Сюрпризы таблицы умножения

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ñþðïðèçû òàáëèöû
óìíîæåíèÿ
Âïåðâûå òàáëèöà Ïèôàãîðà ïðèìåðíî â òàêîì âèäå, â êàêîì ìû åå
íàõîäèì íà îáëîæêàõ òåòðàäåé,
ïîÿâèëàñü â ñî÷èíåíèè íåîïèôàãîðåéöà Íèêîìàõà Ãåðàçñêîãî
(I—II ââ.).  åãî «Ââåäåíèè â
àðèôìåòèêó» òàáëèöà âûïîëíåíà
â èîíèéñêîé íóìåðàöèè. Ïî ñëîâàì Íèêîìàõà, ýòà òàáëèöà âîñõîäèò «ê ñàìîìó Ïèôàãîðó».
1 2
3
4
2 4
6
8 10 12 14 16 18
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
5
6
7
8
9
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
Ðèñ.1. Òàáëèöà Ïèôàãîðà
Áîëåå äðåâíèå òàáëèöû óìíîæåíèÿ îáíàðóæåíû â ìåñîïîòàìñêèõ
ãëèíÿíûõ òàáëè÷êàõ – èõ «âîçðàñò» îêîëî 5 òûñÿ÷ ëåò.
Òàáëèöà óìíîæåíèÿ ñêðûâàåò â
ñåáå ìíîæåñòâî çàìå÷àòåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé,
ïîèñê êîòîðûõ ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ â óâëåêàòåëüíîå çàíÿòèå, ñóëÿùåå íåìàëî ñþðïðèçîâ.
Íàçîâåì êâàðòåòîì ÷åòûðå ÷èñëà òàáëèöû Ïèôàãîðà, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ íåêîòîðîãî
êâàäðàòà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè
ñòîðîíû ýòîãî êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì òàáëèöû Ïèôàãîðà, òî ñóììû äèàãîíàëüíûõ ÷èñåë
êâàðòåòà ðàâíû (ðèñ.2). Åñëè ñòîðîíû êâàäðàòà ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì òàáëèöû, òî ðàâíû ïðîèçâåäåíèÿ äèàãîíàëüíûõ ÷èñåë êâàðòåòà. Åñëè ïðè ýòîì êâàäðàò ðàñïîëîæåí ñèììåòðè÷íî ãëàâíîé äèàãîíàëè òàáëèöû Ïèôàãîðà, òî ñóììà
âñåõ ÷èñåë êâàðòåòà – êâàäðàò íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, è
ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé èë2
ëþñòðàöèåé òîæäåñòâà: a + b =
>
C
8 16 24 32 40 48 56 64 72
èìåííî: êàæäîå ÷èñëî òàáëèöû
ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ íîìåðà ñòðîêè è íîìåðà ñòîëáöà, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ îíî ñòîèò.
Åñëè öåíòðîì êâàðòåòà òîæå ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî òàáëèöû Ïèôàãîðà,
òî îíî ðàâíî ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ÷èñåë ýòîãî êâàðòåòà
(ðèñ.3). È îïèðàÿñü íà ýòî ñâîéñòâî, ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî ñóììà
âñåõ ÷èñåë òàáëèöû Ïèôàãîðà, ðàñïîëîæåííûõ âíóòðè öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íîé ôèãóðû ïîêàçàííîãî íà ðèñóíêå 4 âèäà, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ öåíòðàëüíîãî ÷èñëà íà
êîëè÷åñòâî ÷èñåë ôèãóðû. Ïðè
îòñóòñòâèè öåíòðàëüíîãî ÷èñëà
âìåñòî íåãî áåðåòñÿ äðîáíîå ÷èñëî,
ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ ãèïîòåòè÷åñêèõ äðîáíûõ íîìåðà ñòðîêè è íîìåðà ñòîëáöà.
Ñêó÷íóþ, íà ïåðâûé âçãëÿä, çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ ñóììû âñåõ ÷èñåë òàáëèöû Ïèôàãîðà ìîæíî ðåøèòü, ïîëó÷èâ ïðè ýòîì íåìàëîå
óäîâîëüñòâèå: ïîñêîëüêó 1 + 2 +
+ 3 + … + 9 = 45, òî ñóììà ÷èñåë
òàáëèöû áóäåò ðàâíà
9 18 27 36 45 54 63 72 81
1 ⋅ 45 + 2 ⋅ 45 + 3 ⋅ 45 +...+9 ⋅ 45 =
1 2
3
4
5
6
7
8
9
2 4
6
8
10 12 14 16 18
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
6 + 18 = 4 + 20, 6 30 = 12 15,
7 + 2 7 9 + 9 = 256
Ðèñ.2
6
7
8
9
1 2
3
4
5
2 4
6
8
10 12 14 16 18
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
Ðèñ.3
6
7
8
9
3
4
5
2 4
6
8
10 12 14 16 18
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
S=12 13=156, S =7,5 6,5 12=585
Ðèñ.4
2
2
C
= 45 ⋅ 45 = 2025 .
2
1
>
= 45 ⋅ 1 + 2 + 3 +...+9 =
20=(9+12+24+35):4
= a + 2ab + b . Äîêàçàòåëüñòâà
ýòèõ ñâîéñòâ ïðîñòû è îñíîâàíû íà
îïðåäåëåíèè òàáëèöû Ïèôàãîðà, à
Êðàñèâî, íå ïðàâäà ëè?
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî âñå ÷èñëà
òàáëèöû Ïèôàãîðà ìîæíî ðàçáèòü
íà äåâÿòü ãðóïï ïî äåâÿòü ÷èñåë â
êàæäîé òàê, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë â êàæäîé ãðóïïå îêàæóòñÿ
ðàâíûìè (ðèñ.5). Ðàçáèâàÿ ÷èñëà
íà ãðóïïû, íóæíî ñîáëþäàòü ïðàâèëî: ÷èñëà îäíîé ãðóïïû äîëæíû
ñòîÿòü â êëåòêàõ òàáëèöû òàê, ÷òîáû óñòàíîâëåííûå íà íèõ øàõìàòíûå ëàäüè áûëè äðóæåëþáíûìè,
ò.å. íå óãðîæàëè äðóã äðóãó. Â
ýòîì ñëó÷àå âñå äåâÿòü ïðîèçâåäåíèé áóäóò ðàâíû
>1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9C = >9!C .
2
2
Íà ðèñóíêå 6 â òàáëèöå Ïèôàãîðà âûäåëåíû «óãîëêè». Ñóììû
÷èñåë â óãîëêàõ îáðàçóþò ïîñëåäî-
1 2
3
4
5
6
7
8
9
ìóëå
10 12 14 16 18
2 4
6
8
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
Ðèñ.8
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
>
6
7
8
9
3
4
5
2 4
6
8
10 12 14 16 18
3 6
9
12 15 18 21 24 27
4 8
12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
Ðèñ.9
6, 10, 15, …,
>
>
2
C
(àíàëîã òðå-
C
C
Óìíîæåíèå â øóòêó è âñåðüåç
C , …). Âî âñåõ
n n +1
1. Ñêîëüêî áóäåò: äâà äåñÿòêà
óìíîæèòü íà òðè äåñÿòêà?
2. Îäíî ÿéöî âàðÿò òðè ìèíóòû.
Ñêîëüêî ìèíóò íàäî âàðèòü 5 ÿèö?
êðàñíûõ êîëîíêàõ ðàñïîëîæåíû
÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñâÿ-
5 + 8 + 9 + 8 + 5 = 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4 2 + 5 1=
Ðèñ.6
=
+
+
+
+
=
Ðèñ.10
çàííûå ñ òðåóãîëüíûìè ÷èñëàìè, à
â ñèíèõ êîëîíêàõ – ñ êâàäðàòíûìè
÷èñëàìè. Ïîïðîáóéòå óñòàíîâèòü
ýòó ñâÿçü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ãðóïïû ÷èñåë 1; 2,2; 3,4,3;
4,6,6,4; … íàçîâåì ñòðîêàìè ðàñøèðåííîé òàáëèöû Ïèôàãîðà
(ðèñ.9). Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë n-é
2
ñòðîêè ðàâíî n! , ïîòîìó ÷òî
÷èñëà ýòîé ñòðîêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â òàêîì
2 n −1 ,
âèäå:
1n,
3 n − 2 , …,
n −2 3,
n − 1 2 , n1, à ïðîèçâåäåíèå òàêèõ ÷èñåë ðàâíî
2
n! .
Ñóììà ÷èñåë n-é ñòðîêè òàáëèöû Ïèôàãîðà
ðàâíà n-ìó òåòðàýäðàëüíîìó ÷èñëó è ìîæåò
áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîð-
> C
>
> C
> C
Ðèñ.7
C>
24
>
íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàäðàòíûõ
÷èñåë, à ïàðàëëåëüíî è ðÿäîì ñ íåé
ðàñïîëîæåíû óäâîåííûå òðåóãîëüíûå ÷èñëà. (Íàïîìíèì, ÷òî òðåóãîëüíûìè íàçûâàþò ÷èñëà, ïîêàçûâàþùèå, èç ñêîëüêèõ êðóãîâ
ìîæíî ñëîæèòü òðåóãîëüíèê: 1, 3,
9 18 27 36 45 54 63 72 81
ìîæíî ðàñøèðèòü âïðàâî è âíèç,
ñîáëþäàÿ îñíîâíîå óñëîâèå: êàæäîå ÷èñëî òàáëèöû åñòü ïðîèçâåäåíèå íîìåðà ñòðîêè è íîìåðà ñòîëáöà, â êîòîðûõ îíî ñòîèò. Íà ðèñóíêå 7 èçîáðàæåíà âåðõíÿÿ ÷àñòü
ðàñøèðåííîé òàáëèöû Ïèôàãîðà,
ïîâåðíóòàÿ íà 45°. Åñòåñòâåííî,
âñå ðàíåå ñôîðìóëèðîâàííûå ñâîéñòâà òàáëèöû Ïèôàãîðà îñòàþòñÿ
âåðíûìè è äëÿ ðàñøèðåííîé òàáëèöû, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ðàñøèðåííóþ òàáëèöó òàêæå áóäåì
íàçûâàòü òàáëèöåé Ïèôàãîðà.
Ðàññìîòðèì êîëîíêè ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ ïàðàëëåëüíî áèññåêòðèñå «÷èñëîâîãî óãëà» (ðèñ.8).
Íà ñàìîé áèññåêòðèñå ðàñïîëîæå-
C>
óãîëüíûõ ÷èñåë äëÿ ïðîñòðàíñòâà
÷åòûðåõ èçìåðåíèé).
Êàê âû óæå óñïåëè, íàâåðíîå,
çàìåòèòü, â ñâîéñòâàõ ýòîé òàáëèöû òåñíî ïåðåïëåòàþòñÿ òðåóãîëüíûå è êâàäðàòíûå ÷èñëà. Âîò åùå
îäíî ñâîéñòâî: ðàçíîñòü ìåæäó ñóììàìè n-é è n − 1 -é ñòðîê òàáëèöû
ðàâíà n-ìó òðåóãîëüíîìó ÷èñëó, à
ðàçíîñòü ìåæäó ñóììàìè n-é è
n − 2 -é ñòðîê ðàâíà n-ìó êâàäðàòíîìó ÷èñëó.
Ðèñ.5
1 2
C . (Òåòðàýäðàëü-
n n +1 n +2 n + 3
9 18 27 36 45 54 63 72 81
âàòåëüíîñòü êóáîâ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
Íå íàðóøàÿ ïðèíöèïèàëüíîãî
ïîñòðîåíèÿ òàáëèöû Ïèôàãîðà, åå
C>
6
íûìè ÷èñëàìè íàçûâàþò ÷èñëà,
ïîêàçûâàþùèå, èç ñêîëüêèõ øàðîâ ìîæíî ñëîæèòü òðåóãîëüíóþ
ïèðàìèäó.) Íà ðèñóíêå 10 ïîêàçàí ïðîöåññ ðîæäåíèÿ òåòðàýäðàëüíîãî ÷èñëà èç ÷èñåë 5-é ñòðîêè.
Ñóììà æå âñåõ ÷èñåë n ïåðâûõ
ñòðîê òàáëèöû ðàâíà n-ìó ãèïåðòåòðàýäðàëüíîìó
÷èñëó
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
>
n n +1 n + 2
C
>
>
C
C
3. Íà äîñêå íàïèñàíî íåñêîëüêî
ïëþñîâ è ìèíóñîâ. Ðàçðåøàåòñÿ
ñòèðàòü ëþáûå äâà çíàêà, çàïèñûâàÿ âìåñòî îäèíàêîâûõ çíàêîâ
ïëþñ, à âìåñòî ðàçíûõ – ìèíóñ.
Çàâèñèò ëè ïîñëåäíèé îñòàâøèéñÿ
íà äîñêå çíàê îò òîãî, â êàêîì
ïîðÿäêå ñòèðàòü çíàêè?
Í.Àâèëîâ