Теория вероятностей. Распределение случайных величин

1
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Задание 1. Выберите правильный ответ:
1. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная . . .
а) отношению числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу
равновозможных, несовместных событий;
б) пределу, к которому стремится отношение числа испытаний, в которых реализуется событие
А, к общему числу испытаний при неограниченном увеличении их количества;
в) отношению числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний;
г) отношению общего числа испытаний к числу испытаний, в которых реализуется событие А.
2. Укажите классическое определение вероятности случайного события А:
а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу
равновозможных, несовместных событий;
б) предел, к которому стремится отношение числа испытаний, в которых реализуется событие
А, к общему числу испытаний при неограниченном увеличении их количества;
в) отношение числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний;
г) отношение общего числа испытаний к числу испытаний, в которых реализуется событие А.
3. Укажите статистическое определение вероятности случайного события А:
а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу
равновозможных, несовместных событий;
б) предел, к которому стремится отношение числа испытаний, в которых реализуется событие
А, к общему числу испытаний при неограниченном увеличении их количества;
в) отношение числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний;
г) отношение общего числа испытаний к числу испытаний, в которых реализуется событие А.
4. Укажите диапазон значений, которые может принимать вероятность случайного события А:
а) -1 < P(A) < 0;
б) 0 < P(A) < 1;
в) 1
Р(А) 100.
5. Случайным событием называется событие, которое . . .
а) происходит при проведении серии испытаний;
б) может произойти или не произойти при многократном повторении испытаний;
в) не может произойти при проведении серии испытаний;
г) обязательно происходит при проведении каждого из серии испытаний.
6. Укажите формулировку теоремы сложения вероятностей:
а) вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна
произведению их вероятностей;
б) вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их
вероятностей;
в) вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна
сумме их вероятностей;
г) вероятность совместного появления независимых событий равна сумме их вероятностей.
7. Укажите формулировку теоремы умножения вероятностей:
а) вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна
произведению их вероятностей;
б) вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их
вероятностей;
в) вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна
сумме их вероятностей;
г) вероятность совместного появления независимых событий равна сумме их вероятностей.
2
8. Укажите условие нормировки дискретной случайной величины:
а)
б)
f ( x )dx 1 ;
n
i 1
x
pi
1;
в)
f ( x )dx 1 ;
г)
n
pi
i 1
i
0.
i
9. Укажите условие нормировки непрерывной случайной величины:
а)
б)
f ( x )dx 1 ;
x
n
x i pi
в)
1;
г)
f ( x )dx 1 ;
i 1
n
x i pi
0.
i 1
10. Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий . . .
а) больше вероятности каждого отдельного события;
б) меньше вероятности каждого отдельного события;
в) равна вероятности каждого отдельного события;
г) равна вероятности наиболее вероятного события;
д) равна вероятности наименее вероятного события.
11. Укажите формулу для определения математического ожидания дискретной случайной величины:
а) M ( X )
б) M ( X )
xf ( x )dx ;
n
в) M ( X )
x i pi ;
xi
pi ;
i 1
г) M ( X )
f ( x )dx .
12. Укажите формулу для определения математического ожидания непрерывной случайной
величины:
а) M ( X )
б) M ( X )
xf ( x )dx ;
x
n
в) M ( X )
x i pi ;
xf ( x )dx ;
i 1
г) M ( X )
f ( x )dx .
13. Укажите формулу для определения дисперсии дискретной случайной величины:
а) D ( X )
n
x i pi ;
б) D( X )
[ x M ( X )]2 f ( x)dx ;
г) D( X )
xf ( x )dx .
i 1
в) D ( X )
n
[x i
M ( X )] 2 pi ;
i 1
14. Укажите формулу для определения дисперсии непрерывной случайной величины:
а) D ( X )
n
x i pi ;
б) D( X )
[ x M ( X )]2 f ( x)dx ;
г) D( X )
xf ( x )dx .
i 1
в) D ( X )
n
[x i
M ( X )] 2 pi ;
i 1
15. Укажите формулу для определения среднего квадратического отклонения случайной
величины:
D( X ) ;
а)
б)
в)
г)
D( X ) ;
D 2 (X ) ;
D( X 2 ) .
16. Функция распределения непрерывной случайной величины указывает . . .
а) вероятность нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к
ширине этого интервала;
б) вероятность того, что случайная величина находится в интервале от х до х + х;
в) вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие х.
3
17. Плотность вероятности непрерывной случайной величины указывает:
а) вероятность нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к
ширине этого интервала;
б) вероятность того, что случайная величина находится в интервале от х до х + х;
в) вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие х.
18. Укажите график нормального закона распределения:
а) f(x)
б f(х)
в) f(x)
0
Х 0
Х
0
19. Укажите график закона распределения Больцмана:
а) f(x)
б)
х
0
0
х
0
Х
в) f(x)
f(x)
г) f(x)
0
г)
Х
f(x)
х 0
х
20. Укажите, чем отличаются распределения двух случайных величин, графики которых
изображены на рисунке:
f(x)
1
2
х
0
а) М1(Х) > M2(Х);
б)
2
>
1;
в) D2(Х) < D1(Х);
г) M2(Х) > M1 (Х).
21. Укажите график функции распределения непрерывной случайной величины, подчиняющейся
нормальному закону распределения:
а)
б)
F(x)
0
х
в)
F(x)
0
х
0
г)
F(x)
х
F(x)
0
х
22. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности нормального
закона распределения и осью абсцисс, равна:
а) 0;
б) 1;
в) 0,5;
г) ;
д) 100.
4
Задание 2. Укажите правильные высказывания
1. 1) Относительной частотой случайного события А называется величина, равная пределу, к
которому стремится отношение числа случаев, в которых реализуется событие А, к общему
числу испытаний при неограниченном увеличении числа испытаний.
2) Относительной частотой случайного события А называется величина, равная отношению
числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний.
3) Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий больше
вероятности каждого отдельного события.
4) Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна
произведению их вероятностей.
2. 1) Функция распределения непрерывной случайной величины указывает вероятность
нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к ширине этого
интервала.
2) Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий меньше
вероятности каждого отдельного события.
3) Плотность вероятности непрерывной случайной величины указывает вероятность того, что
случайная величина принимает значения не больше х.
4) Функция распределения непрерывной случайной величины указывает вероятность того, что
случайная величина принимает значения меньшие х.
3. 1) Плотность вероятности непрерывной случайной величины указывает вероятность
нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к ширине этого
интервала.
2) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности нормального
закона распределения и осью абсцисс, равна 0,5.
3) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности нормального
закона распределения и осью абсцисс, равна 1.
4) Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
5) Дисперсия характеризует среднее значение случайной величины.
4. 1) Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее значение случайной величины.
2) Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.
3) Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины относительно ее математического
ожидания.
4) Случайная величина называется непрерывной, если она принимает любые значения внутри
некоторого интервала.
5) Случайная величина называется дискретной, если она принимает любое из значений в
некотором интервале.
Задание 3. Установите соответствия:
1. 1) Достоверное событие
2) Случайное событие
3) Невозможное событие
а) Р = 0;
б) Р = 1;
в) 0 < P < 1.
5
2. 1) Среднее квадратическое отклонение
n
а) M ( X )
2) Математическое ожидание
б) D ( X )
x i pi ;
i 1
n
[x i
M ( X )] 2 pi ;
i 1
3) Дисперсия
3.
...
в)
D( X ) .
непрерывной случайной величины определяется по формуле . . .
1) Функция распределения
а)
2) Плотность вероятности
б) F (x )
3) Условие нормировки
в) f (x )
f ( x )dx 1 ;
x
а)
f (x )dx ;
dP
.
dx
f(x)
4. 1) Нормальное распределение
х
0
2) Линейное распределение
б)
3) Распределение Больцмана
0
в)
f(x)
х
f(x)
х
0
4) Равномерное распределение
г)
f(x)
0
5. В формуле закона Гаусса:
1) f(x)
2) а
3)
f (x )
1
2
х
( x a )2
e
2
2
используются следующие обозначения:
a) математическое ожидание;
б) плотность вероятности;
в) среднее квадратическое отклонение.
6
Задание 4. Составьте высказывание из нескольких предложенных фраз
1. А. Если при проведении n испытаний событие А . . . в m случаях,
1) произошло;
2) не произошло;
Б. то такое событие называется . . .
1) достоверным;
2) невозможным;
3) случайным.
В. Его . . . равна
1) относительная частота;
2) вероятность;
3) частота;
Г. отношению
... .
1) m/n;
2) n/m.
Д. Она принимает значения
... и...
1) большие 1;
2) меньшие 1;
3) меньшие 0;
4) большие 0.
2. А. Если при проведении испытаний событие А . . .
в каждом опыте,
1) не происходит;
2) происходит;
Б. то это событие называется . . .
1) случайным;
2) достоверным.
В. Вероятность такого события . . .
.
1) равна 1;
2) равна 0;
3) меньше 1;
4) больше 1.
3. А. . . .
определение вероятности заключается в следующем :
1) Классическое;
2) Статистическое;
Б. при неограниченном . . . числа испытаний
1) увеличении;
2) уменьшении;
В. вероятность события равна
... .
1) отношению числа благоприятных исходов к общему числу испытаний;
2) пределу, к которому стремится относительная частота данного события.
4. А. Для определения . . .
события А
1) вероятности;
2) относительной частоты;
3) частоты;
Б. необходимо провести n испытаний, определить число m испытаний, в которых событие А
1) произошло;
2) не произошло;
В. и найти отношение . . .
.
1) n/m;
2) m/n.
Г. Полученная величина принимает значения . . . и . . .
.
1) большие 0;
2) меньшие 0;
3) большие 1;
4) меньшие 1.
5. А. В теореме
. . . вероятностей утверждается, что
1) сложения;
2) умножения;
Б. вероятность совместного появления
. . . событий
1) нескольких;
2) одного;
В. равна
. . . вероятности этих событий.
1) разности;
2) сумме;
6. А. В теореме . . . вероятностей утверждается, что
1) сложения;
2) умножения;
Б. вероятность появления . . . несовместных событий
1) нескольких;
2) одного из;
В. равна
. . . вероятности этих событий.
1) произведению;
2) разности;
3) сумме.
3) деления;
3) произведению.
3) деления;
7
7. А. Теорема
. . . вероятностей
1) сложения;
2) умножения;
Б. позволяет определить вероятность совместного появления . . . событий.
1) двух одинаковых;
2) всех;
3) нескольких независимых.
В. Эта вероятность
. . . вероятности каждого из этих событий.
1) больше;
2) меньше;
3) равна.
8. А. Теорема
. . . вероятностей
1) сложения;
2) умножения;
Б. позволяет определить вероятность появления
. . . несовместных событий.
1) одного из нескольких ; 2) нескольких независимых;
3) всех;
4) одинаковых.
В. Эта вероятность . . . вероятности каждого из этих событий.
1) равна;
2) меньше;
3) больше.
9. А. Выражение для условия нормировки . . . случайной величины
1) дискретной;
2) непрерывной;
Б. имеет следующий вид:
n
1)
pi
0;
i 1
n
2)
n
pi
1;
3) 0
i 1
x i pi
1.
i 1
В. Это условие справедливо для . . . системы событий.
1) полной;
2) неполной;
3) замкнутой.
Г. Систему событий называют . . . , если при испытаниях происходит одно и только одно из
этих событий.
1) замкнутой;
2) неполной;
3) полной.
10. А. Случайная величина называется . . .
,
1) дискретной;
2) непрерывной;
Б. если она принимает . . . значений в некотором интервале.
1) любое из;
2) несколько;
3) счетное множество;
В. . . . такой величины
1) Математическое ожидание; 2) Дисперсия;
3) Среднее квадратическое отклонение;
Г. определяется по формуле:
n
1) M ( X )
xi
pi ;
2) D ( X )
[x i
M ( X )] 2 pi ;
3) D(X )
M (X )] 2 pi .
[x i
i 1
11. А. Случайная величина называется . . .
,
1) дискретной;
2) непрерывной;
Б. если она принимает . . . значений в некотором интервале.
1) любое из;
2) счетное множество;
В. Дисперсия такой величины определяется по формуле:
3) несколько.
n
1) D ( X )
[x i
M ( X )] 2 pi ;
2) D (X )
xf (x )dx ;
3) D(X )
[x i
i 1
12. А. Величина , определяемая по формуле:
D( X ) ;
D (X ) ;
1)
2)
3)
4)
D 2 (X ) ;
Б. называется . . .
случайной величины.
1) математическим ожиданием;
2) дисперсией;
3) средним квадратическим отклонением.
D(X 2 ) ;
M (X )] 2 pi .
8
В. Она характеризует . . . .
1) среднее значение случайной величины;
2) рассеяние значений случайной величины относительно математического ожидания.
13. А. Величина M(X), определяемая по формуле:
n
1) M ( X )
x i pi ;
2) M ( X )
f (x )dx ;
3) M ( X )
xf (x )dx ;
i 1
Б. называется . . . непрерывной случайной величины.
1) математическим ожиданием; 2) дисперсией;
3) средним квадратическим отклонением.
В. Она характеризует . . . .
1) рассеяние значений случайной величины;
2) среднее значение случайной величины.
14. А. Величина D(x), определяемая по формуле:
n
1) D ( X )
[x i
M ( X )] 2 pi ;
2) D ( X )
[x
M (X )] 2 f (x )dx i ;
i 1
Б. называется . . .
дискретной случайной величины.
1) математическим ожиданием; 2) средним квадратическим отклонением;
3) дисперсией.
В. Она характеризует . . . .
1) среднее значение случайной величины;
2) рассеяние значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
15. А. При . . .
среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины,
подчиняющейся нормальному закону распределения
1) уменьшении;
2) изменении;
Б. график функции плотности вероятности становится . . . ,
1) шире;
2) уже;
3) не изменяется;
В. а его максимальное значение . . . .
1) увеличивается;
2) уменьшается ;
3) не изменяется.
Г. При этом площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс . . .
1) увеличивается;
2) уменьшается;
3) не изменяется.
16. А. Особенностью . . .
закона распределения
1) равномерного;
2) нормального;
3) линейного;
Б. является симметрия графика плотности вероятности относительно . . .
1) оси OУ;
2) оси ОХ;
3) линии х = М(Х);
4) начала координат.
В. Это служит доказательством того, что . . . . .
1) математическое ожидание является наиболее вероятным значением;
2) отклонения случайной величины вправо и влево от математического ожидания на
одинаковую величину равновероятны;
3) выполняется условие нормировки.
17. А. Особенностью . . .
закона распределения
1) равномерного;
2) линейного;
3) нормального;
Б. является то, что его максимум соответствует значению случайной величины . . .
.
1) x = 0;
2) х = ;
3) х = D (Х);
4) х = М(Х).
9
В. Это служит доказательством того, что . . .
.
1) математическое ожидание является наиболее вероятным значением;
2) отклонения случайной величины на одинаковую величину вправо и влево от
математического ожидания равновероятны;
3) выполняется условие нормировки.
18. А. Распределение случайных величин, описываемое . . . законом,
1) Больцмана;
2) равномерным;
3) нормальным;
4) линейным;
Б. является распределением . . . .
1) случайных величин при совместном действии ряда случайных, независимых факторов;
2) частиц по потенциальным энергиям в силовых полях.
В. График плотности вероятности этого распределения имеет вид
1)
f(x)
2)
х
0
f(x)
0
3) f(x)
х
4)
0
х
f(x)
0
х
Задание 5. Решите задачу и укажите правильный ответ:
1. При 20 бросаниях игральной кости 5 очков выпало 7 раз. Определить относительную частоту
выпадения 5 очков.
1) 0,25;
2) 0,35;
3) 1,4;
4) 5/7.
2. В урне находится 6 белых, 9 черных и 5 красных шаров. Какова вероятность вынимания
красного шара?
1) 0,25;
2) 0,30;
3) 4,0;
4) 0,45.
3. Определить относительную частоту заражения гриппом, если из 20 человек, находившихся в
контакте с больным, здоровыми остались 8.
1) 0,4;
2) 2,5;
3) 0,6;
4)0,8.
4. На приеме у участкового врача в течение недели побывало 72 человека, из которых 16
пациентам был поставлен диагноз - бронхит. Определить относительную частоту появления на
приеме пациента, больного бронхитом.
1) 0,22;
2) 0,78;
3) 72/16;
4) 56/72.
5. Определить вероятность выпадения при бросании игральной кости числа очков, меньшего 5.
1) 5/6;
2) 6/5;
3) 4/6;
4) 3/6.
6. Определите вероятность выпадения 12 очков при одновременном бросании двух игральных
костей.
1) 1/36;
2) 2/6;
3) 2/36;
4) 1/3.
7. Определите, является ли полной система значений случайной величины Х, распределение
которой имеет вид:
1) да;
хi
5
7
8
10
11
рi
0,2
0,4
0,1
0,2
0,1
2) нет.
10
8. Определите вероятность выпадения нечетного числа очков при бросании игральной кости.
1) 1/6;
2) 0,6;
3) 2/6;
4) 0,5.
9. В урне находится 6 черных и 4 белых шара. Определите вероятность одновременного
вынимания двух белых шаров.
1) 4/6;
2) 0,2;
3) 0,16;
4) 0,8.
10. Определите математическое ожидание случайной величины
хi
2
3
5
6
рi
0,3
0,4
0,1
0,2
1) 3,5;
2) 5,0;
3) 1,5;
4) 4,5.
11. Определите математическое ожидание случайной величины
хi
4
5
8
рi
0,1
0,7
0,2
1) 4,5;
2) 5,5;
3) 7,0;
4) 3,5.
12. Определите дисперсию случайной величины
1) 1,65;
хi
4
5
8
рi
0,1
0,7
0,2
2) 3,5;
3) 0,55;
4) 1,0.
13. Определить вероятность того, что случайная величина, распределение которой описывается
нормальным законом, принимает значения х < М (Х) .
1) 1,0;
2) 0,25;
3) 0,5;
4) 0,1.
14. Определить вероятность того, что случайная величина, распределение которой описывается
нормальным законом, принимает значения х > М (Х) .
1) 0,5;
2) 0,25;
3) 1,0;
4) 0,1.