Кривые линии Кривой линией называется совокупность

Кривые линии
Кривой линией называется совокупность последовательных положений
точки, перемещающейся в пространстве. Кривые линии делятся на плоские,
все точки которых лежат в одной плоскости, и пространственные, точки
которых не лежат в одной плоскости (рис. 32).
Рис. 32. Плоская и пространственная кривые
Примером плоских кривых являются окружность, эллипс, парабола,
гипербола, синусоида и т.д., примером пространственной кривой – винтовая
линия.
Кривые линии делятся на закономерные, которые могут быть выражены
аналитически, т.е. с помощью формулы, и незакономерные, которые могут
быть заданы только графически. Для построения проекций кривой
необходимо найти проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой.
Поверхности
Поверхностью
называется
совокупность
всех
последовательных
положений некоторой движущейся в пространстве линии. Линия, которая
перемещается в пространстве, называется образующей – L, линия, по которой
перемещается образующая, называется направляющей – М (рис. 33).
Образующая и направляющая являются определителями поверхности.
Рис. 33. Определители поверхности
Все поверхности подразделяются:
– на линейчатые;
– поверхности вращения;
– циклические;
– топографические.
Циклической
называется
поверхность,
описываемая
окружностью
(образующая) постоянного или переменного радиуса при ее движении в
пространстве вдоль кривой направляющей при сохранении плоскости
окружности
перпендикулярно
направляющей.
В
качестве
примера
циклической поверхности является поливочный шланг.
Топографической называется поверхность, образование которой не
подчинено никакому геометрическому закону (поверхность земной коры,
корпус судна, поверхность обшивки самолета и т.д.). Эти поверхности
изображаются
совокупностью
некоторых
линий.
Например,
земная
поверхность изображается семейством горизонталей, т.е. линий, полученных
в сечении поверхности горизонтальными плоскостями.
Более подробно рассмотрим линейчатые поверхности и поверхности
вращения.
Если образующей является прямая линия, то такие поверхности
называются линейчатыми. Определителями таких поверхностей являются
образующая и направляющая. К линейчатым поверхностям относятся
цилиндр и конус, а также все многогранники. Если поверхность получена
путем вращения какой-либо плоской линии вокруг неподвижной оси, то
такая поверхность называется поверхностью вращения. Определителями
поверхности
вращения
являются
образующая
и
ось
вращения.
К
поверхностям вращения относятся сфера, открытый и закрытый торы,
параболоид, эллипсоид и т.д. Конус и цилиндр тоже можно отнести к
поверхностям вращения.
Любая закономерная поверхность может быть задана аналитически, т.е.
с помощью формулы, или графически, т.е. с помощью эпюра.
На чертеже поверхность задается очерком. Очерком называется
проекция
контура
поверхности
на
плоскость
проекций.
Контуром
поверхности является замкнутая линия, по которой проецирующие лучи
касаются этой поверхности.
Многогранники
Многогранником называется поверхность, полученная при перемещении
в пространстве прямой линии вдоль направляющей, которая представляет
собой замкнутую ломаную линию. Если образующие, которые формируют
многогранник, параллельны между собой, то такая поверхность называется
призмой (рис. 34).
Если образующие пересекаются в какой-либо точке, то полученный
многогранник называется пирамидой (рис. 35).
Рис. 34. Призма
Рис. 35. Пирамида
Точка пересечения образующих называется вершиной пирамиды.
Направляющие,
представляющие
собой
многоугольник,
называются
основаниями многогранника (призма имеет два основания, а пирамида –
одно). Образующие, проходящие через точки излома направляющей,
называются ребрами многогранника. Невидимые ребра изображаются
штриховой линией. Многоугольники, ограниченные ребрами и сторонами
основания, называются гранями многогранника.
Точка
принадлежит
поверхности,
если
она
лежит
на
линии,
принадлежащей этой поверхности. Для определения точек на поверхности
многогранника в качестве таких вспомогательных линий используются
образующие.
Поскольку
заданная
призма
(рис.
36)
занимает
горизонтально
проецирующее положение, т.е. все ее ребра и грани перпендикулярны
плоскости Н, то точки, лежащие на боковой поверхности призмы, на
горизонтальной плоскости проекций проецируются на прямые, в которые
спроецировались грани призмы.
Рис. 36. Определение точек на призме
Чтобы построить фронтальную проекцию точки 1, лежащую на грани
пирамиды (рис. 37), на горизонтальной проекции через заданную точку
проводится образующая и фиксируется точка пересечения этой образующей
с основанием. Полученная точка поднимается по линии связи на
фронтальную проекцию основания, и через нее проводится фронтальная
проекция образующей, на которую по линии связи проецируется точка 1.
Если точка расположена на невидимой грани многогранника, то сама точка
тоже невидима и ее проекция обозначается в скобках.
Рис. 37. Определение точек на пирамиде
Цилиндр и конус
Основаниями цилиндра и конуса являются замкнутые плоские кривые
линии, чаще всего окружности. Если образующие, которые формируют
поверхность, параллельны между собой, то такая поверхность называется
цилиндром (рис. 38).
Рис. 38. Цилиндр
Если же образующие пересекаются в какой-либо точке, то полученная
поверхность называется конусом, а точка пересечения образующих –
вершиной конуса (рис. 39).
Рис. 39. Конус
Поверхности вращения
Поверхность вращения получается при вращении образующей (прямой
или кривой) вокруг неподвижной оси. Каждая точка образующей при своем
вращении описывает окружность с центром на оси. Эти окружности
называются параллелями. Параллель наибольшего радиуса называется
экватором, а наименьшего – горлом. Кривые, получающиеся в сечении тела
вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, называются
меридианами. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций,
называется главным меридианом.
Если ось вращения поверхности перпендикулярна какой-либо плоскости
проекций, например горизонтальной, то все параллели проецируются на нее
в натуральную величину, а экватор и горло определяют горизонтальный
очерк поверхности.
В этом случае фронтальным очерком поверхности
является главный меридиан.
Точки, лежащие на поверхности вращения, строятся с помощью
параллелей. Радиус параллели равен отрезку, замеряемому от оси вращения
до очерковой образующей.
Поверхность, полученная вращением окружности, проходящей через ее
центр, называется сферой (рис. 40).
Для
определения
фронтальной
проекции
точки
1
через
ее
горизонтальную проекцию проводится параллель, строится фронтальная
проекция этой параллели в виде окружности, радиус которой замеряется от
оси до горизонтального очерка сферы, и на нее по линии связи поднимается
искомая точка. Поскольку горизонтальная проекция точки 1 является
видимой, то на фронтальную плоскость точка
Рис. 40. Сфера
проецируется в видимой для горизонтальной проекции части сферы, т.е. ее
верхней половине.
Для
определения
горизонтальной
проекции
точки
2
через
ее
фронтальную проекцию проводится параллель, строится горизонтальная
проекция этой параллели в виде окружности, радиус которой замеряется от
оси до фронтального очерка сферы, и на нее по линии связи поднимается
искомая точка. Поскольку фронтальная проекция точки 2 является
невидимой, то на горизонтальную плоскость точка проецируется в
невидимой для фронтальной проекции части сферы, т.е. ее дальней от
наблюдателя половине.
Поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в
плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется
тором. Если ось вращения тора лежит вне окружности, то такой тор
называется открытым (рис. 41).
Рис. 41. Открытый тор
Проекции
точек,
принадлежащих
поверхности
открытого
тора,
определяются с помощью параллелей, которые могут быть как внешними,
так и внутренними. Радиус внешних параллелей замеряется от оси вращения
тора до внешнего очерка образующей (точки 1 и 2), а внутренние – от оси
вращения тора до внутреннего очерка образующей (точка 3).
Если ось вращения пересекает окружность, то такой тор называется
закрытым (рис. 42).
Проекции
точек,
принадлежащих
поверхности
закрытого
определяются с помощью параллелей, так же как и у сферы.
тора,
Рис. 42. Закрытые торы
Вопросы для самопроверки
1. Что называется определителями поверхности?
2. Чем характерны линейчатые поверхности?
3. Какие поверхности называются многогранниками?
4. В чем разница между призмой и пирамидой?
5. Что является определителями поверхности вращения?
6. Являются ли конус и цилиндр поверхностями вращения?
7. Как строятся точки на линейчатых поверхностях?
8. Как строятся точки на поверхностях вращения?