Оценка статистических характеристик множества достижимости

Известия вузов. Математика
2013, № 11, c. 20–32
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: [email protected]
Л.И. РОДИНА
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОЖЕСТВА
ДОСТИЖИМОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Аннотация. Исследуется расширение понятия инвариантности множеств относительно управляемых систем и дифференциальных включений. Это расширение состоит в изучении статистически инвариантных множеств и статистических характеристик множества достижимости
управляемых систем. Получена оценка снизу для нижней относительной частоты поглощения множества достижимости системы заданным множеством, а также достаточные условия
статистической инвариантности множества относительно управляемой системы. Приведены
примеры вычисления статистических характеристик для линейной задачи Коши и линейной
управляемой системы с почти периодическими коэффициентами.
Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, статистически инвариантные множества.
УДК: 517.977
Введение
Одной из важных задач теории управляемых процессов является задача исследования
инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений. Данной тематике посвящены работы Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского,
Ж.-П. Обена, А.И. Субботина, Н.Н. Субботиной, Е.Л. Тонкова, В.Н. Ушакова, Т.Ф. Филипповой, Ф. Хартмана и многих других авторов. Значительно меньше публикаций посвящено вопросам изучения множеств, не являющихся инвариантными [1], [2]. В этих работах
введено и исследовано понятие дефекта инвариантности для множеств, не обладающих
свойством инвариантности. В работах [3]–[6] также исследуются множества, не являющиеся инвариантными в “классическом” смысле и для таких множеств вводится естественное
расширение понятия инвариантности, которое названо статистической инвариантностью.
Множество M называется статистически инвариантным относительно управляемой системы, если относительная частота поглощения множества достижимости D(t, X) управляемой
системы множеством M равна единице.
Данная статья является продолжением работ [3]–[7], которые посвящены изучению таких характеристик множества достижимости D(t, X) управляемой системы, как относительная частота поглощения, верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества D(t, X) заданным множеством M. В работе получены оценки этих характеристик
Поступила 23.07.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-01-00195.
20
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
21
для управляемых систем с почти периодическими коэффициентами. Рассматривается также следующая задача: для заданного числа λ0 ∈ (0, 1] необходимо найти условия, которым
должна удовлетворять управляемая система и множество X, чтобы относительная частота
поглощения множества достижимости D(t, X) системы множеством M была не менее λ0 .
1. Основные определения
В работе исследуются статистические характеристики множества достижимости управляемой системы
ẋ = f (t, x, u), (t, x, u) ∈ R × Rn × Rm .
(1.1)
Рассмотрим отвечающее системе (1.1) дифференциальное включение
ẋ ∈ F (t, x),
(1.2)
где H(t, x) представляет собой множество всех предельных значений функции f t, x, U (t, x)
при (ti , xi ) → (t, x), co H(t, x) — замыкание выпуклой оболочки множества H(t, x). Предположим, что правая часть (1.2) принимает значения в пространстве conv(Rn ), состоящем
из непустых компактных выпуклых подмножеств евклидова пространства Rn с метрикой
Хаусдорфа; функция f (t, x, u) непрерывна по совокупности переменных, а функция U (t, x)
полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа.
Обозначим через D(t, X) множество достижимости системы (1.1) в момент времени t
из начального множества X. Предположим, что для каждого X множество достижимости
D(t, X) существует для всех t 0. Это означает, что для каждой точки x ∈ X существует
решение ϕ(t, x) включения (1.2), удовлетворяющее начальному условию ϕ(0, x) = x и продолжаемое на полуось R+ = [0, ∞). С целью исследования статистической инвариантности
множеств в работах [3]–[7] введены и изучены такие характеристики, как относительная
частота freq(X), верхняя и нижняя относительные частоты freq∗ (X), freq∗ (X) поглощения
множества достижимости D(t, X) управляемой системы (1.1) заданным подмножеством
M = (t, x) ∈ Rn+1 : x ∈ M (t)
F (t, x) = co H(t, x),
пространства Rn+1 . Для определения этих характеристик введем
. α(ϑ, X) = t ∈ [0, ϑ] : D(t, X) ⊆ M (t) .
Определение 1.1 ([3], [4]). Относительной частотой поглощения множества достижимости
D(t, X) системы (1.1) множеством M называется предел
mes α(ϑ, X)
mes{t ∈ [0, ϑ] : D(t, X) ⊆ M (t)}
.
= lim
,
(1.3)
freq(X) = lim
ϑ→∞
ϑ→∞
ϑ
ϑ
где mes — мера Лебега на числовой прямой. Если предел (1.3) не существует, то характеристики
mes α(ϑ, X)
mes α(ϑ, X)
.
.
, freq∗ (X) = lim
freq∗ (X) = lim
ϑ→∞
ϑ
ϑ
ϑ→∞
называются соответственно верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости D(t, X) системы (1.1) множеством M .
Определение 1.2 ([3], [4]). Множество M называется статистически инвариантным
относительно управляемой системы (1.1), если предел
.
mes t ∈ [0, ϑ] : D t, M (0) ⊆ M (t)
freq M (0) = lim
ϑ→∞
ϑ
22
Л.И. РОДИНА
существует и имеет место равенство freq M (0) = 1.
Фиксируем положительное число r. Обозначим через M r (t) = M (t) + Or (0) замкнутую
окрестность множества M (t) в Rn , через N+r (t) = M r (t) \ M (t) — внешнюю r-окрестность
границы M (t). Также рассмотрим множество N+r = {(t, x) ∈ Rn+1 : x ∈ N+r (t)}.
Определение 1.3 ([3]). Скалярная функция V (t, x) называется функцией А.М. Ляпунова
(относительно заданного множества M ), если она удовлетворяет локальному условию Липшица и выполнены условия
1) V (t, x) 0 при всех (t, x) ∈ M ,
2) V (t, x) > 0 для всех (t, x) ∈ N+r .
Определение 1.4 ([8], с. 17). Для локально липшицевой функции V (t, x) обобщенной
производной в точке (t, x) ∈ Rn+1 по направлению вектора q ∈ Rn (производной Ф. Кларка)
называется
V (ϑ + ε, y + εq) − V (ϑ, y)
.
lim sup
,
V o (t, x; q) =
ε
(ϑ,y,ε)→(t,x,+0)
а выражения
.
.
o
o
(t, x) = inf V o (t, x; q), Vmax
(t, x) = sup V o (t, x; q)
Vmin
q∈F (t,x)
q∈F (t,x)
называются нижней и верхней производными функции V в силу включения (1.2).
Определение 1.5 (см., например, [9], c. 367–368; [10], c. 7). Функция ϕ(t) называется почти периодической в смысле Бора, если она непрерывна и для всякого ε > 0 множество
ε-почти периодов
. Θ(ε) = τ ∈ R : sup ϕ(t + τ ) − ϕ(t) ε
t∈R
относительно плотно на действительной оси R, т. е. существует число > 0 такое, что
каждый отрезок [a, a + ] длины содержит хотя бы один элемент данного множества.
Рассмотрим скалярную задачу Коши
ż = w(t, z),
z(0) = z0 ,
t 0.
(1.4)
Предполагаем, что z0 0 и выполнено
Условие 1.1. Имеют место следующие свойства:
1) для каждого z ∈ R функция t → w(t, z) почти периодическая в смысле Бора;
2) функция w(t, z) непрерывна по совокупности переменных и выполнено неравенство
lim
|z|→∞
|w(t, z)|
< ∞;
|z|
3) для каждого z ∈ R
mes{t ∈ [0, ϑ] : w(t, z) = 0}
= 0.
ϑ→∞
ϑ
lim
Напомним, что верхним решением z ∗ (t) задачи Коши (1.4) называется такое решение,
что для любого другого решения z(t) этой задачи на общем интервале существования выполнено неравенство z ∗ (t) z(t). В работе ([11], с. 38) показано, что если функция w(t, z)
непрерывна, то верхнее решение z ∗ (t) задачи Коши (1.4) существует для всех t 0.
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
23
Одной из задач, которая рассматривается в этой работе, является задача определения
условий существования и вычисления предела
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t) 0}
.
.
κ = lim
ϑ→∞
ϑ
В частности, известно, что предел κ существует, если функция z ∗ (t) почти периодическая
в смысле Бора ([9], c. 379).
Замечание 1.1. Отметим, что характеристика κ является относительной частотой попадания верхнего решения z ∗ (t) задачи Коши (1.4) в множество (−∞, 0] и ее можно рассматривать как меру данного множества. Для изучения свойств этой характеристики для любого
борелевского множества B ∈ B(R) определим следующую функцию множеств:
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t) ∈ B}
.
.
µ(B) = lim
ϑ→∞
ϑ
∗
Если функция z ∗ (t) — периодическая с периодом T , то µ(B) = mes{t∈[0,TT] : z (t)∈B} , поэтому из свойств меры Лебега следует, что функция множеств µ является счетно аддитивной
вероятностной мерой. Однако существуют функции z ∗ (t), для которых мера µ(B) только
1 ко
∗
−t
нечно аддитивная. Например, рассмотрим функцию z (t) = e и множества Bi = i+1 , 1i ,
i = 1, 2, . . . , для каждого из которых µ(Bi ) = 0, а
∞
mes{t ∈ [0, ϑ] : e−t ∈ (0, 1)}
= 1,
Bi = µ (0, 1) = lim
µ
ϑ→∞
ϑ
i=1
т. е. свойство счетной аддитивности не выполнено. В связи с этим примером возникает
естественный вопрос — является ли µ счетно аддитивной мерой, если функция z ∗ (t) почти
периодическая в смысле Бора?
Лемма 1.1. Если функция z ∗ (t) почти периодическая в смысле Бора, то функция множеств
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t) ∈ B}
µ(B) = lim
ϑ→∞
ϑ
является счетно аддитивной вероятностной мерой на измеримом пространстве (R, B(R)).
Доказательство. Воспользуемся теоремой Никодима ([12], с. 177; [13]). Пусть {µn }∞
n=1 —
последовательность счетно аддитивных скалярных функций, определенных на σ-алгебре
B. Если µ(B) = lim µn (B) существует для каждого B ∈ B, то µ счетно аддитивна
n→∞
на σ-алгебре B. Для каждого натурального n рассмотрим счетно аддитивные функции
множеств
. mes{t ∈ [0, n] : z ∗ (t) ∈ B}
.
µn (B) =
n
Если функция z ∗ (t) почти периодическая в смысле Бора, то предел µ(B) = lim µn (B)
n→∞
существует для каждого B ∈ B(R) ([9], с. 379), откуда в силу теоремы Никодима получаем, что µ(B) счетно аддитивна на B(R). Очевидно, что µ(R) = 1, поэтому µ(B) является
вероятностной мерой.
24
Л.И. РОДИНА
2. Оценка относительной частоты поглощения множества достижимости
управляемой системы
Предполагаем, что выполнено
Условие 2.1. Уравнение ż = w(t, z) имеет единственное почти периодическое решение z
(t)
и выполнено равенство
lim z ∗ (t) − z
(t) = 0,
t→∞
z ∗ (t)
— верхнее решение задачи Коши (1.4).
.
: z
(t)0}
(как указано выше, данный предел существует). В
Обозначим κ
= lim mes{t∈[0,ϑ]
ϑ
где
ϑ→∞
следующей теореме получена оценка для характеристики
mes t ∈ [0, ϑ] : D(t, X) ⊆ M (t)
.
,
freq∗ (X) = lim
ϑ
ϑ→∞
которая является нижней относительной частотой поглощения множества достижимости
D(t, X) системы (1.1) заданным множеством M = (t, x) ∈ Rn+1 : x ∈ M (t) .
Теорема 2.1. Пусть для каждой точки x ∈ M (0) все решения включения (1.2), удовлетворяющие начальному условию ϕ(0, x) = x, продолжаемы на полуось R+ = [0, +∞).
Предположим, что существуют функции V (t, x) и w(t, z) такие, что функция V (t, x) является функцией Ляпунова относительно множества M , функция w(t, z) удовлетворяет
условию 2.1 и при всех (t, x) ∈ R+ × Rn имеет место неравенство
o
(t, x) w t, V (t, x) .
(2.1)
Vmax
. Если при
Тогда для любого множества X ⊆ M (0) справедливо неравенство
freq∗ (X) κ
o (t, x) = w t, V (t, x) , то freq (X) = κ
.
всех (t, x) ∈ R+ × Rn выполнено равенство Vmax
∗
Следовательно, если κ
= 1, то множество M статистически инвариантно относительно управляемой системы (1.1).
Замечание 2.1. Условия, при которых все решения включения (1.2), удовлетворяющие
начальному условию ϕ(0, x) = x, продолжаемы на полуось R+ , получены в [4].
Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму, в которой исследуются свойства
характеристики
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t) c}
.
, где c ∈ R.
κ(c) = lim
ϑ→∞
ϑ
Лемма 2.1. Предположим,
z
(t) почти периодическая в смысле Бора. Если
что функция
выполнено равенство lim z ∗ (t) − z
(t) = 0 и для каждого c ∈ R
t→∞
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) = c}
= 0,
ϑ→∞
ϑ
lim
то имеют место свойства
1) для каждого c ∈ R предел κ(c) существует и выполнено равенство
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) c}
;
ϑ→∞
ϑ
2) для любого λ0 ∈ [0, 1] найдется число c = c(λ0 ) такое, что κ(c) = λ0 .
κ(c) = lim
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
25
Доказательство. Пусть z
(t) — почти периодическая функция, B(R) — σ-алгебра всех борелевских подмножеств R. Для любого B ∈ B(R) определим счетно аддитивную вероятностную меру (см. лемму 1.1)
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) ∈ B}
.
ϑ→∞
ϑ
.
Введем функцию ψ(t) = z ∗ (t) − z
(t) и числовую последовательность {ψk }∞
k=0 , где ψk =
sup |ψ(t)|. По условию леммы ψ(t) → 0 при t → ∞, поэтому ψk → 0 при k → ∞. Пусть задано
µ(B) = lim
tk
c ∈ R. Рассмотрим множество B = (−∞, c) и множества Bk = (−∞, c − ψk ], k = 0, 1, . . . .
Отметим, что {Bk }∞
k=1 является последовательностью измеримых множеств, сходящейся к
множеству B. Поскольку
мера µ счетно аддитивная, то она является непрерывной, поэтому
µ(B) = lim µ Bk . Таким образом, учитывая условие
k→∞
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) = c}
= 0,
µ {c} = lim
ϑ→∞
ϑ
получаем
(2.2)
µ (−∞, c] = µ (−∞, c) = lim µ Bk .
k→∞
Для множеств Ck = (−∞, c + ψk ], k = 0, 1, . . . , также верно µ (−∞, c] = lim µ Ck .
k→∞
Отметим, что при всех t k выполнено неравенство |ψ(t)| ψk , из которого следует
включение (предполагаем, что ϑ > k)
t ∈ [k, ϑ] : z
(t) + ψk c ⊆ t ∈ [k, ϑ] : z
(t) + ψ(t) c .
Таким образом, для каждого k ∈ N получаем неравенства
mes{t ∈ [0, ϑ] : z ∗ (t) c}
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) + ψ(t) c}
.
= lim
κ(c) = lim
ϑ→∞
ϑ→∞
ϑ
ϑ
mes{t ∈ [0, k] : z
(t) + ψ(t) c}
mes{t ∈ [k, ϑ] : z
(t) + ψk c}
+ lim
=
lim
ϑ→∞
ϑ→∞
ϑ
ϑ
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) + ψk c}
= µ Bk . (2.3)
= lim
ϑ→∞
ϑ
Переходя к пределу при k → ∞ в неравенстве κ(c) µ Bk , получаем
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) c} .
=κ
(c).
κ(c) µ (−∞, c] = lim
ϑ→∞
ϑ
Аналогично (2.3) можно показать, что верно неравенство κ(c) µ Ck , из которого следует
κ(c) κ
(c). Таким образом, для любого c ∈ R выполнено κ(c) = κ
(c). Если положим c = 0,
то получим κ = κ
.
Пусть задано λ0 ∈ [0, 1]. Рассмотрим функцию
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) c}
, c ∈ R.
ϑ→∞
ϑ
(c) = 0 для всех c < z− и κ
(c) = 1 для всех c z+ .
Пусть z− = inf z
(t), z+ = sup z
(t), тогда κ
κ
(c) = lim
t0
t0
Функция κ
(c) непрерывна (2.2) и возрастает на интервале (z− , z+ ). Поэтому для любого
(c) = λ0 . Если λ0 ∈ (0, 1), то значение c, для
λ0 ∈ [0, 1] найдется c ∈ [z− , z+ ] такое, что κ
которого κ
(c) = λ0 , единственно.
26
Л.И. РОДИНА
Доказательство теоремы 2.1. Пусть ϕ(t, x) — решение включения (1.2), определенное на
начальному условию ϕ(0, x) = x ∈ X. Рассмотрим функцию
полуоси R
+ и удовлетворяющее
v(t) = V t, ϕ(t, x) . В силу теоремы Радемахера v(t) дифференцируема при почти всех t и
поскольку ϕ(0, x) ∈ X ⊆ M (0), то v(0) 0. В точках дифференцируемости функции v(t)
выполнены неравенства ([3], лемма 6)
o
o
t, ϕ(t, x) v̇(t) Vmax
t, ϕ(t, x) ,
Vmin
поэтому с учетом (2.1) при всех t 0 имеем v̇(t) w t, v(t) . Из последнего неравенства
и v(0) 0 в силу теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах получаем, что
верхнее решение z ∗ (t) задачи (1.4) удовлетворяет условию v(t) z ∗ (t) при всех t 0.
Обозначим через freq∗ (ϕ) нижнюю относительную частоту попадания решения ϕ(t, x) в
множество M , тогда
mes{t ∈ [0, ϑ] : ϕ(t, x) ∈ M (t)}
mes{t ∈ [0, ϑ] : v(t) 0}
.
= lim
.
freq∗ (ϕ) = lim
ϑ
ϑ
ϑ→∞
ϑ→∞
.
Пусть κ∗ = lim
ϑ→∞
mes{t∈[0,ϑ] : z ∗ (t)0}
,
ϑ
тогда из v(t) z ∗ (t) следует freq∗ (ϕ) κ∗ , и, так как
ϕ(t, x) является произвольным решением включения (1.2) с начальным условием ϕ(0, x) =
x ∈ X ⊆ M (0), то
freq∗ (X) κ∗ .
(2.4)
Далее, поскольку функция z ∗ (t) удовлетворяет условию 2.1, то в силу леммы 1.1
предел κ существует и выполнено равенство κ = κ
. Таким образом, из (2.4) получаем
.
freq∗ (X) κ
3. Примеры вычисления статистических характеристик
Пример 3.1. В следующем утверждении получено равенство, с помощью которого можно
непосредственно вычислять значение характеристики
mes{t ∈ [0, ϑ] : z(t) c}
,
ϑ→∞
ϑ
κ(c) = lim
c ∈ R,
для функций z(t) определенного вида. Это можно сделать, в частности, для почти периодических функций, которые представимы в виде произведения или линейной комбинации
конечного числа периодических функций.
Приведем необходимые определения. Метрической динамической системой называется
четверка (Ω, A, µ, gt ), где Ω — фазовое пространство, A — некоторая σ-алгебра подмножеств
пространства Ω, gt — однопараметрическая группа измеримых преобразований фазового
пространства Ω в себя (измеримость означает, что gt A ∈ A для каждого A ∈ A и для любого
t ∈ R). Далее, µ — вероятностная борелевская мера, инвариантная относительно потока gt ,
т. е. µ(gt A) = µ(A) для всех A ∈ A и любого t ∈ R. Динамическая система (Ω, A, µ, gt )
называется эргодической по отношению к мере µ, если пространство Ω нельзя представить
как сумму двух измеримых инвариантных множеств положительной меры без общих точек,
иначе если Ω0 инвариантно, измеримо и µ(Ω0 ) > 0, то µ(Ω \ Ω0 ) = 0. Таким образом, если
система (Ω, A, µ, gt ) эргодическая, то мера всякого инвариантного измеримого множества
Ω0 из Ω равна нулю или единице ([14], c. 386; [15], c. 20).
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
27
Напомним, что числа T1 , . . . , Tk называются независимыми над полем рациональных чиk
ni Ti = 0 для любых целых n1 , . . . , nk , одновременно не равных нулю.
сел, если
i=1
Теорема 3.1. Пусть z(t) = F z1 (t), . . . , zk (t) , функция F (z1 , . . . , zk ) непрерывна, zi (t) —
непрерывные периодические функции с периодом Ti , i = 1, . . . , k. Если числа T1 , . . . , Tk независимы над полем рациональных чисел, то для любого c ∈ R выполнено равенство
mes t1 ∈ [0, T1 ], . . . , tk ∈ [0, Tk ] : F z1 (t1 ), . . . , zk (tk ) c
,
(3.1)
κ(c) =
T1 · T2 · . . . · Tk
где mes — k-мерная мера Лебега.
Доказательство. Рассмотрим метрическую динамическую систему (Ω, A, µ, gt ), где фазовое
пространство Ω = Tk = S T1 × · · · × S Tk — k-мерный тор, S Ti — окружность длиной Ti , i =
1, . . . , k. Далее, пусть A — σ-алгебра всех борелевских подмножеств пространства Ω = Tk ,
gt (t1 , . . . , tk ) = t1 + t (mod T1 ), . . . , tk + t (mod Tk ) , (t1 , . . . , tk ) ∈ Tk .
B
Для любого множества B ∈ A определим µ(B) = T1mes
·T2 ···Tk . Поскольку числа T1 , . . . , Tk
рационально независимы, то построенная динамическая система (Ω, A, µ, gt ) является эргодической относительно меры µ. Это доказывается так же, как предложение 4.2.2 из [16].
Рассмотрим подмножество k-мерного тора Ω = Tk
B = (t1 , . . . , tk ) ∈ Tk : F z1 (t1 ), . . . , zk (tk ) c
и траекторию γ динамической системы (Ω, A, µ, gt ), выходящую
из точки (t1 , . . . , tk ) =
(0, . . . , 0). Отметим, что для функции z(t) = F z1 (t), . . . , zk (t) предел κ(c) равен относительной частоте попадания траектории γ в множество B. Следовательно, в силу эргодической теоремы Биркгофа–Хинчина (см., например, [15], c. 17–21; [17], c. 133), данная
относительная частота равна мере множества B:
mes (t1 , . . . , tk ) ∈ Tk : F z1 (t1 ), . . . , zk (tk ) c
.
κ(c) = µ(B) =
T1 · T2 · . . . · Tk
Пусть zi (t), i = 1, . . . , k, — периодические функции с периодами Ti соответственно. Обо.
: zi (t)0}
, тогда κi = mes{t∈[0,TTii] : zi (t)0} .
значим κi = lim mes{t∈[0,ϑ]
ϑ
ϑ→∞
Следствие 3.1. Пусть z(t) = z1 (t) · z2 (t) · . . . · zk (t), функции z1 (t), . . . , zk (t) периодические с периодами T1 , . . . , Tk соответственно и числа T1 , . . . , Tkнезависимы над полем ра.
циональных чисел. Тогда,
если выполнено равенство κ
= mes t1 ∈ [0, T1 ], . . . , tk ∈ [0, Tk ] :
z1 (t) · z2 (t) · · · zk (t) = 0 = 0, то
κ = κ1 (1 − κ2 ) + κ2 (1 − κ1 ) при k = 2,
(3.2)
для всех k 3 имеет место равенство
κ=
k
κi
i=1
где C(k) =
k
(1 − κi )
i=1
(1 − κ ) +
=i
=i
i1 <i2 <i3
κi1 κi2 κi3
(1 − κ ) + · · · + C(k),
=i1 ,i2 ,i3
κ , если k четное и C(k) = κ1 · · · κk , если k нечетное.
(3.3)
28
Л.И. РОДИНА
Доказательство. Из условия κ
= 0 и равенства (3.1) следует
mes t1 ∈ [0, T1 ], . . . , tk ∈ [0, Tk ] : z1 (t1 ) · z2 (t2 ) · . . . · zk (tk ) 0
=
κ = κ(0) =
T1 · T2 · . . . · Tk
mes t1 ∈ [0, T1 ], . . . , tk ∈ [0, Tk ] : z1 (t1 ) · z2 (t2 ) · . . . · zk (tk ) < 0
.
=
T1 · T2 · . . . · Tk
Также имеют место равенства
mes{t ∈ [0, Ti ] : zi (t) < 0}
mes{t ∈ [0, Ti ] : zi (t) > 0}
, 1 − κi =
.
(3.4)
Ti
Ti
Рассмотрим множества Ai = ti ∈ [0, Ti ] : zi (ti ) < 0 и Bi = ti ∈ [0, Ti ] : zi (ti ) > 0 ,
i = 1, . . . , k. Отметим, что
G = t1 ∈ [0, T1 ], . . . , tk ∈ [0, Tk ] : z1 (t1 ) · z2 (t2 ) · . . . · zk (tk ) < 0
κi =
является суммой прямых произведений k множеств вида Ai и Bj , причем в каждом слагаемом нечетное количество множеств Ai . Поэтому мера Лебега множества G равна сумме произведений мер множеств вида Ai и Bj . Отсюда, учитывая (3.4), получаем (3.2) и
(3.3).
Замечание 3.1. Отметим, что если числа T1 , . . . , Tk не являются рационально независимыми, то равенства (3.2) и (3.3) могут быть неверными. Это связано с тем, что преобразование сдвига на торе на рационально соизмеримый угол не является эргодическим. В
качестве простого примера можно рассмотреть функции z1 (t) = z2 (t) = sin t, для которых
κ1 = κ2 = 12 , а для функции z(t) = z1 (t) · z2 (t) = sin2 t значение κ = 0.
Пример 3.2. Предположим, что функции a(t), b(t) почти периодические в смысле Бора.
Обозначим через z(t) решение линейной задачи Коши
ż = a(t)z + b(t),
z(0) = 0,
t 0,
(3.5)
через z
(t) — почти периодическое решение линейного уравнения (в предположении, что оно
существует и единственно)
ż = a(t)z + b(t).
(3.6)
Напомним, что относительную частоту попадания решения z
(t) в множество (−∞, 0] обозначаем через
mes{t ∈ [0, ϑ] : z
(t) 0}
.
.
κ
= lim
ϑ→∞
ϑ
В следующем утверждении получены условия существования и находится значение предела
κ = lim
ϑ→∞
mes{t ∈ [0, ϑ] : z(t) 0}
.
ϑ
Лемма 3.1. Предположим, что функции a(t), b(t) почти периодические в смысле Бора и
найдется постоянная h < 0 такая, что a(t) h для всех t ∈ R. Если для каждого z ∈ R
справедливо равенство
mes t ∈ [0, ϑ] : a(t)z + b(t) = 0
= 0,
lim
ϑ→∞
ϑ
то имеют место свойства
1) предел κ существует и выполнено равенство κ = κ
;
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
29
2) для любого λ0 ∈ [0, 1] найдется число c = c(λ0 ) такое, что
mes t ∈ [0, ϑ] : z(t) c
= λ0 .
lim
ϑ→∞
ϑ
Доказательство. В силу леммы 2.1 для доказательства утверждения достаточно показать,
что существует единственное почти периодическое решение z
(t) уравнения (3.6) и решение
z(t) задачи Коши (3.5) представимо в виде z(t) = z
(t) + ψ(t), где функция ψ(t) → 0 при
t → ∞.
Доказательство существования почти периодического решения обобщает аналогичное
утверждение ([9], c. 421), в котором функция a(t) предполагается постоянной. Выпишем
общее решение уравнения (3.6):
s
t
t
a(v)dv
z0 +
b(s) exp −
a(v)dv ds ,
(3.7)
z(t) = exp
0
0
0
где z0 — произвольная постоянная. Для того, чтобы решение было ограничено, необходимо,
чтобы
s
t
b(s) exp −
a(v)dv ds = 0.
lim z0 +
t→−∞
0
Отсюда получаем
z0 =
0
0
b(s) exp
−∞
−
s
a(v)dv ds.
(3.8)
0
Пусть B = sup |b(t)|, α = inf a(t) < 0, тогда
t∈R
t∈R
s
s
B exp −
b(s) exp −
a(v)dv
a(v)dv
Be−αs ,
0
(3.9)
0
следовательно, интеграл (3.8) сходится. Таким образом, ограниченное решение уравнения
(3.6) существует и имеет вид
t
t
b(s) exp
a(v)dv ds.
z
(t) =
−∞
s
Покажем, что функция z
(t) — почти периодическая в смысле Бора. Пусть ε ∈ (0, −h)
и τ — общий ε-почти период функций a(t) и b(t) (существование такого ε-почти периода
доказано, например, в [9], c. 371). Найдем
t
t
t
t
b(s + τ ) exp
a(v + τ )dv ds −
b(s) exp
a(v)dv ds |
z (t + τ ) − z
(t)| = −∞
s
−∞
s
t
t
exp
a(v + τ )dv ds+
sup b(s + τ ) − b(s)
s∈R
−∞
s
t
t
t
b(s) exp
a(v + τ )dv − exp
a(v)dv
+
−∞
s
s
t
t
t
exp h(t − s) ds + B
exp
a(v)dv exp ε(t − s) − 1 ds ε
−∞
−∞
s
t
B
1
ε
exp h(t − s) exp ε(t − s) − 1 ds ε − + 2 .
− +B
h
h h
−∞
Следовательно, функция z
(t) почти периодическая.
30
Л.И. РОДИНА
Выпишем решение задачи Коши (3.5):
t
s
t
a(τ )dτ
b(s) exp −
a(τ )dτ ds
z(t) = exp
0
0
0
и отметим, что его можно представить в виде
z(t) = z
(t) − z0 exp
t
a(v)dv ,
0
где z0 определяется равенством (3.8). Заметим, что если a(t) h < 0 для всех t ∈ R, то
t
функция ψ(t) = z0 exp a(v)dv удовлетворяет условию ψ(t) → 0 при t → ∞.
0
В следующем утверждении положим
s
∞
b(s) exp −
a(v)dv ds.
z0 = −
0
(3.10)
0
Лемма 3.2. Предположим, что функции a(t), b(t) почти периодические в смысле Бора и
для всех t ∈ R выполнено неравенство a(t) α > 0. Тогда предел κ существует и имеют
место утверждения
,
1) если z0 = 0, то κ = κ
2) если z0 > 0, то κ = 1,
3) если z0 < 0, то κ = 0.
Доказательство. Отметим, что интеграл (3.10) сходится (это можно доказать аналогично
неравенству (3.9)). Из (3.7) следует, что если z0 задается равенством (3.10), то решение уравнения (3.6) (которое обозначим z
(t)) ограничено. Аналогично лемме 3.1 можно показать,
что функция z
(t) почти периодическая и для решения z(t) задачи Коши (3.5) выполнено
равенство
t
a(v)dv .
(3.11)
z(t) = z
(t) − z0 exp
0
. Если z0 > 0, то
Следовательно, если z0 = 0, то функция z(t) почти периодическая и κ = κ
из (3.11) и неравенства a(t) α > 0 получаем lim z(t) = −∞, поэтому κ = 1. Если z0 < 0,
то lim z(t) = +∞, следовательно, κ = 0.
t→∞
t→∞
Пример 3.3. Рассмотрим линейную управляемую систему
ẋ = Ax + b(t)u, (t, x, u) ∈ R × R2 × [−1, 1].
√
b1 (t)
1
,
b(t)
=
, b1 (t) = cos t + cos( 2t) + 2, b2 (t) = 1 +
Здесь A = −2
1 −2
b2 (t)
(3.12)
√
sin( 2t)
√
.
2
Пусть
задано неравенством x1 +x2 3. Для любого подмножества
множество M в пространстве
X ⊂ M будем рассматривать характеристику
mes t ∈ [0, ϑ] : D(t, X) ⊆ M
,
freq(X) = lim
ϑ→∞
ϑ
R2
где D(t, X) — множество достижимости системы (3.12) в момент времени t из множества X.
Функция V (t, x) = x1 + x2 − 3 является функцией Ляпунова относительно множества M ,
ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
31
найдем ее верхнюю производную в силу дифференциального включения, отвечающего системе (3.12),
√
√
sin( 2t)
o
√
.
Vmax (t, x) = −x1 − x2 + 3 + cos t + cos( 2t) +
2
√
√
b(t) справедПусть b(t) = cos t+cos( 2t)+ sin(√22t) , тогда для функций V (t, x) и w(t, z) = −z+
o
ливо равенство Vmax (t, x) = w t, V (t, x) . Найдем почти периодическое решение линейного
уравнения ż = −z + b(t)
√
√ 1
sin t + cos t + 2 sin( 2t)
z
(t) =
2
и заметим, что это решение можно представить в виде произведения периодических функций
√
√
√
π
π
2+1
2−1
t+
и z2 (t) = cos
t−
z1 (t) = 2 sin
2
8
2
8
с рационально несоизмеримыми периодами. Для каждой из функций z1 (t) и z2 (t) относительная частота попадания в множество (−∞, 0] равна 12 , поэтому в силу следствия 3.1
и леммы 3.1 выполнено равенство κ = κ
= 12 . Таким образом, из теоремы 2.1 получаем
freq(X) = κ = 12 .
Литература
[1] Ушаков В.Н., Малев Я.А. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении, Тр. ин-та матем. и механики УрО РАН 16 (1), 199–222 (2010).
[2] Ушаков В.Н., Зимовец А.А. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального
включения, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьютерные науки 2, 98–111 (2011).
[3] Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения, Нелинейная динамика 5 (2),
265–288 (2009).
[4] Родина Л.И., Тонков Е.Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем,
Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьютерные науки 1, 67–86 (2011).
[5] Панасенко Е.А., Родина Л.И., Тонков Е.Л. Асимптотически устойчивые статистически слабо инвариантные множества управляемых систем, Тр. ин-та матем. и механики УрО РАН 16 (5), 135–142
(2010).
[6] Родина Л.И. Статистические характеристики множества достижимости и периодические процессы управляемых систем, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьютерные науки 2, 34–43 (2012).
[7] Родина Л.И. Статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьютерные науки 2, 68–87 (2011).
[8] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ (Наука, М., 1988).
[9] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости (Наука, М., 1967).
[10] Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения (Изд-во
Моск. ун-та, М., 1978).
[11] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Мир, М., 1970).
[12] Данфорд Н., Шварц Дж.-Т. Линейные операторы. Общая теория (Едиториал УРСС, М., 2004).
[13] Гусельников Н.С. Треугольные функции множества и теоремы Никодима, Брукса–Джеветта и
Витали–Хана–Сакса о сходящихся последовательностях мер, Матем. сб. 202 (6), 29–50 (2011).
[14] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений (ГИТТЛ, М.,
1949).
[15] Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория (Наука, М., 1980).
[16] Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем (Факториал, М.,
1999).
32
Л.И. РОДИНА
[17] Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики (Регулярная и хаотическая
динамика, Ижевск, 1999).
Л.И. Родина
доцент, заведующий кафедрой математического анализа,
Удмуртский государственный университет,
ул. Университетская, д. 1, г. Ижевск, 426034, Россия,
e-mail: [email protected]
L.I. Rodina
Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems
Abstract. We study an expansion of the notion of invariance for sets with respect to controllable
systems and differential inclusions. Namely, we study statistically invariant sets and statistical
characteristics of attainability sets of controllable systems. We obtain a lower bound for the lower
relative frequency of the absorption of the attainability set of a system by a given set and establish
new sufficient conditions of the statistical invariance of the set with respect to the controllable
system. We give examples of the calculation of statistical characteristics for the linear Cauchy
problem and a linear controllable system with almost periodic coefficients.
Keywords: controllable systems, dynamical systems, differential inclusions, statistically invariant
sets.
L.I. Rodina
Associate Professor, Head of the Chair of Mathematical Analysis,
Udmurt State University,
1 Universitetskaya str., Izhevsk, 426034 Russia,
e-mail: [email protected]