62

62
ÊÂÀÍT 2003/¹1
ó÷ëè, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è êîíäåíñàòîð ïëîñêèé, à ïîòîìó
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êðàåâûìè ýôôåêòàìè è ñ÷èòàòü, ÷òî çàðÿäû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî óêàçàííûì ïëîñêîñòÿì, à ïîëåì çàðÿäîâ íà òîðöàõ ïëàñòèí ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïåðâîé ïëàñòèíû ìåíüøå,
÷åì âòîðîé, è òîê òå÷åò îò ïåðâîé ïëàñòèíû êî âòîðîé, íà
ïëîñêîñòè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïëàñòèí äîëæåí íàõîäèòüñÿ èçáûòî÷íûé ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä. Ïóñòü ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ýòîãî çàðÿäà σ . Çíàÿ, ÷òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ
ïëîñêîñòè, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì,
íàïðàâëåí ïî íîðìàëè îò íåå, à åãî ìîäóëü ðàâåí
E = σ ( 2ε0 ) , ãäå ε0 – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ïîëåé ìîæíî çàïèñàòü
2U1 U
σ
=
d
d 2ε0 .
Èç ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé íàõîäèì èñêîìóþ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ íà ãðàíèöå ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïëàñòèí:
σ=
2 ( ρ2 - ρ1 ) ε 0U
( ρ1 + ρ2 ) d .
+
+
+
8. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îñü, âîêðóã êîòîðîé ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ òðåóãîëüíèê, è îïîðà, íà êîòîðóþ
îí îïèðàåòñÿ, ïîêîÿòñÿ îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû
îòñ÷åòà è ýòà ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé. Òîãäà ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà
ïîêîÿùèéñÿ òðåóãîëüíèê, îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè äîëæíà
áûòü ðàâíà íóëþ. Ïî óñëîA
âèþ çàäà÷è òðåóãîëüíèê ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ
âîêðóã îñè, ñëåäîâàòåëüíî,
íà íåãî íå äåéñòâóþò ñèëû
F2
F3
òðåíèÿ. Ïîýòîìó òðåóãîëüB
mg
íèê ïåðåñòàíåò äàâèòü íà
îïîðó òîãäà, êîãäà ìîìåíò
I
ñèë òÿæåñòè áóäåò óðàâíî30
âåøåí ìîìåíòîì ñèë ÀìïåD
C ðà, äåéñòâóþùèõ íà ñòîðîF1
íû òðåóãîëüíèêà.
Ðèñ. 25
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîâîëîêà, èç êîòîðîé èçãîòîâëåí òðåóãîëüíèê, ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé. Òîãäà ðàâíîäåéñòâóþùóþ ñèë òÿæåñòè mg ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïðèëîæåííîé ê öåíòðó òðåóãîëüíèêà, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñóíêå 25. Ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì, à ïðîâîëîêà òîíêîé, òî÷êà ïðèëîæåíèÿ óêàçàííîé ðàâíîäåéñòâóþùåé äîëæíà íàõîäèòüñÿ îò îñè âðàùåíèÿ À íà
ðàññòîÿíèè h = a 2 cos 30 o = a 3 . Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíò
ñèë òÿæåñòè îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè ðàâåí
(
)
amg
.
3
Ïóñòü ïî ïðîâîëîêå, èç êîòîðîé èçãîòîâëåí òðåóãîëüíèê, ïðîòåêàåò ïîñòîÿííûé òîê â òîì èç äâóõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé, êîòîðîå óêàçàíî íà ðèñóíêå 25 ñòðåëêàìè íà ñòîðîíàõ
òðåóãîëüíèêà. Êàê èçâåñòíî, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò òîêà
r
r
r r
ñèëà Àìïåðà ðàâíà ∆F = éë I ∆L × BΣ ùû , ãäå ∆L – âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì òîêà, à ìîäóëü
ðàâåí äëèíå ñòîëü ìàëîãî îòðåçêà ïðîâîäíèêà, ÷òî â ìåñòå åãî
íàõîæäåíèÿ èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îòñóòñòâèå
äàííîãî
r
ýëåìåíòà ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé è ðàâíîé r BΣ .  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
BΣ ðàâíà ñóììå
r
è
èíäóêöèè
ïîëÿ
èíäóêöèè
âíåøíåãî
îäíîðîäíîãî
ïîëÿ
B
r
Bc , ïîðîæäàåìîãî òîêîì â ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà çà èñêëþ÷åíèåì òîãî ó÷àñòêà ïðîâîëîêè, äåéñòâèå ñèëû Àìïåðà ríà êîòîðûé âû÷èñëÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó ëèíèè èíäóêöèè ïîëÿ Bc ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü òðåóãîëüíèêà ïî íîðìàëè ê íåé, èç çàêîMò =
íà Àìïåðà ñëåäóåò, r÷òî íà ìàëûé ýëåìåíò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà çà ñ÷åò ïîëÿ Bc áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà, ëèíèÿ äåéñòâèÿ
êîòîðîé ëåæèò â ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà è íàïðàâëåíà ïî
íîðìàëè ê ðàññìàòðèâàåìîìó ýëåìåíòó. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíò ýòèõ ñèë îòíîñèòåëüíî çàäàííîé îñè âðàùåíèÿ ðàâåí
íóëþ, íî îíè îáóñëîâëèâàþò âîçíèêíîâåíèå ìåõàíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé â ïðîâîäíèêàõ êîíòóðà.
Ñîñòàâëÿþùèå ñèëû Àìïåðà,
îáóñëîâëåííûå íàëè÷èåì âíåør
íåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ B , ëèíèè èíäóêöèè êîòîðîãî ïî óñëîâèþ çàäà÷è êîëëèíåàðíû ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà è ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè âðàùåíèÿ, íàïðàâëåíû âåðòèêàëüíî, à ïîòîìó
áóäóò ñîçäàâàòü âðàùàþùèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî çàäàííîé
îñè. Ñòîðîíà DÑ òðåóãîëüíèêà íàõîäèòñÿ îò îñè âðàùåíèÿ íà
ðàññòîÿíèè h1 = a sin 60o , à âåëè÷èíà äåéñòâóþùåé íà íåå
ñèëû ðàâíà F1 = IaB . Ïîýòîìó âåëè÷èíà îáóñëîâëåííîãî âíåøíèì ïîëåì âðàùàþùåãî ìîìåíòà, äåéñòâóþùåãî íà ñòîðîíó
DÑ, ðàâíà
M1 = h1F1 = a 2 IB sin 60 o = 0,5 3 a 2 IB .
Íåñêîëüêî ñëîæíåå îáñòîèò äåëî ñ âû÷èñëåíèåì âðàùàþùåãî
ìîìåíòà, äåéñòâóþùåãî íà ñòîðîíû ÀD è ÀÑ. Íà ìàëåíüêèé
êóñî÷åê ïðîâîëîêè ñòîðîíû ÀD äëèíîé ∆L , íàõîäÿùèéñÿ îò
îñè âðàùåíèÿ â ñðåäíåì íà ðàññòîÿíèè xi ( 0 £ xi £
£ a cos 60o ), ñî ñòîðîíû âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ äåéñòâóåò
âðàùàþùèé ìîìåíò, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà
∆Mi = xi IB∆L sin 30o = IB tg 30o × xi ∆x .
Çäåñü áûëî ó÷òåíî, ÷òî,
r â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì çàäà÷è,
óãîë ìåæäó âåêòîðîì B è ñòîðîíîé ÀD ðàâåí ëèáî 30°, ëèáî
150°, íî sin 30o = sin 150o , è ÷òî ∆L = ∆x cos 30o . Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû âðàùàþùåãî ìîìåíòà M2 , äåéñòâóþùåãî íà
âñþ ñòîðîíó ÀD, ñëåäóåò íàéòè ñóììó âñåõ ìîìåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà ó÷àñòêè ýòîé ñòîðîíû. Ñäåëàòü ýòî ìîæíî, íàïðèìåð, îáðàòèâøèñü ê ðèñóíêó 26, íà êîòîðîì ïîêàçàí ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ. Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíó xi∆x ñ òî÷êè
çðåíèÿ ãåîìåòðèè ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà âûñîòîé xi è äëèíîé îñíîâàíèÿ ∆x . Òîãäà âåëè÷èíà
ìîìåíòà M2 äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, äëèíà êàòåòîâ êîòîðîãî ðàâíà
a cos 60 o :
(
)
2
M2 = 0,5 a cos 60o IB tg 30o = 3 a 2 IB 8 .
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî íà ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà ÀÑ äîëæåí äåéñòâîâàòü òàêîé æå âðàùàþùèé ìîìåíò, êàê è íà ñòîðîíó ÀD.
y
Âñïîìèíàÿ ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà,
ðàâíîãî âåêòîðíîìó ïðîèçâå∆x
äåíèþ äâóõ äðóãèõ âåêòîðîâ
(èëè ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ
íàïðàâëåíèÿ ñèëû Àìïåðà),
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ìîìåíòû, äåéñòâóþùèå íà ñòîðîíû
xE
0
x
acos60
ÀD è ÀÑ, ñòðåìÿòñÿ âûçâàòü
Ðèñ. 26
ïîâîðîò òðåóãîëüíèêà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ âðàùåíèþ, êîòîðîå ìîãëî áû âîçíèêíóòü ïîä äåéñòâèåì ìîìåíòà
M1 . Ïîñêîëüêó 2M2 < M1 , òî òðåóãîëüíèê ïåðåñòàíåò äàâèòü
íà îïîðó ïðè âûáðàííîì
r íàïðàâëåíèè òîêà â åãî ñòîðîíàõ,
åñëè âåêòîð èíäóêöèè B áóäåò íàïðàâëåí òàê, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñóíêå 25, à åãî âåëè÷èíà áóäåò òàêîé, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå
M1 = 2M2 + Mò .
(5)
Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì, ÷òî èñêîìîå
çíà÷åíèå èíäóêöèè âíåøíåãî ïîëÿ ðàâíî