
18
18
18
27
28
23
26
16
25
23
30
18
28
15
29
19
8
23
19
19
30
26
25
24
20
21
26
24
25
19
20
32
22
34
27
24
22
28
27
22
29
20
27
28
14
23
19
30
23
20
28
24
26
24
29
25
30
23
21
30
26
66
40
80
87
45
26
63
41
Вариант 18
60
41
90
60
48
36
46
66
26
38
47
57
65
48
75
34
50
68
78
39
52
53
82
67
72
29
18
65
38
63
21
46
30
42
28
52
55
68
74
17
59
49
72
20
69
43
53
35
39
18
47
76
51
15
56
51
35
67
47
60
31
42
36
48
71
54
40
30
73
41
79
65
35
56
64
24
51
42
75
78
29
52
44
37
25
71
49
53
35
33
45
61
 количество бракованных труб в смену (м). Приведены результаты
оценок брака за 100 смен.
13
13
14
12
18
21
17
14
Вариант 19
13
11
19
17
15
18
8
14
15
20
16
15
17
13
13
17
13
19
12
18
16
12
16
17
13
16
8
11
15
14
7
13
11
11
10
11
12
15
11
20
14
8
9
13
14
11
12
12
13
14
10
9
9
10
6
3
15
7
11
19
14
9
8
18
15
9
5
11
11
10
9
16
14
15
15
18
12
13
22
16
14
5
13
7
13
7
14
20
17
13
10
18
63
76
49
74
18
15
90
38
Вариант 20
30
78
48
39
30
65
73
66
66
28
35
28
25
51
56
42
71
79
49
54
68
71
38
28
25
69
44
41
64
28
47
35
51
26
65
41
18
57
60
63
53
20
78
31
65
45
26
55
60
80
72
46
28
72
37
29
36
59
53
67
43
40
52
30
35
36
24
60
52
28
40
42
53
39
26
63
21
68
42
33
28
51
75
26
31
47
52
50
87
28
47
45
 средняя прочность бетона (МПа). Приведены результаты
измерения средней прочности бетона у 100 железобетонных изделий.
9
18,5
21,5
22,0
20,0
21,0
21,0
22,0
20,5
19,5
21,0
22,0
20,5
20,0
21,5
20,0
20,5
22,0
21,5
21,0
20,5
Вариант 21
20,5 19,5
20,5 18,5
22,5 19,0
24,0 25,0
21,0 21,5
21,0 21,0
22,5 21,5
21,0 22,0
21,0 23,0
22,0
23,5
22,5
20,0
22,5
21,5
21,0
21,5
20,0
22,5
21,0
24,5
18,0
21,0
21,5
21,0
21,5
23,5
20,5
19,0
21,0
22,5
20,0
21,0
21,0
21,0
22,5
22,0
2,5
24,5
22,0
19,0
21,5
21,5
20,0
19,5
23,0
20,5
21,5
20,5
19,0
20,0
21,0
21,5
20,0
21,5
23,5
21,0
21,5
20,5
20,0
21,5
22,5
20,5
21,0
22,5
21,5
23,0
20,5
22,0
20,0
22,0
23,5
21,0
21,0
21,5
23,0
21,5
19,5
21,0
20,5
22,5
Вариант 22
21,5 23,5
19,0 20,5
22,0 20,0
21,0 20,0
22,5 23,5
21,0 21,5
23,0 21,5
20,5 23,5
21,5 21,0
23,0
21,5
19,5
20,5
19,5
21,5
21,0
22,5
21,5
21,0
21,0
22,0
21,0
21,0
21,0
21,5
22,0
21,5
21,5
21,0
22,5
21,0
23,0
18,5
20,5
21,0
24,0
21,0
21,5
21,5
22,0
20,0
20,5
18,5
22,5
20,0
22,5
21,0
21,0
20,0
21,5
19,5
23,5
19,0
25,5
21,0
21,5
21,0
20,5
22,5
22,5
19,0
22,5
20,0
20,0
21,0
21,0
22,5
22,0
22,0
21,0
24,5
18,0
19,0
21,5
12,5
23,5
19,5
20,5
21,0
24,5
22,5
 отклонение диаметра трубы от нормативного вследствие коррозии
(мм). Приведены результаты исследования 100 труб одинакового
диаметра.
0,62
0,84
1,03
0,69
0,61
0,57
0,79
0,72
0,77
0,85
Вариант 23
0,69 0,80
0,58 0,80
0,95 0,67
0,69 0,61
0,70 0,81
0,95 0,76
0,74 0,89
0,89 0,80
0,84 0,58
0,63
0,60
1,06
1,04
0,56
0,78
1,01
0,94
0,82
1,02
0,76
0,90
0,78
0,80
0,97
0,63
1,03
0,73
1,10
0,87
0,91
0,98
0,88
0,55
1,02
0,63
1,09
10
0,72
0,96
0,75
0,93
0,89
0,55
0,98
0,92
0,78
0,96
0,72
0,96
0,90
1,10
0,94
0,65
1,05
0,58
0,80
0,82
0,73
0,83
0,83
0,90
0,95
0,89
0,92
0,88
0,95
0,97
0,79
0,58
0,86
0,93
0,89
0,82
0,63
0,82
0,70
0,71
0,85
0,81
0,86
0,65
1,08
0,92
1,05
0,77
0,63
0,76
0,70
0,73
0,96
0,76
1,02
Вариант 24
0,75 0,89
0,69 0,59
0,85 0,98
1,02 0,55
0,78 0,97
0,81 0,56
0,70 0,69
0,72 0,82
0,87 1,10
0,56
0,65
0,73
0,55
0,80
0,98
0,61
0,95
0,72
0,92
0,65
0,93
0,94
0,88
0,97
1,04
0,82
0,80
0,58
0,78
0,86
0,90
0,89
0,78
0,95
1,03
0,88
0,82
0,58
0,72
0,86
1,10
0,93
0,67
0,84
0,63
0,92
0,83
0,79
0,81
0,83
0,90
1,06
0,58
0,62
1,09
0,80
0,74
0,85
0,58
0,33
0,90
0,96
0,69
1,08
0,82
0,89
0,57
0,71
0,79
0,91
0,80
0,80
0,84
1,03
1,01
0,95
0,61
0,96
0,75
0,60
0,63
 количество деталей, обработанных за смену (штуки) одним
рабочим. Приведены количества деталей, обработанных за смену 100
рабочими разной квалификации.
22
27
32
15
26
26
27
25
Вариант 25
16
19
17
33
22
29
29
15
12
28
13
18
20
30
27
18
20
27
30
18
25
19
35
30
22
26
29
23
31
30
23
22
24
25
22
19
22
24
30
20
27
23
36
26
21
24
22
28
26
14
25
27
31
19
20
23
19
34
23
20
35
28
20
22
24
29
16
25
22
14
28
28
30
20
30
26
24
28
18
29
26
27
32
21
25
26
24
32
23
23
17
22
19
25
27
24
35
27
19
26
Вариант 26
26
22
30
22
25
18
15
28
19
27
15
23
36
27
20
27
31
23
23
30
24
18
27
18
34
28
26
27
32
29
22
16
20
24
24
19
28
17
19
19
22
21
25
32
13
25
25
30
22
18
28
19
29
22
22
28
25
31
28
23
26
30
23
20
21
25
29
26
23
22
20
21
30
14
26
28
33
24
20
29
22
26
29
20
28
32
21
18
26
30
17
16
11
20
26
22
30
30
21
29
29
Вариант 27
20
29
20
27
24
25
22
30
22
24
32
19
14
22
21
25
30
16
22
27
32
23
20
18
23
19
33
15
28
26
24
25
32
22
20
23
13
26
21
31
19
23
17
18
29
31
28
18
30
20
19
29
22
19
27
21
28
24
36
25
27
27
28
24
20
28
26
26
19
30
25
18
25
17
23
35
27
24
22
27
25
28
26
15
26
16
27
22
29
26
23
34
 себестоимость перевозок (р/(т*км)). Приведены себестоимости
перевозок, соответствующие различным скоростям движения грузового
транспорта.
8,1
9,4
8,5
7,8
8,8
9,0
7,2
7,1
Вариант 28
8,2 6,3
7,5 6,4
5,7 7,4
8,0 9,1
8,8 7,1
8,6 7,6
5,6 8,2
7,5 9,3
8,3
9,3
7,2
5,7
8,4
9,6
7,7
8,6
8,1
7,4
7,2
7,4
7,0
6,6
10,8
10,0
7,2
9,2
9,5
7,5
9,0
8,5
8,2
9,8
7,1
8,0
5,5
7,8
9,7
7,3
7,0
7,6
6,2
7,6
9,6
6,0
10,7
7,5
8,1
7,6
0,5
9,8
8,6
8,7
8,4
6,7
8,1
9,5
8,1
8,0
6,8
8,7
9,9
6,0
7,6
0,7
6,3
8,3
7,3
8,5
9,6
7,9
7,3
8,4
6,8
7,8
8,4
6,5
9,4
6,1
7,7
8,6
7,5
6,5
8,1
6,1
 число часов пропущенных занятий. Приведено количество часов
пропущенных занятий у 100 студентов в течение семестра.
23
26
51
37
18
50
25
33
Вариант 29
18
30
20
40
53
32
30
33
44
43
38
51
53
63
55
50
20
39
43
21
52
64
28
41
70
63
51
22
31
28
51
33
62
54
25
42
40
35
68
45
35
44
28
15
45
54
40
41
12
51
41
34
45
16
32
33
55
46
24
67
42
26
52
29
52
42
43
44
31
53
34
40
38
62
46
51
42
43
65
45
27
60
60
43
18
19
39
70
40
52
42
43
51
Вариант 30
51
87
66
54
65
78
80
38
69
25
56
43
57
45
38
47
48
73
44
20
35
29
34
51
18
41
72
79
63
52
72
60
66
51
63
47
30
63
40
41
17
74
65
76
78
75
42
37
82
24
33
48
71
56
67
52
31
39
52
39
53
75
41
40
46
35
49
55
61
15
26
68
67
59
30
42
68
35
47
60
50
42
53
64
28
90
35
45
36
60
18
71
49
21
53
26
36
65
29
46
Построение интервального вариационного ряда
Пусть x1 , x2 , x3 ... xn совокупность значений случайной величины  ,
полученных в результате n независимых повторений некоторого
эксперимента. Эта совокупность называется выборкой объема n , а xi
выборочными значениями.
Элементы выборки, расположенные в порядке возрастания,
образуют так называемый вариационный ряд. Пусть l число различных
выборочных значений в данной выборке. Далее через x1 , x2 ... xl будем
обозначать только различные выборочные значения. Табл.1 также
называют вариационным рядом ( mi число выборочных значений, равных
l
xi ,
 mi
 l ).
i 1

Частоты
x1
m1
...
...
x2
m2
.
.
Таблица 1
xl
ml
Если случайная величина  дискретна и l велико или если 
непрерывна, то весь диапазон выборочных значений разбивают на k
интервалов равной длины. Для определения оптимальной длины интервала
можно использовать формулу Стерджеса:
x
 xmin
h  max
,
1  3,322  lg n
где xmax , xmin соответственно максимальное и минимальное выборочные
значения  . Если h окажется дробным, то за длину интервала надо взять
либо ближайшее целое число, либо ближайшую, удобную для вычисления
дробь. За начало первого интервала принимают величину a1  xmin  h / 2 .
Если a1 начало i го интервала, то a2  a1  h , a3  a2  h и т. д.
Далее подсчитывается число ni выборочных значений, попавших в
каждый интервал ai ; ai 1 , i  1, 2 ... k . Значение, попавшее на границу
интервала, относят к интервалу с меньшим номером. Результаты этих
вычислений оформляют в виде табл.2.
13
Интервалы
Частоты
Относительные
частоты
a1 , a2 
a2 , a3 
n1
W1
n2
W2
...
...
...
Таблица 2
ak , ak 1 
nk
Wk
ni
,
n
i  1 , 2... k , ni число выборочных значений, попавших в промежуток
ai ; ai 1 ).
Затем интервальный вариационный ряд условно заменяют
дискретным, в первой строке которого записывают средние значения
интервалов (табл.3).
Эту таблицу назовем интервальным вариационным рядом ( Wi 
Середины
интервалов
Относительные
частоты
x1
x2
...
Таблица 3
xk
W1
W2
...
Wk
Здесь и далее под xi подразумеваются середины интервалов, т. е.
a  ai
xi  i 1
, i  1 , 2... k .
2
Гистограмма и полигон
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основания которых – интервалы длины h , а высоты
Wi / h , т. е. площадь каждого прямоугольника равна соответствующей
относительной частоте (рис.1). Полная площадь всей гистограммы равна
единице. При увеличении числа наблюдений и одновременном
измельчении интервалов контур гистограммы приближается к графику
функции плотности вероятности. Таким образом, по виду гистограммы
можно предварительно сделать вывод о законе распределения изучаемой
непрерывной величины  .
14
Wi
h
0
a1 a 2 a 3
a4
a5
a6
a7

Рис.1
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки
которой соединяют точки xi , Wi  , где xi середины интервалов, Wi
соответствующие им относительные частоты (рис.2). Обычно по виду
полигона выдвигают гипотезу о законе распределения дискретной
случайной величины.
Wi
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6

Рис. 2
Замечание. Для выбора гипотезы о виде закона распределения случайной
величины можно воспользоваться таблицей некоторых распределений,
которые приводятся в прил.1.[стр. 24]
Эмпирическая функция распределения
Эмпирическая функция распределения определяется следующим
равенством:
n
F  ( x)  x ,
n
где n x число выборочных значений  , меньших x . При увеличении числа
наблюдений график F  (x) приближается к графику функции
распределения изучаемой случайной величины. Поэтому график
15
эмпирической функции распределения также позволяет выдвинуть
гипотезу о виде распределения.
Для построения функции F  (x) можно использовать интервальный
вариационный ряд.
Точечные оценки параметров
Предположим, что по виду гистограммы или полигона выдвинута
гипотеза о виде закона распределения случайной величины  . Возникает
необходимость определить неизвестные параметры этого закона
распределения.
Пусть  неизвестный параметр изучаемой случайной величины  .
Оценкой   параметра  называется любая функция от выборочных
значений, которая дает некоторое приближение для  . Напомним, что в
теоретическом плане на выборку смотрят как на последовательность n
независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение,
совпадающее с распределением  . Поэтому   случайная величина.
Оценка   называется несмещенной, если ее математическое
ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. M    ,   называется
асимптотически несмещенной, если lim M    .
n 
Оценка  называется состоятельной, если она сходится по
вероятности к оцениваемому параметру, т. е. для всякого   0 ,
lim P(       )  0 .

n
Поскольку функций от выборки можно придумать много, то нужно
условиться о разумности применяемых оценок. Будем считать оценку  
разумной, если она несмещенная (или асимптотически несмещенная) и
состоятельная.
Наибольший интерес для нас представляют оценки математического
ожидания M  , дисперсии D  . Существует несколько методов
получения оценок параметров случайных величин. На основе одного из
них приняты следующие оценки для параметров случайной величины  :
1 k
1) x   xi ni выборочное среднее – оценка для M  ;
n i 1
2
1 k
2
2) s    xi  x  ni выборочная дисперсия – оценка для D  .
n i 1
Можно доказать, что эти оценки состоятельны, x несмещенная, а
2
s асимптотически несмещенная.
Для вычисления этих оценок удобно составить табл.4.
16
Середины
интервалов xi
x1
.
.
.
xk
Частоты ni
x i ni
xi  x
n1
.
.
.
nk
x1 n1
.
.
.
x k nk
x1  x
.
.
.
xk  x

n
 xi ni
  xi  x 
Таблица 4
xi  x 2 ni
x1  x 2 n1
.
.
.
xk  x 2 nk
  xi  x 
2
ni
После отыскания оценок параметров записывают гипотетическую
(предполагаемую) функцию плотности вероятности и функцию
распределения. В качестве неизвестных параметров выбранного закона
распределения берутся их точечные оценки.
Доверительные интервалы
Точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого
параметра. Чтобы дать представление о точности и надежности точечной
оценки, строят доверительные интервалы.
Пусть   оценка для параметра  . Зададим достаточно большую
вероятность  (например,   0,99; 0,95; 0,9 ) и найдем такое   0 , для
которого
P       


или, что то же самое,
(1)
P              .
Последнее равенство означает, что с вероятностью  неизвестное значение
параметра  покрывается интервалом со случайными концами
    ;     , который называется доверительным интервалом. Число 
называется надежностью или доверительной вероятностью,   1  
называется уровнем значимости, а  точностью оценки.
В равенстве (1) под   подразумевается случайная величина. Если
же
  конкретное значение оценки, вычисленное по выборке, то
равенство (1) означает следующее: вероятность ошибки при утверждении,
что            , равна  .
Доверительный интервал для оценки неизвестного математического
ожидания нормальной случайной величины
Точечной оценкой для математического ожидания M  служит
выборочное среднее x . Следовательно, доверительный интервал для M 
имеет вид
x   ; x   .
17
Задавая надежность  , подберем  так, чтобы выполнялось соотношение
(2)
P x  M      
Возможны два случая: первый – дисперсия нормальной случайной
величины  известна, второй – дисперсия неизвестна.
Пусть дисперсия  2 известна. Для отыскания ε воспользуемся тем,
что x нормальная случайная величина с математическим ожиданием,
равным M  , и дисперсией, равной  2 / n . В силу этого
 n 
,
(3)
P x  M      2




где (x) функция Лапласа, значения которой табулированы (см.
прил.2).[стр.25] Обозначим t   n /  . Сравнивая равенства (2) и (3),
приходим к выводу, что 2(t )   , т. е. (t )   / 2 . Из таблицы значений
(t ) найдем t , соответствующее  / 2 . В результате   t  / n , а
искомый доверительный интервал

 

; x t
x t
.
n
n

Таким образом, x  t  / n  M  x  t  / n и вероятность того, что
утверждение ошибочно, равна 1   .
Пусть дисперсия неизвестна. Воспользуемся тем, что случайная
величина
xM 
T
n 1
s
имеет распределение Стьюдента с ( n  1) степенями свободы (о
1 k
2
распределении Стьюдента см. в прил. 1), где s 2    xi  x  ni . По
n i 1
таблице (см. прил.3 [стр.26) найдем такое число t  , что
P| T | t    .
Последнее равенство означает, что
s 

P x  M   t 
  .
n 1 

Следовательно, искомый доверительный интервал будет:
s
s 

; x  t
 x  t
.
n 1
n 1 

Замечание. По заданной надежности  и числу степеней свободы
( n  1), по таблице (см. прил.3 [стр.26]) находится число t  , такое, что
P| T | t     1   .
18
Доверительный интервал для неизвестной дисперсии
нормальной случайной величины
Напомним, что точечной оценкой для дисперсии  2 служит
статистика(оценка) s 2 . Для построения доверительного интервала
воспользуемся тем, что случайная величина n s 2 /  2 имеет распределение
хи-квадрат с ( n  1) степенями свободы (см. в прил.1[24]). Обозначим
 2  n s2 / 2 .
Рассмотрим случай, когда n  30 . По таблице (прил. 4[27])
определим два числа  1 и  2 так, чтобы
1
1
P 2  12   1    , P 2   22   1    ,
2
2
где  заданная надежность (см. на рис. 3). График функции плотности
распределения  2 с ( n  1) степенями свободы (n  1  3) .
2
0
 12
 22
x
Рис. 3
P12  n s 2 /  2   22    .
Отсюда
вытекает,
что
 ns
 n s2
n s2 
n s
 .
P 2   2  2    и P
 





 2
1 
1 
 2
Таким образом, интервал
 n s2 n s2 
 2 ; 2 
1 
 2
есть доверительный интервал для дисперсии  , а интервал
 ns
n s


;
 


2
1


доверительный интервал для среднего квадратического отклонения  .
Пусть теперь n  30 . Для определения границ доверительного
интервала, покрывающего неизвестную дисперсию  2 с надежностью  ,
воспользуемся таблицей прил.4 [стр.27]. По  и числу степеней свободы
Тогда
19
( n  1) найдем числа  1  n /  2 и  2  n / 1 .
доверительный интервал для дисперсии равен
 12 s 2 ;  22 s 2 ,
а для среднего квадратического отклонения
 1 s;  2 s  .
Тогда
искомый
Проверка статистических гипотез
Под статистической гипотезой понимают всякое предположение о
распределении исследуемой случайной величины, проверяемое по
выборке.
Для
проверки
статистических
гипотез
используют
статистические критерии.
Статистический критерий – это правило, указывающее, когда
статистическую гипотезу следует принять, а когда отвергнуть.
Критерии, относящиеся исключительно к виду функции
распределения или плотности распределения исследуемой случайной
величины, называют критериями согласия.
Критерий согласия  2
Рассмотрим применение одного из наиболее употребительных
критериев – критерия хи-квадрат. Название его связано с используемой в
нем статистикой (оценкой), которую обозначают  2 , а f (x) также
является распределением  2 . Этот критерий был введен английским
математиком К. Пирсоном (1857–1936), одним из основоположников
математической статистики. Критерий  2 называют также критерием
Пирсона.
Пусть выдвинута гипотеза, что, изучаемая случайная величина имеет
функцию распределения F (x) или плотность распределения f (x) . Пусть
далее вся область изменения величины  разбита на k интервалов
a1 ; a2 , a2 ; a3 , …, ak ; ak 1 , и pi вероятность для величины  при
гипотетическом распределении
F (x) может принять значение,
принадлежащее
интервалу ai ; ' ai 1  :
Pi  Pai    ai 1   F ai 1   F ai  
ai 1
 f x  dx,
ai
выборочных значений, попавших в интервал
очевидно, должны выполняться условия:
k
 Pi  1
k
i  1,...k . Если ni число
ai ; ' ai 1  ,
 ni  n ,
и
i 1
i 1
где n объем выборки.
20
i  1 , 2,...k , то,
Если величины ni / n и Pi i  1 , 2,...k  мало различаются, то разумно
считать, что выдвинутая гипотеза не противоречит опытным данным. Это
обстоятельство лежит в основе критерия  2 .
Рассмотрим величину
k n  np 2
2
i
(4)
  i
npi
i 1
(здесь ni случайные величины). Пирсон доказал, что при больших n
статистика  2 практически не зависит от гипотетического распределения
и имеет распределение  2 с r степенями свободы (о распределении  2
см. в прил. 1). Число степеней свободы определяется по формуле
r  k  m  1, где m количество независимых параметров гипотетического
распределения, оцениваемых на выборке.
Чтобы сформулировать правило проверки гипотезы о виде закона
распределения

 , следует выбрать уровень значимости
  0,2 ; 0,1 ; 0,05 и т д. . По таблице (прил.4 [стр.27]) найдем такое число
 k2 p , чтобы выполнялось равенство
P 2   k2 p    ,
где  2 имеет r степеней свободы.
Критерий  2 заключается в следующем. Если значение  2 ,
вычисленное по выборке, окажется больше или равно  k2 p , гипотезу
отвергают. Если же выборочное значение  2 меньше  k2 p , то гипотезу
принимают, то есть говорят, что гипотеза не противоречит опытным
данным. Поступая по указанному правилу, в действительности верную
гипотезу мы отвергаем лишь в   100% случаев.
Укажем схему применения критерия  2 .
1.
Вычисляется  2 по формуле (4). Вычисления удобно вести,
фиксируя промежуточные результаты в табл.5.
21
Интервал
ы
ai ; ai 1 
ni
pi
npi
ni  npi
ni  npi 2
a1 ; a2 
n1
p1
np1
n1  np1
n1  np1 2
...
...
...
...
...
...
ak ; ak 1 
nk
pk
np k
nk  npk
nk  npk 2
 ni
n
 pi
1
Таблица 5
ni  npi 2
npi
n1  np1 2
np1
...
nk  np k 2
np k
  2
2.
Задается уровень значимости  . Определяется число степеней
свободы r  k  m  1, где m количество параметров гипотетического
распределения, оцениваемых по выборке.
3.
По  и r с помощью таблицы (прил. 4) находится критическое
значение  k2 p .
4.
Если  2   k2 p , то гипотезу отвергают, если  2 <  k2 p , то гипотезу
считают не противоречащей опытным данным.
Замечание.
Каждый интервал вносит в  2 вклад, равный
ni  npi 2 / npi ,
где npi среднее число попаданий в i интервал, если
гипотеза не противоречит опытным данным. При малых npi роль каждого
отдельного наблюдения велика. Чтобы ее снизить, рекомендуется снизить
разбивку на интервалы так, чтобы все npi были достаточно большими. На
практике это сводится к требованию иметь в каждом интервале не менее 5
–10 наблюдений. Интервалы, содержащие мало наблюдений,
рекомендуется объединять с соседними.
Вопросы для защиты лабораторной работы
1.
Что называют выборкой?
2.
Что называют вариационным рядом?
3.
Как строятся дискретный и интервальный вариационные ряды?
4.
Как строятся гистограмма и полигон? Каково их назначение?
5.
Что называют эмпирической функцией распределения? Какова ее
связь с функцией распределения изучаемой случайной величины?
6.
Что называют точечной оценкой параметра?
7.
Какая
оценка
называется
состоятельной,
несмещенной,
асимптотически несмещенной?
22
8.
Назовите оценки для математического ожидания, дисперсии.
Обладают ли эти оценки свойствами состоятельности и несмещенности?
9.
Что называют доверительным интервалом? Что называют
надежностью, уровнем значимости, точностью оценки?
10. Как строится доверительный интервал для математического
ожидания нормально распределенной случайной величины: при известной
дисперсии, при неизвестной дисперсии?
11. Что происходит с длиной доверительного интервала для
математического ожидания при увеличении объема выборки; при
изменении надежности?
12. Как строится доверительный интервал для дисперсии нормально
распределенной случайной величины?
13. Что называют статистической гипотезой?
14. Что называют статистическим критерием, критерием согласия?
15. Объясните принцип проверки статистических гипотез с помощью
статистических критериев.
16. На чем основан критерий согласия хи-квадрат? Запишите статистику
 2.
17. Дайте общую схему проверки гипотез о виде функции
распределения с помощью критерия  2 .
18. Какова вероятность того, что по критерию  2 будет отвергнута
правильная гипотеза?
19. На основании каких признаков можно произвести предварительный
выбор закона распределения случайной величины?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Библиографический список
Теория вероятностей и математическая статистика. /Ивашев – Мусатов
О. С./ – М.: Наука, 1979. – 256 с.
Математическая обработка результатов эксперимента. /Румшинский Л.
З./ – М.: Наука, 1971. – 192 с.
Математические методы статистики. /Крамер Г./ – М.: Мир, 1975. – 648
с.
Курс теории вероятностей. /Гнеденко Б. В./ – М.: Физматгиз, 1961. – 406
с.
Теория вероятностей и математическая статистика /Гмурман В. Е./ – М.:
Высшая школа, 1972. – 479 с.
Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. /Гмурман В. Е./ – М.: Высшая школа, 1979.
– 400 с.
Математическая обработка экспериментальных данных. /Шушурина О.
А., Карелина Н. Т., Нестерова Е. Д./ – Красноярск, СТИ, 1982. – 36 с.
23
Приложение 1
(x) x
(x) x
(x) x
(x) x
2
1
e  z / 2 dz

2 0
(x) x (x) x
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3740
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4882
0,4090
0,4115
0,4131
0,4142
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
Таблица значений функции ( x) 
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
x
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
24
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
(x)
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4960
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Приложение 2
Таблица решений уравнения P| T | t    для случайной величины t ,
распределенной по закону Стьюдента с n степенями свободы
n

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
40
60
80
120
200
500
0,1
0,05
0,025
0,02
0,01
0,005
0,003
0,002
0,001
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,782
1,761
1,746
1,734
1,725
1,717
1,711
1,706
1,701
1,697
1,684
1,671
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,074
2,064
2,056
2,048
2,042
2,021
2,000
1,990
1,980
1,972
1,965
1,960
25,452
6,205
4,177
3,495
3,163
2,969
2,841
2,752
2,685
2,634
2,560
2,510
2,473
2,445
2,423
2,405
2,391
2,379
2,369
2,360
31,821
6,965
4,541
2,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2,508
2,492
2,479
2,467
2,457
2,423
2,390
2,374
2,36
2,345
2,334
2,326
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,055
2,977
2,921
2,878
2,845
2,819
2,797
2,779
2,763
2,750
2,704
2,660
2,639
2,62
2,601
2,586
2,576
127,3
14,089
7,453
5,597
4,773
4,317
3,883
3,833
3,690
3,581
3,428
3,326
3,252
3,193
3,153
3,119
3,092
3,067
3,047
3,030
212,2
18,216
8,891
6,435
5,376
4,800
4,199
4,199
4,024
3,892
3,706
3,583
3,494
3,428
3,376
3,335
3,302
3,274
3,250
3,230
318,3
22,327
10,214
7,173
5,893
5,208
4,501
4,501
4,297
4,144
3,930
3,787
3,686
3,610
3,552
3,505
3,467
3,435
3,408
3,386
2,807
2,968
3,090
636,6
31,600
12,922
8,610
6,869
5,959
5,041
5,041
4,781
4,587
4,318
4,140
4,015
3,922
3,849
3,792
3,745
3,704
3,674
3,646
3,551
3,460
3,415
3,37
3,339
3,310
3,291
1,658
1,645
2,241
25
Приложение 3
Таблица решений уравнения
для распределения хи-квадрат с степенями свободы
r
0,99
0,98
0,95
0,90
0,80
0,70
0,50
0,30
0,20
0,1
0
0,05
0,02
0,01
0,005
0,0
02
0,0
01
0,14
8
0,71
3
0,42
4
2,19
0,44
5
1,38
6
2,36
6
3,36
5,4
6,6
7,9
9,5
2,41
3,22
4,6
6,0
7,8
9,2
11,6
3,66
4,64
6,3
7,8
9,8
11,3
12,8
0,30
0,06
4
0,44
6
1,00
5
1,65
3,8
4
0,01
6
0,21
1
0,58
4
1,06
2,7
0,115
0,00
39
0,10
3
0,35
2
0,71
1,64
3
0,00
06
0,04
0
0,18
5
0,43
1,07
2
0,0001
6
0,020
4,9
6,0
7,8
9,5
11,7
13,3
14,9
5
0,55
0,75
1,14
1,61
2,34
3,00
4,35
6,1
7,3
9,2
11,1
13,4
15,1
16,3
6
0,87
1,13
1,63
2,20
3,07
3,83
5,35
7,2
8,6
12,6
15,0
16,8
18,6
7
1,24
1,56
2,17
2,83
3,82
4,67
6,35
8,4
9,8
14,1
16,6
18,5
20,3
8
1,65
2,03
2,73
3,49
4,59
5,53
7,34
9,5
11,8
15,5
18,2
20,1
21,9
9
2,09
2,53
3,32
4,17
5,38
6,39
8,34
10,7
12,2
16,9
19,7
21,7
23,6
10
2,56
3,06
3,94
4,86
6,18
7,27
9,34
11,8
13,4
18,3
21,2
23,2
25,2
11
3,1
3,6
4,6
5,6
7,0
8,1
10,3
12,9
14,6
19,7
22,6
24,7
26,8
12
3,6
4,2
5,2
6,3
7,8
9,0
11,3
14,0
15,8
21,0
24,1
26,2
28,3
13
4,1
4,8
5,9
7,0
8,6
9,9
12,3
15,1
17,0
22,4
25,5
27,7
29,8
14
4,7
5,4
6,6
7,8
9,5
10,8
13,3
16,2
18,2
23,7
26,9
29,1
31
15
5,2
6,0
7,3
8,5
10,3
11,7
14,3
17,3
19,3
25,0
28,3
30,6
32,5
16
5,8
6,6
8,0
9,3
11,2
12,6
15,3
18,4
20,5
26,3
29,6
32,0
34
17
6,4
7,3
8,7
10,1
12,0
13,5
16,3
19,5
21,6
27,6
31,0
33,4
35,5
18
7,0
7,9
9,4
10,9
12,9
14,4
17,3
20,6
22,8
28,9
32,3
34,8
37
19
7,6
8,6
10,1
11,7
13,7
15,4
18,3
21,7
23,9
30,1
33,7
36,2
38,5
20
8,3
9,2
10,9
12,4
14,6
16,3
19,3
22,8
25,0
31,4
35,0
37,6
40
21
8,9
9,9
11,6
13,2
15,4
17,2
20,3
23,9
26,2
32,7
36,3
38,9
41,5
22
9,5
10,6
12,3
14,0
16,3
18,1
21,3
24,9
27,3
33,9
37,7
40,3
42,5
23
10,2
11,3
13,1
14,8
17,2
19,0
22,3
26,0
28,4
35,2
39,0
41,6
44,0
24
10,9
12,0
13,8
15,7
18,1
19,9
23,3
27,1
29,6
36,4
40,3
43,0
46,5
25
11,5
12,7
14,6
16,5
18,9
20,9
24,3
28,1
30,7
37,7
41,6
44,3
47
26
12,2
13,4
15,4
17,3
19,8
21,8
25,3
29,3
31,8
38,9
42,9
45,6
48
27
12,9
14,1
16,2
18,1
20,7
22,7
26,3
30,3
32,9
40,1
44,1
47,0
49,5
28
13,6
14,8
16,9
18,9
21,6
23,6
27,3
31,4
34,0
41,3
45,4
48,3
51
29
14,3
15,6
17,7
19,8
22,5
24,6
28,3
32,5
35,1
42,6
46,7
49,6
52,5
30
15,0
16,3
18,5
20,6
23,4
25,5
29,3
33,5
36,3
10,
6
12,
0
13,
4
14,
7
16,
0
17,
3
18,
5
19,
8
21,
1
22,
3
23,
5
24,
8
26,
0
27,
2
28,
4
29,
6
30,
8
32,
0
33,
2
34,
4
35,
6
36,
7
37,
9
39,
1
40,
3
12,
4
14,
8
16,
9
18,
9
20,
7
22,
6
24,
3
26,
1
27,
7
29,
4
31
43,8
48,0
50,9
54
10,
83
13,
8
16,
3
18,
5
20,
5
22,
5
24,
3
26,
1
27,
9
29,
6
31,
3
32,
9
34,
5
36,
1
37,
7
39,
2
40,
8
42,
3
43,
8
45,
3
46,
8
48,
3
49,
7
51,
2
52,
6
54,
1
55,
5
56,
9
58,
3
59,
7

1
26
32,
5
34
35,
5
37
38,
5
40
41,
5
43
44,
5
46
47,
5
48,
5
50
51,
5
53
54,
5
56
57,
5
Приложение 4
Таблица нижних  1 и верхних  2 границ доверительного интервала
1 s     2 s
0,95
0,95
P
P
1
2
1
2
  n 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
  n 1
0,446
0,521
0,566
0,599
0,624
0,644
0,661
0,675
0,688
0,699
0,708
0,717
0,725
0,732
0,739
0,745
0,750
0,756
0,760
31,9
6,28
3,73
2,87
2,45
2,202
2,035
1,916
1,826
1,755
1,698
1,651
1,611
1,577
1,548
1,522
1,499
1,479
1,460
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
200
27
0,765
0,769
0,773
0,777
0,781
0,784
0,788
0,791
0,794
0,795
0,799
1,279
1,243
1,217
1,198
1,183
1,171
1,161
1,090
1,444
1,429
1,416
1,402
1,391
1,380
1,371
1,361
1,352
1,344
1,337
1,279
1,243
1,217
1,198
1,183
1,171
1,161
1,090