2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n — натуральное число): 1) xn + 3 + xn;3) z3n - zn; 2) yn + 2 - yn - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 · 5n + 2 - 3 · 5n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Объясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой f, найдите f (2), f (-5), f (0). Какая из данных формул задаёт функцию f: 1) y = x;2) y = -x;3) y = | x|;4) y = x2? 3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие Если множество содержит конечное количество элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Пустое множество считают конечным. Например, множество учащихся вашего класса — конечное множество, а множество натуральных чисел — бесконечное множество. Если A — конечное множество, то количество его элементов обозначают так: n (A). Понятно, что n (∅) = 0. Например, если A — это множество дней недели, то n (A) = 7; если B — это множество двузначных чисел, то n (B) = 90. Пусть A и B — такие конечные множества, что A ∩ B = ∅. Тогда очевидно, что n (A ∪ B) = n (A) + n (B). (1) Если A и B — конечные множества, причём A ∩ B ≠ ∅ (рис. 3.1), то в сумму n (A) + n (B) дважды входит количество элементов их пересечения, т. е. дважды учитывается число n (A ∩ B). Следовательно, в этом случае n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B) (2) Если A ∩ B = ∅, то n (A ∩ B) = 0. Поэтому формула (2) является обобщением формулы (1). Пример 1. В математическом классе 25 учащихся, и все они любят математику. Известно, что 23 ученика любят алгебру, а 21 — геометрию. Сколько учащихся этого класса любят и алгебру, и геометрию? Решение. Пусть A — множество учащихся, которые любят алгебру, B — множество учащихся, которые любят геометрию. Тогда n (A) = 23, 18 n (B) = 21, n (A ∪ B) = 25. Вместе с тем A ∩ B — множество учащихся, которые любят и алгебру, и геометрию. Из формулы (2) получаем n (A ∩ B) = n (A) + n (B) - n (A ∪ B) = 23 + 21 - 25 = 19. Ответ: 19 учащихся. Выясним, как найти количество элементов множества A ∪ B ∪ C, где A, B и C — конечные множества. Если A ∩ B ∩ C = ∅ (рис. 3.2), то n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (B ∩ C) - n (C ∩ A). (3) Если A ∩ B ∩ C ≠ ∅ (рис. 3.3), то в правой части формулы (3) не учтено количество общих элементов множеств A, B и C. Следовательно, в этом случае формула принимает вид: n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (B ∩ C) - n (C ∩ A) + n (A ∩ B ∩ C) A A B A B B C C 3.1 (4) 3.2 3.3 Аналогичную формулу можно получить для любого количества множеств. Её называют формулой включения-исключения. Пример 2. В спортивной школе есть три секции: акробатики, баскетбола, волейбола. Известно, что школу посещают 200 школьников, а каждую из секций — 80 школьников. Докажите, что найдётся не менее 14 школьников, которые посещают одни и те же две секции. Решение. Обозначим множества школьников, посещающих секции акробатики, баскетбола и волейбола, буквами А, Б и В соответственно. Тогда n (A ∪ Б ∪ В) = 200, n (A) = n (Б) = n (В) = 80. Подставим указанные значения в формулу (4): 200 = 80 + 80 + 80 - n (A ∩ Б) - n (Б ∩ В) - n (В ∩ A) + n (A ∩ Б ∩ В). Отсюда n (A ∩ Б) + n (Б ∩ В) + n (В ∩ A) = 40 + n (A ∩ Б ∩ В). Тогда n (A ∩ Б) + n (Б ∩ В) + n (В ∩ A) I 40. 19 Если предположить, что каждое из чисел n (A ∩ Б), n (Б ∩ В), n (В ∩ A) не превосходит 13, то их сумма не превосходит 39. Получили противоречие. Нам нередко приходится сравнивать количества элементов конечных множеств. Как узнать, хватит ли в школьной библиотеке учебников по алгебре для восьмиклассников? Конечно, можно посчитать учащихся и отдельно пересчитать учебники. А можно выдать учебники учащимся. И если, например, всем учебников хватило, а в библиотеке не осталось ни одного учебника, то это означает, что восьмиклассников и учебников по алгебре одинаковое количество. Так же, чтобы узнать, хватит ли стульев в классе, совсем не обязательно их пересчитывать. Достаточно попросить учащихся сесть на стулья. И если, например, мест хватило не всем, то это означает, что количество учащихся больше, чем количество стульев. В этих примерах, сравнивая количество элементов двух множеств A и B, мы рассматриваем пары вида (a; b), где a ∈ A и b ∈ B. Воспользуемся этим приёмом в следующем примере. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Пример 3. Сравните количество элементов множества A двузначных чисел и множества B трёхзначных чисел, десятичная запись которых оканчивается цифрой 1. Решение. Поставим в соответствие каждому двузначному числу то трёхзначное число, которое получается из него приписыванием справа цифры 1. Получим: 10, 11, 12, …, 98, 99 101, 111, 121, …, 981, 991 Таким образом, каждому элементу множества А мы поставили в соответствие единственный элемент множества В. Заметим, что при таком соответствии каждый элемент множества B оказался «соответствующим единственному элементу множества А». Действительно, если в числе вида ab1 зачеркнуть последнюю цифру, то получим двузначное число ab. Установленное соответствие между элементами множеств A и B позволяет сделать вывод, что n (A) = n (B). Определение Если каждому элементу множества A поставлен в соответствие единственный элемент множества B и при этом любой элемент множе- 20 2) 2 1 3 − = ; x 2 − 9 2 x 2 − 12 x + 18 2 x 2 + 6 x 3) 9 x + 12 1 1 − = 2 . x 3 − 64 x − 4 x + 4 x + 16 11.17. Решите уравнение: 1) 4 y + 24 y+3 y−3 + = 2 ; y + 3y 5 y2 − 45 5 y2 − 15 y 2) y+2 y+3 1 − = 2 . 3 y + 4 2 8y + 1 8y − 4y + 2 Упражнения для повторения 11.18. На конец года численность населения города составляла 72 100 жи- телей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3 %. 11.19. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями? 11.20. Докажите, что при любом значении переменной данное выражение принимает неотрицательное значение: 1) (a - 5)2 - 2(a - 5) + 1; 2) (a - b)(a - b - 8) + 16. 11.21. Решите уравнение: 1) bx = 2; 2) (a - 1)x = a - 1. 11.22. При каких натуральных значениях a корень уравнения является натуральным числом: 1) (a + 2)x = 5; 2) (a + 3)x = 6? 12 Рациональные уравнения с параметрами Рассмотрим линейное уравнение ax = 1. Если a = 0, то данное уравнение корней не имеет. Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственный корень x = 1 . a Решая это уравнение, мы придавали буквам a и x разный смысл: буква x играла роль неизвестного числа, а буква a — роль известного числа. В таких случаях говорят, что a является параметром, а уравнение называют уравнением с параметром. Подчеркнём двойственную природу параметра: с одной стороны, мы считаем параметр фиксированным числом, с другой — это число не83 известно. Именно это не позволяет, решая уравнение ax = 1, записать в ответе x = 1 . Мы должны рассматривать два случая: a = 0 и a ≠ 0. a Хотя термин «параметр» для вас новый, ситуации, в которых фиксированное число обозначалось буквой, уже встречались. Например, линейным уравнением называют уравнение вида ax = b. Здесь a и b — параметры. Линейную функцию задают формулой y = kx + b, где k и b — параметры. В курсе алгебры 7 класса вам не раз приходилось решать уравнения с параметрами (например, задачи 2.32, 2.33, 2.36). Процесс решения заключался в построении алгоритма, позволяющего для любого значения параметра найти соответствующее множество корней. x 2 + ax − 2 = x − a. x +2 x 2 + ax − 2 − ( x + 2)( x − a) Решение. = 0; x +2 Пример 1. Решите уравнение 2ax − 2 x + 2a − 2 x 2 + ax − 2 − x 2 + ax − 2 x + 2a = 0; = 0. x +2 x +2 Полученное уравнение равносильно системе: 2ax − 2 x + 2a − 2 = 0, x(a − 1) = 1 − a, Отсюда x ≠ −2. x ≠ −2. Если a = 1, то уравнение системы становится таким: 0x = 0, и его корнем является любое число. С учётом ограничения x ≠ -2 приходим к выводу, что при a = 1 множеством корней исходного уравнения является {x | x ≠ -2}. Если a ≠ 1, то получаем: x = 1 − a , x = −1, a −1 x ≠ −2. x ≠ −2; Отсюда x = -1. Ответ: если a = 1, то корнем уравнения является любое число, кроме -2; если a ≠ 1, то x = -1. Пример 2. Решите уравнение Решение. Имеем: 84 b( x + 1) b + 1 + = b. x x −1 b( x + 1)( x − 1) + x(b + 1) − bx( x − 1) = 0; x( x − 1) 3 Основы теории делимости Изучив материал этой главы, вы познакомитесь с целым рядом понятий и теорем, связанных с делимостью целых чисел. Научитесь доказывать свойства и признаки делимости нацело на 3, на 9, на 11. Познакомитесь с эффективным приёмом нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. Узнаете об особой роли простых чисел. Изучите основную теорему арифметики. 16 Делимость нацело и её свойства Определение Говорят, что целое число a делится нацело на целое число b (b ≠ 0), если существует такое целое число k, что a = bk. Если целое число a делится нацело на целое число b, то пишут: a b. Например, 12 -3, 0 1000, -2 -1. Если a b, то число b называют делителем числа a, а число a — кратным числа b. Также говорят, что число a кратно числу b. Например, {-4, 4, -2, 2, -1, 1} — множество делителей числа 4; {3k | k ∈ Z} — множество чисел, кратных числу 3. Рассмотрим основные свойства делимости нацело (буквами обозначены целые числа). 1. 2. 3. 4. 5. 6. Если Если Если Если Если Если a ≠ 0, то a a. a ≠ 0, то 0 a. a b, то ka b. a b и b c, то a c. a m и b n, то ab mn. a c и b c, то (a ± b) c. Эти свойства доказывают с помощью определения деления нацело. Докажем, например, свойство 6 (остальные свойства докажите самостоятельно). Так как a c и b c, то существуют такие целые числа m и n, что a = mc и b = nc. 117 Имеем: a ± b = mc ± nc = (m ± n)c. Так как (m ± n) ∈ Z, то по определению делимости нацело получаем, что (a ± b) c. Пример 1. Целые числа a, b и c таковы, что (a + b) c, ab c. Докажите, что (a3 - b3) c. Решение. Имеем: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) = (a - b)((a + b)2 - ab). Так как (a + b)2 c и ab c, то по свойству 6 получаем, что ((a + b)2 - ab) c. Тогда из свойства 3 следует справедливость доказываемого утверждения. Решить уравнение с двумя переменными в целых (натуральных) числах означает найти все пары целых (натуральных) чисел, являющиеся решениями этого уравнения. Пример 2. Решите в целых числах уравнение x2 + xy - x - y = 5. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем: x (x + y) - (x + y) = 5; (x + y)(x - 1) = 5. Отсюда получаем, что значения выражений x + y и x - 1 являются делителями числа 5. Тогда возможны четыре случая: y = 3, x + y = 5, 1) Отсюда x = 2; x − 1 = 1. x 2) x x 3) x + y = 1, y = −5, Отсюда − 1 = 5. x = 6; + y = −5, y = −5, Отсюда − 1 = −1. x = 0; x + y = −1, y = 3, 4) Отсюда x − 1 = −5. x = −4. Ответ: (2; 3), (6; -5), (0; -5), (-4; 3). Пример 3. Целые числа x и y таковы, что (6x + 11y) 31. Докажите, что (x + 7y) 31. Решение. Запишем: x + 7y = 31(x + 2y) - 5(6x + 11y). Из условия и свойства 3 следует, что 5(6x + 11y) 31. Кроме того, 31(x + 2y) 31. Тогда по свойству 6 разность 31(x + 2y) - 5(6x + 11y) делится нацело на 31. Пример 4. Решите в целых числах уравнение x2 - y2 = 14. Решение. Имеем: (x + y)(x - y) = 14. Далее можно воспользоваться методом, описанным в примере 2. Однако эффективнее воспользоваться 118 3 Делимость нацело Говорят, что целое число a делится нацело на целое число b (b ≠ 0), если существует такое целое число k, что a = bk. Основные свойства делимости нацело 1. Если a ≠ 0, то a a. 2. Если a ≠ 0, то 0 a. 3. Если a b, то ka b. 4. Если a b и b c, то a c. 5. Если a m и b n, то ab mn. 6. Если a c и b c, то (a ± b) c. Деление с остатком Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r таких, что a = bq + r, где 0 J r H b. Числа, сравнимые по модулю Целые числа a и b называют сравнимыми по модулю m, где m ∈ N, если эти числа дают одинаковые остатки при делении на число m. Пишут: a ≡ b (mod m). Необходимое и достаточное условие сравнимости чисел Для того чтобы целые числа a и b были сравнимы по модулю m, где m ∈ N, необходимо и достаточно, чтобы разность a - b делилась нацело на число m. Основные свойства сравнений 1. Если a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), то a ≡ c (mod m). 2. Если a ≡ b (mod m), то a + c ≡ b + c (mod m). 3. Если a ≡ b (mod m), то ac ≡ bc (mod m). 4. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a ± c ≡ b ± d (mod m). 5. Если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то ac ≡ bd (mod m). 6. Если a ≡ b (mod m), то an ≡ bn (mod m). Свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного • Если a G b, то НОД (a; b) = НОД (a - b; b). 158 • Если число r — остаток при делении числа a на число b, т. е. a = bq + r, где 0 H r H b, то НОД (a; b) = НОД (b; r). • НОК (a; b) является делителем любого общего кратного чисел a и b. ab является общим кратным чи• Если a c и b c, то число c сел a и b. • НОК (a; b) · НОД (a; b) = ab. Взаимно простые числа Если НОД (a; b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Свойства взаимно простых чисел Если НОД (a; b) = 1, то НОК (a; b) = ab. Если НОД (b; c) = 1, a b и a c, то a bc. Если НОД (a; b) = 1 и ac b, то c b. Признаки делимости • Признак делимости на 9: натуральное число делится нацело на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится нацело на 9. • Признак делимости на 3: натуральное число делится нацело на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится нацело на 3. • Признак делимости на 11: натуральное число делится нацело на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр с чётными номерами и суммой цифр с нечётными номерами делится нацело на 11. Простые числа Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных натуральных делителя: единицу и само это число. Составные числа Натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей, называют составным. Свойства простых чисел • Множество простых чисел бесконечно. • Если простое число p1 делится нацело на простое число p2, то p1 = p2. • Для любого натурального числа n и данного простого числа p справедливо одно из двух утверждений: n p или НОД (n; p) = 1. 159 Оглавление Глава 1 § 1. § 2. § 3. Множества и операции над ними Множество. Подмножества данного множества . . . . . . . . . . . . Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Равномощные множества. Счётные множества . . . . . . . . . . . . • «Я вижу это, но никак не могу этому поверить!» . . . . . . . . . . Итоги главы 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2 § 5. § 6. § 7. Рациональные выражения Рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основное свойство рациональной дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Тождественные преобразования рациональных выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Рациональные уравнения с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Степень с целым отрицательным показателем . . . . . . . . . . . . . § 14. Свойства степени с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 15. Функция y = 4 11 18 25 29 33 34 38 48 53 60 67 73 83 89 97 k и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 x Итоги главы 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Глава 3 Основы теории делимости § 16. Делимость нацело и её свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 17. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства . . § 18. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 19. Признаки делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 20. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • О проблемах, связанных с простыми числами . . . . . . . . . . . . . Итоги главы 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 122 131 138 143 152 158 383 Глава4 Неравенства § 21. Числовые неравенства и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 22. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 23. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки . § 24. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 25. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля . . . . . . . Итоги главы 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5 Квадратные корни. Действительные числа § 26. Функция y = x2 и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 27. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень . • Растут ли в огороде радикалы? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 28. Множество действительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Когда тайное становится явным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • О счётности числовых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 29. Свойства арифметического квадратного корня . . . . . . . . . . . . § 30. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни . . . . . . . . . . 161 168 174 185 196 207 211 217 228 229 237 239 240 250 § 31. Функция y = x и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Итоги главы 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Глава 6 Квадратные уравнения § 32. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 33. Формула корней квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 34. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 35. Квадратный трёхчлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 36. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 37. Решение уравнений методом замены переменной . . . . . . . . • Тайное оружие Сципиона дель Ферро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 38. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 39. Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 40. Корни многочлена. Теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 41. Целое рациональное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Итоги главы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 328 332 338 342 Проектная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дружим с компьютером . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Алфавитно-предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 350 359 380 272 278 289 296 304 310 322