Листок 10

Упражнения 10
( Сканы/фото решений данных упражнений принимаются до: 15.07.14
на e-mail: grigory@princeton.edu )
Упражнение 1: Покажите, что волновой функционал Ψ0 [χ(~x)] = h{χ(~x)}|0i основного состояния
дается функциональным интегралом
Ψ0 [χ(~x)] =
ϕ(~
x,0)=χ(~
Z x)
Dϕ(x)e−A[ϕ]x4 <0 .
(1)
Далее покажите, что волновой функционал состояния |ϕ(~x, −τ )i = ϕ̂(~x, −τ )|0i равен
Ψ[χ(~x)] = h{χ(~x)}|ϕ(~x, −τ )i =
ϕ(~
x,0)=χ(~
Z x)
Dϕ(x)ϕ(~x, −τ )e−A[ϕ] .
(2)
Упражнение 2: Используя операторный формализм, покажите, что
Z
∂f
∂g
[Âf , Âg ] = d3 x( g − f ),
(3)
∂τ
∂τ
R
).
где Âf = i d3 x( ∂∂τϕ̂ f − ϕ̂ ∂f
∂τ
Упражнение 3: Покажите, что если ϕ и f удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона, то можно
эквивалентно написать, что (здесь уже предполагается формализм функционального интеграла)
Z
Af = i dΣµ (∂µ ϕf − ϕ∂µ f ),
(4)
Σ
где Σ какая-то гладкая поверхность в четырехмерном пространстве. Также покажите, что верна
следующая формула
∂
hAf (τ )ϕ(~x0 , τ0 )i = 0,
∂τ
τ 6= τ0 ,
где здесь Af (τ ) вычислена для поверхности Στ : (~x, x4 = τ ).
Упражнение 4: Покажите, что
Z
dΣµ hJfµ (x)ϕ(x0 )i,
h0|[Âf , ϕ̂(~x0 , τ0 )]|0i = i
(5)
(6)
Σ0
где Jfµ = ∂ µ ϕf − ϕ∂ µ f и Σ0 замкнутая 3-поверхность окружающая точку x0 . Далее покажите, что
в свободной теории Клейна-Гордона ∂µ hJfµ (x)ϕ(x0 )i = −δ (4) (x − x0 )f , и откуда следует (3).
Упражнение 5: Используя разложение Челлена-Лемана покажите, что двух-точечная корреляционная функция во взаимодействующей теории приблизительно удовлетворяет свободному
уравнению Клейна-Городна
(m2 − ∂µ2 )hϕ(x)ϕ(0)i ≈ 0,
(7)
когда x → ∞. Чему равна погрешность данной оценки? Используя свойство кластерной факторизации корреляционной функции (свойство того, что корреляционная функция многих полей распадается на произведение корреляционных функций отдельных групп полей, если данные группы
1
находятся далеко друг от друга), покажите, что корреляционная функция многих полей приблизительно удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона:
(m2 − ∂µ2 )hϕ(x)ϕ(x1 )...ϕ(xn )i ≈ 0,
(8)
если |x − xi | → ∞, где i = 1, ..., n.
Упражнение 6: Убедитесь, что волновые пакеты вида
Z
Z
d3~q ω~qτ −i~q~x − (~q−~p)2
d3 q~ −ωq~τ +i~q~x − (~q−~p)2
¯
2ε
e
e
e
e 2ε ,
fp~,ε (~x, τ ) =
,
f
(~
x
,
τ
)
=
(9)
p
~
,ε
(2π)3
(2π)3
p
где ω~q = ~q2 + m2 , удовлетворяют свободному уравнению Клейна-Гордона. Покажите, что для
маленьких ε можно написать
f¯p~,ε (~x, τ ) ≈ e−ωp~ τ +i~p~x ψε (~x + i~v τ ),
fp~,ε (~x, τ ) ≈ eωp~ τ −i~p~x ψε (~x + i~v τ ),
ε
(10)
2
где ψε (~x) = e− 2 ~x и ~v = ωp~p~ — групповая скорость. Покажите, что при t → −∞, волновые пакеты
fp~1 ,ε (~x, τ + it) и fp~2 ,ε (~x, τ + it) становятся хорошо отдаленными друг от друга, если p~1 6= p~2 .
Упражнение 7: Определим операторы
Z
Âp~,ε = i d3~x(fp~,ε (~x, τ )∂τ ϕ̂(~x, τ ) − ∂τ fp~,ε (~x, τ )ϕ̂(~x, τ )),
Z
†
(11)
Âp~,ε = i d3~x(f¯p~,ε (~x, τ )∂τ ϕ̂(~x, τ ) − ∂τ f¯p~,ε (~x, τ )ϕ̂(~x, τ )),
(in/out)
и также определим Âf
, как
(in/out)
Âf
†(in/out)
= lim Âf (τ + it),
Âf
t→±∞
= lim †f (τ + it).
t→±∞
(12)
Покажите, что в пределе t → −∞, корреляционная функция
hA1 (τ1 + it)...An (τn + it)i
не зависит от τi , где τ1 < τ2 < ... < τn . Далее покажите, что
Z
(in)
†(in)
[Âp~,ε , Â~q,ε ] = d3~x(f¯~q,ε ∂τ fp~,ε − ∂τ f¯~q,ε fp~,ε ),
(13)
(14)
и в пределе ε → 0 можно получить
(in)
(in)
[Âp~ , Â~q ] = 0,
(in)
†(in)
[Âp~ , Â~q
] = (2π)3 2ωp~δ (3) (~p − q~).
(15)
Упражнение 8: Переходя к пространству Минковского, определим новые операторы Ãp~ (t) =
Âp~ (it), для которых имеем
Z
Z
↔
↔
3
†
−1/2
−1/2
d3~xfp∗ (~x, t) ∂ t ϕ̂(~x, t),
(16)
d ~xfp (~x, t) ∂ t ϕ̂(~x, t), Ãp (t) = −iZ
Ãp (t) = iZ
↔
где a ∂ t b = a∂t b − b∂t a и fp~ (~x, t) — является уже обычной волной в пространстве Минковского
(фактическим мы положили ε = 0 в fp~,ε ), a Z — нормировочный множитель (пусть Z = 1 для
простоты). Покажите, что
Z
†(in)
†(out)
Ap~ = Ap~
+ i d4 xfp~∗ (x)(∂µ2 + m2 )ϕ̂(x),
(17)
2
(in/out)
где Ap~
= lim Ãp~ (t).
t→±∞
Упражнение 9: Определим
†(in)
†(in)
|~p1 , ..., ~pN i(in) = Ap~1 ...Ap~N |0i,
(out)
q1 , ..., ~qM |
(out) h~
(out)
= h0|A~q1 ...A~qM .
(18)
Покажите, что
q1 , ..., ~qM |ϕ̂(x)|~p1 , ..., p~N i(in)
(out) h~
↔
= − i ′lim f~q1 (x′ ) ∂ t′ (out) h~q2 , ..., ~qM |T (ϕ̂(x′ )ϕ̂(x))|~p1 , ..., p~N i(in)
t →∞
(in)
= (out) h~q2 , ..., ~qM |ϕ̂(x)A~q1 |~p1 , ..., ~pN i(in)
Z
+ i d4 x′ f~q1 (x′ )(x′ + m2 ) (out) h~q2 , ..., ~qM |T (ϕ̂(x′ )ϕ̂(x))|~p1 , ..., p~N i(in) ,
(19)
где = ∂µ ∂ µ . Покажите, что
(in)
q2 , ..., ~qM |A~q1 |~p1 , ..., ~pN i(in)
(out) h~
=
N
X
(2π)3 2ω~qδ (3) (~pi − ~q1 ) (out) h~q2 , ..., ~qM |~p1 , ..., p~ˆi , ..., p~N i(in) ,
(20)
i=1
где шляпка ˆ означает, что данный импульс вычеркнут из списка.
Упражнение 10: В результате манипуляций из Упражнения 9, можно прийти к формуле ЛеманаСиманчика-Циммермана (ЛСЦ):
S(~p1 , ..., p~N |~q1 , ..., ~qM ) =(не связные члены)
Z
N +M
d4 x1 ...d4 xN d4 y1 ...d4 yM fp~∗1 (x1 )...fp~∗N (xN )f~q1 (y1 )...f~qM (yM )
+ (i)
× (x1 + m2 )...(xN + m2 )(y1 + m2 )...(yM + m2 )
× h0|T (ϕ(x1 )...ϕ(xN )ϕ(y1)...ϕ(yM ))|0i,
(21)
где S-матрица определяется как
def
S(~p1 , ..., ~pN |~q1 , ..., ~qM ) =
q1 , ..., ~qM |~p1 , ..., p~N i(in) .
(out) h~
(22)
Покажите, что
Sc (~p1 , ..., p~N |~q1 , ..., ~qM ) = (i)
N +M
NY
+M
lim
ki →(−ωp~i ,−~
pi ), i=1,...,N
i=1
kN+i →(ω~qi ,~
qi ) i=1,...,M
(m2 − kiµ kiµ )GN +M (k1 , ..., kN +M ),
где Sc (~p1 , ..., ~pN |~q1 , ..., ~qM ) — связная часть S-матрицы, а
Z
GN +M (k1 , ..., kN +M ) = d4 x1 ...d4 xN +M eik1 x1 ...eikN+M xN+M h0|T (ϕ(x1)....ϕ(xN +M ))|0i.
(23)
(24)
Далее переходя в Евклидово пространство, покажите, что
Sc (~p1 , ..., ~pN |~q1 , ..., ~qM ) =
NY
+M
lim
ki →(−iωp~i ,−~
pi ), i=1,...,N
i=1
kN+i →(iω~qi ,~
qi ) i=1,...,M
(ki2 + m2 )W (N +M ) (k1 , ..., kN +M ).
(25)
QN +M (2) 2
(N +M )
W (ki ) и используя
Теперь используя то, что W (N +M ) (k1 , ..., kN +M ) = Wamp (k1 , ..., kN +M ) i=1
разложение Челлена-Лемана для W (2) (ki2 ) (с Z = 1), получите окончательную формулу ЛСЦ:
(N +M )
(26)
(k1 , ..., kN +M )k =(−iωp ,−~p ), i=1,...,N .
Sc (~p1 , ..., p~N |~q1 , ..., ~qM ) = Wamp
i
i
i
qi ) i=1,...,M
kN+i =(iωqi ,~
3