случайные события

ББК 22.17.я7
С 23
С 23 Коллектив авторов.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. —
СПб.: Издательство «Лань», 2006. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 5-8114-0657-6
Сборник охватывает все основные разделы теории вероятностей,
встречающиеся при решении практических вопросов, связанных с автоматическим управлением, обработкой опытных данных, установлением их точности и т.д.
В каждом параграфе дана краткая сводка рабочих формул. Задачи снабжены ответами, а в отдельных случаях и краткими указаниями, позволяющими читателю самостоятельно найти путь к их
решению.
В конце задачника приложены краткие таблицы для вероятностных расчетов, необходимые при решении ряда задач.
ББК 22.17.я7
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования
СССР в качестве учебного пособия для высших технических учебных
заведений
Оформление
А. Ю. Лапшин
Охраняется законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона будут
преследоваться в судебном порядке.
Издательство «Лань», 2006
Коллектив авторов, 2006
Издательство «Лань»,
художественное оформление,
2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Соотношения между случайными событиями . . . .
Непосредственный подсчет вероятностей . . . . . . .
Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . .
Условная вероятность. Вероятность произведения событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вероятность суммы событий . . . . . . . . . . . . . .
Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . .
Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Независимые испытания с двумя возможными исходами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Независимые испытания с числом возможных исходов, большим двух. Рекуррентные уравнения для вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 9
. 9
. 11
. 16
Глава 2. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 10. Ряд распределения, функция распределения, производящая функция дискретной случайной величины.
Основные типы распределений . . . . . . . . . . . .
§ 11. Моменты и характеристическая функция дискретной
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 12. Функция распределения и плотность вероятности
непрерывной случайной величины . . . . . . . . . .
§ 13. Моменты непрерывной случайной величины. Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14. Закон нормального распределения . . . . . . . . . .
§ 15. Формулы полной вероятности и Байеса для непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . .
. 54
Глава 1.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§
§
§
§
5.
6.
7.
8.
§ 9.
Глава 3. Системы случайных величин . . . . . . . . . . . . .
§ 16. Законы распределения, моменты и характеристические функции систем случайных величин . . . . . .
§ 17. Закон нормального распределения системы случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18. Законы распределения подсистем случайных величин. Условные законы распределения. Условные моменты. Корреляционное отношение . . . . . . . . . .
.
.
.
.
21
26
32
35
. 39
. 47
. 54
. 59
. 69
. 73
. 81
. 84
. 89
. 89
. 100
. 108
4
Оглавление
Глава 4. Моменты и законы распределения функций
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19. Моменты и характеристические функции функций
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20.Законы распределения функций случайных величин
§ 21. Композиция законов распределения . . . . . . . . . .
§ 22. Линеаризация функций случайных величин . . . . .
. 114
.
.
.
.
114
123
131
136
Глава 5. Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 23. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 24. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . 151
Глава 6. Корреляционная теория случайных функций . . . . . . 156
§ 25. Общие свойства корреляционных функций и законов
распределения случайных функций . . . . . . . . . . . 156
§ 26.Линейные операции над случайными функциями . . . 161
§ 27. Спектральное разложение стационарных случайных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 28. Задачи о выбросах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 29.Вычисление вероятностных характеристик случайных
функций на выходе динамических систем . . . . . . . 181
§ 30.Оптимальные линейные динамические системы . . . . 194
§ 31. Случайные последовательности . . . . . . . . . . . . . 204
Глава 7. Марковские процессы . . . . . . . . . . . .
§ 32. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 33.Марковские процессы с дискретным числом
состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 34.Непрерывные марковские процессы . . . . .
. . . . . . 211
. . . . . . 211
. . . . . . 225
. . . . . . 234
Глава 8. Математическая статистика . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 35.Оценки параметров законов распределения случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 36.Доверительные вероятности и доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
§ 37. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . 267
§ 38.Проверка статистических гипотез. Параметрические
гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 39.Проверка статистических гипотез. Непараметрические
гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
§ 40.Статистика случайных процессов . . . . . . . . . . . . 320
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Используемые таблицы со ссылками на литературу . . . . . 346
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Данное издание отличается от предыдущего в ряде отношений.
Во-первых, из задачника исключены параграфы, сравнительно мало используемые при чтении общего курса теории
вероятностей в высших технических учебных заведениях: энтропия и информация, метод огибающих, вопросы контроля
качества. Включены некоторые новые вопросы (проверка статистических гипотез, случайные последовательности и некоторые другие).
Во-вторых, в целях сокращения объема, исключены решения типовых примеров, полезные при изучении теории вероятностей в порядке самообразования, но не являющиеся необходимыми при использовании задачника как учебного пособия
в высшей школе.
Наконец, весь текст задачника просмотрен, внесено некоторое количество новых задач, показавшихся интересными его
авторам, а вводные части перед каждым параграфом, по возможности освобождены от объяснений и определений, которые читатель может найти в соответствующей учебной литературе.
В остальном целевая направленность и содержание задачника остались без изменения. Поэтому во многих случаях авторы формулировали задачи в том виде, как они возникают
в различных приложениях, считая, что математические предпосылки, необходимые для решения подобных задач, должны
быть сделаны читателем на основании физического существа
задач. Например, говоря о сигналах малой длительности предполагается, что при решении можно считать длительность
сигналов бесконечно малой; в задачах, в которых речь идет
об ошибках округления (например, задача 12.11), предполага-
4
Оглавление
Глава 4. Моменты и законы распределения функций
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19. Моменты и характеристические функции функций
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20.Законы распределения функций случайных величин
§ 21. Композиция законов распределения . . . . . . . . . .
§ 22. Линеаризация функций случайных величин . . . . .
. 114
.
.
.
.
114
123
131
136
Глава 5. Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 23. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 24. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . 151
Глава 6. Корреляционная теория случайных функций . . . . . . 156
§ 25. Общие свойства корреляционных функций и законов
распределения случайных функций . . . . . . . . . . . 156
§ 26.Линейные операции над случайными функциями . . . 161
§ 27. Спектральное разложение стационарных случайных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 28. Задачи о выбросах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 29.Вычисление вероятностных характеристик случайных
функций на выходе динамических систем . . . . . . . 181
§ 30.Оптимальные линейные динамические системы . . . . 194
§ 31. Случайные последовательности . . . . . . . . . . . . . 204
Глава 7. Марковские процессы . . . . . . . . . . . .
§ 32. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 33.Марковские процессы с дискретным числом
состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 34.Непрерывные марковские процессы . . . . .
. . . . . . 211
. . . . . . 211
. . . . . . 225
. . . . . . 234
Глава 8. Математическая статистика . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 35.Оценки параметров законов распределения случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
§ 36.Доверительные вероятности и доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
§ 37. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . 267
§ 38.Проверка статистических гипотез. Параметрические
гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 39.Проверка статистических гипотез. Непараметрические
гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
§ 40.Статистика случайных процессов . . . . . . . . . . . . 320
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Используемые таблицы со ссылками на литературу . . . . . 346
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Ответы и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Данное издание отличается от предыдущего в ряде отношений.
Во-первых, из задачника исключены параграфы, сравнительно мало используемые при чтении общего курса теории
вероятностей в высших технических учебных заведениях: энтропия и информация, метод огибающих, вопросы контроля
качества. Включены некоторые новые вопросы (проверка статистических гипотез, случайные последовательности и некоторые другие).
Во-вторых, в целях сокращения объема, исключены решения типовых примеров, полезные при изучении теории вероятностей в порядке самообразования, но не являющиеся необходимыми при использовании задачника как учебного пособия
в высшей школе.
Наконец, весь текст задачника просмотрен, внесено некоторое количество новых задач, показавшихся интересными его
авторам, а вводные части перед каждым параграфом, по возможности освобождены от объяснений и определений, которые читатель может найти в соответствующей учебной литературе.
В остальном целевая направленность и содержание задачника остались без изменения. Поэтому во многих случаях авторы формулировали задачи в том виде, как они возникают
в различных приложениях, считая, что математические предпосылки, необходимые для решения подобных задач, должны
быть сделаны читателем на основании физического существа
задач. Например, говоря о сигналах малой длительности предполагается, что при решении можно считать длительность
сигналов бесконечно малой; в задачах, в которых речь идет
об ошибках округления (например, задача 12.11), предполага-
6
Предисловие к третьему изданию
ется, что ошибки подчиняются равномерному закону распределения; в ряде задач применяется понятие выбора «наудачу»,
поскольку математическая нечеткость этого термина не может вызвать недоразумения, а более корректная формулировка этих задач приводит к исчезновению задачи в том виде, в
каком она обычно возникает на практике.
Подобная формулировка задач представляется авторам не
только целесообразной, но и совершенно необходимой для задачника, предназначенного для изучения прикладной теории
вероятностей, поскольку основная трудность обычно возникает не в усвоении чисто математического содержания соответствующих разделов теории, а в умении ставить конкретную
прикладную задачу как задачу теории вероятностей.
При переработке задачника перед его авторами возникли
трудности, связанные с согласованием обозначений и трактовки отдельных вопросов теории с учебной литературой, используемой в высших технических учебных заведениях, поскольку
единого учебника, охватывающего все содержание задачника,
не существует, а в разных учебниках и учебных пособиях
используются и различные обозначения, и различный метод
изложения.
Если, например, при первом издании задачника классический подход к определению вероятности и соответствующая
символика для учебной литературы указанного типа была общепринятой, то в настоящее время теоретико-множественное
определение вероятности и соответствующая символика начали уже проникать и во втузовскую учебную литературу, хотя
«классическое» изложение теории вероятностей пока и является доминирующим.
В этом вопросе авторы сочли целесообразным пойти на
компромисс, отразив в известной мере во вводных частях современную аксиоматику теории вероятностей, оставаясь в
остальном в рамках обозначений и определений, являющихся пока наиболее распространенными во втузовской учебной
литературе. Подобный подход представляется наиболее целесообразным, поскольку для читателей, владеющих теоретикомножественным построением теории вероятностей при
использовании задачника не могут возникнуть какие-либо
трудности.
Предисловие к третьему изданию
7
Компромиссным в задачнике является и решение вопроса
о терминологии, поскольку в литературе применяется различная терминология, с которой должен быть знаком изучающий
теорию вероятностей, в задачнике для обозначения одного понятия часто используются параллельно различные термины:
элементарные события и элементарные исходы, корреляционная функция и автокорреляционная функция, вариационный
ряд и упорядоченная выборка, разряды и интервалы и т. д.
Больших трудов стоило авторам приблизить разделы, посвященные математической статистике, к ее современному
уровню. В первых изданиях задачника авторы сознательно не
выходили за рамки наиболее распространенных учебников для
технических учебных заведений, в которых математической
статистике уделяется незначительное внимание и обходится
ряд тонкостей. Это неизбежно приводило к математической
некорректности решения ряда задач. В настоящем издании
сделана попытка несколько выйти за рамки указанной учебной литературы: авторы попытались внести известную ясность
в такие вопросы, как получение оценок параметров, критерии
согласия, проверка статистических гипотез и т. п.
Однако и в задачах, посвященных математической статистике, авторы считали необходимым формулировать условия
задач так, как они возникают на практике, а не в форме схематизированных математических задач. Это относится, прежде
всего, к тому, что результаты, с которыми на практике приходится иметь дело, всегда округлены и, строго говоря, представляют группированную выборку. Поэтому обработка этих
результатов так, как это рекомендуется математической статистикой для негруппированных выборок (например, при применении критериев согласия) является математически некорректным, хотя практически обычно вынужденно и делается.
Авторы сочли целесообразным оставить задачи подобного типа, дав в сводках формул необходимые комментарии. Подобный образ действия представляется авторам не только единственно возможным, если стремиться приучить пользоваться
методами математической статистики в реальных ситуациях,
но и оправданным рядом общих соображений. Дело в том, что
реальная ценность применения статистических методов состоит в получении сравнительных результатов, а в этом случае
6
Предисловие к третьему изданию
ется, что ошибки подчиняются равномерному закону распределения; в ряде задач применяется понятие выбора «наудачу»,
поскольку математическая нечеткость этого термина не может вызвать недоразумения, а более корректная формулировка этих задач приводит к исчезновению задачи в том виде, в
каком она обычно возникает на практике.
Подобная формулировка задач представляется авторам не
только целесообразной, но и совершенно необходимой для задачника, предназначенного для изучения прикладной теории
вероятностей, поскольку основная трудность обычно возникает не в усвоении чисто математического содержания соответствующих разделов теории, а в умении ставить конкретную
прикладную задачу как задачу теории вероятностей.
При переработке задачника перед его авторами возникли
трудности, связанные с согласованием обозначений и трактовки отдельных вопросов теории с учебной литературой, используемой в высших технических учебных заведениях, поскольку
единого учебника, охватывающего все содержание задачника,
не существует, а в разных учебниках и учебных пособиях
используются и различные обозначения, и различный метод
изложения.
Если, например, при первом издании задачника классический подход к определению вероятности и соответствующая
символика для учебной литературы указанного типа была общепринятой, то в настоящее время теоретико-множественное
определение вероятности и соответствующая символика начали уже проникать и во втузовскую учебную литературу, хотя
«классическое» изложение теории вероятностей пока и является доминирующим.
В этом вопросе авторы сочли целесообразным пойти на
компромисс, отразив в известной мере во вводных частях современную аксиоматику теории вероятностей, оставаясь в
остальном в рамках обозначений и определений, являющихся пока наиболее распространенными во втузовской учебной
литературе. Подобный подход представляется наиболее целесообразным, поскольку для читателей, владеющих теоретикомножественным построением теории вероятностей при
использовании задачника не могут возникнуть какие-либо
трудности.
Предисловие к третьему изданию
7
Компромиссным в задачнике является и решение вопроса
о терминологии, поскольку в литературе применяется различная терминология, с которой должен быть знаком изучающий
теорию вероятностей, в задачнике для обозначения одного понятия часто используются параллельно различные термины:
элементарные события и элементарные исходы, корреляционная функция и автокорреляционная функция, вариационный
ряд и упорядоченная выборка, разряды и интервалы и т. д.
Больших трудов стоило авторам приблизить разделы, посвященные математической статистике, к ее современному
уровню. В первых изданиях задачника авторы сознательно не
выходили за рамки наиболее распространенных учебников для
технических учебных заведений, в которых математической
статистике уделяется незначительное внимание и обходится
ряд тонкостей. Это неизбежно приводило к математической
некорректности решения ряда задач. В настоящем издании
сделана попытка несколько выйти за рамки указанной учебной литературы: авторы попытались внести известную ясность
в такие вопросы, как получение оценок параметров, критерии
согласия, проверка статистических гипотез и т. п.
Однако и в задачах, посвященных математической статистике, авторы считали необходимым формулировать условия
задач так, как они возникают на практике, а не в форме схематизированных математических задач. Это относится, прежде
всего, к тому, что результаты, с которыми на практике приходится иметь дело, всегда округлены и, строго говоря, представляют группированную выборку. Поэтому обработка этих
результатов так, как это рекомендуется математической статистикой для негруппированных выборок (например, при применении критериев согласия) является математически некорректным, хотя практически обычно вынужденно и делается.
Авторы сочли целесообразным оставить задачи подобного типа, дав в сводках формул необходимые комментарии. Подобный образ действия представляется авторам не только единственно возможным, если стремиться приучить пользоваться
методами математической статистики в реальных ситуациях,
но и оправданным рядом общих соображений. Дело в том, что
реальная ценность применения статистических методов состоит в получении сравнительных результатов, а в этом случае
8
Предисловие к третьему изданию
обычно не является существенным точное знание таких параметров как, например, уровень значимости, а существенным
является единый подход к вопросу при сходных ситуациях.
Авторы надеются, что предлагаемая книга поможет изучающим теорию вероятностей приобрести навыки ее применения
к решению различных прикладных вопросов.
Авторы благодарны всем лицам, сообщившим свои замечания по предыдущим изданиям задачника, а также всем лицам,
принимавшим участие в обсуждении рукописи.
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ
СОБЫТИЯМИ
Пространством элементарных исходов (событий) называется множество Ω элементов ω, которые взаимно исключают
друг друга и являются всевозможными исходами испытания
(опыта, эксперимента). Событием называется любое множество (подмножество) A элементов из Ω и обозначается той
же буквой A, что и само множество. Наступление любого из
элементарных исходов, принадлежащих множеству A, означает наступление события A. Суммой (объединением) A + B
(A ∪ B) множеств A и B называется множество элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B. Произведением (пересечением) AB (A ∩ B) множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих и A, и B. Разностью A − B (A \ B) множеств A и B называется множество,
состоящее из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Суммой, произведением и разностью событий A
и B называется событие, соответствующее сумме, произведению и разности, соответственно, множеств A и B. Множество Ω всех элементарных исходов совпадает с достоверным
событием. Противоположным множеством (событием) A для
A называется дополнение A до Ω. Пустое множество ∅ называется невозможным событием. События A и B несовместны,
если AB = ∅. Попарно несовместные события A1 , A2 , . . . , An
образуют полную систему событий, если их сумма совпадает
с достоверным событием Ω.
8
Предисловие к третьему изданию
обычно не является существенным точное знание таких параметров как, например, уровень значимости, а существенным
является единый подход к вопросу при сходных ситуациях.
Авторы надеются, что предлагаемая книга поможет изучающим теорию вероятностей приобрести навыки ее применения
к решению различных прикладных вопросов.
Авторы благодарны всем лицам, сообщившим свои замечания по предыдущим изданиям задачника, а также всем лицам,
принимавшим участие в обсуждении рукописи.
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
§ 1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ
СОБЫТИЯМИ
Пространством элементарных исходов (событий) называется множество Ω элементов ω, которые взаимно исключают
друг друга и являются всевозможными исходами испытания
(опыта, эксперимента). Событием называется любое множество (подмножество) A элементов из Ω и обозначается той
же буквой A, что и само множество. Наступление любого из
элементарных исходов, принадлежащих множеству A, означает наступление события A. Суммой (объединением) A + B
(A ∪ B) множеств A и B называется множество элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B. Произведением (пересечением) AB (A ∩ B) множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих и A, и B. Разностью A − B (A \ B) множеств A и B называется множество,
состоящее из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Суммой, произведением и разностью событий A
и B называется событие, соответствующее сумме, произведению и разности, соответственно, множеств A и B. Множество Ω всех элементарных исходов совпадает с достоверным
событием. Противоположным множеством (событием) A для
A называется дополнение A до Ω. Пустое множество ∅ называется невозможным событием. События A и B несовместны,
если AB = ∅. Попарно несовместные события A1 , A2 , . . . , An
образуют полную систему событий, если их сумма совпадает
с достоверным событием Ω.
10
Глава 1
Задачи
11
Случайные события
1.12. Доказать следующие соотношения:
1.1. Что означают события A + A и AA?
1.2. Для каких событий A и B возможно равенство
AB = A?
1.3. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами rk (k = 1,
2, . . . , 10), причем r1 < r2 < . . . < r10 . Событие Ak — попадание в круг радиуса rk (k = 1, 2, . . . , 10). Что означают события
B=
6
k=1
Ak ,
C=
10
Ak ?
k=5
1.4. События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B — все приборы доброкачественные. Что
означают события: а) A + B; б) AB ?
1.5. События A, B и C означают, что взято хотя бы по
одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое
из которых содержит по крайней мере три тома. События As
и Bk означают, соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго k томов. Что означают события:
а) A+B+C; б) ABC; в) A1 +B3 ; г) A2 B2 ; д) (A1 B3 +B1 A3 ) C ?
1.6. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A — выбранное число делится на 5; событие B —
данное число оканчивается нулем. Что означают события A −
− B и AB ?
1.7. Событие A — хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие B — бракованных изделий среди
них не менее двух. Что означают противоположные события
A и B?
1.8. Упростить выражение A = (B + C)(B + C)(B + C).
1.9. Когда возможны равенства: а) A + B = A; б) AB = A;
в) A + B = AB ?
1.10. Найти случайное событие X из равенства
X + A + X + A = B.
1.11. Доказать, что AB + AB + A B = AB.
n
Ak =
k=1
n
k=1
Ak = Ω −
n
k=1
n
k=1
Ak ,
Ak ,
n
k=1
n
k=1
Ak =
n
Ak ,
k=1
Ak = Ω −
n
Ak .
k=1
1.13. Совместны ли события A и A + B ?
1.14. Доказать, что события A, AB и A + B образуют полную систему событий.
1.15. Два шахматиста играют одну партию. Событие A —
выиграет первый игрок, B — выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная система событий?
1.16. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие A — исправна машина. Событие
Bk (k = 1, 2) — исправен k-й котел. Событие C означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том
случае, если исправны машина и хотя бы один котел. Выразить события C и C через A и Bk .
1.17. Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие A означает исправность рулевого устройства, Bk (k = 1, 2, 3, 4) — исправность k-го котла, а
Cj (j = 1, 2) — исправность j-й турбины. Событие D — судно
управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина.
Выразить события D и D через A, Bk и Cj .
1.18. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех
блоков второго типа. События: Ak (k = 1, 2) — исправен k-й
блок первого типа, Bj (j = 1, 2, 3) — исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок
первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить
событие C, означающее работу прибора, через Ak и Bj .
§ 2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Если множество Ω элементарных исходов конечно или
счетно, то вероятность случайного события A равна сумме
вероятностей P (ωj ) элементарных исходов ωj , входящих в A.