Задачи к зачету

Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû åñòåñòâîçíàíèÿ
Çàäà÷è ê çà÷åòó
√
1. Íàéòè äåéñòâèå
S(q0 , q1 ; t)
äëÿ ñèñòåìû ñ ëàãðàíæèàíîì L(q, q̇)
ïðè äâèæåíèè ïî êëàññè÷åñêîé òðàåêòîðèè îò
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
∂S/∂q1
è
q0
äî
q1
= −mc2 1 −
q̇ 2
c2
çà âðåìÿ t. Âû÷èñëèòü
∂S/∂t.
2. Ìîæåò ëè ñóììà äâóõ âðåìåíèïîäîáíûõ âåêòîðîâ áûòü à) ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì âåêòîðîì, á) èçîòðîïíûì âåêòîðîì?
√
B = 3 e0 + e1 + e2 + e3 â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî ñ
(1, −1, −1, −1) è îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñíûìè âåêòîðàìè eµ .
3. Ðàññìîòðèì âåêòîð
ñèãíàòóðîé
à) Îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ âåêòîð
B
ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì, âðåìåíèïî-
äîáíûì èëè èçîòðîïíûì (ñâåòîïîäîáíûì).
á) Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðó
B.
4. Íàáëþäàòåëü, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé 4-ñêîðîñòüþ
u, èçìåðÿåò ïàðàìåòðû
m è 4-èìïóëüñîì p. ×åìó ðàâíà
÷àñòèöû ⃗
v?
ñâîáîäíî äâèãàþùåéñÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ
èçìåðÿåìàÿ íàáëþäàòåëåì îáû÷íàÿ ñêîðîñòü
5. Íàáëþäàòåëü, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé 4-ñêîðîñòüþ
ñâîáîäíî äâèãàþùåéñÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ
u, èçìåðÿåò ïàðàìåòðû
m è 4-èìïóëüñîì p. ×åìó ðàâíà
èçìåðÿåìàÿ íàáëþäàòåëåì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû?
6. Ìîæåò ëè ÷àñòèöà äâèãàòüñÿ òàê, ÷òîáû âåêòîð 4-óñêîðåíèÿ îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì?
7. Çåðêàëî äâèæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñâîåé ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ
ëî ïàäàåò ëó÷ ñâåòà ïîä óãëîì
v . Íà çåðêà-
θ ê ïëîñêîñòè çåðêàëà. Êàêîé óãîë ñ ïëîñêîñòüþ
v > 0 è v < 0.
çåðêàëà îáðàçóåò îòðàæåííûé ëó÷? Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè
8.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è íàéòè, êàê ìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè ÷àñòîòà
ñâåòà (÷àñòîòà ïðîïîðöèîíàëüíà ýíåðãèè ôîòîíîâ).
9. ×àñòèöà ñ ìàññîé ïîêîÿ
m, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ ⃗v , ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæM è óïðóãî îòðàæàåòñÿ îò íåå (ëåòèò íàçàä).
íîé ÷àñòèöåé ñ ìàññîé ïîêîÿ
Íàéòè ñêîðîñòè ÷àñòèö ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ.
10. Ìîæåò ëè èçîëèðîâàííûé ñâîáîäíûé ýëåêòðîí à) èñïóñòèòü ôîòîí, á) ïîãëîòèòü ôîòîí?
11. Íåéòðàëüíàÿ ÷àñòèöà
A
ñ ìàññîé ïîêîÿ
M
íàëåòàåò íà òàêóþ æå ïîêîÿùóþñÿ
÷àñòèöó. Êàêîé ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé äîëæíà îáëàäàòü íàëåòàþùàÿ ÷àñòèöà,
÷òîáû ñòàëî âîçìîæíûì ðîæäåíèå òðåòüåé òàêîé æå ÷àñòèöû ïî ñõåìå
A+A →
A + A + A?
12. Ïðîòîí
P
ñ ìàññîé ïîêîÿ
M
íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ ïðîòîí. Êàêîé ìèíèìàëü-
íîé ýíåðãèåé äîëæåí îáëàäàòü íàëåòàþùèé ïðîòîí, ÷òîáû ñòàëî âîçìîæíûì
ðîæäåíèå ïàðû ïðîòîí-àíòèïðîòîí ïî ñõåìå
P + P → P + P + P + P̄ ?
13. ×àñòèöà ñ ìàññîé ïîêîÿ
ïîëå
E,
m
è çàðÿäîì
íàïðàâëåííîå âäîëü îñè
x.
q
ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå
Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ëàáî-
ðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ÷àñòèöà èìåëà íóëåâóþ
ñêîðîñòü. Íàðèñîâàòü ìèðîâóþ ëèíèþ ÷àñòèöû â êîîðäèíàòàõ
x, t.
Íàéòè 4-
âåêòîð óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû.
14. Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé
ìàãíèòíîì ïîëå
èìåëà ñêîðîñòü
m
è çàðÿäîì
q
â îäíîðîäíîì
B , íàïðàâëåííîì ïî îñè z , åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò
v âäîëü îñè x. Íàéòè 4-âåêòîð óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû.
÷àñòèöà
15. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
F µα Fαν −
1
4
η µν F αβ Fαβ .
Íàéòè ñëåä òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà
íèòíîãî ïîëÿ.
2
Tµµ
T µν =
ýëåêòðîìàã-