Силаева В.А., Силаев А.М. Оценивание параметров моделей

Силаева В.А., Силаев А.М.
Нижний Новгород, НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ФИНАНСОВЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНЕМ РЕЖИМОВ
Экономические процессы и явления часто подвержены резким, внезапным
и скрытым изменениям, которые адекватно описываются математическими моделями со скачкообразными изменениями параметров в случайные моменты
времени. В [1, 2] для описания нестационарного поведения экономических переменных используются модели марковских процессов в дискретном времени и
разработаны алгоритмы оценивания параметров регрессии со случайными скачкообразными изменениями режимов. В начале 1990 гг. в ряде работ [3 – 5] были
введены в рассмотрение модели авторегрессионной условной гетероскедастичности с марковскими случайными переключениями параметров и исследованы
свойства так называемых SWARCH моделей. В то же время достаточно часто на
практике возникают задачи оценивания параметров финансовых временных рядов, когда необходимо учитывать всего одно возможное переключение режимов
на интервале наблюдения.
Рассмотрим следующую модель множественной регрессии без переключений
yt  xt  et ,
t  1, 2,
,T ;
(1)

где yt – объясняемая переменная, xt  xt1 , , xtk  – вектор-столбец размерности k наблюдаемых линейно независимых регрессоров,    1 ,

вектор-столбец размерности k , et ~ N 0, 2


, k  –
–независимые гауссовские случай-
ные величины с нулевым средним значением и дисперсией  2 , T – интервал

времени наблюдений. Для оценки параметров модели  , 2

в этом простом
случае логарифм функции правдоподобия
ln L   ,
   ln  P  y , x
T
2
s 1
t
t
 ,
2

 1
  yt  xt 2  
  ln 
exp  

2


 2 2
2

t 1



T
2
максимизируется относительно  и  . В результате формируются оценки максимального правдоподобия
2
1
T
2
 T
  T

2
ˆ


ˆ
;


y

x

T . (2)

x
x
x
y

ML
t
t ML
ML
 t t   t t 
t 1
 t 1
  t 1

Наблюдаемые временные ряды финансовых показателей в реальности

ˆ

демонстрируют эмпирические особенности (кластеризация волатильности,
левередж-эффект, долгая память, негауссовость доходностей), см., например, рис. 1.
Дневная доходность индекса РТС
0.25
30
0.2
20
0.15
10
0.1
0.05
0
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
0
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.1
0.15
0.2
0.25
Empirical CDF
1
-0.05
F(x)
-0.1
-0.15
0.5
-0.2
0
-0.25
-0.25
Сентябрь 1995 Сентябрь 1999 Сентябрь 2003 Сентябрь 2007 Сентябрь 2011
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
Автокорреляционная функция квадратов доходности индекса РТС
Автокорреляционная функция доходности индекса РТС
0.8
Sample Autocorrelation
0.8
Sample Autocorrelation
0.05
(б)
(а)
0.6
0.4
0.2
0.6
0.4
0.2
0
0
-0.2
0
x
-0.2
0
10
20
30
40
50
Lag
(в)
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
Lag
60
70
80
90
(г)
Рис. 1. Графики дневной доходности индекса РТС (а), эмпирической плотность вероятности и интегральной функции распределения доходности (б),
автокорреляционной функции доходности индекса РТС (в) и автокорреляционной функции квадрата доходности индекса РТС (г).
100
3
К настоящему времени хорошо изучены модели авторегрессионной
условной гетероскедастичности (ARCH) и их разновидности, которые позволяют
получить более точные оценки параметров моделей финансовых времен-
ных рядов. Будем предполагать, что доходность некоторого финансового актива
описывается уравнением вида, учитывающим возможность скачкообразного изменения параметров
 xt 0    t0  , t   ;
yt  
1
1
 xt   t , t   ;
t  1, 2,, T .
(3)

Здесь yt – объясняемая переменная, xt  xt1 , , xtk  – вектор-столбец размерности k наблюдаемых линейно независимых регрессоров,  0  и  1 – векторы оцениваемых параметров размерности k ,  tl    tl et , l  0,1 ;  – дискретная случайная величина, для которой задано априорное геометрическое распределение вероятностей P     1  
 1
,   1, 2, 3,. Уравнение для услов-
ной дисперсии для различных режимов работы в модели выглядит как в модели
GARCH(p, q):
 σ l    c l  
 t 
2
p

j 1
a l  σ l 
  bl  ε l   ,
j  t j
i  t i
i 1
2
q
2



c l   0; a jl   0; bil   0; j  1, p ; i  1, q; l  1, 2 .
Для удобства введем векторы неизвестных параметров модели


 l   l  , c l  , a1l  ,, a pl  , b1l  ,, bql  , l  1, 2 .
Задача состоит в том, чтобы найти оценки параметров  0 ,  1 и момента
 по реализациям наблюдений y1T  y1 , y2 ,, yT , x1T  x1 , x2 ,, xT .
Если ввести в рассмотрение случайную последовательность
0, t   ,
st  
1, t   ,
то уравнение модели (3) можно представить в виде
yt  xt st    tst  , t  1,2,
,T ;
(4)
4
где s t принимает в каждый момент дискретного времени значения 0 или 1. Последовательность s t является марковской цепью с вероятностями начальных значений Ps0  1  p1 , Ps0  0  1  p1 и переходными вероятностями
Pst  0 st 1  0  p00  1   , Pst  1 st 1  0  p01   ,
Pst  0 st 1  1  p10  0 , Pst  1 st 1  1  p11  1 .
Особенностью задачи является то, что при заранее известном значении момента
переключения  оценки параметров  0 ,  1 вычисляются методом максимально
правдоподобия как в обычной модели GARCH(p, q). С другой стороны, при фиксированных значениях  0 ,  1 можно найти максимального правдоподобия последовательности s t – индикатора появления скачкообразного изменения параметров и затем найти оценку величины  .
Для нахождения оценок максимального правдоподобия



sˆ0T  arg max P y1T , x1T s0T , 0 , 1  arg max P y1T , x1T , s0T  0 , 1
s0T
s0T

(5)
реализации s0T используется алгоритм Витерби [6], который основан на возможности представления функции правдоподобия в (5) с учетом марковости процесса st в виде произведения вероятностей:
P

y1T , x1T , s0T  0 , 1
  Ps0  P yt , xt st , 0 ,1 Pst 1 st 
T
(6)
t 1
Отсюда видно, что оценку максимального правдоподобия (5) последовательности st можно вычислять рекуррентно. Cначала находятся функции
 0 s1   max Ps1 s0 Ps0  ;
s0
 t st 1   max Pst 1 st P yt , xt st , 0 ,1  t 1st  ;
st
P  yt , xt st , 0 , 1  
1

2  tst 

2

 y  x   s t 
t
exp   t

st  2
2 t



  , t  1,,T  1 ;
2


(7)
5
и запоминаются аргументы максимумов
0 s1   arg max Ps1 s0 Ps0 ;
(8)
s0
t st 1   arg max Pst 1 st P yt , xt st , 0 ,1  t 1 st  , t  1,2,, T  1.
st
Затем находится оценка последнего значения последовательности
sˆT  arg max P yT , xT sT , 0 ,1 T 1 sT 
(9)
sT
и в обратном времени восстанавливаются оценки предыдущих значений
sˆt  t sˆt 1  ,
t  T  1, T  2,,0 .
(11)
Для того, чтобы получить оценки параметров ˆ 0 и ˆ1 совместно с оценками sˆ0T
используется EM алгоритм (“expectation and maximization”) [7], который
предполагает чередование процедур оценки параметров  0 ,  1 и оценки
последовательности st . Сначала при некоторых априорно заданных наборах параметров ˆ 00  и ˆ 10  по формулам (7) – (11) вычисляются оценки
1
sˆ0T . Затем, на основе sˆ0T
1
вычисляются новые оценки параметров ˆ 01 и
ˆ 11 и т.д.:
ˆ 0k 1 , ˆ 1k 1  sˆ0T
k 
 ˆ 0 k  , ˆ 1 k  , k  1,2, K .
(12)
Для проверки работоспособности полученного алгоритма проводилось
компьютерное моделирование с помощью ряда тестовых примеров. Результаты
моделирования показывают, что точность оценивания в рассматриваемой модели
во многом зависит от того, как сильно различаются значения параметров до и
после скачка и от отношения «сигнал/шум» в данной задаче.
При малых значениях отношения сигнал/шум алгоритм характеризуется
сходимостью к значениям далеким от истинных. Но при достаточно больших
отношениях сигнал/шум возникает сходимость алгоритма к значениям, близким
к истинным. Процесс успешной настройки параметров в ходе итераций сопровождается ростом максимального значения функции правдоподобия. Точность
6
оценивания параметров модели улучшается с увеличением интервала наблюдений T .
Проверка работоспособности алгоритма проводилась также с помощью
обработки реальных данных – рядов суточных доходностей ценных бумаг, допущенных к обращению в торговой системе РТС. Результаты позволяют сделать
вывод, что предлагаемый алгоритм оценивания параметров моделей финансовых
временных рядов можно использовать на практике наряду с другими специально
разработанными для этой цели процедурами оценивания.
Литература
1. Hamilton J.D. Time series analysis. – Princeton, N.J. Princeton University Press,
1994.
2. Kim C.-J., Nelson C.R. State-space models with regime-switching: classical and
Gibbs-sampling approaches with applications. – MIT Press, 1999.
3. Hamilton J. D., Susmel R. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity and
Changes in Regime // Journal of Econometrics, 1994. V. 64. Pp. 307-333.
4. Cai J. A Markov Model of Switching-Regime ARCH // Journal of Business &
Economic Statistics, 1994. V. 12 . Pp. 309-316.
5. Dueker M.J. Markov Switching in GARCH Processes and Mean-Reverting
Stock-Market Volatility // Journal of Business & Economic Statistics, 1997. V.
15, No. 1. Pp. 26-34.
6. Forney G.D. Jr. The Viterbi Algorithm // Proc. of the IEEE. 1973. V. 61. N. 3.
P. 268–278.
7. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Maximum likelihood from incomplete
data via the EM algorithm // J. R. Stat. Soc. 1977.Ser. B39. P. 1-38.