Задачи для подготовки к экзамену по эконометрике–2 март 2014 г. Задача 1. Какие из следующих утверждений являются верными? (a) При помощи GARCH-модели можно устранять гетероскедастичность. (b) Модель GARCH(1,1) предназначена для прогнозирования меры изменчивости цены финансового инструмента, а не для прогнозирования самой цены инструмента. (c) Условная дисперсия GARCH-процесса изменяется во времени. (d) Модель GARCH(1,1) может быть успешно использована для прогнозирования волатильности финансовых инструментов на несколько торговых недель вперед. (e) GARCH(1,1)-процесс является процессом белого шума, безусловная дисперсия которого изменяется во времени. Задача 2. При помощи теста отношения правдоподобия исследователь изучает возможность использования GARCH(1,1)-модели вместо модели GARCH(2,2). В этом случае статистика отношения правдоподобия (a) имеет χ2 -распределение с одной степенью свободы, (b) имеет χ2 -распределение с двумя степенями свободы, (с) имеет F (1, 1)-распределение, (d) имеет F (2, 2)-распределение, (e) не может быть использована. σt2 Задача 3. Найдите безусловную дисперсию следующего GARCH-процесса εt = σt · ξt , 2 + 0.1 · ε2t−1 . = 0.2 + 0.8 · σt−1 Задача 4. Безусловная дисперсия следующего GARCH-процесса εt = σt · ξt , σt2 = 0.2 + 0.4 · + 0.3 · ε2t−1 + 0.2 · ε2t−2 равна 2 σt−1 (a) 2, (b) 1, (с) 0.5, (d) 0.4, √ (e) 2. 1 Задача 5. Используя ряд дневных логарифмических доходностей {yt }500 t=1 некоторого финансового инструмента, были оценены параметры GARCH(1,1)-модели: ĉ = −0.000708, ω̂ = 0.000455, δ̂ = 0.6424, γ̂ = 0.2509. t σ̂t2 ε̂2t 499 0.001904 0.013559 500 0.001833 501 — 502 — (a) Заполните пропуски в следующей таблице. (b) Переведите прогнозы дневной волатильности σ̂501 и σ̂502 в годовое выражение в процентах. 2 Задача 6. Рассматривается GARCH(1,1)-процесс σt2 = 1 + 0.8 · σt−1 + 0.1 · ε2t−1 . Известно, 2 что σT = 9, εT = −2. Найдите (a) E[σT2 +1 |FT ], (b) E[σT2 +2 |FT ], (c) E[σT2 +3 |FT ]. 2 + γ · ε2t−1 — стандартный GARCH-процесс. Задача 7. Пусть εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1 Найдите (a) E[ξt ], (b) E[ξt2 ], (c) D[ξt ], (d) E[ξt ξt−1 ], (e) cov(ξt , ξt−1 ), 2 (f) E[ξt2 ξt−1 ], 2 ), (g) cov(ξt2 , ξt−1 (h) P({ξt > 0}), (i) P({−1 < ξt < 1}), (j) E[εt |Ft−1 ], (k) E[ε2t |Ft−1 ], (l) E[σt |Ft−1 ], (m) D[εt ], (n) D[εt |Ft−1 ], (o) limh→∞ E[σT2 +h |FT ]. 2 2 Задача 8. Для стандартного GARCH(1,1)-процесса εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1 + γ · ε2t−1 математическое ожидание E[E[ε2t |Ft−2 ]] равно 2 (a) σt−2 , (b) ε2t , (с) σt2 E[ξt2 |Ft−2 ], 2 E[ξt2 |Ft−2 ], (d) σt−2 (e) ω . 1−δ−γ 2 + 0.3 · ε2t−1 . Задача 9. Рассматривается GARCH(1,1)-процесс εt = σt · ξt , σt2 = 0.1 + 0.6 · σt−1 Известно, что σT = 1, εT = 1. Тогда (a) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.6 · σT2 +1 + 0.3 · ε2T +1 , (b) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.6 · E[σT2 +1 |FT ] + 0.3 · E[ε2T +1 |FT ], (c) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · E[σT2 +1 |FT ], (d) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · E[ε2T +1 |FT ], (e) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · (0.1 + 0.6 · σT2 + 0.1 · ε2T ). 2 Задача 10. Рассматривается модель Yt = c + β · t + εt , εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1 +γ· 2 εt−1 . Относительно GARCH-части процесса выдвигаются стандартные предположения. В этом случае логарифмическая функция правдоподобия равна q PT PT 2 ε2t 2 t=1 (yt −ȳ) , ε0 = 0, εt = yt − c − β · t, σt2 = (a) l = t=1 (ln(2π) + ln(σt ) − σt2 ), где σ0 = T −1 2 + γ · ε2t−1 при t ≥ 1. ω + δ · σt−1 q PT PT 2 ε2t 2 2 t=1 (yt −ȳ) (b) l = t=1 (ln(2π)+ln(σt )− σ2 ), где σ0 = , ε0 = 0, εt = yt −c, σt2 = ω+δ·σt−1 +γ·ε2t−1 T −1 t при t ≥ 1. q PT PT 2 ε2t 1 2 t=1 (yt −ȳ) (c) l = − 2 t=1 (ln(2π) + ln(σt ) + σ2 ), где σ0 = , ε0 = 0, εt = yt − c − β · t, T −1 t 2 2 2 σt = ω + δ · σt−1 + γ · εt−1 при t ≥ 1. q PT PT 2 ε2t 1 2 t=1 (yt −ȳ) (d) l = − 2 t=1 (ln(2π) + ln(σt ) + σ2 ), где σ0 = , ε0 = 0, εt = yt − c, σt2 = ω + δ · T −1 t 2 σt−1 + γ · ε2t−1 при t ≥ 1. q PT PT 2 ε2t 2 t=1 (yt −ȳ) , ε0 = 0, εt = yt − c − β · t, (e) l = −0.5 t=1 (ln(2π) − ln(σt ) + σ2 ), где σ0 = T −1 t 2 2 2 σt = ω + δ · σt−1 + γ · εt−1 при t ≥ 1. 3