Козьмин И.В. Анализ группы Галилея в задаче оптимального

231
Оптимальное управление и дифференциальные игры
АНАЛИЗ ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ В ЗАДАЧЕ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Козьмин И.В.1
e-mail: ikozmin@imm.uran.ru
Постановка задачи
Трехмерной задачей Бушоу будем называть задачу оптимального
по быстродействию управления движением материальной точки в
трехмерном евклидовом пространстве под действием управляющей
силы, ограниченной по величине. Здесь и далее i меняется от 1 до 3.
Компоненты такой задачи имеют следующий вид:
1. Уравнения
движения: mq̈ i = ui . Здесь m — масса точки, q =
1 2 3
3
q , q , q ∈R — координаты точки, u (t) = u1 (t) , u2 (t) , u3 (t) ∈R3
— управляющая сила, зависящая от времени t ∈ [0, T ], T — длительность процесса.
2. Ограничение на управление:
2
C (t, q, q̇, u) = kuk − P /2 6 0, P > 0.
3. Функциональные ограничения на траекторию в виде системы
равенств:
f γ (q0 , q̇0 , qT , q̇T , T ) = 0,
γ = 1, . . . , 12,
где q0 , q̇0 , qT , q̇T — координаты и скорости в начальной и конечной
точках.
Z T
4. Критерий качества — быстродействие: I =
dt = T → min .
0
Подобные задачи рассматривались в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Группа симметрии задачи
0
0
Определение 1. Совокупность G преобразований t = t (t, q; σ),
0
0
q = q (t, q; σ) называется однопараметрической группой, если:
• существует единица группы
0
0
t
= t ∈ G, q σ=0
1 Работа
σ=0
= q ∈ G,
поддержана грантом РФФИ № 09-01-00523.
232
Труды 40 Молодежной школы-конференции
• результат действия двух последовательных преобразований
снова принадлежит группе
0
0
0
0
0
0
t (t, q; σ1 ) + t (t, q; σ2 ) = t (t, q; σ1 + σ2 ) ∈ G,
q (t, q; σ1 ) + q (t, q; σ2 ) = q (t, q; σ1 + σ2 ) ∈ G,
• существует обратный элемент
0 0
0 0
t = t t , q , −σ ∈ G, q = q t , q , −σ ∈ G.
Назовем расширенной группой Галилея G11 группу преобразований, состоящую из группы Галилея [6, 7] и преобразования растяжения. Расширенная группа Галилея образована следующими преобразованиями:
0
сдвиг по времени: t = t + σ0 , q́ 1 = q 1 , q́ 2 = q 2 , q́ 3 = q 3 ;
0
сдвиг по оси q 1 : t = t, q́ 1 = q 1 + σ1 , q́ 2 = q 2 , q́ 3 = q 3 ;
0
сдвиг по оси q 2 : t = t, q́ 1 = q 1 , q́ 2 = q 2 + σ2 , q́ 3 = q 3 ;
0
сдвиг по оси q 3 : t = t, q́ 1 = q 1 , q́ 2 = q 2 , q́ 3 = q 3 + σ3 ;
переход к подвижной системе координат:
0
по оси q 1 : t = t, q́ 1 = q 1 + σ4 t, q́ 2 = q 2 , q́ 3 = q 3 ;
0
по оси q 2 : t = t, q́ 1 = q 1 , q́ 2 = q 2 + σ5 t, q́ 3 = q 3 ;
0
по оси q 3 : t = t, q́ 1 = q́ 1 , q́ 2 = q2 , q́ 3 = q 3 + σ6 t;
вращение вокруг осей координат q 1 , q 2 , q 3 соответственно:
1
q́ = q 1 , q́ 2 = q 2 cos σ7 + q 3 sin σ7 , q́ 3 = −q 2 sin σ7 + q 3 cos σ7 ;
q́ 1 = q 1 cos σ8 − q 3 sin σ8 , q́ 2 = q 2 , q́ 3 = q 1 sin σ8 + q 3 cos σ8 ;
q́ 1 = q 1 cos σ9 + q 2 sin σ9 , q́ 2 = −q 1 sin σ9 + q 2 cos σ9 , q́ 3 = q 3 ;
преобразование растяжения : t = eσ10 t, q́ 1 = e2σ10 q 1 , q́ 2 = e2σ10 q 2 ,
3
q́ = e2σ10 q 3 .
Здесь σr , r = 0, . . . , 10, - параметры преобразований.
Для фиксированной точки q ∈ R3 множество G11 (q) всех ее образов q́ образует локальное многообразие в R3 . Это многообразие
называется орбитой, или G11 -орбитой, точки q.
Для каждого преобразования из расширенной группы Галилея
0
разложим функции t и q́ в ряд Тейлора по параметру σr , r =
0, . . . , 10, в окрестности σr = 0 и запишем бесконечно малые преобразования группы Галилея в виде
0
t = t + s0 σr , q́ i = q i + si σr ,
Оптимальное управление и дифференциальные игры
233
где
s0 = ∂t/∂σ|σ=0 , si = ∂q i /∂σ σ=0 .
Вектор s0 , si является касательным вектором в точке (t, q) к по0
верхности, описываемой преобразованными точками (t , q́), т.е к орбите и поэтому называется касательным векторным полем группы.
Касательное векторное поле также можно записать в виде дифференциального оператора (инфинитезимальный оператор)
S(r) = s0
∂
∂
+ si i .
∂t
∂q
Укажем для преобразований расширенной группы Галилея соответствующие векторные поля S(r) , r = 0, . . . , 10:
сдвиг по времени S(0) = (1, 0, 0, 0);
сдвиги по координатам:
S(1) = (0, 1, 0, 0), S(2) = (0, 0, 1, 0), S(3) = (0, 0, 0, 1);
переход к подвижной системе координат:
S(4) = (0, t, 0, 0), S(5) = (0, 0, t, 0), S(6) = (0, 0, 0, t);
вращения вокруг осей
координат:
S(7) = 0, 0, q 3 , −q 2 , S(8) = (0, −q3 , 0, q1 ), S(9) = 0, q 2 , −q 1 , 0 ;
растяжение: S(10) = t, 2q 1 , 2q 2 , 2q 3 .
Анализ алгебры Ли
Определение 2. Алгеброй Ли называется векторное пространство
L с умножением (билинейным отображением (ξ1 , ξ2 ) 7−→ [ξ1 , ξ2 ] произведения L × L в L), которое антисимметрично, т.е
[ξ1 , ξ2 ] + [ξ2 , ξ1 ] = 0,
и для всех ξ1 , ξ2 , ξ3 ∈ L удовлетворяет тождеству Якоби:
[ξ1 , [ξ2 , ξ3 ]] + [ξ2 , [ξ3 , ξ1 ]] + [ξ3 , [ξ1 , ξ2 ]] = 0.
Произведение [ξ1 , ξ2 ] называется коммутатором векторов ξ1 и ξ2 .
Векторные поля однопараметрических подгрупп расширенной
группы Галилея образуют 11-мерное векторное пространство, которое является алгеброй Ли относительно умножения (запишем его
через инфинитезимальные операторы S(i) и S(j) ):
[S(i) , S(j) ] = S(i) S(j) − S(j) S(i) .
234
Труды 40 Молодежной школы-конференции
В таблицах 1 и 2 на пересечении столбца S(i) и строки S(j) приведен
коммутатор [S(i) , S(j) ], который называется скобкой Ли.
Анализ таблиц показывает, что для порождения векторных полей
расширенной группы Галилея достаточно выбрать поле S(0) , одно из
полей S(4) , S(5) , S(6) , два из полей S(7) , S(8) , S(9) , и поле S(10) . Из
таблиц видно, что векторные поля группы Галилея не порождают
новых векторных полей, кроме тех, что уже входят в группу.
Таблица 1. Скобки Ли для сдвига по времени, сдвигов по
координатам и перехода к подвижной системе координат.
S(0)
S(1)
S(2)
S(3)
S(4)
S(5)
S(6)
S(7)
S(8)
S(9)
S(10)
S(0)
0
0
0
0
−S(1)
−S(2)
−S(3)
0
0
0
−2S(0)
S(1)
0
0
0
0
0
0
0
0
−S(3)
S(2)
−2S(1)
S(2)
0
0
0
0
0
0
0
S(3)
0
S(1)
−2S(2)
S(3)
0
0
0
0
0
0
0
−S(2)
S(1)
0
−2S(3)
S(4)
S(1)
0
0
0
0
0
0
0
−S(6)
S(5)
−2S(4)
S(5)
S(2)
0
0
0
0
0
0
S(6)
0
−S(4)
−2S(5)
Таблица 2. Скобки Ли для вращений вокруг осей координат и
растяжения.
S(0)
S(1)
S(2)
S(3)
S(4)
S(5)
S(6)
S(7)
S(8)
S(9)
S(10)
S(6)
S(3)
0
0
0
0
0
0
−S(5)
S(4)
0
−2S(6)
S(7)
0
0
−S(3)
S(2)
0
−S(6)
S(5)
0
−S(9)
S(8)
−2S(7)
S(8)
0
S(3)
0
−S(1)
S(6)
0
−S(4)
S(9)
0
−S(7)
−2S(8)
S(9)
0
−S(2)
S(1)
0
−S(5)
S(4)
0
−S(8)
S(7)
0
−2S(9)
S(10)
S(0)
2S(1)
2S(2)
2S(3)
2S(4)
2S(5)
2S(6)
2S(7)
2S(8)
2S(9)
0
Оптимальное управление и дифференциальные игры
235
Список литературы
[1]. Акуленко Л.Д. Возмущенная оптимальная по быстродействию
задача управления конечным положением материальной точки
посредством ограниченной силы // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 12–21.
[2]. Акуленко Л.Д. Синтез управления в задаче оптимального по
быстродействию пересечения сферы //Прикл. математика и механика. 1996. Т. 60, вып. 5. С. 724–735.
[3]. Акуленко Л.Д., Шматков А.М. Оптимальное по быстродействию достижение сферы материальной точкой с нулевой скоростью //Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 1.
С. 10–23.
[4]. Акуленко Л.Д., Кошелев А.П. Наискорейшее приведение динамического объекта в заданное положение при равенстве начальной и конечной скоростей // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 6. С. 98–105.
[5]. Акуленко Л.Д., Кошелев А.П. Наискорейшее приведение динамического объекта в исходное положение с требуемой скоростью
// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. № 6. С. 46–52.
[6]. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978. 400 c.
[7]. Ибрагимов В.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 c.
[8]. Kukushkin A.P. Necessary condition of optimality for the control
lagrangian system // Problems of Control and Information Theory.
1984. P. 229–238.
[9]. Кукушкин А.П. Покомпонентная инвариантность управляемых
механических систем // Изв. Урал. гос. ун-та. 2003. Т. 26. C. 97–
107.